回溯算法PPT课件
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算法分析与设计回溯法ppt课件
问题求解的方法
硬性处理法
– 列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 – 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
– 实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
这种以深度优先方式搜索问题的解的方法称为 回溯法
回溯法思想
第一步：为问题定义一个状态空间(state space)。这 个空间必须至少包含问题的一个解
第二步：组织状态空间以便它能被容易地搜索。典型 的组织方法是图或树
第三步：按深度优先的方法从开始结点进行搜索
– 开始结点是一个活结点（也是 E-结点：expansion node） – 如果能从当前的E-结点移动到一个新结点，那么这个新结点将
权衡：限界函数生成结点数和限界函数 本身所需的计算时间
效率分析
效率分析中应考虑的因素
– （1）—（3）与实例无关 – （4）与实例相关
有可能只生成O(n)个结点，有可能生成 几乎全部结点
最坏情况时间
– O(p(n)2n)，p(n)为n的多项式 – O(q(n)n!)，q(n)为n的多项式
Monte Carlo效率估计（1）
解空间
隐式约束描述了xi必须彼此相关的情况， 如0/1背包问题中的背包重量M
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法求解的经典问题（2） 子集和数问题
回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯PPT课件
第 5 章 回溯
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
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01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
17
2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
算法设计与分析课件--回溯法-图的m着色问题
4
5
C
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
X3=3
D
9
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
A
AA
A
A X1=1
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
B X2=2
4
5
X2=2
C
X2=2
C
C X3=3
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
7
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
2
3
X1=1
X1=1
B
B
X2=2
4
5
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
8
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
A
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
X2=2 X2=2
A
X1=1
2
3
B
X2=2 X2=3
4
5
C
X3=3
G
X3=2
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
D
X4=1
E
X5=3
F
H
X4=1
回溯法ppt课件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
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排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
第7讲-回溯法
– 解的表示：假定第i个皇后放在第i行，用4-元组 (x1,x2,…,x4)表示解，其中xi表示放置皇后i的列号。
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
– 显示约束:Si=(1,2,3,…4),1i4 – 隐示约束：没有两个xi(1i4)可以相同（在不同的
列上），且没有两个皇后在同一斜对角线上。
０
１
５
２
应用举例
a
b
c
f
d
e
应用回溯法求解3着色问题； 应用回溯法求解哈密顿回路问题。
两种形式的问题的解
问题的解是所搜索集合的子集，以达到某种优 化目标
问题的解是所搜索集合中元素的一个排列，以 达到某种约束要求
回溯法可以很方便地遍历一个集合的所有子集 或所有的排列
子集树
当问题是需要求n个元素的子集，以便达到某种优化
目标时，我们可以把这个解空间组织成一棵子集树。
若Si的大小为k，则有kn个子集。当n很大时，解空间 将非常巨大。
x1 第1层
S2 第2层
……
……
S1
S2 ……
……
第n层
Sn ……
子集树的回溯法伪码
Backtrack(i) 递归描述
1 if i > n then update(x)
2 else
７
×××× ×
××
１２３４ １
３４
８
××
１２
问题举例
子集和数问题：已知n+1个正整数： w1,w2,…,wn和M，要求找出wi的和数等于 M的所有子集。
– 解的表示1：用其和数为M的wi的下标来表示解向 量。则可以用k-元组(x1,x2,…,xk)来表示解,1kn。 不同的解可以是大小不同的元组。
3 for each a ∈Si do
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法——回溯法
算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。
⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。
回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。
算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。
如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。
否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。
问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。
例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。
例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。
通常将解空间组织成树或者图的形式。
例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。
解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。
从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。
例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。
回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。
回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。
回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。
其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
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6
Backtrack(i+1)
7
xi ↔xj
16
剪枝函数
剪枝函数一般有两种:约束函数和限界函数 利用剪枝函数,剪除无效的分支,集中搜索最有用的分
支. 为了改进搜索,应用回溯法至少需要注意以下四点: ✓ 怎样选择约束函数. ✓ 怎样计算上界 (对最大化问题) ✓ 怎样计算下界 (对最小化问题) ✓ 怎样利用约束函数和限界函数来进行剪枝.
因此对扩展节点i进行剪枝.
.
L
18
通常, 极小值问题, 我们对扩展节点 i计算下界 B(i). 如果目前保存的最大目标函数值不比 B(i)大, 那么进 行剪枝，否则继续.
R i B(i)
从根节点R 到叶子 L 通过 i的任一决 策序列的目标函数值不能比B(i)小, 所以如果 B(i) ≥bestc, 那么它表明搜 索扩展节点 i 不会成功, 因此对扩展
回溯法列举出解空间中所有可能的情形来确保解的 正确性
5
假设我们已经确定部分解的集合 (x1,x2,…,xi) ,在此基 础上通过增加解元素 xi+1来扩展解,确定xi+1的值后, 我们要测试(x1,x2,…,xi+1)是否仍是可行解.
回溯算法的基本步骤如下 1. 定义问题的解空间. 这个空间必须包含一个问题的 最优解. 解的空间 如果Si 是 xi的范围, 那么 S1 × S2 × ... × Sn 是问题的 解空间
6
通常这个解空间是非常巨大的, 所以搜索一个目标解 的代价是很难想象的. 为了使回溯算法更有效率,我 们必须缩小搜索空间. 2.组织好解空间以便使搜索更容易 典型的组织方式是利用图或树的结构. 3.以深度优先方式搜索解空间，利用剪枝函数来避 免搜索进入不可能得到解的子空间.
7
解空间树(Solution Space Tree)
排列树
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排列树(Permutation tree)
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Program Template for Permutation tree
Backtrack(i)
1 if i>n then Update(x)
2 else
3 for j←i to n do
4
xi ↔xj
5
if C(i) and B(i) then
2
术语
一棵由节点构成的树. 有3个节点被用到
根节点 (开始节点) 内部节点 活动节点 扩展节点
死节点
叶子节点
回溯算法可以看作是为了找 某个特定的叶子节点而进行 系统搜索的一种方法
3
术语(Terminology)
在一棵树中,非叶子节点是其他一个或更多节点的父 节点 (它的子节点)
树中的每个节点(除了根节点) 都有一个父节点
节点i进行剪枝.
L
19
1.货箱装载问题
问题 给定n个货箱,货箱i 重为 wi. 船可以装载的货箱总重量 为 W. 货箱装载问题是在不使船翻的前提下装载尽可能多 的货箱.
解空间 假设解可以由向量 (x1,x2,…,xn)表示, xi∈{0,1}, xi =1 表示货箱 i 被装上船, xi =0表示货箱 i 不装上船.
20
货箱装载问题可以形式地描述如下:
n
max wi xi i 1
解空间树
有 2n 个叶子的子集树
在第 j层， 节点的展开由 xj+1的值决定.
21
Subtree: n=4
父节点
通常 我们都从下 画树.根节点在顶 部
子节点
parent children
4
回溯的思想 回溯是穷举方法的一个改进, 它在所有可行的选择中， 系统地搜索问题的解. 它假定解可以由向量形式 (x1,x2,…,xn) 来表示, 其中xi的值表示在第i次选择所作 的决策值,并以深度优先的方式遍历向量空间,逐步确 定xi 的值，直到解被找到.
回溯法可以很容易地被用来搜索一个集合的所有子 集合或是排列..
9
当我们要解决的问题是要求一个使问题最优的n个元 素的子集, 问题的解空间常可以组织成一棵子集树
构造所有的子集 n个元素的集合有多少个子集? 如果每个 Si 的大小是 k, 对每个 xi∈Si ,共有 kn 个子 集
子集树
10
子集树(Subtree)
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通常, 对极大值问题, 我们对扩展节点 i计算上界 B(i). 如果目前保存的最大目标值不比 B(i)小, 那么进行剪 枝，否则继续.
R i B(i)
从根节点R通过 i 到叶子 L的任 一决策序列的目标函数值不能比 B(i)大,所以如果 B(i)≤bestc, 那么它 表明搜索扩展节点 i 不会成功,
Backtrack(i)
1 if i>n then Update(x)
2 else
3 for each a∈Si do
4
xi← a
5
if C(i) and B(i) then1)
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当问题是求n个元素一个排列以使问题最优化时, 解 空间常可以组织成一棵排列树.
构造所有的排列 n个元素的集合有多少种的排列? n!
回溯算法
进行系统搜索的一种方法 尽可能的利用剪枝技术
回溯(Backtracking)
介绍 假如你要在许多不同的选择中做一系列的决策, 那么
你没有足够的信息来帮助做出选择 每个决策都将产生一些新的选择 一些决策的序列(可能不只一个)也许就是问题的解
回溯算法系统的尝试搜索各种决策序列, 直到 找到一个令你满意的决策序列
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子集树的程序模版(Program Template for Subtree)
Backtrack(i)
1 if i>n then Update(x)
2 else
3 for each a∈Si do
4
xi← a
5
if C(i) and B(i) then
6
Backtrack(i+1)
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子集树(Subtree)
dead end
?
dead end
dead end
?
start
?
?
dead end
dead end
?
success!
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解空间的组织(Tree Organization Of Solution Space)
任何时候,在构造问题解的时候, 一系列的决策, 如果 我们将做出的决策画出来,这个图都包含做出就像一 棵树.建立一个树型结构, 使得树叶对应解空间的一 个解,而内部节点的一个分支,对应一个决策,这样,便 可以将解空间组织为一棵解空间树.