2020高考数学(文)一轮复习课时作业 48双曲线 含解析
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线
A.1
√
B.17
C.1或17
D.8
解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,
所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程
| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),
若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),
将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),
得 - =1,①
2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
= - ,
+ = ,
则
解得
+ = ,
= ,
故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.
考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线
{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》附答案详析
{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.323．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝14．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12 C ．23 D.32二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．32．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积． 解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)B [∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.32C [由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·b a＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2.]3．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1A [根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.]4．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关A [由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12C ．23 D.32D [由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.]二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.3 [因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.]7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝b .∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b2＝12c ，∴e ＝ca＝2.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由双曲线方程可得m >0，所以e ＝m ＋m 2＋4m>6，解得m >4或m <1.由m >0，故可得m 的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．3C [由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k PA ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k PA ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝2，故选C ．]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bc c ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝3. ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C ．]3．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4 [由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2知a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4.]4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．[解] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。
高考数学(广东专用,文科)大一轮复习配套课时训练：第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线(含答案)
第4节双曲线课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( B )(A)1 (B)17(C)1或17 (D)以上答案均不对解析:由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.故选B.2.(2013年高考湖北卷)已知0<θ<,则双曲线C 1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线Cc1==1,双曲线C2的半焦距=1,故选D.c2=3.(2012年高考湖南卷)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.故选A.4.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵c2=2+2=4,∴c=2,2c=|F1F2|=4,由题可知|PF 1|-|PF2|=2a=2,|PF1|=2|PF2|,∴|PF 2|=2,|PF1|=4,由余弦定理可知cos∠F1PF2==.故选C.5.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( A )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:在椭圆C1中,因为e=,2a=26,即a=13,所以椭圆的焦距2c=10,则椭圆两焦点为(-5,0),(5,0),根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的2a2=8,焦距与椭圆的焦距相同,即2c2=10,可知b2=3,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.二、填空题6.(2013年高考辽宁卷)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C 上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF 的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|PQ|=16,又因为|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,|PF|+|QF|=28,则△PQF的周长为44.答案:447.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为.解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1,又e==2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程为x2-=1.答案:x2-=18.(2013韶关模拟)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若tan ∠PF2F1=3,则双曲线的离心率为.解析:依题意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1==3,|PF1|=3|PF2|,设|PF1|=k,则|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2,又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k,∴e==,即双曲线的离心率为.答案:9.(2013年高考湖南卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.解析:设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF 2|=c,|PF1|=c,|PF 1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e===+1.答案:+110.设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|,又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴=,渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:4x±3y=0三、解答题11.已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?解:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.由得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①∴x0==.由题意,得=1,解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB 的中点.法二设A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,所以由题得-=1,-=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-=0,即2-=0,即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,联立得2x2-4x+3=0,Δ=16-24=-8<0,即直线y=2x-1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.12.(2013南京质检)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由已知c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=10,|PF2|=4.|=2,又|F∴cos∠F1PF2===.13.已知双曲线-=1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且²=0.求+的值.解:(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为-=1,即3x2-y2=3a2.∵点M(,)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.∴所求双曲线的方程为-=1.(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立-=1,得∴|OP|2=x2+y2=.则OQ的方程为y=-x,有|OQ|2==,∴+===.B组14.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R 在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )(A)6 (B)8 (C)10 (D)12解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.故选C.15.从双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为( B )(A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a(C)|MO|-|MT|<b-a (D)不确定解析:如图所示,取双曲线的右焦点为F',∵M为PF的中点,∴|MF|=|PF|.Rt△OFT中,|OT|=a,|OF|=c,∴|FT|=b,连接OM,PF',则|OM|=|PF'|,∴|MO|-|MT|=|PF'|-(|MF|-|FT|)=|PF'|-|PF|+b=-a+b=b-a.故选B.16.设点P在双曲线-=1(a,b>0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是. 解析:由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a,|PF1|=a,所以整理得a≥c,所以≤,即e≤,又e>1,所以1<e≤. 答案:1<e≤。
专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 28＝1【解析】 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6【解析】 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)【答案】 B【解析】 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.【答案】 5【解析】 由题意可得3a ＝35，所以a ＝5.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【答案】 4【解析】 由题意可得，a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.【考点聚焦】考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 【解析】 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为 ________________.【答案】 (1)C (2)y 243－x 23＝1【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.考点三 双曲线的性质角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x【答案】 A【解析】 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【答案】 A【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(0，2)【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得 4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 【反思与感悟】1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x【答案】 B【解析】 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.62【答案】 A【解析】 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2. 3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2C.322D.2 2【答案】 D【解析】 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 【答案】 C【解析】 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1. 5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x 【答案】 D【解析】 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.【答案】 x 25－y 220＝1 【解析】 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1. 7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.【答案】 3215 【解析】 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.【答案】 3【解析】 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e ＝c a ＝ 3. 三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.【答案】见解析【解析】(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23， k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x【答案】 D 【解析】 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6. 由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]【答案】 D【解析】 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2].又e >1，∴e ∈[2，3＋1]. 13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.【答案】 3－1 2【解析】 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.【答案】 0 3【解析】 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0. 不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.。
一轮复习专题48 椭圆、双曲线、抛物线(知识梳理)
专题48椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）一、椭圆(一)椭圆的基本定义和方程1、椭圆的定义：设1F 、2F 是定点，P 为动点，则满足a PF PF 2||||21=+(a 为定值且||221F F a >)的动点P 的轨迹称为椭圆，符号表示：a PF PF 2||||21=+(||221F F a >)。
注意：当||221F F a =时为线段21F F ，当||221F F a <时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质定义方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ac y x c y x 2)()(2222=-++++标准方程12222=+b y a x (0>>b a )12222=+b x a y (0>>b a )一般方程122=+ny mx (0>m ，0>n ，n m ≠)推导方程22222b x ab y +-=(0>>b a )22222a x ba x +-=(0>>b a )范围][a a x ，-∈，][b b y ，-∈][b b x ，-∈，][a a y ，-∈图形焦点坐标焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F 焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)顶点)0(1，a A -、)0(2，a A 、)0(1b B -，、)0(2b B ，)0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -轴长轴21A A 的长为：a 2(a 为长半轴)短轴21B B 的长为：b 2(b 为短半轴)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace =，)10(，∈e ，e 越大越扁，e 越小越圆焦距：cF F 221=222c b a +=3、椭圆12222=+by a x (0>>b a )的图像中线段的几何特征(如图)：(1)a PF PF 2||||21=+，e PM PF PM PF ==2211，c a PM PM 2212||||=+；(2)a BF BF ==||||21，c OF OF ==||||21，2221||||b a B A B A +=+；(3)c a F A F A -==||||2211，c a F A F A +==||||1221。
2020高三数学一轮复习(人教版文)：第六节双曲线
第六节双曲线2019考纲考题考情1. 双曲线的概念平面内到两定点F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于F 1F 2I)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合 P ={M|||MF i |—|MF 2||= 2a , IF 1F 2E 2c ,其中 a 、c 为常 数且 a >0, c >0}。
(1) 当a v c 时，M 点的轨迹是双曲线。
(2) 当a ^c 时，M 点的轨迹是两条射线。
(3) 当a >c 时，M 点不存在。
希纲要求考題举曙 番甸标签i. TttaiHifJl 的崔戈、几M S A 祖标« fj 程・*]直梵■单的几性」贞也，胃右峠■渐近歿》 匕了外讽咄塔的餐m 嵐用 丄用i 样粧圧结仟韓也怛mis*全国舂11 - 曲倭的请追终〉沁17・仝阳卷1・TMJK 曲就的性庞) M17* feRtt II *2fll? •全H#1 * T 显畑湘线的斯近轨〉].规曲紡的生丸磴住阳2. 艮枷蜻的标弁力IV3, 段曲灿的阳m 几何性硕4一直悄少杞將线的童■关嘉特心附标；数学讥算，汗班想卑扣岭础外挪微知识•小题练基础徴杭理-JICHUU niSHLJJ-l2. 双曲线的标准方程和几何性质•常记结论•1. 双曲线定义的四点辨析(1) 当0<2a<|F i F21时，动点的轨迹才是双曲线。
(2) 当2a = 0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。
⑶当2a = F1F21时，动点的轨迹是以F i, F2为端点的两条射线。
(4) 当2a>|F i F21时，动点的轨迹不存在。
x2 y2一2. 方程m~ n= 1(mn>0)表示的曲线(1)当m>0, n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。
⑵当m<0, n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。
3. 方程的常见设法2 2 2 2(1) 与双曲线字—古=1共渐近线的方程可设为字—古=X沁)。
高考数学一轮复习双曲线的综合问题
3
＜y0＜ .
3
3
答案 （1）A
2 2
（2）设P是双曲线 － ＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝
2
2
5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案 （2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
2020高考数学总复习第七章立体几何课时作业48理含解析新人教A版
课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( B )A.1 2B.23C.33D.22解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，D(0,1,0)，∴A1D→＝(0,1，－1)，A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)．则有⎩⎪⎨⎪⎧A1D→·n1＝0，A1E→·n1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y－z＝0，1－12z＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y＝2，z＝2，∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( D )A.32B.22C.223 D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233. 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233C.324D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2， 设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面PAC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角， 因为OD ＝12BC＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6，则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C. 5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)， ∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC→|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为25.解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝1，则AF→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0.设M(0，y,1)(0≤y≤1)，则EM→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cosθ＝|AF→·EM→||AF→||EM→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y1＋14·14＋y2＋1＝21－y5·4y2＋5.则⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－y4y2＋52＝1－8y＋14y2＋5.令8y＋1＝t，1≤t≤9，则8y＋14y2＋5＝16t＋81t－2≥15，当且仅当t ＝1时取等号． ∴cos θ＝21－y5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小． 解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ，又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ，所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF . 证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz .由已知可得EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)， 设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎨⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)．又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34，又二面角A -FD -B 为锐角， 故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34. 9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面PAD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，PA ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ，故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3，连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE .∴∠AEF ＝∠FED ＝π3.故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23. 设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24. 10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值． 解：(1)取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y－1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°，|z |x －12＋y 2＋z2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧2－2x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角． 因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，又CE⊂平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝22. 在Rt △PAH 中，PH ＝PA 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)． 设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋－22＋12＝13. 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝2，AB ＝4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形EBC沿线段EC折起，形成四棱锥B-AECD.(1)在四棱锥B-AECD中，求证：AD⊥BD；(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120°，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC沿线段EC折起前，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，得三角形BEC沿线段EC折起后，四边形AECD为菱形，边长为2，∠DAE＝60°，如图，取EC的中点F，连接DF，BF，DE，∵△BEC和△DEC均为正三角形，∴EC⊥BF，EC⊥DF, 又BF∩DF＝F，∴EC⊥平面BFD，∵AD∥EC，∴AD⊥平面BFD，∵BD⊂平面BFD，∴AD⊥BD.(2)以F为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°， 又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，32， 故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·x ，y ，z ＝0，AD →·n ＝0，－2，0·x ，y ，z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)，∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝－3，－1，0·1，0，32×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。
2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第五节双曲线课件理新人教A版
[母题变式]
若本例(1)变为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线过点(
2，
2)，则离心率为________． 解析：设xa22－by22＝1的一条渐近线为y＝bax，
∴2＝ba 2.
∴ba＝ 2，
∴e＝ 1＋ba22＝ 3.
答案： 3
1．求双曲线离心率或其范围的常用方法 (1)求a及b或c的值，由e＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去 b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
3．已知双曲线
x2 9
－
y2 16
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________． 解析：由题意知a＝3，b＝4，c＝5，所以||PF1|－|PF2||＝6.
不妨设点P在双曲线右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6.
又PF1⊥PF2. 所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝100. 又(|PF1|－|PF2|)2＝36.
_|_y_|≥__a_，__x_∈__R_
焦点
F1(－_c_，__0_)_，__F_2_(_c_，0)
F1(0_，__－__c_)，__F__2_(0_，c)
几 顶点
何 对称性
性
A1(－__a_，__0_)_，__A_2_(_a，0) A1(0，__－___a_)，__A__2(_0_，a) 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
＝
4 3
，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以此双曲线
的方程为x92－1y62 ＝1.
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
2020年浙江高考数学一轮复习：双曲线
••>必过数材美1.双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白____________ 集合P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |F i F2|= 2c,其中a, c 为常数且a> 0, c>0.(1) 当2a v |F i F21时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当2a = |F i F 2|时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当2a > |F i F21时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程---------------- 2------- 2 -------------------------------------------------/—y2=i(a>0, b> 0)----------- 2 ------- 2--------------------------------------------字-討i(a> 0, b> 0)图形A性质范围x< — a 或x>a, y€ R y w —a 或y> a, x€ R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A i( —a,0), A2(a,0)顶点坐标：A i(0, —a), A2(0 , a)渐近线y=*x y= ±x离心率ce= ", e€ (i ,+s ) a ----a, b, c的关系c2= a2+ b2实虚轴线段A i A2叫做双曲线的实轴，它的长|A i A2| = 2a；线段B i B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B i B2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长［小题体验］2 2 i双曲线x —y2=1的焦距为 __________________________________ •2 2解析：由双曲线—七=1,易知c 2= 3 + 2= 5,所以c = 5,322 2 所以双曲线X-—专=1的焦距为2 5.答案：2 52 22•(教材习题改编)以椭圆^4+yx =i 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为2 2解析：设要求的双曲线方程为 予—令=1(a >0, b >0),2 2由椭圆X += 1 , 4 3得椭圆焦点为(±,0),顶点为(±,0) • 所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0). 所以 a = 1, c = 2, 所以 b 2= c 2— a 2= 3,2所以双曲线标准方程为 X 2— : = 1.2答案：x 2— y = 122f~53. (2018北京高考)若双曲线 y4 = 1(a > 0)的离心率为 玄，贝V a= ________ ,T a > 0, . a = 4. 答案：4••>必过易错关1.双曲线的定义中易忽视 2a < IF 1F 2I 这一条件.若2a =|F 1F 2|，则轨迹是以F 1, F ?为端点的两条射线，若 2a > IF 1F 2I ，则轨迹不存在.2•双曲线的标准方程中对 a , b 的要求只是a >0, b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同.若a > b > 0,则双曲线的离心率 e € (1, 2);若a = b > 0,则双曲线的离心率 e =2;若0<a < b,则双曲线的离心率 e € (• 2,+^ ).2 23.注意区分双曲线中的 a , b , c 大小关系与椭圆中的 a , b, c 关系，在椭圆中a = b + c 2,而在5 4,a 2= 16.解析：由e =：；= a 2+ 4 2~ a双曲线中c2= a2+ b2.4•易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b,当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b［小题纠偏］2 21.设P是双曲线土一士 = 1上一点，F i, F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF i|16 20=9则|PF2|等于____________ .解析：由题意知|PF i|= 9v a+ c= 10,所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|- |PF i|= 2a = 8,故|PF2|= |PF i| + 8= 17.答案：172•以直线y= ±2x为渐近线，且过点（一U3, 2）的双曲线的标准方程为____________解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±. 2x,不妨可设该双曲线的方程为2x2—y2=入因为双曲线过点（一，3, 2）,所以6 —4= = 2，所以双曲线的方程为2x2—y2= 2,2即其标准方程为x2—专=1.2答案：x2—专=1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019金华调研）已知双曲线的一个焦点与圆x2+ y2—4y= 0的圆心重合，且其渐近线的方程为一3x勿=0，则该双曲线的标准方程为（）2 2A.x—y2= 1B.y—x2= 1332 2 2 2C.2L —必=1D.y-—瓦=19 16 16 92 解析：选B 由圆的方程知其圆心为（0,2），故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为鸟—a2器=1（a>0, b> 0），且a2+ b2= 4, ①又知渐近线方程为V3x±y= 0,二；=西，②2 由①②得a 2= 3, b 2= 1 ,•••双曲线方程为y3 — x 2= 1.2 2 2. （2018海口二模）已知双曲线 C :孑一狰=他〉0，b >0）过点（2, 3），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）2A.X- - y 2= 1 -2 2B.x — y= 1 9 32C X 2 — y - = 132 2 D.X y= 1 -3 3 2解析：选C •••实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，•b= tan 60a3. （2018温岭模拟）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,且离心率等于3, 则该双曲线的标准方程为 ______________ ;渐近线方程为 ______________ .2 解析：因为c = 3,所以e = c = 3解得a = 2,所以b 2= 5.所以双曲线的标准方程为 X a 24y5 = 1，其渐近线方程为y = ±25x.24.焦点在x 轴上，焦距为卩且与双曲线y 4-宀1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _________________ .22 2 设所求双曲线的标准方程为 y — H = — X X>0），即X— y = 1,则有4入+匸25,4 X 4 X 2 2所以所求双曲线的标准方程为令—± = 1.5 202 2x -—y - = 1520［谨记通法］求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ,b ,c 的方2 2 2 2程并求出a , b , c 的值.与双曲线字—¥= 1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 p —吉=3,即b =』3a ,T 双曲线2 2 C :予-沪1(a >0,2b >0)过点(2,3),•匸2a —3拿=1，解得a 2= 1 ,•b 2= 3,故双曲线C 的标准方程是=1.解析： 解得X= 5, 答案：⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定 c 的值.考点二 双曲线的定义 重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］2 4已知双曲线X 2— 加1的两个焦点为F l , F 2, P 为双曲线右支上一点. 若|PF i | = 4|PF 2|,则厶F 1PF 2的面积为（）A . 48B . 24C . 12D . 6解析：选B 由双曲线的定义可得1|PF i |— |PF 2|=尹2| = 2a = 2, 解得 |PF 2|= 6,故|PF 1|= 8，又 |F 1F 2|= 10,由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形, 1因此 S A PF 1F 2= Q|PF 1||PF 2|= 24.［由题悟法］应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点 （焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” •若定义中的“绝对值” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支•同时注意定义的转化应用.［即时应用］1.已知F 1, F 2为双曲线C : x 2— y 2= 2的左、右焦点，点 P 在C 上, 则 cosZ F 1PF 2=(1 A _ A .4 4 %2 2双曲线方程可化为》—=1,,|PF 1|— |PF 2|= 2\f2, m 厂 厂由'得|PF 1|= 4迈,|PF 2|= 2最，由余弦定理得cos/ F 1PF 2 =JPF 1|= 2|PF 2||PF 『+ |PF 2|2—尸讦2|2 = 32|PF 1| |PF 2| = 4.2 2|PF 1|= 2|PF 2|,Bl解析：选C.a = b = 2,c = 2.2. (2018余姚期初)已知△ ABC的顶点A, B分别为双曲线器—弋=1的左、右焦点，X.［锁定考向］双曲线的几何性质是每年高考命题的热点. 常见的命题角度有:(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程.［题点全练］角度一：求双曲线的离心率(或范围)2 21. (2016山东高考)已知双曲线 E : j —器=1(a >0, b >0)，若矩形 ABCD 的四个顶点 在E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|，贝U E 的离心率是 2b 2解析：如图，由题意知|AB|=』,|BC|= 2c.a又 2|AB| = 3|BC|,22X 也=3X 2c ,即 2b 2 = 3ac , a.2(c 2— a 2) = 3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2— 3e — 2 = 0,解得e = 2(负值舍去).答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程22. (2018乐清调研)以椭圆X + /= 1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线 方程是2 2 X2— y2= 1(a >0, b >0),则 a = . 4— 1= . 3, a bc = 2，所以 b 2= c 2— a 2= 4- 3 = 1,故所求渐近线方程为 y = ±33/ 0r顶点C 在双曲线上，则|Sin A- Sin B|的值为 sin C解析：由正弦定理知, SBCA = SACB =盔，由双曲线的定义可知，|Sin AinC in B|l|BC|—|AC|| =色=4|AB| = 10= 5.答案:45考点三双曲线的几何性质题点多变型考点多角探明解析：由题意可知所求双曲线方程可设为角度三：求双曲线方程- -3.过双曲线C: {— y «= 1（a >0, b > 0）的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相a b交于点A.若以C 的右焦点为圆心、 半径为4的圆经过A , O 两点（0为坐标原点），则双曲线2 2B.X --y -= 1 7 9- -D 各-y -= 1 1- 4解析：选A 由题意知右顶点为（a,0），不妨设其中一条渐近线方程为 y =-x ，因此可得a点A 的坐标为（a , b ）.设右焦点为 F （c,0），由已知可得 c = 4，且|AF|= 4,即（c — a ）-+ b -= 16,所以有（c — a ）-+ b -= c -,又 c -= a -+ b -,贝U c = 2a ，即 a = - = 2,所以 b -= c -— a -= 4-— 2-= 12,故双曲线- -的方程为―—± = 1.4 12［通法在握］与双曲线几何性质有关问题的解题策略（1）求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条件，将问题转化为关于 a , c 的等式（或不等 式），解方程（或不等式）即可求得.⑵求双曲线的渐近线方程•依据题设条件，求双曲线中a ,b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.（3）求双曲线的方程•依据题设条件，求出 a , b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的 方程.⑷求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长•依题设条件及 a , b , c 之间的关系求解.［演练冲关］- -1. （2018萧山六校联考）已知I 为双曲线C : x -—善=1（a >0, b >0）的一条渐近线，I 与a b 圆F : （x — c ）-+ y -= a -（其中c -= a -+ b -）相交于A , B 两点，若△ ABF 为等腰直角三角形， 则 C 的离心率为（）D.C 的方程为（）- -x y . A — — = 1 4 1 答案：y =解析：选D 由题意可设I的方程为bx+ ay= 0.已知圆F : (x — c)2 + y 2= a 2的圆心为(c,0)，半径为a ,2 2•••I 为双曲线C ：字— y2=1(a >0, b >0)的一条渐近线，I 与圆F : (x — c)2 + y 2= a 2(其中c 2= a 2+ b 2)相交于A , B 两点，△ ABF 为等腰直角三角形，二|AB|= 2a.的距离的取值范围是又(c,0)到 l 的距离 d = |b<2+ 0|2=实：b,」b+ a ca 2= 2b 2.又c 2= a 2 + b 2,. e =c =专.a 2 2 2 x2. (2018 •州调研)设双曲线 孑一 ...b 2+ JAB 1 2= a 2,将|AB|= 2a 代入上式，得 器=1(a >0, b >0)的虚轴长为 2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为解析：因为2b = 2,所以b = 1,所以双曲线的渐近线方程为因为 2c = 2 3,所以 c = 3，所以 a = \f c 2 — b 2= ,2, 令x.3. (2018杭州二中适应2 2)双曲线j — ¥= 1(a > 0, b > 0)上存在一点 P ,与坐标原点0、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则p1c ,双曲线上，所以 2c4a 2釜=1，结合 b 2= c2-a2 及 e=:, 化简得 e 4— 8e2+ 4= 0, 解得e 2= 4+ 2 .3或 e 2= 4— 2 3.因为e > 1,所以e 2= 4+ 2 3，所以 答案：目3+ 1e =叮'4+ 2 3 = 3+ 1.4. (2018安阳二模)已知焦点在2x 轴上的双曲线 X2+ —J = 1,它的焦点 8 — m 4— mF 到渐近线2 2解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线X 2— y 2= 1(a >0, b >0)，它的右焦点a b2 2 2 2 J 缨2= b.而双曲线 —+ — = 1,即 X — y: /b 2 + a 2 8 — m 4 — m 8— mm — 4线bx — ay = 0的距离为(c,0)到渐近1的焦点在答案：y =8 —m> 0,x轴上，则m—4> 0, 解得4v m v 8,它的焦点F到渐近线的距离为.m—4€ (0,2).答案：(0,2)考点四直线与双曲线的位置关系重点保分型考点师生共研［典例引领］2 2设A , B 分别为双曲线 j — ¥= 1(a >0, b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y p^x — 2与双曲线的右支交于 M , N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ，使6M + O N = t"O D ，求t 的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3,T 一条渐近线为 y = b x ，即卩bx — ay = 0.a•••由焦点到渐近线的距离为 , 得 |b© 3得—b 2+ a 2= 3.又T c 2 = a 2+ b 2,「. b 2= 3,2 2•••双曲线的方程为%—y =i.12 3(2)设 M (X 1, y i ), N(X 2, y 2), D(x o , y o ), 贝y X 1+ X 2= tX o ,浙 + y 2= ty o .厂 2 2将直线方程『=爭—2代入双曲线方程 誇—y3 = 1得 x 2— 16 3x + 84= 0,贝U x 1+ x 2= 16 3,屮+ y 2 = _33(X 1+ x 2)— 4 = 12.• t = 4，点D 的坐标为(4 3, 3).［由题悟法］直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为o 的判断.(2) 技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验.［即时应用］已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过A( — 7,5), B( — 1,— 1)两点.(1) 求双曲线C 的方程；2 2(2) 设直线I : y = x + m 交双曲线C 于M , N 两点，且线段 MN 被圆E : x + y — 12x + nX 0 = g y o = 3 ,2 2 x o — y o =1 12 3. 解得 x o = , yo = 3.=0(n € R)三等分，求实数 m , n 的值. 解：⑴设双曲线C 的方程是入2+^y= i ,依题意有所以 P(— 2m , — m).又圆心E(6,0)，依题意k p E =— 1, 故昴=7即m =-2.将m =— 2代入①得x 2— 8x + 7= 0, 解得 x 1= 1, x 2= 7,所以 |MN |= 1+ 12|x 1 — X 2|= 6 2. 故直线I 截圆E 所得弦长为3|MN |= 2 2. 又E(6,0)到直线l 的距离d = 2 2, 所以圆E 的半径R =「2：2 2+—2 2= 10,所以圆E 的方程是x 2+ y 2— 12x + 26= 0. 所以 m =— 2, n = 26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快21. (2018浙江高考)双曲线；3 —寸=1的焦点坐标是()3 A . (— 2, 0), ( 2, 0) B . (— 2,0), (2,0) C . (0, — 2), (0,2)D . (0, — 2), (0,2)2解析：选B •••双曲线方程为 专—y 2= 1,解得入=- 11= 2, 所以所求双曲线的方程是2y 2— x 2= 1.22(2)将 I : y = x + m 代入 2y — x = 1, 得 x 2+ 4mx + (2m 2— 1) = 0,①2 2 2 △= (4m) — 4(2 m — 1) = 8m + 4 > 0.设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), MN 的中点 P(x o , y o ), 则 x 1+ x 2=— 4m , x 1x 2= 2m 2— 1,所以x o =X 1+ X 22 =—2m ,y o = X o + m =— m ,答案：n 165.如图所示，已知双曲线以长方形a 2= 3,b 2= 1且双曲线的焦点在 x 轴上,c = p..；：a 2+ b 2 = \.3 + 1 = 2, •••该双曲线的焦点坐标是(一2,0), (2,0).2 2 2 22. (2018唐山期中联考)已知双曲线 C ：冷―n = l(m >0, n >0)的离心率与椭圆方+=1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为()A . 4x ±3y = 0=0.故选A.2 23. (2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C : X 2 —治=1(a > 0, b >0)的左、右焦点 分别是F i , F 2，正三角形 AF 1F 2的一边AF i 与双曲线左支交于点 B ，且AF i = 4BF 1，则双 曲线C 的离心率为()A ^2?+ 113 , d C.〒+ 1解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(— c,0), A(0, ■. 3c),设B(x ,y),T AF 1= 4BF 1 ,• (— c ,— ：：f 3c)= 4( — c — x ,— y),• x =—乎，y =亠^,代入双曲线方2 29c 3c程可得 磚—216 2= 1, • 9e 4— 28e 2 + 16= 0,二 e =：+ 1c — a32 2 4. (2018义乌质检)设F 1, F 2是双曲线X — y= 1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上,9 16 且满足 |PF 1| |PF 2|= 32,则/ F 1PF 2 =2解析：由题可得，|PF 1|— |PF 2|= 2a = 6, |F 1F 2|= 10.因为 |PF 1| |PF 2|= 32,所以 |PF 1| + |PF 2|2= (IPF 1—|PF 2|)2+ 2|PF 1||PF 2|= 100= |F 1F 2|2,所以 PF 」PF 2,所以/ 卩耐2 =才 所1 1 以 S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 32X ?= 16.B . 3x ±4y = 0C . 4x ±3y = 0 或 3x ±4y = 0D . 4x ±5y = 0 或 5x ±ly = 0解析：选A 由题意知，椭圆中 ---------- 2 a =5,b =4，•椭圆的离心率L;1—b2=,••双曲线的离心率为.r +普=3」m3 •双曲线的4x = ±^x ,即 4x ±3y；S A F 1 PF 2 = ABCD 的顶点A , B 为左、且双曲线过 C , D 两顶点.若|AB|= 4, |BC|= 3,则此双曲线的标准方程为 _______________2 2解析：设双曲线的标准方程为X 2-y 2= 1(a >0, b >0).由题意得B(2,0), C(2,3), a b2•双曲线的标准方程为X 2-y 3 = 1. 2 答案:X 2-y3 = 1两条渐近线于 A , B 两点，则|AB|=(B . 2 3 D . 4.32X 2-— 1的渐近线方程为 y = ±3x ,将x = c = 2代入3得y=±2・3，即A , B 两点的坐标分别为(2,2,3), (2,- 2 3)，所以|AB| = 4 3.2 24 = a 2+ b 2, 4 9a2-1,解得a2=1，b 2= 3,-二保咼考，全练题型做到咼考达标2 2x-+丄=1k -91•“ k v 9”是“方程 25 - k 表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A •方程22. (2018杭州调研)过双曲线x表示双曲线，••• (25 — k)(k — 9)v 0,••• k v 9或 k >解析：选D 由题意知，双曲线3. (2018杭州五中月考)已知F1, F2是双曲线X2-y2= 1(a>0, b> 0)的左、右焦点，过a b2 nA,与右支交于点B，若|AF1|= 2a，/ F1AF2=§，则S A AF1F2_ ( )S A ABF 2 —(F i的直线I与双曲线的左支交于点A. 11 1解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2| - |AF1|= 2a.因为|AF i|= 2a，所以|AF2|= 4a,又/ F i AF 2=牛所以S A AF i F2= i|AF i| |AF2| sin Z F i AF2=舟x 2a x 4a x 乎由双曲线定义可知|BF i|- |BF2|= 2a, 所以|BF i|= 2a + |BF2|, 又|BF i|= 2a+ |BA|，所以|BA|= |BF2|.因为/ BAF2=n,所以△ ABF2为等边三角形，边长为4a,x (4a)2= 4 3a 2,— S A AF 1F 2 2 3a 2 1 故 S^BF ；=4 3a 2=2・2X C： xa b4. （2018浙大附中测试）如图, F i F 2Q 中，l F i F 2|= 2c,所以F i , F 2分别是225. （2018宁波六校联考）已知点F 为双曲线E :字一診=1（a > 0, b > 0）的右焦点，直线 y = kx （k > 0）与E 交于M , N 两点，若 冗 冗IMF 丄NF ，设Z MNF = 3且氏在，£ I 则该双曲线的离心率的取值范围是 （）B . [2,3+ 1] D . [2,3+ 1]解析：选D 设左焦点为F '，令|MF |= r i , |MF ' |=帕 则|NF |=|MF ' |= r 2,由双曲线定义可知 r 2—冷=2a ①，：•点 M 与点N 关 于原点对称，且 MF 丄 NF ,••• |OM|= |ON|= |OF|= c ,「. r 2+ r 2= 4c 2②，由①②得 r i r 2= 2(c 2— a 2)= 2b 2，又知 S MNF = 2S M OF , • $1"= 2 •c 2 sin 2 3, • b 2= c 2 sin所以 S A ABF 2 =2 V法二：如图所示，双曲线 C 的一条渐近线的方程为2所以双曲线的标准方程为y —x 2= 1.4 所以 a = 2,离心率 e = C =¥.a 2 答案：— x 2= 1严4 2 7.若点P 是以A( — 3,0), B(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2+ y 2= 9的一个交点，贝U |PA|+ |PB|= ______ .解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA|— |PB|= 2 5, ① 又 |PA|2+ |PB|2= 36,②联立①②化简得 2|PA| |PB|= 16,所以(|PA|+ |PB|)2= |PA|2 + |PB|2+ 2|PA| |PB|= 52,所以 |PA|+ |PB|= 2 13. 答案：2 132 28. (2018绍兴四校联考)已知双曲线 C ： x 2— b 2= 1(a >0, b >0)的右焦点为 F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ,若2MF = FN ，则双曲线C 的离心率e = __________ ,解析：法一:由2MF = FN 知，= 2.由渐近线的对称性知/ NOF =/ MOF ，即OF为/ NOM 的角平分线，则 cos/ NOM =|OM|= JMF|=-,所以/ NOM =n，/ NOF =Z MOF|ON| |FN | 2 3=才.因为双曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，所以b = tan 才=宁，所以e =£ =二1+ ： 2 =2*33 .2戸 c 2- a 2,^ e 2= 1—1 — sin2 0,•••sin 则;‘¥]•••宀 1^『[2,(3+ 1)2],又T e > 1 ,••• e € [ 2,3 + 1],故选 D. 6. 已知双曲线的一个焦点 F(0, 5)，它的渐近线方程为y =埜x ，则该双曲线的标准方程为 _________________ ;其离心率为 ______________ .2 2解析：设双曲线的标准方程为眷一含=i (a >0, b >0), a 2= 4,由题意得Jalb = 2a 2 +b 2= 5, a = 2bbc点为F (c,0)，因此|FM| =——2^2= b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为 P ，则|FP|=|FM|= b, 1 n又因为 2MF = FN ，所以 |FN| = 2b.在 Rt △ FNP 中，sin / FNP =-，所以/ FNP =」，故在△2 6/ MON = n ，所以/ FON =n ，所以卫=申，所以双曲线C 的离心率e =3 6 a 39.已知双曲线的中心在原点， 焦点F i , F 2在坐标轴上，离心率为，2且过点(4,而), 点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程; (2) 求证：MF 1 MF 2= 0; (3) 求厶F 1MF 2的面积.解：(1) •/ e = 2,则双曲线的实轴、虚轴相等. •••可设双曲线方程为 x 2— y 2=入 •••双曲线过点(4,— 10), • 16— 10=人即入=6. ••双曲线方程为x 2— y 2= 6.(2)证明：设 M n= (— 2^3— 3,— m), M?2= (2 3— 3, — m). 二忒 MF >2= (3 + 2 3) X (3 — 2 3) + m 2=— 3 + m 2, •/ M 点在双曲线上，•- 9— m 2= 6,即卩 m 2— 3= 0, •- MF 1 MF 2= 0.⑶•/△ F 1MF 2 的底边长 |F 1F 2|= 4 3. 由(2)知 m = ± 3.••△ F 1MF 2 的高 h = |m|=S A F 1MF 2= ； X 4,3 X、.：3 = 6.2 2字一存=1(a > 0, b >0)的离心率为.3,点(3, 0)是双曲线的一个顶点.OMN 中,答案:2,3 310.已知双曲线 C :(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A, B,2 2 X y 孑一b ^= 1(a >0, b >0)的离心率为 .3,点(3，0)是双曲线的一个2 2'—y = 1, 3 6联立y=¥x -3 , 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),ntt6 27 则 X i + X 2=— 5, X i X 2=— ~.求 |AB|.顶点，c = 3， a = 3, 2X ⑵双曲线3— 解得c = 3, b = 6,「.双曲线的方程为 2 2 △—y -=i. 3 6 的右焦点为F 2(3,0),•经过双曲线右焦点 F 2且倾斜角为30 °勺直线的方程为 y=^(x - 3). 所以|AB| = /- r 4X 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 2 2 1. (2018暨阳联考)已知双曲线 C : 器=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，过点F 作双 曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足"FP -FP = 3F H T ，则双曲线的离心率为() A. 3 13 C.〒 B . 2 3 D. 13 解析：选C 不妨取渐近线方程为 b x ，则 |FH |= 一产—二 b.因为"FP = 3"if ，所 a a + b 以|FP|= 3b ,设双曲线的右焦点为 F 2,则 |F 2P|= 3b — 2a.因为 cos/ PFF 2=£, |FF 2|= 2c.所以 由余弦定理得：(3b — 2a)2= 4c 2 + 9b 2— 2X 2c X 3b x b ,化简得 2b = 3a.若取 a = 2，贝U b = 3, c c = 13.所以离心率为e = c =亠严. a 2 2. (2018浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； ⑵若直线I : y = kx + 2与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线I D 与y 轴交于M(0, m),求m 的取值范围.解: ⑴•••双曲线 得 5X 2+ 6X — 27= 0.解：(1)设双曲线 2 2 C 的方程为 02—器=1(a >0, b >0). 由已知得，a = 3, c = 2, • b 2= c 2— a 2= 1,2•••双曲线C 的方程为；-y 2= 1.2(2)设 A(X A , Y A ), B(X B ,『B ),将 y = kx + 2代入X - y = 1，得 (1 — 3k 2)x 2-6 2kx — 9 = 1 - 3" 0,2△= 36 (1 — k 尸 0,由题意知 X A + X B = J X A X B =•- Y A + Y B =叫+ 2)+ 叫+ 2) =k(x A + X B )+ 2 2 = 1 — 3^2. • AB 的中点p 的坐标为13—歩,匸3孑. 设直线I o 的方程为：y =- kx + m , k 将点P 的坐标代入直线I o 的方程，得 m = 4 j 2.1 — 3k••Vv k v 1，•— 2v 1- 3k 2v 0.3 --m v — 2\J 2.• m 的取值范围为(—a,— 2 2). 0.• k 的取值范围为 i 3, ⑶由(2)得: X A + X B =解得于＜ k v 1.。
2020高考数学(文)一轮复习课时作业 48双曲线 含解析
D.64－16＝1易知双曲线x 2a 2－y 2b 2(a >0，b >0)的焦点在＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为4，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y24λ＝1，因为双曲线的焦距为λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为山东潍坊模拟]已知双曲线x 2－y 2＝1(a >0，的面积为( )B.15a 2 ．15a 2由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a 中，|F 1F 2|＝4a ，＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝(4a )2＋(2a )2－2×4a ×2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 15a 2.故选B.22________.因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．太原高三模拟]设P 为双曲线x 22－y 22＝1上一点，双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠PF 2F 1＝＝2|PF 2|，∴点P 在双曲线的右支上，＝22，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，又2F 1＝16＋8－322×4×22＝－24.＝c2－1得⎩⎪⎨c2＝2，的方程为x2－y2＝1.B(x2，y2)，kx－2＝0.①直线与双曲线右支交于A，B两点，(1－k2)×(－2)＞0，2，所以1＜k＜ 2. 的取值范围为(1，2)．x＝2k，x x＝2，)2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，.①B (x 2，y 2)，2k3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) 2k (x 1＋x 2)＋2 ，即x 1x 2＋y 1y 2>2， ，即－3k 2＋93k 2－1>0，2222＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6， 3＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9.∴双曲线的方程为全国卷Ⅰ]已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，的直线与C 的两条渐近线的交点分别为MN |＝( )4由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13，则有tan α＝13＝33的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝k，则n＝3k，则双曲线N的离心率在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝3c，再由椭圆的定义得3＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率3－1.双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C的方程，并结合a，b，c的关系，。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第六节 双曲线
一定是双曲线吗?为什么?
提示 不一定.当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;
当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在;
当2a=0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
x2
a2
−
y2
=1(a>0,b>0)
b2
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
b2
32 + 02 =2<|AB|=4,
∴F 的轨迹为以点 A,点 B 为焦点的双曲线的下支.
2
设双曲线方程为 2
−
2
2 =1(y≤-a),
则 2a=2,即 a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
∴焦点 F 的轨迹方程是
2
y2- =1(y≤-1).
3
考点二
双曲线的标准方程
典例突破
例 2.(1)(2023
7.焦点三角形的面积:点P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且
∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为
2
tan
2
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲
线.( × )
2
小值为9.
(2)因为由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2,
所以|PF1|=2|PF2|=4 2,
所以
|1 |2 +|2 |2 -|1 2 |2
cos∠F1PF2=
2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版
即|PC|－|PA|＝2，
因为0<|PC|－|PA|<|AC|，
所以由双曲线的定义，知点P
的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴
长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3， 所以b2＝c2－a2＝9－1＝8. 故所求的轨迹方程为x2－y82＝1(x≤－1)． 答案：x2－y82＝1(x≤－1)
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点，平面内
一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，
所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)， 因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|， 所以M点的轨迹为一条射线． 答案：D
10
2．(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2，0)，(2，0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0，2) 解：因为双曲线方程为x32－y2＝1， 所以 a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在 x 轴上， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3＋1＝2， 即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
37
解：(方法 1)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线， 垂足为 P′，连接 P′F2，
由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b， 所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3.
2020年高考数学(文科)一轮复习 第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系
听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一 常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二 常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题 已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三 圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。
双曲线的定义及其标准方程(2)- 2020年高考数学(文)一轮复习
双曲线的定义及其标准方程（2）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆已知双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）. （1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9，求b 的值；【参考答案】（1）2214y x -=；（2）3. 【试题解析】（1）因为双曲线222:1y x b Γ-=（0b >）的一条渐近线方程为2y x =， 所以2b =，因此，Γ的方程为22:14y x -=. （2）由双曲线定义可得：1222PF PF a -==，又12PF PF ⊥，12PF F △的面积为9， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==， 所以()22221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，故210c =，所以21019b =-=，因此，3b =.【解题必备】（1）在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件12||||||2F PF P a -=的应用，同时应注意双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍去不满足要求的那个；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．（2）在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．①当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，0＜2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹是双曲线， 其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；②当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹是以点F 1，F 2为端点的两条射线；③当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|(a ＞0)时，点M 的轨迹不存在．（3）对于形如：Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况， ①当B ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；②当A ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．利用此种形式的方程可避免讨论．1．方程221()23x y k k k -=∈-+R 表示双曲线的充要条件是 A ．23k k ><-或B ．3k <-C ．2k >D ．32k -<<2． 已知定点()12,0F -，()22,0F ，N 是圆O ：221x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线1．【答案】A【解析】第一种情况：2030k k ->+>且，解得2k >，第二种情况：2030k k -<+<且，解得3k <-，故选A ．【名师点睛】观察题目，要使方程是双曲线，必须使分母的系数一个为正，一个为负.考虑符号时，应将式子前的正负号考虑在内.2．【答案】D【解析】因为N 为1F M 中点，O 为12F F 中点，所以2||2||2F M ON ==，因为P 在线段1F M 的中垂线上，所以1||=||PF PM ， 因此122||||||||22PF PF F M ON -===，即点P 的轨迹是双曲线，故选D. 【名师点睛】根据三角形中位线性质以及中垂线性质得122||||||||22PF PF F M ON -===,再根据双曲线定义得结果.求轨迹方程，一般有以下方法：一是定义法，动点满足圆或圆锥曲线定义；二是直接法，化简条件即得；三是转移法，除所求动点外，一般还有已知轨迹的动点，寻求两者关系是关键；四是交轨法或参数法，如何消去参数是解题关键，且需注意消参过程中的等价性.。
2020年高考数学一轮复习专题10.8椭圆双曲线抛物线的弦长练习(含解析)
第八讲椭圆双曲线抛物线的弦长1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则1212AB x y y=-==-=2.求解弦长的四种方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．考向一直线与椭圆的弦长【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：22184y x+=的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．【答案】见解析【解析】（1）设A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 由椭圆方程知28a =，24b =，所以222c a b =-=所以椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，故直线l 的方程为y ＝x －2将其代入22184y x +=，化简整理得23440x x --=，所以1243x x +=，1243x x =-所以2222212121211282()()2()2()43AB x x y y x x x x x x -+-=-=+-=＝ (2)解法一 根与系数关系法由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0． 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0． 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8，解得k ＝－12． 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)即x ＋2y －8＝0．解法二：点差法设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0． 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12．所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0．【举一反三】1.椭圆x 236+x29=1和点x(4,2)，直线x经过点x且与椭圆交于x,x两点．（1）当直线x的斜率为12时，求线段xx的长度；（2）当x点恰好为线段xx的中点时，求x的方程．【答案】(1)3√10;(2)x+2x−8=0.【解析】(1)直线l的方程为x−2=12(x−4)，即为x=12x，代入椭圆方程x2+4x2=36，可得x=±3√2，x=±3√22．即有|xx|=√(6√2)2+(3√2)2=3√10；(2)由P 的坐标，可得1636+49<1，可得P 在椭圆内，设x (x 1,x 1)，x (x 2,x 2)，则x 1236+x 129=1，①x 2236+x 229=1，②由中点坐标公式可得x 1+x 2=8，x 1+x 2=4，③ 由①−②可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)36+(x 1−x 2)(x 1+x 2)9=0，④将③代入④，可得x xx =x 1−x2x 1−x 2=−12，则所求直线的方程为x −2=−12(x −4)，即为x +2x −8=0． 2．已知椭圆x :x 23+x 2=1内有一条以点x (1,13)为中点的弦xx ，则直线xx 的方程为 .【答案】3x +3x −4=0【解析】设x (x 1，x 1)，x (x 2，x 2)，则x 1+x 22=1，x 1+x 22=1由x ，x 在椭圆上可得x 123+x 12=1，x 223+x 22=1,两式相减可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)3+(x 1−x 2)(x 1+x 2)1=0∴x xx =x 1−x 2x 1−x 2=−(x 1+x 2)3（x 1+x 2）=−23⋅23=−1直线xx 的方程为x −13=−1(x −1)即3x +3x −4=0.考向二 直线与双曲线的弦长【例2】已知双曲线C ： 2212x y -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点,A B，且AB =m 的值； （2）过点()1,2P 作直线l 与双曲线C 交于不同的两点,M N ，若弦MN 恰被点P 平分，求直线l 的方程. 【答案】(1) m=±2 (2) 4x ﹣y ﹣2=0【解析】（Ⅰ）分别设A ，B 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2）由22120x y x y m ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，消y 可得，x 2﹣4mx+2（m 2﹣1）=0， ∴x 1+x 2=4m ，x 1•x 2=2（m 2﹣1），∴|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=16m 2﹣8（m 2﹣1）=8（m 2+1），∴|AB|=43，解得m=±2，（Ⅱ）分别设M ，N 的坐标为（x 3，y 3），（x 4，y 4），可得y 32﹣12x 32=1，y 42﹣12x 42=1， 两式相减，可得（y 3﹣y 4）（y 3+y 4）=12（x 3﹣x 4）（x 3+x 4）， 由点P （1，2）为MN 的中点， 可得x 3+x 4=2，y 3+y 4=4，∴4（y 3﹣y 4）=12×2（x 3﹣x 4），∴k MN =4 经检验0∆>即直线l 的方程为y ﹣2=4（x ﹣1），即为4x ﹣y ﹣2=0 【举一反三】1.已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【答案】3x ＋4y －5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k 3k ＋14k 2－1. ∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k 3k ＋124k 2－1＝3，解得k ＝－34. 当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.解法二： 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1. ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14y 2＋y 1＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.2.过双曲线x 2−x 23=1的左焦点x 1，作倾斜角为x6的直线xx ，其中x ,x 分别为直线与双曲线的交点，则|xx |的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为x 2−x 23=1，所以左焦点x 1（−2，0），因为直线xx 的倾斜角为x 6，所以直线斜率为√33，直线xx 的方程为x =√33(x +2)，代入x 2−x 23=1可得8x 2−4x −13=0,x 1+x 2=12,x 1x 2=−138所以|xx |=√1+13|x 1−x 2|=2√33√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√33√(12)2−4(−138)=3，故答案为3.3．已知双曲线2x 2−x 2=2，则以点x (2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______. 【答案】4x −3x +1=0【解析】设以A （2，3）为中点的弦两端点为P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝6． 又2x 12−x 12=2，①2x 22−x 22=2，②①﹣②得：2（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝（y 1+y 2）（y 1﹣y 2），又由对称性知x 1≠x 2，∴A （2，3）为中点的弦所在直线的斜率k =x 1−x 2x 1−x 2=2（x 1+x 2）x 1+x 2=2×46=43，所以中点弦所在直线方程为y ﹣3＝43（x ﹣2），即4x −3x +1=0．故答案为：4x −3x +1=0．考向三抛物线与直线的弦长【例3】（1）斜率为12的直线经过抛物线28x y =的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则||AB =_______； （2）过抛物线22y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若2512AB =，AF BF <，则AF =____． 【答案】（1）10；（2）56【解析】（1）设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则对于抛物线x 2=8y,焦点弦长12()AB p y y =++因为抛物线的焦点坐标为（0,2），12AB k =，所以直线AB 的方程为12,242即y x x y =+=- 将24x y =-代入抛物线方程，得212640,6,4610从而所以=+=y y y y AB -+=+=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，显然直线AB 的斜率存在，设为1()(0)2y k x k =-≠将直线方程与抛物线方程联立，消去y 得22221(2)04k x k x k -++=①，则21222=k x x k ++因为2122225||()112k AB p x x k +=++=+=，所以224k =，方程①即2121330x x -+= 解得113x =，234x =，故11152326p AF x =+=+= 【举一反三】1．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4，1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|. 【答案】3x －y －11＝0 22303【解析】设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303.2．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 【答案】（1）8 （2）92【解析】(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p .∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.1. 若椭圆x 2+4x 2=36的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为 。
考点48 双曲线的概念、标准方程、几何性质(考点详解)-备战新高考数学一轮复习考点微专题
考点48 双曲线的概念、标准方程、几何性质从近三年高考情况来看，本考点是高考中的热点．预测2021年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.一、双曲线的定义及应用； 二、双曲线的标准方程； 三、双曲线的性质。
【易错警示】(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√双曲线的定义及应用双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当a >c 时，P 点不存在．1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离且不等于零”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．双曲线上的点到焦点的距离常与焦距形成“焦点三角形” .(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．(2)P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.【典例】例1 (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0B ．x 22－y 214＝1(x ≥ 2)C ．x 22－y 214＝1D ．x 22－y 214＝1或x ＝0解析：选D ．当⊙M 与⊙C 1，⊙C 2同时内切、外切时，M 点在y 轴上，∴x ＝0.当⊙M 与⊙C 1内切、与⊙C 2外切时有|MC 2|－|MC 1|＝22＜8，M 为双曲线，2a ＝22，a ＝ 2.当⊙M 与⊙C 1外切，与⊙C 2内切时有|MC 1|－|MC 2|＝22＜8，2a ＝22，即M 轨迹为双曲线．b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，故轨迹方程为x 22－y 214＝1或x ＝0，故选D ．(2)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M在左支上，N 在右支上．若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：选C ．由∠F 2MN ＝∠F 2NM 可知，|F 2M |＝|F 2N |，由双曲线定义可知，|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝42，两式相加得，|NF 1|－|MF 1|＝|MN |＝8 2.(3)设F 1，F 2分别为双曲线C：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B两点，且|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AB |＝4，则△BF 1F 2的面积为________． 解析：∵|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ＝3＋5－4＝4，∴a ＝1，∴|BF 1|＝3， 又|AF 2|2＋|AB |2＝|BF 2|2，∴∠F 2AB ＝90°，∴sin B ＝35，∴S △BF 1F 2＝12×5×3·sin B ＝12×5×3×35＝92.答案：92双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)图形1．求双曲线方程的思路 作判断—根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能↓ 设方程—根据上述判断设标准方程，或设出含其他待定系数的方程↓找关系—根据已知条件，建立方程(组)，求出待定系数↓得方程—解方程(组)，将解代入所设方程2．利用待定系数法求双曲线标准方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)或mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．【典例】例2 (1)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________． 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y 2－13x 2＝1.答案：34y 2－13x 2＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为________．解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，所以|2b |a 2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F (2，0)可得a 2＋b 2＝4，所以b ＝3，即b 2＝3，所以a 2＝1，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 双曲线的性质必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b .(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (3)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 【知识拓展】共焦点的椭圆与双曲线的两个特殊结论结论1 已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)的焦点重合，e 1、e 2分别为C 1、C 2的离心率，则b 22e 21＋b 21e 22＝b 21＋b 22. 解释：此结论反映e 1、e 2、b 1、b 2之间的等量关系，等式左边是两分式之和，分母分别是e 21、e 22，分子分别是b 22、b 21，等式右边是b 1与b 2的平方和．结论2 已知F 1、F 2为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝θ，e 1、e 2分别为椭圆和双曲线的离心率，则1－cos θe 21＋1＋cos θe 22＝2. 解释：此结论反映e 1、e 2、θ之间的等量关系，等式左边是两分式之和，分母分别是e 21、e 22，分子分别是1－cos θ，1＋cos θ.等式右边定值为2.此两个结论在解决以共焦点的椭圆和双曲线为背景的离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题时，可优化解题过程．1．求双曲线离心率或其范围的常用方法(1)求a 及b 或c 的值，由e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求双曲线的渐近线求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b2＝0，得y ＝±ab x .3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝±b a x 的斜率±ba 与离心率e 的关系：e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.【典例】命题点1 | 双曲线的渐近线问题(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A ．2B ．2C ．322D ．2 2解析：选D ．∵e ＝ca＝1＋(ba)2＝2，且a >0，b >0，∴ba ＝1，∴C 的渐近线方程为y ＝±x ， ∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为|4|2＝22，故选D ． (2)(2020·福建厦门一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选B ．设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形， ∴S △ABF ＝S △ABF ′，即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2c ，则|MN |＝2b 2c＝2，即b 2＝c ，∴b ＝2，c ＝4，∴a ＝c 2－b 2＝23，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x ，故选B ．[思维创新]将例(1)变为：若双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的焦点到渐近线的距离是2，则m 的值是( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．4解析：选A ．双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的焦点设为(c ，0)，则焦点到双曲线渐近线y ＝±mx 的距离为mc m 2＋1＝2，又c ＝1＋m 2，∴m ＝2，故选A ． 命题点2 | 离心率问题(1)(2020·广东揭阳一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为( )A ．5－1B ．5＋12C ．32D ．2 解析：选B ．将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b 4a 2⇒y ＝±b 2a ，则2c ＝2b 2a ，即有ac ＝b2＝c 2－a 2，由e ＝c a ，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(舍负)．故选B ． ★(2)(2020·原创冲刺卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝θ，且θ∈[π3，π2)，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，3＋1]B ．[3＋12，＋∞) C ．[3＋12，2) D ．[2，＋∞)解析：选A ．设其左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1，易得∠F 1AF ＝π2，∠ABF ＝∠AF 1F ＝θ∈[π3，π2)，∴|AF 1|＝2c cos θ，|AF |＝2c sin θ，∴2a ＝2c |cos θ－sin θ|，∴e ＝1sin θ－cos θ＝12sin (θ－π4)∈(1，3＋1]，故选A ． [思维创新]将例(2)变为：已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(2，1＋2)D ．(1，1＋2)解析：选B ．若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ⇒b 2＜a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac ＞0⇒e 2－e －2＜0⇒－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B ．。
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C．30a2D．15a2
解析：由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝ ＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
A．1 B.
C．2 D．2
解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为 ＝b＝ ，即c2－a2＝3，又e＝ ＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.
答案：C
3．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率为 ，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()
13．[2018·北京卷]已知椭圆M： ＋ ＝1(a>b>0)，双曲线N： － ＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
解析：解法一如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．
∴ a＋ a＝6，解得a＝ ，∴b2＝9.∴双曲线的方程为 － ＝1，故选C.
答案：C
12．[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C： －y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()
A. B．3
C．2 D．4
解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
∴cos∠F1AF2＝ ＝ ＝ .
∴sin∠F1AF2＝ ，∴S△AF1F2＝ |AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝ ×4a×2a× ＝ a2.故选B.
答案：B
5．[2019·南昌调研]已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝ x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()
A. B．2
C. D．2
解析：由题意，得e＝ ＝ ，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为 ＝2 .故选D.
答案：D
4．[2019·江西联考]已知双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为()
解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为 － ＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为 ＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案：5
7．[2019·太原高三模拟]设P为双曲线 － ＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝2|PF2|，则cos∠PF2F1＝________.
[
11．[2018·天津卷]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析：本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用．
解析：F(－c,0)，A(0，b)，得直线AF：y＝ x＋b.根据题意知，直线AF与渐近线y＝ x相交，联立得 消去x得，yB＝ .由 ＝3 ，得yB＝4b，所以 ＝4b，化简得3c＝4a，离心率e＝ .
答案：
三、解答题
9．若双曲线E： －y2＝1(a＞0)的离心率等于 ，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
解法二双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为 ，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，
联立得方程组
解得 ＝ －1 .
答案： －1,2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ )(kx2＋ )
＝(k2＋1)x1x2＋ k(x1＋x2)＋2
＝ .
又∵ · >2，即x1x2＋y1y2>2，
∴ >2，即 >0，
解得 <k2<3.②
由①②得 <k2<1，
故k的取值范围为 ∪ .
解析：∵|PF1|＝2|PF2|，∴点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝2 ，∴|PF1|＝4 ，|PF2|＝2 ，又|F1F2|＝4，∴由余弦定理得，cos∠PF2F1＝ ＝－ .
答案：－
8．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]已知F为双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若 ＝3 ，则此双曲线的离心率为________．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6 ，求k的值．
解析：(1)由 得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即 所以1＜k＜ .
故k的取值范围为(1， )．
(2)由①得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
[
一、选择题
1．[2019·山西联考]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦距为4 ，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析：解法一易知双曲线 － (a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得 ＝2，因为双曲线的焦距为4 ，所以c＝2 ，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为 － ＝1，故选A.
A. B.
C. D.
解析：由题，结合图知，直线PF2的方程为y＝－ (x－c)，设直线PF2与直线y＝ x的交点为N，易知N ，又线段PF2的中点为N，故P ，因为点P在双曲线C上，所以 － ＝1，即5a2＝c2，所以e＝ ＝ .
答案：C
二、填空题
6．已知双曲线 － ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆 － ＝1的焦距等于4，则n＝________.
∵双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋ ＝4，∴ ＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵ ＝3，∴渐近线方程为y＝± x，
则点A与点B到直线 x－y＝0的距离分别为d1＝ ＝ a，d2＝ ＝ a，又∵d1＋d2＝6，
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝ x，
∴ ＝ .设m＝k，则n＝ k，则双曲线N的离心率e2＝ ＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝ c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即( ＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝ ＝ ＝ ＝ －1.
解析：(1)设双曲线C2的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为 －y2＝1.
(2)将y＝kx＋ 代入 －y2＝1，
得(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠ .①
设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝ ＝ ，所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝ .
则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝ ·tan60°＝3.
故选B.
答案：B
∴|AB|＝ ·
＝2 ＝6 ，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝ 或k2＝ .又1＜k＜ ，∴k＝.
10．已知椭圆C1的方程为 ＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且 · >2，求k的取值范围．
解法二易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－ ＝λ(λ>0)，即 － ＝1，因为双曲线的焦距为4 ，所以c＝2 ，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为 － ＝1，故选A.
答案：A
2．[2019·山东潍坊模拟]已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离为 ，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()