第5章回溯法PPT课件
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回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第5章_回溯法
深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R， 一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。 在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后， 将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如 果存在）
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死 结点之前，它一直是扩展结点。 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题 状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问 题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回 溯法。
例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题， 其解空间由长度为n的0-1向量组成。
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 基本概念：
扩展结点：一个正在产生儿子的结点 活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的 节点
死结点：一个所有儿子已经产生的结点
的可行解x进行记录或输出处理.
else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { // 函数f和g分别表示在当前扩
展结点处未搜索子树的起止编号. x[t]=h(i); //h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值
if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } //for循环结束后, 已搜索遍当前扩展结点的所有未搜索子树. } //Backtrack(t)执行完毕, 返回t-1层继续执行, 对未测试过的x[t-1]的值继 续搜索. constraint(t)当前节点的约束函数 bound(t)当前节点的限界函数
L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50 L不可扩展，成为死结点，返回到F 再扩展F到达M M是叶结点，且25<50，不是最优解 M不可扩展，成为死结点，返回到 rF 3 r 3 F没有可扩展结点，成为死结点，返回到 C
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死 结点之前，它一直是扩展结点。 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题 状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问 题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回 溯法。
例如，对于有n种可选物品的0-1背包问题， 其解空间由长度为n的0-1向量组成。
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 基本概念：
扩展结点：一个正在产生儿子的结点 活结点：一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的 节点
死结点：一个所有儿子已经产生的结点
的可行解x进行记录或输出处理.
else for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { // 函数f和g分别表示在当前扩
展结点处未搜索子树的起止编号. x[t]=h(i); //h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值
if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1); } //for循环结束后, 已搜索遍当前扩展结点的所有未搜索子树. } //Backtrack(t)执行完毕, 返回t-1层继续执行, 对未测试过的x[t-1]的值继 续搜索. constraint(t)当前节点的约束函数 bound(t)当前节点的限界函数
L是叶结点，且50>45，皆得到一个可行解x=(0,1,1)，V=50 L不可扩展，成为死结点，返回到F 再扩展F到达M M是叶结点，且25<50，不是最优解 M不可扩展，成为死结点，返回到 rF 3 r 3 F没有可扩展结点，成为死结点，返回到 C
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
2
i=3 cn=1 bestn=3
3
4
4
3
3
i=5 cn=2 bestn=0
4
4
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
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01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
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07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
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i=3 cn=1 bestn=3
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i=5 cn=2 bestn=0
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回溯法_ppt课件
例如 取N=3 , 问题所有可能的解为(解空间): (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) 若取W= (16,15, 15), P= (40,25, 25), C=30 穷举法求解相当于分别计算每个可能解，再求优解 时间复杂性: O(2n)
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
E={ (x1, x2,… xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间. 约束条件 显约束:每个xi 的范围都给定的约束.满足显约束的 全体向量构成解空间. 隐约束:元组的分量间满足函数关系f(x1,...xn)
算法设计与分析 >回溯法
求解过程可表示为在一棵解空间树 作 深度优先搜索. 解空间树构造: 1. 子集树 : 当解向量为不定长 n 元组时 , 树中从根至每一结点的路径 集合构成解空间 . 树的每个结点称为一个解状态 , 有儿子的结点称为 可扩展结点,叶结点称为终止结点,若结点v对应解状态(x1, x2,… xi), 则其儿子对应扩展的解状态 (x1, x2,… xi, xi+1 ).满足所有约束条件 的解状态结点称为回答结点.0-1背包问题的解空间就是子集树 2.排序树:当解向量为定长n元组时, 树中从根至叶结点的路径的集合 构成解空间.树的每个叶结点称为一个解状态 .旅行商问题的解空间就 是排序树 搜索过程: 搜索按深度优先策略从根开始, 当搜索到任一结点时,判断该点是否 满足约束条件D(剪枝函数),满足则继续向下深度优先搜索,否则跳过 该结点以下的子树(剪枝),向上逐级回溯.
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
E={ (x1, x2,… xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间. 约束条件 显约束:每个xi 的范围都给定的约束.满足显约束的 全体向量构成解空间. 隐约束:元组的分量间满足函数关系f(x1,...xn)
算法设计与分析 >回溯法
求解过程可表示为在一棵解空间树 作 深度优先搜索. 解空间树构造: 1. 子集树 : 当解向量为不定长 n 元组时 , 树中从根至每一结点的路径 集合构成解空间 . 树的每个结点称为一个解状态 , 有儿子的结点称为 可扩展结点,叶结点称为终止结点,若结点v对应解状态(x1, x2,… xi), 则其儿子对应扩展的解状态 (x1, x2,… xi, xi+1 ).满足所有约束条件 的解状态结点称为回答结点.0-1背包问题的解空间就是子集树 2.排序树:当解向量为定长n元组时, 树中从根至叶结点的路径的集合 构成解空间.树的每个叶结点称为一个解状态 .旅行商问题的解空间就 是排序树 搜索过程: 搜索按深度优先策略从根开始, 当搜索到任一结点时,判断该点是否 满足约束条件D(剪枝函数),满足则继续向下深度优先搜索,否则跳过 该结点以下的子树(剪枝),向上逐级回溯.
计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
15
5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
22.09.2020
3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
17
2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
第五章 回溯法
• Cr=C=30，V=0
C为容量，Cr为剩余空间，V为价值。 • A为唯一活结点，也是当前扩展结点。
H D 1 0 I 1
1 B 0 E 1 0 J K
A
0 C 1 F 1 0 L M N 0 G 1 0 O
5.1 回溯法的算法框架
• n=3, C=30, w={16,15,15}, v={45,25,25}
理论上
寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个， 在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
但是
当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方
法是可行的。
若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能 解决规模很小的问题。
显约束
对分量xi的取值限定。
隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该 实例的一个解空间。 注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所需状态空间更小（存储 量少，搜索方法简单）。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合
对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么解是满足某些
约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解题法”之称。 回溯法的基本做法 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点（L-结点,Live Node）
一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点
第五部分 回溯法
1
装载问题
• 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2 n 的轮船，其中集装箱i个重量为wi,且 ∑ wi ≤ c1 + c2 • 装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案 可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出 n 2 一种装载方案。
– 例如，当n=3, c1=c2=50, 且w=[10,40,40]时，则可以将集 装箱1和2装到第一艘轮船上，而将集装箱3装到第二艘 轮船上；如果w=[20,40,40]，则无法将这3个集装箱都装 上轮船。
• 限界函数
– 例如，c=7, w=[3, 5, 2, 1], v=[9, 10, 7, 4] 。v/w=[3, 2, 3.5, 4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。装入物品 4、3、1后，只能装入0.2的物品2，由此得到一个解 Bound (i) x=[1, 0.2, 1, 1]，其相应的价值为22。尽管这个解不是一 //计算上界 个可行解，但其价值是最优值的一个上界，即对于该 cleft = c - cw // 剩余容量 问题，最优值不超过22。 bound = cp //以物品单位重量价值递减序装入物品 while i <= n and w[i] <= cleft O(n) cleft = cleft - w[i] bound = bound + p[i] i++ //装满背包 if i <= n bound = bound + p[i] / w[i] * cleft return bound
• • • •
活结点：自身已生成但其儿子结点还未全部生成的结点 扩展结点：当前正在处理的结点 死结点：所有儿子已经生成 叶结点：可行解 0-1背包：w=[16,15,15], v=[45,25,25], c=30
回溯法ppt课件
分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
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排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
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20
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当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件
![[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5be895db43323968001c920d.png)
• template<typename Type>
• void Loading<Type>::Backtrack(int i) //搜索第i层结点
•{
Байду номын сангаас
• if(i>n) //到达叶结点
•{
•
if(cw>bestw)
•
bestw=cw;
•
return;
•}
• if(cw+w[i]<=c) //进入左子树，x[i]=1
•{
•
cw+=w[i];
•
Backtrack(i+1); //继续搜索下一层
•
cw-=w[i]; //退出左子树
•}
• Backtrack(i+1); //进入右子树，x[i]=0
•}
template<typename Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) //前往最优载分
A
1
0
B
1
0
C
1
0
D
1
0
E
1
0
F
1
0
G
1
0
H
I
J
K
L
M
N
O
• template<typename Type> • class Loading •{ • template<typename T> • friend T MaxLoading(T [],T,int);
• private: • void Backtrack(int i); • int n; //集装箱数 • Type *w; //集装箱分量数组 • Type c; //第1艘轮船的载分量 • Type cw; //当前载分量 • Type bestw; //当前最优载分量 • };
第5章 回溯法
30 A 5 6 B
4
C 20 D
10
求赋权图G 的具有最小 权 的 Hamilton圈
B
C D B
C
D B
D
C
D
C
D
B
C
B
A
5
5.1回溯法的算法框架—基本思想
例2．定和子集问题：
已知一个正实数的集合 A={w1,w2,……wn},和正实数M．试求A的所有子集S，使得S中 的数之和等于M。 这个问题的解可以表示成0/1数组{x1,x2,……xn}，依据w1是 否属于S，x1分别取值1或0。故解空间中共有2n个元素。它的树 1 结构是一棵完全二叉树。
7
5.1回溯法的算法框架—基本思想
从例3来看，解空间的确定与我们对问题的描述有关。 如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。这是 因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题的可 行解以至最优解。 当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质 的子集时，相应的解空间树称为子集合树。此时，解空间有 2n 个元素，遍历子集树的任何算法均需Ω(2n)的计算时间。 如例2。 当所给的问题是确定n个元素的满足某种性质的排列时， 相应的解空间树称为排列树，此时，解空间有n!个元素。遍 历排列树的任何算法均需Ω(n!)计算时间，如例1和例3。本 章只讨论具有上两类解空间树的求解问题。
11
5.1回溯法的算法框架—递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t); i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1); } } f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过子 树的起始编号与终止编号，h(i)表示当前扩展结点处x[t]的 第i个可选值。
4
C 20 D
10
求赋权图G 的具有最小 权 的 Hamilton圈
B
C D B
C
D B
D
C
D
C
D
B
C
B
A
5
5.1回溯法的算法框架—基本思想
例2．定和子集问题：
已知一个正实数的集合 A={w1,w2,……wn},和正实数M．试求A的所有子集S，使得S中 的数之和等于M。 这个问题的解可以表示成0/1数组{x1,x2,……xn}，依据w1是 否属于S，x1分别取值1或0。故解空间中共有2n个元素。它的树 1 结构是一棵完全二叉树。
7
5.1回溯法的算法框架—基本思想
从例3来看，解空间的确定与我们对问题的描述有关。 如何组织解空间的结构会直接影响对问题的求解效率。这是 因为回溯方法的基本思想是通过搜索解空间来找到问题的可 行解以至最优解。 当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质 的子集时，相应的解空间树称为子集合树。此时，解空间有 2n 个元素，遍历子集树的任何算法均需Ω(2n)的计算时间。 如例2。 当所给的问题是确定n个元素的满足某种性质的排列时， 相应的解空间树称为排列树，此时，解空间有n!个元素。遍 历排列树的任何算法均需Ω(n!)计算时间，如例1和例3。本 章只讨论具有上两类解空间树的求解问题。
11
5.1回溯法的算法框架—递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下 用递归方法实现回溯法。 void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=f(n,t); i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1); } } f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过子 树的起始编号与终止编号，h(i)表示当前扩展结点处x[t]的 第i个可选值。
第5章回溯法(YZW)
搜索过程直到找到问题的解或根结点变成死结点为止。
示例：n后问题
问题描述： 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际 象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同 一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n 个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
1
1
2
3 4
2
例: 4-皇后问题
1 结点2的所有儿子表示的都是 x1= 2 x1=1 不可能导致答案的棋盘格局, 因 此结点2也被杀死; 再回溯到结 18 2 点1生成结点18, 路径变为(2) x2= 4 x2= 1 x2= 2 结点18的儿子结点19、 x2= 3 x2= 3 结点24被杀死, 应回溯 24 13 19 8 3 1 x3=2 kill kill kill x3=4 2 x3=2 x3=3 1 9 kill 1 2 11 14 kill x4=3 15 kill 16 kill
用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的
子树即：导致不可行解的结点； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。即： 导致非最优解的结点。 几个名词
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点
称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 搜索树：搜索过程中动态形成的树
1 2 3 4 5 Q Q Q Q Q Q
6 7 8
Q
Q 1 2 3 4 5 6 7 8
定义问题的解空间 解的形式：(x1, x2, … , xn) xi的取值范围：xi=1,2, … ,n 组织解空间 满n叉树，树的深度为n 搜索解空间 约束条件：不同列且不处于同一正、反对 角线上：|i-j||xi-xj| 限界条件：(×) 搜索过程（以4皇后问题为例）
示例：n后问题
问题描述： 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际 象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同 一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n 个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
1
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例: 4-皇后问题
1 结点2的所有儿子表示的都是 x1= 2 x1=1 不可能导致答案的棋盘格局, 因 此结点2也被杀死; 再回溯到结 18 2 点1生成结点18, 路径变为(2) x2= 4 x2= 1 x2= 2 结点18的儿子结点19、 x2= 3 x2= 3 结点24被杀死, 应回溯 24 13 19 8 3 1 x3=2 kill kill kill x3=4 2 x3=2 x3=3 1 9 kill 1 2 11 14 kill x4=3 15 kill 16 kill
用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的
子树即：导致不可行解的结点； 用限界函数剪去得不到最优解的子树。即： 导致非最优解的结点。 几个名词
扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点
称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 搜索树：搜索过程中动态形成的树
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6 7 8
Q
Q 1 2 3 4 5 6 7 8
定义问题的解空间 解的形式：(x1, x2, … , xn) xi的取值范围：xi=1,2, … ,n 组织解空间 满n叉树，树的深度为n 搜索解空间 约束条件：不同列且不处于同一正、反对 角线上：|i-j||xi-xj| 限界条件：(×) 搜索过程（以4皇后问题为例）
(算法分析设计)第5章回溯法
展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）到最近
的活结点处，并使该结点成为当前的扩展结点。
– 回溯法按上述方式递归地在解空间中搜索，直到找到所 要求的解或解空间中无活结点为止。
7
实例分析
• n=3的0-1背包问题
– w=[16,15,15] – p=[45,25,25] – c=30
8
解空间为：
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
4
问题的解空间
• 解空间
– 应明确问题的解空间的定义
• 问题的解空间至少应包含问题的一个（最优解）。
– 对问题解空间进行组织
• 通常组织为树或图的形式。 ——有利于回溯法对整个解空间的搜索
5
知识点
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
backtrack(t+1);
32
旅行商问题（TSP）
１ 6
30 ２
5 10
4
３
４
20
4顶点的无向带权图
Ａ
1
Ｂ
23
4
Ｃ
Ｄ
3
42
4
Ｅ
2
3
Ｆ Ｇ Ｈ ＩＪ Ｋ
4
3
4
23
2
Ｌ Ｍ Ｎ ＯＰ Ｑ
n=4的TSP问题的解空间树（排列树）
33
排列树
• 排列树
– 当所给问题是确定ｎ个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树被称为排列树．
的子树不可能包含更优的解，剪去。
46
#include <iostream.h> #include <iomanip.h> const int n=4; //图的顶点数
的活结点处，并使该结点成为当前的扩展结点。
– 回溯法按上述方式递归地在解空间中搜索，直到找到所 要求的解或解空间中无活结点为止。
7
实例分析
• n=3的0-1背包问题
– w=[16,15,15] – p=[45,25,25] – c=30
8
解空间为：
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
4
问题的解空间
• 解空间
– 应明确问题的解空间的定义
• 问题的解空间至少应包含问题的一个（最优解）。
– 对问题解空间进行组织
• 通常组织为树或图的形式。 ——有利于回溯法对整个解空间的搜索
5
知识点
• 问题的解空间 • 回溯法的基本思想 • 递归回溯 • 迭代回溯 • 子集树与排列树
backtrack(t+1);
32
旅行商问题（TSP）
１ 6
30 ２
5 10
4
３
４
20
4顶点的无向带权图
Ａ
1
Ｂ
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Ｃ
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3
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4
Ｅ
2
3
Ｆ Ｇ Ｈ ＩＪ Ｋ
4
3
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23
2
Ｌ Ｍ Ｎ ＯＰ Ｑ
n=4的TSP问题的解空间树（排列树）
33
排列树
• 排列树
– 当所给问题是确定ｎ个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树被称为排列树．
的子树不可能包含更优的解，剪去。
46
#include <iostream.h> #include <iomanip.h> const int n=4; //图的顶点数
课件：第五章回溯法
else if (aSaisfeg(oa)o)d{)R{reeccoorrdd((i为,a)a;末); 尾标记。
if ((ai =is=gno)al) {unfinish = false; output( );}
else i{fi+(a+h; aLs.sPounssh)(L1,.P2u, s…h-,Sno,n-s1()a;)}
启发式的搜索 从初始状态开始，每次选择最有可能达到终 止状态的结点进行搜索。
2021/11/25
计算机算法设计与分析
5
三种搜索的优劣之处
• 一般来说，三种搜索方法各有优劣之处：
• 广度优先搜索的优点是一定能找到解；缺点是 空间复杂性和时间复杂性都大。
• 深度优先搜索的优点是空间复杂性和时间复杂 性较小；缺点是不一定能找到解。
• 栈中的结点是分层次的，而现在没有区分它们 的层次。这就增加了回溯判断和操作的困难。
那采么用怎一么个办简？洁有效的方法：设计一个末 尾标记，每次压栈时，先压入末尾标记。
2021/11/25
计算机算法设计与分析
12
用末尾标记的迭代回溯
• Backtrack(Tree T) { • unfinish = true; L.Push(T.root); • while (unfinish || L≠Φ) { • a = L.Pop( ); • if (a is the last mark) backastep( );
• a = L.Pop( );
• if (a == -1) {i– –; a = rec[i]; rec[i]=0;used[a]=0;}
• else if (used[a]==0)
•
{rec[i]=a; used[a]=1;
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
《算法设计与分析》-第五章 回溯法
回溯法的应用—n后问题 后问题
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
例1(8-皇问题)
皇问题) 例1(8-皇问题) ( 皇问题
在8×8的棋盘上放置8个皇后,使得这8个皇 后不在同一行,同一列及同一斜角线上.如下 1 2 3 4 5 6 7 8 图6.1: Q
1 2 3 4 5 6 7 8
Q Q Q Q Q Q Q
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 设问题的解向量为X=(x1,x2,…,xn) ,xi的取值范 围为有穷集Si .把xi的所有可能取值组合,称 为问题的解空间.每一个组合是问题的一个可 能解.
5.1 回溯法的基本思想
(1)解空间 例:0/1背包问题,S={0,1},当n=3时,0/1背 包问题的解空间是: {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1, 1,0),(1,1,1)} 当输入规模为n时,有2n种可能的解.
A 2 C 3 F 4 L 4 2 G H 3 4 M N 1 B 3 D
4 4 I 2 O E 2 J 3 P 3 K 2 Q
----排列树 解空间大小: n!
5.1 回溯法的基本思想
(3)状态空间树的动态搜索
可行解和最优解: 可行解:满足约束条件的解,解空间中的一个子集 最优解:使目标函数取极值(极大或极小)的可行解,一 个或少数几个 例:货郎担问题,有nn种可能解. n!种可行解,只有一个或 几个解是最优解. 例:背包问题,有2n种可能解,有些是可行解,只有一个或 几个是最优解. 有些问题,只要可行解,不需要最优解,例如八后问题.
5.1 回溯法的基本思想
回溯法(backtracking)是一种系统地搜索问 题解的方法.为实现回溯,首先需要定义一个 解空间(solution space),然后以易于搜索 的方式组织解空间,最后用深度优先的方法搜 索解空间,获得问题的解.
第五章 回溯法 TraceBackingppt模板.ppt
启发式搜索
利用一些启发信息，提前判断出先搜索哪些状态可能尽 快找到问题的解或某些情况不可能取到最优解，从而可以提 前舍弃对这些状态的尝试。即考虑给定问题的特有性质，选 用合适的细则，提高搜索的效率。
2019/8/28
西安邮电学院
6
3。回溯法的基本思想
在确定了解空间的组织结构后，回溯从开始节点（根 结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开 始节点成为一个活节点，同时成为党建的扩展节点。在当 前的扩展节点，搜索向深度方向进入一个新的节点。这个 新节点成为一个新的活节点，并成为当前的扩展节点。若 在当前扩展节点处不能再向深度方向移动，则当前的扩展 节点成为死节点，即该活节点成为死节点。此时回溯到最 近的一个活节点处，并使得这个活节点成为当前的扩展节 点。
当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质
的子集时，相应的解空间树为子集树。例如0－1背包问题。
该类子集树有2**n个叶节点。
2019/8/28
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13
（2）排列树
当要求解的问题需要在n 元素的排列中搜索问题的解时， 解空间树被称作排列树（permutation tree）。 搜索空间为：
在定义了问题解空间后，还应该将解空间很好的组织 起来，使得我们的搜索比较的方便。在回溯法中，通常我 们将解空间组织成树或图的形式，特别地对于许多的离散 问题，解空间都可以组织成树的形式。
如上面的解空间可以用一个如下的二叉树表示。
2019/8/28
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3
2019/8/28
图5-3 0－1背包问题的解空间树
回溯法适用范围： 组合数较大的问题
2019/8/28
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2
5.1 回溯法的算法框架
利用一些启发信息，提前判断出先搜索哪些状态可能尽 快找到问题的解或某些情况不可能取到最优解，从而可以提 前舍弃对这些状态的尝试。即考虑给定问题的特有性质，选 用合适的细则，提高搜索的效率。
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6
3。回溯法的基本思想
在确定了解空间的组织结构后，回溯从开始节点（根 结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开 始节点成为一个活节点，同时成为党建的扩展节点。在当 前的扩展节点，搜索向深度方向进入一个新的节点。这个 新节点成为一个新的活节点，并成为当前的扩展节点。若 在当前扩展节点处不能再向深度方向移动，则当前的扩展 节点成为死节点，即该活节点成为死节点。此时回溯到最 近的一个活节点处，并使得这个活节点成为当前的扩展节 点。
当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质
的子集时，相应的解空间树为子集树。例如0－1背包问题。
该类子集树有2**n个叶节点。
2019/8/28
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13
（2）排列树
当要求解的问题需要在n 元素的排列中搜索问题的解时， 解空间树被称作排列树（permutation tree）。 搜索空间为：
在定义了问题解空间后，还应该将解空间很好的组织 起来，使得我们的搜索比较的方便。在回溯法中，通常我 们将解空间组织成树或图的形式，特别地对于许多的离散 问题，解空间都可以组织成树的形式。
如上面的解空间可以用一个如下的二叉树表示。
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3
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图5-3 0－1背包问题的解空间树
回溯法适用范围： 组合数较大的问题
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5.1 回溯法的算法框架
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.
回溯法引言
于是 ➢ 回溯和分支限界法是比较常用的对候选解进行系统检查两种 方法。 ➢ 按照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解 时间大大减少（无论对于最坏情形还是对于一般情形） 。 ➢ 可以避免对很大的候选解集合进行检查，同时能够保证算法 运行结束时可以找到所需要的解。 ➢ 通常能够用来求解规模很大的问题。
.
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所 需状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
.
5.1 回溯法的算法框架
例如
对于有n种可选物品的0-1背包问题
穷举式搜索法。
.
回溯法引言
具体做法
系统性 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空 间树。 跳跃性 算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。 如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结 点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
.
回溯法引言
理论上
➢ 寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然 后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找 到所需要的解。
但是
➢ 当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到 所需解时，上述方法是可行的。
➢ 若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最 快的计算机也只能解决规模很小的问题。
.
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合 ➢ 对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么
解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 ➢ 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解
题法”之称。 回溯法的基本做法 ➢ 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的
✓ 解空间由2n个长度为n的0-1向量组成
✓ n=3时，解空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1), (1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
用完全二叉树表示的解空间
✓ 边上的数字给出了向量x中第i个分量的值xi ✓ 根节点到叶节点的路径定义了解问题的一个解
.
5.1 回溯法的算法框架
生成问题状态的基本方法
扩展结点（E-结点,Expansion Node） 一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点（L-结点,Live Node） 一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活 结点 死结点（D-结点,Dead Node） 一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V6
V4
V5 V6 V7V8Biblioteka V7V8V5
.
5.1 回溯法的算法框架
5.1.1 问题的解空间
问题的解向量 回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的 形式。 显约束 对分量xi的取值范围的限定。 隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
.
回溯法引言
回溯法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索 尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 “回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目 标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目 标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为 回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
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5.1 回溯法的算法框架
空间复杂性
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题 的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结 点的路径。
如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)， 则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。
显式地存储整个解空间则需要O(2h(n）)或O(h(n)!)内存空间。
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5.1 回溯法的算法框架
深度优先的问题状态生成法
如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C 当做新的扩展结点。
在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重 新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。
宽度优先的问题状态生成法
一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。
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5.1 回溯法的算法框架
A
1
0
B
C
10
10
D
E
F
G
10 10 10 10
HIJKLMNO
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对物品1的 选择 对物品2的 选择 对物品3的 选择
5.1 回溯法的算法框架
5.1.2 回溯法的基本思想
回溯法的基本步骤 (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝 函数避免无效搜索。 常用剪枝函数 ➢ 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； ➢ 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
第5章 回溯法
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1
本章要点
• 回溯法的算法框架 • 装载问题 • 0-1背包问题 • 图的着色问题 • 批处理作业调度 • n后问题 • 回溯法效率分析
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2
迷宫问题：
回溯法引言
迷宫是一些互相连通
的交叉路口的集合，
给定一个入口、一个
出口。
当从入口到出口存在
通路时，输出选中的
一条通路；否则，输
出无通路存在。
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回溯法引言
回溯法与穷举查找是一样的吗？ 可以把回溯法和分支限界法看成是穷举法的一个改进
。该方法至少可以对某些组合难题的较大实例求解。 不同点 ➢ 每次只构造侯选解的一个部分 ➢ 然后评估这个部分构造解：如果加上剩余的分量也不
可能求得一个解，就绝对不会生成剩下的分量
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回溯法引言
回溯算法：图的深度优先遍历
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5.1 回溯法的算法框架
1
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14 15
不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
当搜索到一个L结点时，就把这个L结点变成为E结点，继续向下搜索这个结点的儿子结 点。当搜索到一个D结点，而还未得到问题的最终解时，就向上回溯到它的父亲结点。 如果这个父亲结点当前还是E结点，就继续搜索这个父亲结点的另一个儿子结点；如果 这个父情结点随着所有儿子结点都已搜索完毕而变成D结点，就沿着这个父结点向上， 回溯到它的祖父结点。这个过程继续进行，. 直到找到满足问题的最终解。
回溯法引言
于是 ➢ 回溯和分支限界法是比较常用的对候选解进行系统检查两种 方法。 ➢ 按照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解 时间大大减少（无论对于最坏情形还是对于一般情形） 。 ➢ 可以避免对很大的候选解集合进行检查，同时能够保证算法 运行结束时可以找到所需要的解。 ➢ 通常能够用来求解规模很大的问题。
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5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所 需状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
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5.1 回溯法的算法框架
例如
对于有n种可选物品的0-1背包问题
穷举式搜索法。
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回溯法引言
具体做法
系统性 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空 间树。 跳跃性 算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。 如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结 点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
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回溯法引言
理论上
➢ 寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然 后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找 到所需要的解。
但是
➢ 当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到 所需解时，上述方法是可行的。
➢ 若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最 快的计算机也只能解决规模很小的问题。
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回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法 使用场合 ➢ 对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么
解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。 ➢ 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解
题法”之称。 回溯法的基本做法 ➢ 是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的
✓ 解空间由2n个长度为n的0-1向量组成
✓ n=3时，解空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1), (1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}
用完全二叉树表示的解空间
✓ 边上的数字给出了向量x中第i个分量的值xi ✓ 根节点到叶节点的路径定义了解问题的一个解
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5.1 回溯法的算法框架
生成问题状态的基本方法
扩展结点（E-结点,Expansion Node） 一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点（L-结点,Live Node） 一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活 结点 死结点（D-结点,Dead Node） 一个所有儿子已经产生的结点称做死结点
V1
V1
V2
V3
V2
V3
V4
V6
V4
V5 V6 V7V8Biblioteka V7V8V5
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5.1 回溯法的算法框架
5.1.1 问题的解空间
问题的解向量 回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的 形式。 显约束 对分量xi的取值范围的限定。 隐约束 为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
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回溯法引言
回溯法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索 尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 “回溯”返回，尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目 标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目 标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为 回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
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5.1 回溯法的算法框架
空间复杂性
用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题 的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结 点的路径。
如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)， 则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。
显式地存储整个解空间则需要O(2h(n）)或O(h(n)!)内存空间。
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5.1 回溯法的算法框架
深度优先的问题状态生成法
如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C 当做新的扩展结点。
在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重 新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）。
宽度优先的问题状态生成法
一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点。
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5.1 回溯法的算法框架
A
1
0
B
C
10
10
D
E
F
G
10 10 10 10
HIJKLMNO
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对物品1的 选择 对物品2的 选择 对物品3的 选择
5.1 回溯法的算法框架
5.1.2 回溯法的基本思想
回溯法的基本步骤 (1)针对所给问题，定义问题的解空间； (2)确定易于搜索的解空间结构； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝 函数避免无效搜索。 常用剪枝函数 ➢ 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； ➢ 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
第5章 回溯法
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1
本章要点
• 回溯法的算法框架 • 装载问题 • 0-1背包问题 • 图的着色问题 • 批处理作业调度 • n后问题 • 回溯法效率分析
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2
迷宫问题：
回溯法引言
迷宫是一些互相连通
的交叉路口的集合，
给定一个入口、一个
出口。
当从入口到出口存在
通路时，输出选中的
一条通路；否则，输
出无通路存在。
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回溯法引言
回溯法与穷举查找是一样的吗？ 可以把回溯法和分支限界法看成是穷举法的一个改进
。该方法至少可以对某些组合难题的较大实例求解。 不同点 ➢ 每次只构造侯选解的一个部分 ➢ 然后评估这个部分构造解：如果加上剩余的分量也不
可能求得一个解，就绝对不会生成剩下的分量
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回溯法引言
回溯算法：图的深度优先遍历
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5.1 回溯法的算法框架
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不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
当搜索到一个L结点时，就把这个L结点变成为E结点，继续向下搜索这个结点的儿子结 点。当搜索到一个D结点，而还未得到问题的最终解时，就向上回溯到它的父亲结点。 如果这个父亲结点当前还是E结点，就继续搜索这个父亲结点的另一个儿子结点；如果 这个父情结点随着所有儿子结点都已搜索完毕而变成D结点，就沿着这个父结点向上， 回溯到它的祖父结点。这个过程继续进行，. 直到找到满足问题的最终解。