中考数学习题精选：新情景应用型问题

中考数学习题精选：新情景应用研究型问题一、选择题1.（2020年北京海淀区第一学期期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径 答案：D2.（2018北京海淀区二模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中,,,M N S T 四位同学的单词记忆效率y 与复习的单词个数x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是A ．MB ．NC ．SD ．T 答案：C 二、解答题3．（2018北京延庆区初三统一练习）从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测．过程如下，请补充完整.收集数据:从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数如下：千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45永宁镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60整理、描述数据：按如下表整理、描述这两镇空气污染指数的数据：质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．）分析数据：两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示；请将以上两个表格补充完整；得出结论：可以推断出______镇这一年中环境状况比较好，理由为_____________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）解：（1）1，9，2．……1分 （2） 82.5，90．……3分 （3）千家店镇……4分理由：千家店镇污染指数平均数为80，永宁镇污染指数平均数为81.3，所以千家店镇污染指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是4天，永宁镇空气质量为优的天数是1天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6分4.（2018北京西城区九年级统一测试）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．解：（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线l 的函数表达式为y x =．画出的两个函数的图象如图6所示．……………1分2分（2）∵抛物线G ：221y mx mx m =++- (m ≠0)与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,1)C m -．∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--． 对于直线l ：1y mx m =+-(m ≠0)， 当0x =时，1y m =-；当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-．∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线l 上．……………………………………4分 （3）m 的取值范围是m≤m．………………………………………6分5．（2018北京海淀区第二学期练习）在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析.首先，确定自变量x 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，1x 的值会越来越大L ，由此，可以大致画出1y x =在0x >时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y =的图象与性质.通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A ；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；（3）若关于x(1)a x =-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a 的取值范围：___________________________.解：（1）如图：……2分（2）当1x >时，y 随着x 的增大而减小；（答案不唯一）……4分 （3）1a ≥.………………6分6.（2018北京怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：排球109.59.510899.5971045.5 109.5 9.5 10篮球9.5 9 8.5 8.510 9.5 10 8 6 9.5 10 9.5 98.5 9.56整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论(1)如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为人；(2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球项目整体水平较高.你同意的看法，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 解：补全表格：(1)130；…………………………………………………………………………………………4分 (2)答案不唯一，理由需支持判断结论. ………………………………………………………6分7.（2018北京门头沟区初三综合练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的“和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标； ②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图2解：(1)①)5,3()5,1(21C C 或.……………………………………………2分②由图可知，B )3,5( ∵A (1,3) ∴AB =4∵ABC ∆为等腰直角三角形 ∴BC =4∴)1,5()7,5(21-C C 或设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠ 当)7,5(1C 时，⎩⎨⎧=+=+753b k b k ⎩⎨⎧==∴21b k 2+=∴x y …………………………………3分 当)1,5(2-C 时，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ⎩⎨⎧=-=∴41b k 4+-=∴x y …………………………………4分 xy OxyO∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y (2)当点F 在点E 左侧时：2r ∴≤当点F 在点E 右侧时：r7分综上所述：2r ∴≤8分8.（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）B小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数 的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ 与直径AB 所夹的锐角为60 时，PM 的长度约为cm . 解：（1）4； 0.………………2分 （2）………………4分（3）1.1或3.7.9.(2018北京昌平区初一第一学期期末)28.十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加快推进体育强国建设”.为了响应号召，提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD ，当“功夫扇”完全展开时∠COD =160°. 在扇子舞动过程中，扇钉O 始终在水平线AB 上.小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中画出了∠BOC 的平分线OE ，以便继续探究.（1）当扇子完全展开且一侧扇骨OD 呈水平状态时，如图1所示. 请在抽象出的图2中画出∠BOC 的平分线OE ，此时∠DOE 的度数为；（2）“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图1旋转到图3所示位置，即将图2中的∠COD 绕点O 旋转至图4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了∠AOC 和∠DOE 度数之间的关系.图1图2ABCEO图6图7O E DCB A方案一：设∠BOE 的度数为x .可得出1802AOC=x -∠︒，则111809022x=AOC =AOC --︒∠︒∠（）.160DOE=x -∠︒，则160x=DOE -︒∠.进而可得∠AOC 和∠DOE 度数之间的关系.方案二：如图5，过点O 作∠AOC 的平分线OF .易得90EOF=∠︒，即1902AOC+COE=∠∠︒.由160COD=∠︒，可得160DOE+COE=∠∠︒.进而可得∠AOC 和∠DOE 度数之间的关系.参考小华的思路可得∠AOC 和∠DOE 度数之间的关系为；（3）继续将扇子旋转至图6所示位置，即将∠COD 绕点O 旋转至如图7所示的位置，其他条件不变,请问（2）中结论是否依然成立？说明理由．解：（1）如图1. …………………………………………1分∠DOE 的度数为 80°. ……………………2分F图5OEDCBA（2）1702DOE AOC=-∠∠︒.………………………4分（3）不成立. 理由如下：方法一：设∠BOE 的度数为x .可得出1802AOC=x -∠︒，则111809022x=AOC =AOC --︒∠︒∠（）. ……5分160DOE=+x ∠︒，则160x=DOE -∠︒.…………………………6分所以12502DOE+AOC=∠∠︒. ……………………………………7分方法二：如图2,过点O 作∠AOC 的平分线OF .易得90EOF=∠︒，即1902AOC+COE=∠∠︒. ……5分由160COD=∠︒，可得160DOE COE=-∠∠︒. …6分所以12502DOE+AOC=∠∠︒. …………………7分10．（2018北京市石景山区初二期末）周末，老师带同学去北京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图1，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，在四个论断“EA =ED ，EF ⊥AD ，AB =DC ，FB =FC ”中选择三个．．作为已知条件，另一个．．．作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明． F 图2OE DCB A图1已知：如图1，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，． 求证：． 证明： 选择一：已知：如图1，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA =ED ，EF ⊥AD ，AB =CD ． 求证：FB =FC ．⋯⋯⋯⋯1分证明：如图，延长EF 交AD 于点H ⋯⋯⋯⋯2分∵EA =ED ，EF ⊥AD ，∴AH =DH ．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4分 ∵AB =CD∴BH =CH ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ∴EH 垂直且平分线段BC∴FB =FC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） 选择二：已知：如图1，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，FB =FC ，EF ⊥AD ，AB =CD ． 求证：EA =ED ．⋯⋯⋯⋯1分 证明方法同选择一，相应给分．选择三：已知：如图1，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，FB =FC ，EF ⊥AD ，EA =ED ． 求证：AB =CD ．⋯⋯⋯⋯1分证明：如图，延长EF 交AD 于点H ⋯⋯⋯⋯2分∵EA =ED ，EF ⊥AD ，∴AH =DH ．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4分 ∵FB =FC ，EF ⊥AD ，∴BH =CH ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ∴AB =CD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 选择四：方法1已知：如图1，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，FB =FC ，AB =CD ，EA =ED ． 求证：EF ⊥AD ．⋯⋯⋯⋯1分证明：过点F 作FH ⊥AD 于点H ∵FB=FC ，EF ⊥AD ，∴BH =CH ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∵AB =CD ，∴AH =DH ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ∴点F 在AD 的中垂线上． ∵EA =ED ，∴点E 在AD 的中垂线上．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分根据两点确定一条直线EF ⊥AD ．⋯ ⋯⋯⋯6分说明：学生没作辅助线，但是由FB =FC 推得“点F 在BC 的中垂线上”，再由AB =CD 直接推出“点F 在AD的中垂线上”，后面同上，依然得分．方法2：简要思路①连接FA ，FD ，同方法1，证出“点F 在AD 的中垂线上”，从而证出FA =FD ；（或通过全等证明FA =FD ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分②利用SSS 证明△EFA ≌△EFD ，从而∠1=∠2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ③利用等腰三角形的三线合一证得EF ⊥AD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分说明：其他方法酌情给分．11．（2018北京市西城区八年级期末附加题）基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消耗．在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢估算公式，根据体重x （单位：kg ）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗y （单位：Kcal ），且y 是x 的函数．已知六名身高约为170cm 的15岁男同学的体重，以及计算得到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如下表所示：（1）随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗；（填“增大”、“减小”或“不变”） （2）若一个身高约为170cm 的15岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量消耗为1792Kcal ，则估计他的体重最接近于（）； A ．59kgB ．62kgC ．65kgD ．68kg（3）当54≤x ≤70时，下列四个y 与x 的函数中，符合表中数据的函数是（）． A ．2y x =B ．10.51071y x =-+C ．101101y x =+D ．17.5651y x =+解：（1）增大；………………………………………………………………………… 2分（2）C ；…………………………………………………………………………… 4分 （3）D ．…………………………………………………………………………… 6分。