第五章 搜索与回溯算法
回溯算法详解
回溯算法详解
回溯算法是一种经典问题求解方法，通常被应用于在候选解的搜索空间中，通过深度优先搜索的方式找到所有可行解的问题。
回溯算法的本质是对一棵树的深度优先遍历，因此也被称为树形搜索算法。
回溯算法的基本思想是逐步构建候选解，并试图将其扩展为一个完整的解。
当无法继续扩展解时，则回溯到上一步并尝试其他的扩展，直到找到所有可行的解为止。
在回溯算法中，通常会维护一个状态向量，用于记录当前已经构建的解的情况。
通常情况下，状态向量的长度等于问题的规模。
在搜索过程中，我们尝试在状态向量中改变一个或多个元素，并检查修改后的状态是否合法。
如果合法，则继续搜索；如果不合法，则放弃当前修改并回溯到上一步。
在实际应用中，回溯算法通常用来解决以下类型的问题：
1. 组合问题：从n个元素中选取k个元素的所有组合；
2. 排列问题：从n个元素中选择k个元素，并按照一定顺序排列的所有可能；
3. 子集问题：从n个元素中选择所有可能的子集；
4. 棋盘问题：在一个给定的n x n棋盘上放置n个皇后，并满足彼此之间不会互相攻击的要求。
回溯算法的时间复杂度取决于候选解的规模以及搜索空间中的剪枝效果。
在最坏情况下，回溯算法的时间复杂度与候选解的数量成指数级增长，因此通常会使用剪枝算法来尽可能减少搜索空间的规模，从而提高算法的效率。
总之，回溯算法是一种非常有用的问题求解方法，在实际应用中被广泛使用。
同时，由于其时间复杂度较高，对于大规模的问题，需要慎重考虑是否使用回溯算法以及如何优化算法。
回溯法_ppt课件
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
回溯算法
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：
（1） a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；
（2） a[i]-i<=n-r+1。
例如n=5，r=3的所有组合为：
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5
（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5
（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5
（10）3、4、5
则该问题的状态空间为：
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5}
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 12
void write(int a[ ])
{ int i,j;
for (i=0;i<3;i++)
{ for (j=0;j<3;j++)
printf(“%3d”,a[3*i+j]);
printf(“\n”);
深度优先搜索与回溯算法
深度优先搜索与回溯算法深度优先（Depth First Search，简称DFS）和回溯算法是两种常见的算法，它们可以用来解决图和树相关的问题。
尽管它们在一些情况下可能无法找到最优解，但在许多实际应用中都有着广泛的应用。
深度优先是一种常用的遍历算法，其基本原理是从起始节点开始，沿着图的深度遍历到达最深处，然后回溯到上一层节点，继续遍历其他子节点直到所有节点都被访问过为止。
DFS可以用递归或者栈来实现。
在深度优先中，每个节点只能访问一次，避免陷入死循环。
通常，我们需要维护一个访问过的节点列表，以确保不会重复访问。
深度优先的时间复杂度为O(，V，+，E，)，其中，V，表示图中节点的数量，E，表示边的数量。
在最坏的情况下，DFS需要遍历图中的所有节点和边。
深度优先的一个经典应用是在图中查找特定路径。
它也被广泛应用于迷宫问题、拓扑排序、连通性问题等。
回溯算法是一种通过枚举所有可能解的方法来解决问题的算法。
在过程中，如果当前路径无法达到目标，就返回上一层，寻找另一种可能的路径。
回溯算法通常使用递归来实现。
回溯算法通常包含三个步骤：1.选择：在当前节点选择一个可行的选项，并向前进入下一层节点。
2.约束：在进入下一层之前，检查当前节点的状态是否符合要求，即剪枝操作。
3.撤销选择：在下一层节点完毕后，返回上一层节点，撤销当前选择。
通过不断地进行选择、约束和撤销选择，回溯算法可以遍历所有可能的解空间，并找到满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束条件。
在最坏的情况下，回溯算法需要遍历所有的可能解，因此时间复杂度可以达到指数级。
回溯算法的一个经典应用是在数独游戏中寻找解。
它也被广泛应用于组合优化问题、八皇后问题、0-1背包问题等。
总结起来，深度优先和回溯算法是两种常用的算法，它们在图和树的遍历以及问题求解中有着广泛的应用。
深度优先通过遍历到达最深处再回溯，而回溯算法则是通过枚举所有可能解并进行剪枝来寻找解。
回溯算法的基本思想
回溯算法的基本思想回顾法也叫启发式。
回溯的基本方法是深度优先搜索，这是一种组织良好的穷举搜索算法，可以避免不必要的重复搜索。
回溯算法的基本思想是:往前走一条路，可以就往前走，不行就往回走，换一条路再试。
当我们遇到某一类问题时，它的问题是可以分解的，但是我们无法得到一个清晰的动态规划或者递归的解。
这时候可以考虑用回溯法来解决这类问题。
回溯法的优点是程序结构清晰，可读性强，易于理解，通过分析问题可以大大提高运行效率。
但对于可以迭代得到明显递推公式的问题，不宜采用回溯法求解，因为它耗时较长。
对于用回溯法求解的问题，要对问题进行适当的转化，得到状态空间树。
这棵树的每一条完整路径都代表了一个解决方案的可能性。
先用深度搜索这棵树，枚举每一个可能的解；从而得到结果。
但通过构造回溯法中的约束函数，可以大大提高程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，每一个解(不一定是完整的，其实这就是构造约束函数的意义)都在不断地与约束函数进行比较，删除一些不可能的解，这样就不必列出其余的解，节省了一些时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在深度优先搜索中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
利用回溯法解题的具体步骤首先，要通过读题完成下面三个步骤：(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
回溯法ppt课件
1
x1=2
1
3
4
x2=4 123
1
23 4 1 2 3 4
x3=1
2
4
1 23 4
1 2 x4=3 1
3
3 1
4 2
36
例1： n后问题
法2：4后问题的解空间（排历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int i) { if (i>n) output(x);
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
个数的组合。
12 5
要求： 输入：m,n＝5 3 输出：
13 4 13 5 14 5 23 4
23 5
24 5
34 5
Total＝10种
24
例： 排列与组合
分析：
设（x1,x2, ……,xn）一组解 约束条件：
显约束：1≤xi≤m 隐约束：x1＜x2＜ ……＜xn
i≤ xi ≤m－n＋i
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
信息学竞赛中的搜索与回溯算法解析
信息学竞赛中的搜索与回溯算法解析现如今，信息学竞赛已经成为了一个备受瞩目的领域，参与者们通过学习各种算法和技术，来解决各种复杂的问题。
其中，搜索与回溯算法在竞赛中扮演着重要的角色。
本文就来对信息学竞赛中的搜索与回溯算法进行深入解析。
一、搜索算法1.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种非常常用的算法，在信息学竞赛中广泛应用于图的遍历，状态的搜索等问题。
具体过程是从一个起始状态开始，按照某个规则，不断地向前深入，直到无法再继续为止，然后回溯到上一个状态，继续搜索其他可能的路径。
DFS一般使用递归实现，其优点是简单易懂，但是在处理一些特殊情况（如有环图）时可能会遇到问题。
1.2 宽度优先搜索（BFS）宽度优先搜索是另一种常用的搜索算法，在信息学竞赛中也经常被使用。
其核心思想是从一个起始状态开始，依次拓展所有的邻居节点，再依次拓展邻居的邻居节点，直到找到目标状态或者所有状态都遍历完为止。
BFS一般使用队列实现，其优点是能够找到最短路径，并且不会陷入无限循环的情况。
二、回溯算法回溯算法是一种经典的搜索算法，也常常用于信息学竞赛中。
其核心思想是通过递归的方式试探所有的可能性，当遇到无法继续前进的情况时，就进行回溯到上一个状态，继续搜索其他可能的路径。
因此，回溯算法一般结合递归使用。
2.1 全排列问题全排列是指将一组元素进行全面的排列。
例如，对于集合{1,2,3}，其全排列为{1,2,3}，{1,3,2}，{2,1,3}，{2,3,1}，{3,1,2}，{3,2,1}。
回溯算法可以解决全排列问题，具体实现如下：①选择一个起点（一般从第一个元素开始）；②将该起点与后续的所有元素进行交换，得到一个新的排列；③递归地处理剩下的元素，重复步骤②，直到遍历完所有元素；④当无法再前进时，进行回溯，将交换的元素恢复原位，继续处理其他可能的路径。
2.2 子集问题子集问题是指对于一个集合，找出所有可能的子集。
回溯算法同样可以解决子集问题，具体实现如下：①初始化一个空集合，作为最终结果的一个元素；②逐个遍历原始集合的每个元素，对于每个元素，都有两种情况：将其加入最终结果，或者不加入最终结果；③递归地处理剩下的元素，重复步骤②，直到遍历完所有元素。
计算机算法设计与分析(王晓东) 第5章 回溯法
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
5
生成问题状态的基本方法
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变 成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前，它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态， 要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际 上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具 有限界函数的深度优先生成法称为回溯法
}
18
n后问题
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象 棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线 上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任 何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
1 2 3 4 5 6 7 8 Q Q Q Q Q Q Q
void backtrack (int i) {// 搜索第i层结点 if (i > n) // 到达叶结点 更新最优解bestx,bestw; return; r -= w[i]; if (cw + w[i] <= c) {// 搜索左子树 x[i] = 1; cw += w[i]; backtrack(i + 1); cw -= w[i]; } if (cw + r > bestw) { x[i] = 0; // 搜索右子树 backtrack(i + 1); } r += w[i];
第5章 搜索与回溯算法(C 版)
【参考程序】
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[10001]={1},n,total; int search(int,int); int print(int); int main() {
int print();
//输出方案
int main() {
cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
//输出方案总数
int search(int k) {
int i; for (i=1;i<=n;i++) if (!b[i])
（r<n），试列出所有的排列。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int num=0,a[10001]={0},n,r;
bool b[10001]={0};
int search(int);
//回溯过程
{
for (int j=0;j<=3;j++)
//往4个方向跳
if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4
&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8)//判断马不越界
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤回溯算法的步骤回溯算法是一种通过穷举所有可能的解来求解问题的算法。
它通常用于求解组合优化问题、排列问题和子集问题等。
下面我们将介绍回溯算法的步骤。
1. 定义问题在使用回溯算法之前，需要先定义好要解决的问题。
例如，如果要求解一个排列问题，那么就需要确定排列中元素的个数和范围。
2. 确定状态空间树状态空间树是指所有可能解的集合。
在回溯算法中，状态空间树通常用于表示所有可能的决策路径。
例如，在排列问题中，每一个节点代表一个元素被选中或未被选中。
3. 确定约束条件约束条件是指限制解决方案可行性的条件。
在回溯算法中，必须遵守约束条件才能得到有效的解决方案。
例如，在排列问题中，每个元素只能出现一次。
4. 确定搜索顺序搜索顺序是指按照什么顺序遍历状态空间树。
在回溯算法中，搜索顺序通常有两种：深度优先搜索和广度优先搜索。
5. 编写递归函数递归函数是实现回溯算法最重要的部分。
递归函数的作用是遍历状态空间树，找到所有可行的解决方案。
在编写递归函数时，需要考虑以下几个方面：（1）确定终止条件：当搜索到状态空间树的叶子节点时，需要确定终止条件，返回当前路径是否符合要求。
（2）确定回溯条件：当搜索到某个节点时，如果发现该节点不符合约束条件，则需要回溯到上一个节点。
（3）确定状态变化：在搜索过程中，需要记录每个节点的状态变化。
例如，在排列问题中，需要记录哪些元素已经被选中。
6. 调用递归函数最后一步是调用递归函数，并将初始状态作为参数传入。
在调用递归函数之后，程序会自动遍历状态空间树，并找到所有可行的解决方案。
总结回溯算法是一种常见的求解组合优化问题、排列问题和子集问题等的算法。
它通过穷举所有可能的解来求解问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在使用回溯算法时，需要先定义好要解决的问题，并按照上述步骤进行操作。
信息学竞赛中的搜索与回溯算法
信息学竞赛中的搜索与回溯算法在信息学竞赛中，搜索与回溯算法起着重要的作用。
这些算法通过遍历可能的解空间来寻找最优解，解决了许多实际问题。
本文将介绍搜索与回溯算法的基本原理、应用场景以及算法的优化方法。
一、搜索算法搜索算法通常用于在给定的搜索空间中查找目标解。
常见的搜索算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和启发式搜索等。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索从根节点开始，沿着一条路径直到达到叶子节点或目标节点为止，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。
DFS算法非常适用于解决问题的完整解存在于较深路径的情况，例如迷宫问题、八皇后问题等。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索从根节点开始，逐层扩展搜索，直到找到目标解或者搜索空间被完全遍历。
BFS算法适用于解决问题的完整解存在于较浅路径的情况，例如最短路径问题、迷宫最短路径问题等。
3. 启发式搜索启发式搜索通过使用启发函数来评估搜索的方向和选择。
它常用于解决复杂问题，如人工智能、路径规划等。
A*算法是一种常见的启发式搜索算法，它通过估计从当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点。
二、回溯算法回溯算法是一种通过不断尝试所有可能解的方法，直到找到满足条件的解或遍历所有可能解的算法。
它常用于组合优化问题、排列问题等。
回溯算法的基本思想是通过逐步构建解空间，并在每一步选择一个可能的解，继续向下搜索。
如果当前选择导致无法满足条件，就回溯到上一步，尝试其他的选择。
回溯算法的典型应用包括全排列问题、子集问题和图的着色问题等。
它在信息学竞赛中广泛应用，可以有效地解决各种组合问题。
三、搜索与回溯算法的优化在实际应用中，搜索与回溯算法可能会面临解空间过大、搜索耗时长的问题。
为了提高算法的效率，可以采取以下优化方法。
1. 剪枝剪枝是指在搜索过程中，通过一些条件判断来减少搜索的路径，以避免不必要的计算。
剪枝可以根据问题的特点设计，例如对于排列问题，可以通过检查当前选择是否合法来剪枝。
人工智能导论-第5章 搜索求解策略
4
第5章 搜索求解策略
5.1 搜索的概念 5.2 状态空间的搜索策略 5.3 盲目的图搜索策略 5.4 启发式图搜索策略
5
节点, 深度相等的节点按生成次序的盲目搜索。
特点：扩展最深的节点的结果使得搜索沿着状态空间某条
单一的路径从起始节点向下进行下去；仅当搜索到达一个没 有后裔的状态时，才考虑另一条替代的路径。
2023/12/14
Char 5. pp.34
5.3.3 深度优先搜索策略
算法：
防止搜索过程沿着无益的 路径扩展下去，往往给出一 个节点扩展的最大深度—— 深度界限； 与宽度优先搜索算法最根 本的不同：将扩展的后继节 点放在OPEN表的前端。 深度优先搜索算法的OPEN 表后进先出。
O ：操作算子的集合。
S 0：包含问题的初始状态是 S 的非空子集。
G ：若干具体状态或满足某些性质的路径信息描述。
15
5.2.1 状态空间表示法
求解路径：从 S 0 结点到 G 结点的路径。
状态空间解：一个有限的操作算子序列。
S0 O1 S1 O2 S 2 O3 Ok G O1,, Ok ：状态空间的一个解。
Q [q1, q2 ,, qn ]T
操作：表示引起状态变化的过程型知识的一组关 系或函数：
F { f1, f 2 ,, f m}
14
5.2.1 状态空间表示法
状态空间：利用状态变量和操作符号，表示系统或 问题的有关知识的符号体系，状态空间是一个四元 组：
(S , O, S0 , G)
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
回溯算法
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的
上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
演示
一、回溯的概念
像走迷宫这样，遇到死路就回头的搜索思路
就叫做“回溯”。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到
达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
二、回溯的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成 的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn） ∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组 中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足 D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分 量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…， n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元组为问题P的一个解。
骑士遍历
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
node、扩展节点）。 从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新 节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
回溯算法
回溯算法回溯算法是程序设计中最重要的基础算法之一，也是搜索算法中的一种控制策略，回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，选择另外一条路再走。
它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优先搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。
回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。
一、回溯算法说明1.算法定义回溯算法是搜索算法中的一种控制策略。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯算法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
回溯算法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯算法。
2.算法描述回溯算法描述如下：procedure run（当前状态）；vari：integer；beginif当前状态为边界then beginif 当前状态为最佳目标状态then记下最优结果；exit；{回溯}end；{then}for i←算符最小值to 算符最大值dobegin算符i作用于当前状态，扩展出一个子状态；if (子状态满足约束条件) and (子状态满足最优性要求)then run(子状态)；end；{for}end；{run}二、经典例题分析[问题描述]八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。
该问题由19世纪著名的数学家高斯于1850年提出：在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
高斯认为有76种方案。
搜索与回溯算法讲解
搜索与回溯算法回溯算法 (2)一、回溯法的思想 (2)二、实现要点 (2)三、应用举例 (2)【例1】马的遍历 (2)【例2】选书 (5)四、回溯典型例子 (7)【例1】八皇后问题 (7)【例2】骑士遍历问题 (12)五、递归中体现回溯 (15)【例1】走迷宫问题 (15)搜索算法 (19)一、深度优先搜索 (19)二、广度优先搜索 (29)回溯算法一、回溯法的思想在求解一些问题（如走迷宫、地图着色等问题）时，题目的要求可能是求出原问题的一种或所有可能的解决方案。
这类问题的解往往是由一个一个的步骤或状态所构成的，每一步骤又有若干种可能的决策方案；由于没有固定、明确的数学解析方法，往往要采用搜索的做法，即从某一个初始状态出发，不断地向前（即下一个状态）搜索，以期最终达到目标状态，从而得到原问题的一个解或所有的解。
在搜索的过程中，由于问题本身及所采取的搜索方法的特点（如在缺乏全局及足够的前瞻信息的情况下进行搜索等），会导致走到某一状态就走不下去的情况，这时，就必须回头（即回到上一步，而不是回到最初的状态），再尝试其他的可能性，换一个方向或方法再试试。
这样，不断地向前探索、回溯，再向前、再回溯，直至最终得出问题的解，或者一路回溯到出发点（出现这种情况即表示原问题无解）。
注意，这种搜索过程并不是尝试搜索问题解空间中所有的可能状态和路径，而是采用深度优先的方式，沿着一条路径，尽可能深入地向前探索。
二、实现要点由于回溯法是一种搜索方法，而且是一种深度优先式的搜索算法，在搜索过程中，前进和回退交织进行，因而，必须有适当的手段和机制来已经走过的状态，以便在发生回溯时能够回退到上一步，再选择与上一步不同的方向继续探索下去。
要满足回溯过程中对状态进行记录的要求，最好的数据结构便是堆栈了，它与回溯时只回退到上一步非常吻合。
（在具体实现时，栈又可以采用数组、链表等结构来实现。
）此外，还要有适当的数据结构来表示整个问题的可能解空间，以及在每一步（每一状态）时可能的选择。
dfs 和回溯算法
dfs 和回溯算法
深度优先搜索（DFS）和回溯算法是两种常用的搜索和遍历算法。
深度优先搜索（DFS）是一种用于搜索和遍历图或树的算法。
它从一个起始顶点开始，沿着一个路径尽可能远地搜索，直到到达不能继续搜索的节点，然后返回并尝试其他路径。
在搜索过程中，DFS使用一个栈来记录已经访问的节点，并在回溯时返回到上一个节点。
DFS通常使用递归或栈来实现。
回溯算法是一种通过试错的方式来搜索和求解问题的算法。
它尝试在解空间中搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，以忽略那些不可能得到正确解的路径。
回溯算法通常使用递归来进行问题的求解，通过不断地尝试不同的选择和条件，直到找到满足问题要求的解或者无法找到解为止。
DFS和回溯算法在实际应用中常常结合使用，特别是在求解组合优化问题、图遍历和搜索等领域。
它们的共同特点是都基于搜索空间，通过深度优先的方式进行搜索和回溯。
在编程实现时，可以通过递归或显式地使用栈等数据结构来实现DFS和回溯算法。
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procedure Search(t:integer); var j:integer; begin for j:=1 to 8 do if b[j] and c[t+j] and d[t-j] then begin a[t]:=j; b[j]:=false; c[t+j]:=false; d[t-j]:=false; if t=8 then print else Search(t+1); b[j]:=true; c[t+j]:=true; d[t-j]:=true; end; end; BEGIN fillchar(b,sizeof(b),#1); fillchar(c,sizeof(c),#1); fillchar(d,sizeof(d),#1); sum:=0; Search(1); END.
【算法分析】 显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇 后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列 上，则列号相同；如果同在／ 斜线上的行列值之和相同；如果同在＼ 斜线上的 行列值之差相同；从下图可验证：
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １ ｜ ／ ２ ＼ ｜ ／ ３ ＼ ｜ ／ ４ ＼ ｜ ／ ５ － － － ▲ － － － － ／ ｜ ＼ ６
【例3】任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n 的自然数之和。
当n=7共14种拆分方法： 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+3 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+2+3 7=1+1+5 7=1+2+2+2 7=1+2+4 7=1+3+3 7=1+6 7=2+2+3 7=2+5 7=3+4 total=14
第五章 搜索与回溯算法
搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据 某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。 回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得 问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一 旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探 索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。 如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步 步向前试探前进,如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走， 这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该 方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向 是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此 原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口 处无解为止。
【例1】素数环:从1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素 数。
【算法分析】 非常明显，这是一道回溯的题目。从1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法： 与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和 是否素数。 【算法流程】 1、数据初始化； 2、递归填数：判断第J种可能是否合法； A、如果合法：填数；判断是否到达目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填 下一个； B、如果不合法：选择下一种可能； 【参考程序】 program ex5_1;框架[一] var a:array[0..20]of integer; b:array[0..20]of boolean; total:longint; function pd(x,y:integer):boolean; //判断素数 var k,i:integer; begin k:=2; i:=x+y; pd:=false; while (k<=trunc(sqrt(i)))and(i mod k<>0) do inc(k); if k>trunc(sqrt(i)) then pd:=true;
【例2】设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列 （r<n），试列出所有的排列。 解法一： program ex5_2; 框架[一] VAR s: set of 1..100; n,r,num:integer; a:array [1..100] of integer; PROCEDURE print; //输出方案 var i:integer; begin num:=num+1; for i:=1 to r do write(a[i]:3); writeln; end;
／ ７ ８ ／ ｜ ｜ ＼ ＼
考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组Ａ[1..8]表示皇后的放置：第ｉ 行皇后放在第ｊ列，用Ａ[i]＝j来表示，即下标是行数，内容是列数。例如： A[3]=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。
判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数 组ｂ[1..8]控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标 之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组ｃ[1..16]、ｄ[-7..7]控制同一对 角线上只能有一个皇后。 如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的 绝对值相同。在这种方式下，要表示两个皇后I和J不在同一列或斜线上的条件可 以描述为：A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I和J分别表示两个皇后的行 号} 【参考程序】 program ex5_4; var a:array[1..8] of integer; b:array[1..8] of boolean; c:array[1..16] of boolean; d:array[-7..7] of boolean; sum:integer; procedure print; var i:integer; begin inc(sum);writeln(' sum=',sum); //方案数累加1 for i:=1 to 8 do write(a[i]:4); //输出一种方案 end;
PROCEDURE Search(k:integer); VAR i:integer; begin for i:=1 to n do if i in s then begin a[k]:=i; s:=s-[i]; if k=r then print else Search(k+1); s:=s+[i]; end; end; BEGIN write('Input n,r:');readln(n,r); s:=[1..n];num:=0; Search(1); writeln('number=',num); END.
//回溯过程
//判断i是否可用 //保存结果 //从s集合中删除i
//把i放回s集合中
//输出方案总数
解法二： program ex5_2; 框架[二] type se=set of 1..100; var s:se; n,r,num,k:integer; a:array [1..100] of integer; PROCEDURE print; //输出方案 varnum+1; for i:=1 to r do write(a[i]:3); writeln; end; PROCEDURE Search(s:se;k:integer); //回溯过程 VAR i:integer; begin if k>r then print else
【例4】八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后 都不能互相吃。（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意 棋子。） 放置第ｉ个(行)皇后的算法为： procedure Search(i)； begin for 第i个皇后的位置=1 to 8 do； //在本行的8列中去试 if 本行本列允许放置皇后 then begin 放置第i个皇后； 对放置皇后的位置进行标记； if i=8 then 输出 //已经放完个皇后 else Search(i+1)； //放置第i+1个皇后 对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行； end； end；
递归回溯法算法框架[一] procedure Search(k:integer); begin for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 if 到目的地 then 输出解 else Search(k+1); 恢复：保存结果之前的状态{回溯一步} end; end; 递归回溯法算法框架[二] procedure Search(k:integer); begin if 到目的地 then 输出解 else for i:=1 to 算符种数 Do if 满足条件 then begin 保存结果 Search(k+1,参数表); end; end;
procedure print; //输出方案 var j:integer; begin inc(total); write('<',total,'>:'); for j:=1 to 20 do write(a[j],' '); writeln; end; procedure Search(t:integer); //回溯过程 var i:integer; begin for i:=1 to 20 do //有20个数可选 if pd(a[t-1],i)and b[i] then //判断与前一个数是否构成素数及该数是否可用 begin a[t]:=i; b[i]:=false; if t=20 then begin if pd(a[20],a[1]) then print;end else Search(t+1); b[i]:=true; end; end; BEGIN fillchar(b,sizeof(b),#1); //b数组赋初值为True total:=0; Search(1);write('total:',total); //输出总方案数 END.