搜索算法---回溯

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回溯算法详解

回溯算法详解
回溯算法是一种经典问题求解方法，通常被应用于在候选解的搜索空间中，通过深度优先搜索的方式找到所有可行解的问题。

回溯算法的本质是对一棵树的深度优先遍历，因此也被称为树形搜索算法。

回溯算法的基本思想是逐步构建候选解，并试图将其扩展为一个完整的解。

当无法继续扩展解时，则回溯到上一步并尝试其他的扩展，直到找到所有可行的解为止。

在回溯算法中，通常会维护一个状态向量，用于记录当前已经构建的解的情况。

通常情况下，状态向量的长度等于问题的规模。

在搜索过程中，我们尝试在状态向量中改变一个或多个元素，并检查修改后的状态是否合法。

如果合法，则继续搜索；如果不合法，则放弃当前修改并回溯到上一步。

在实际应用中，回溯算法通常用来解决以下类型的问题：
1. 组合问题：从n个元素中选取k个元素的所有组合；
2. 排列问题：从n个元素中选择k个元素，并按照一定顺序排列的所有可能；
3. 子集问题：从n个元素中选择所有可能的子集；
4. 棋盘问题：在一个给定的n x n棋盘上放置n个皇后，并满足彼此之间不会互相攻击的要求。

回溯算法的时间复杂度取决于候选解的规模以及搜索空间中的剪枝效果。

在最坏情况下，回溯算法的时间复杂度与候选解的数量成指数级增长，因此通常会使用剪枝算法来尽可能减少搜索空间的规模，从而提高算法的效率。

总之，回溯算法是一种非常有用的问题求解方法，在实际应用中被广泛使用。

同时，由于其时间复杂度较高，对于大规模的问题，需要慎重考虑是否使用回溯算法以及如何优化算法。

基本算法-回溯法（迷宫问题）

一、回溯法简介回溯法（Backtracking）是枚举法的一种，可以找出所有或者一部分的一般性算法，且有效避免枚举不对的解。

当发现某个解的方向不准确时，就不再继续往下进行，而是回溯到上一层，减少算法运行时间，俗称“走不通就回头换路走”。

特点是在搜索过程中寻找问题的解，一旦发现不满足条件便回溯，继续搜索其他路径，提高效率。

二、算法应用（迷宫问题）1.问题描述迷宫问题是回溯法的一种应用。

迷宫问题的描述为：假设主体（人、动物或者飞行器）放在一个迷宫地图入口处，迷宫中有许多墙，使得大多数的路径都被挡住而无法行进。

主体可以通过遍历所有可能到出口的路径来到达出口。

当主体走错路时需要将走错的路径记录下来，避免下次走重复的路径，直到找到出口。

主体需遵从如下三个原则：1.一次步进只能走一格；2.遇到路径堵塞后，退后直到找到另一条路径可行；3.走过的路径记录下来，不会再走第二次。

2.解题思路首先创建一个迷宫图，比如用二维数组人为定义MAZE[row][col]，MAZE[i][j]=1时表示有墙无法通过，MAZE[i][j]=0时表示可行，假设MAZE[1][1]为入口，MAZE[8][10]为出口，创建如下初始迷宫图：图1 初始迷宫图当主体在迷宫中前行时，有东南西北（即右下左上）四个方向可以选择，如下图所示：图2 方向示意图视情况而定，并不是所有位置都可以上下左右前进，只能走MAZE[i][j]=0的地方。

通过链表来记录走过的位置，并将其标记为2，把这个位置的信息放入堆栈，再进行下个方向的选择。

若走到死胡同且未到达终点，则退回到上一个岔路口选择另一个方向继续走。

回溯法

回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。

问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。

2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

换句话说，这个结点不再是一个活结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。

回溯法

回溯法回溯法也是搜索算法中的一种控制策略，但与枚举法不同的是，它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优秀搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。

回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。

一、回溯法的基本思路何谓回溯法，我们不妨通过一个具体实例来引出回溯法的基本思想及其在计算机上实现的基本方法。

【例题12.2.1】n皇后问题一个ｎ×ｎ（1≤n≤100）的国际象棋棋盘上放置ｎ个皇后，使其不能相互攻击，即任何两个皇后都不能处在棋盘的同一行、同一列、同一条斜线上，试问共有多少种摆法？输入：n输出：所有分案。

每个分案为n+1行，格式：方案序号以下n行。

其中第i行（1≤i≤n）行为棋盘i行中皇后的列位置。

在分析算法思路之前，先让我们介绍几个常用的概念：1、状态（state）状态是指问题求解过程中每一步的状况。

在ｎ皇后问题中，皇后所在的行位置i(1≤i≤n)即为其时皇后问题的状态。

显然，对问题状态的描述，应与待解决问题的自然特性相似，而且应尽量做到占用空间少，又易于用算符对状态进行运算。

2、算符（operater）算符是把问题从一种状态变换到另一种状态的方法代号。

算符通常采用合适的数据来表示，设为局部变量。

n皇后的一种摆法对应1．．ｎ排列方案（a1，…，a n）。

排列中的每个元素a i对应ｉ行上皇后的列位置（1≤i≤n）。

由此想到，在ｎ皇后问题中，采用当前行的列位置i(1≤i≤n)作为算符是再合适不过了。

由于每行仅放一个皇后，因此行攻击的问题自然不存在了，但在试放当前行的一个皇后时，不是所有列位置都适用。

例如(l，ｉ)位置放一个皇后，若与前1．．l-1行中的j行皇后产生对角线攻击(｜ｊ－l｜=｜a j －i｜)或者列攻击(ｉ≠a j)，那么算符ｉ显然是不适用的，应当舍去。

因此，不产生对角线攻击和列攻击是ｎ皇后问题的约束条件，即排列（排列a1，…，a i，…，a j，…，a n）必须满足条件(｜ｊ－ｉ｜≠｜a j－a i｜) and (a i≠a j) (1≤i，j≤n)。

算法设计中的回溯思想

算法设计中的回溯思想从最初的计算机发明，到现在人工智能的飞速发展，算法设计一直是计算机技术的核心。

算法是指根据特定的计算规则，通过计算一系列数值来解决具体问题的方法，包括搜索、排序、过滤、处理等过程，而在这些过程中，回溯思想屡屡被提及。

本文将从计算机算法设计的角度，深入探讨回溯思想。

一、简述算法设计中的回溯思想在算法设计中，回溯是一种常用的解决问题的思想。

其本质是一种深度优先搜索算法。

回溯思想用于在搜索过程中，根据具体场景和实际情况，迭代地枚举每一个可能的结果，直到搜索到正确的解。

其过程包括了搜索树的深入和回溯到树枝的上层，检查还有哪些其他的解是没有被搜索到的。

为了更好地理解回溯思想，可以通过解决具体问题的例子来进行分析。

在解数独的问题中，回溯思想很常见。

在这个问题中，计算机需要找到数独的解决方案。

每个格子必须填上数字1-9 中的一个，并且每行、每列和每个 3x3 的宫格都必须包含数字1-9中的每个数字。

这些约束条件使得这个问题非常难以解决。

对于每个未填数字的格子，计算机需要尝试所有可用的数字，然后递归地探索下去，直到填完整个数独。

在填格子的过程中，如果遇到不符合规则的数字，那么回溯算法会退回到前一个格子，并更新前面已填的数字值。

这就好像是你在数独上填数字时，发现前面填的数字不对，就要擦除重填，直到达到正确的答案为止。

二、回溯思想在算法设计中的应用除了解数独外，回溯思想在算法设计中有很多其他的应用。

比如，回溯可以用来解决排列组合的问题，如最短路径、最大子序列、图的最短路径等。

这些问题的解决方法都需要枚举所有的排列组合方案，并找出最符合要求的那一种。

在回溯算法的实现过程中，一般需要利用递归来实现搜索。

随着搜索的深入，每一层递归都需要遍历所有的选择，直到找到可用的解决方案。

如果遍历完成后还没有找到解决方案，则需要回溯到上一层递归，重新选择不同的方案，继续搜索，直到找到正确的解。

回溯思想是一种非常高效和强大的算法设计思想。

计算方法之——回溯算法

引言寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。

理论上，当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方法是可行的。

不过，在实际应用中，很少使用这种方法，因为候选解的数量通常都非常大（比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能解决规模很小的问题。

对候选解进行系统检查的方法有多种，其中回溯和分枝定界法是比较常用的两种方法。

按照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解时间大大减少（无论对于最坏情形还是对于一般情形）。

事实上，这些方法可以使我们避免对很大的候选解集合进行检查，同时能够保证算法运行结束时可以找到所需要的解。

因此，这些方法通常能够用来求解规模很大的问题。

算法思想回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。

为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。

下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。

典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。

一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。

回溯方法的步骤如下：1) 定义一个解空间，它包含问题的解。

2) 用适于搜索的方式组织该空间。

3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。

在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。

因此，回溯算法的空间需求为O（从开始节点起最长路径的长度）。

这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。

所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。

算法应用回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中<<数据结构>>(严蔚敏).(1) 幂集问题(组合问题) (参见《数据结构》（严蔚敏）)求含N个元素的集合的幂集。

第5章搜索与回溯算法(C 版)

【参考程序】
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[10001]={1},n,total; int search(int,int); int print(int); int main() {
int print();
//输出方案
int main() {
cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
//输出方案总数
int search(int k) {
int i; for (i=1;i<=n;i++) if (!b[i])
（r<n），试列出所有的排列。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int num=0,a[10001]={0},n,r;
bool b[10001]={0};
int search(int);
//回溯过程
{
for (int j=0;j<=3;j++)
//往4个方向跳
if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4
&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8)//判断马不越界

17图的搜索算法之回溯法

17图的搜索算法之回溯法回溯法回溯算法实际是⼀个类似枚举的搜索尝试⽅法，它的主题思想是在搜索尝试中找问题的解，当不满⾜求解条件就”回溯”返回，尝试别的路径。

回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的⼀种算法，其采⽤了⼀种“⾛不通就掉头”的思想，作为其控制结构。

【例1】⼋皇后问题模型建⽴要在8*8的国际象棋棋盘中放⼋个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。

规则：皇后能吃掉同⼀⾏、同⼀列、同⼀对⾓线的任意棋⼦。

如图5-12为⼀种⽅案，求所有的解。

模型建⽴不妨设⼋个皇后为xi，她们分别在第i⾏（i=1，2，3，4……，8），这样问题的解空间，就是⼀个⼋个皇后所在列的序号，为n元⼀维向量（x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8）,搜索空间是1≤xi≤8（i=1，2，3，4……，8），共88个状态。

约束条件是⼋个（1,x1）,(2,x2) ,(3,x3),(4,x4) , (5,x5), (6,x6) , (7,x7), (8,x8)不在同⼀⾏、同⼀列和同⼀对⾓线上。

虽然问题共有88个状态，但算法不会真正地搜索这么多的状态，因为前⾯已经说明，回溯法采⽤的是“⾛不通就掉头”的策略，⽽形如(1,1,x3,x4, x5,x6,x7,x8）的状态共有86个，由于1，2号皇后在同⼀列不满⾜约束条件，回溯后这86个状态是不会搜索的。

算法设计1：加约束条件的枚举算法最简单的算法就是通过⼋重循环模拟搜索空间中的88个状态，按深度优先思想，从第⼀个皇后从第⼀列开始搜索，每前进⼀步检查是否满⾜约束条件,不满⾜时，⽤continue语句回溯，满⾜满⾜约束条件，开始下⼀层循环，直到找出问题的解。

约束条件不在同⼀列的表达式为xi xj；⽽在同⼀主对⾓线上时xi-i=xj-j, 在同⼀负对⾓线上时xi+i=xj+j，因此，不在同⼀对⾓线上的约束条件表⽰为abs(xi-xj) abs(i-j)（abs（）取绝对值）。

算法1：queen1（）{int a[9];for (a[1]=1;a[1]<=8;a[1]++) for (a[2]=1;a[2]<=8;a[2]++){if （ check(a,2)=0 ） continue; for (a[3]=1;a[3]<=8;a[3]++) {if（check(a,3)=0） continue;for (a[4]=1;a[4]<=8;a[4]++){if （check(a,4)=0） continue;for (a[5]=1;a[5]<=8;a[5]++){if （check(a,5)=0） continue;for (a[6]=1;a[6]<=8;a[6]++){if （check(a,6)=0） continue;for(a[7]=1;a[7]<=8;a[7]++) {if （check(a,7)=0） continue;for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++){if （check(a,8)=0）continue;elsefor(i=1;i<=8;i++)print(a[i]);}} } } } } } }check(int a[ ],int n){int i;for(i=1;i<=n-1;i++)if (abs(a[i]-a[n])=abs(i-n)) or (a[i]=a[n]) return(0);return(1);}算法分析1:若将算法中循环嵌套间的检查是否满⾜约束条件的:“if （check(a[],i)=0）continue;i=2,3,4,5,6,7“语句都去掉，只保留最后⼀个检查语句：“if （check(a[],8)=0）continue;”相应地check（）函数修改成：check*(a[],n){int i,j;for(i=2;i<=n;i++) for(j=1;j<=i-1;j++) if(abs(a[i]-a[j])=abs(i-j))or(a[i]=a[j]) return(0);return(1);}则算法退化成完全的盲⽬搜索，复杂性就是88了算法设计2：⾮递归回溯算法以上的枚举算法可读性很好，但它只能解决⼋皇后问题，⽽不能解决任意的n皇后问题。

回溯

n皇后问题
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n皇后问题

n皇后问题的解空间就应该是1～n全排列的一部分。解空间的长度是n。解空间的组织形式是一棵n叉树，一个可行的解就是从根节点到叶子节点的一条路径。控制策略则是当前皇后与前面所有的皇后都不同列和不同对角线。
骑士遍历（递归）
procedure search(k: integer); // 递归查找 begin for i := 1 to 4 do // 依次尝试四个方向 if (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n) then // 在棋盘上 begin route[k] := i; // 记录下当前方向 x := x + dx[i]; y := y + dy[i]; // 修改扩展节点坐标 if (x = n) and (y = m) then // 是否是目标点 begin output(k); halt; // 是目标点，输出结果并终止程序 end else search(k+1); // 不是目标点，继续尝试下一步 // 扩展出的点是死点，回溯 x := x - dx[i]; y := y - dy[i]; // 恢复扩展节点坐标 end; end;

回溯算法详解

回溯算法详解
回溯算法是一种常用的解决问题的方法，它的目的是在一个大的问题空间中寻找到一个解决方案。

回溯算法的基本思想是穷举所有可能的解决方案，直到找到符合条件的解决方案为止。

回溯算法的实现通常包括两个部分：状态表示和状态转移。

状态表示是指将问题的解答空间表示为一个状态树，每个节点表示一个状态，状态转移是指从一个节点转移到另一个节点的过程。

回溯算法的实现过程通常包括三个步骤：选择、回溯和剪枝。

选择是指从当前状态节点选择一个扩展节点作为下一步的状态，回溯是指从一个状态节点返回到它的父节点，剪枝是指在搜索过程中对一些不可能达到目标的状态进行剪枝。

回溯算法常常用于求解组合、排列、子集、划分等问题。

由于回溯算法的时间复杂度很高，因此在实际应用中往往需要结合其他优化算法来提高效率。

总的来说，回溯算法是一种通用的算法，它可以解决许多不同类型的问题。

只要能够将问题的解答空间表示为一个状态树，并且能够找到一种回溯的方法来搜索这个状态树，就可以使用回溯算法来求解问题。

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索夫克勒斯回溯法

索夫克勒斯回溯法摘要：1.索夫克勒斯回溯法的定义与原理2.索夫克勒斯回溯法的应用领域3.索夫克勒斯回溯法的优缺点分析4.我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究与发展正文：一、索夫克勒斯回溯法的定义与原理索夫克勒斯回溯法（Sofkleis Backtracking Method）是一种启发式搜索算法，用于解决组合优化问题。

该算法起源于古希腊数学家索夫克勒斯的研究，其主要思想是在搜索过程中尝试所有可能的解决方案，当发现当前解决方案不符合要求时，就回溯到上一个节点，继续尝试其他分支。

通过这种方式，可以在较短时间内找到问题的一个可行解。

二、索夫克勒斯回溯法的应用领域索夫克勒斯回溯法广泛应用于组合优化、人工智能、运筹学等领域，具体包括：1.旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：这是一种经典的组合优化问题，旨在找到一个访问一系列城市并返回出发点的最短路径。

2.装载问题（Loading Problem）：该问题涉及到在有限的空间内合理安排物品的摆放方式，以便使得总重量最小或空间利用率最高。

3.0-1 背包问题（0-1 Knapsack Problem）：该问题描述的是在给定的一组物品中，选择若干个物品放入背包，使得背包内物品总价值最大，同时不超过背包的容量限制。

三、索夫克勒斯回溯法的优缺点分析1.优点：- 搜索过程中充分利用了问题的约束条件，减少了无效搜索的次数；- 可以在较短时间内找到问题的一个可行解；- 算法结构简单，易于实现和理解。

2.缺点：- 当问题规模较大时，搜索树可能会变得非常庞大，导致计算量过大；- 索夫克勒斯回溯法只能找到一个可行解，而不一定是最优解；- 可能存在重复计算的情况，降低了算法的效率。

四、我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究与发展我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究起步较晚，但发展迅速。

近年来，我国学者在理论研究和实际应用方面取得了一系列成果，包括：1.对索夫克勒斯回溯法的原理进行了深入探讨，提出了一系列改进算法，提高了算法的搜索效率；2.将索夫克勒斯回溯法应用于实际问题的求解，取得了显著的效果；3.积极开展国际学术交流与合作，与国际同行共享研究成果，共同推动了索夫克勒斯回溯法的发展。

回溯算法（Backtracking）

回溯算法（Backtracking）
什么是回溯？
回溯是⼀种基本的搜索算法，通过在搜索过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就"回溯"返回，尝试别的路经。

在探索过程中，当探索到某⼀步时，发现原先搜索并不优或达不到⽬标，就退回⼀步重新选择，这种⾛不通就退回再⾛的技术为回溯法，⽽满⾜回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

搜索⽅式:
深度优先搜索(dfs)
宽度优先搜索(bfs)
基本思想
在包含问题的所有解的空间树中，按照dfs的策略，从根结点出发深度探索空间树。

当探索到某⼀结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。

（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若⽤回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可⾏的⼦树都要已被搜索遍才结束。

⽽若使⽤回溯法求任⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。

算法基本步骤
1. 满⾜⼀定条件下将当前数据加⼊到结果集(或检查到不满⾜要求当即返回)
2. 选择⼀条路经
3. dfs向前进⾏
4. 回退路经
⼀些情况下需要对数据进⾏预先处理，或在第2步直接检查以决定是否抛弃当前路经，以避免过多地递归，带来时间损耗。

换⽽⾔之，不满⾜条件的路经越早抛弃越好。

回溯(深搜)

end; for i:=1 to n do writeln(i,’-‘,s[i]);
end.
题二:
• 从1到X这X个数字中选出N个，排成一列，相邻两数不能相同，求所有可能的排法。每个数可以选用零次、一次或多次。例如，当N=3、X=3时，排法有12种：121、 123、131、132、212、213、231、232、 312、313、321、323。
else try(i+否1则);填涂下一个省
end;
end;
begin for j:=1 to n do read(link[i,j]);readln;end; total:=0;
Try(i):涂第I个省颜色
try(1);
end.
非递归方式
• 输入m[I,j]
• s[1]:=1;{区域1涂红色}
• i:=2;j:=1;{指向区域2,从颜色1开始试探}
以N=3，X=3为例，这个问题的每个解可分为三个部分：第一位，第二位，第三位。先写第一位，第一位可选1、2或3，根据从小到大的顺序，我们选1；那么，为了保证相邻两数不同，第二位就只能选2或3了，我们选2；最后，第三位可以选1或3，我们选1；这样就得到了第一个解"121"。然后，将第三位变为3，就得到了第二个解"123"。此时，第三位已经不能再取其他值了，于是返回第二位，看第二位还能变为什么值。第二位可以变为3，于是可以在"13"的基础上再给第三位赋予不同的值1和2，得到第三个解 "131"和"132"。此时第二位也已经不能再取其他值了，于是返回第一位，将它变为下一个可取的值2，然后按顺序变换第二位和第三位，得到 "212"、"213"、"231""232"。这样，直到第一位已经取过了所有可能的值，并且将每种情况下的第二位和第三位都按上述思路取过一遍，此时就已经得到了该问题的全部解。

计算机算法回溯算法

计算机算法回溯算法计算机算法：回溯算法在计算机科学领域中，算法是解决问题的方法和步骤集合，这些方法和步骤可以利用计算机进行实现。

其中，回溯算法是一种常见的算法，它通过枚举所有可能的解决方案，来找到最优的解决方案。

本文将详细介绍回溯算法的定义、原理及其几种常见的应用。

一、回溯算法的定义回溯算法是一种基于深度优先搜索的算法。

它用于在搜索解空间中寻找问题的所有解或其中的最优解。

其基本思路是：在当前状态下，先从某一步开始搜索，如果搜索失败，则回到前一步重新搜索，直到找到问题的解或其它条件满足。

二、回溯算法的原理回溯算法的实现需要考虑到两点：1、搜索的方向；2、搜索的终止条件。

回溯算法的搜索方向是从根节点开始，深度优先遍历整颗搜索树。

当搜索到某个节点时，如果发现这个节点不是一个可行解，那么回溯到它的父节点，然后尝试它的下一个候选解。

如果所有的候选解都失败了，那么回溯到它的父节点，继续尝试它的下一个候选解，直到找到可行解或搜索结束。

回溯算法的终止条件是找到了目标解，或是确定了目标解不存在。

三、回溯算法的应用1、全排列问题全排列指的是从一个有限元素集合中取出元素，按照一定的顺序排列，使得每一个元素都只出现一次，并且不重复。

例如，给定一个包含3个元素的集合{1,2,3}，则它的全排列集为{123,132,213,231,312,321}。

回溯算法可以用于求解全排列问题。

2、数独问题数独是一种填数游戏，它的目标是将数字1-9填入一个9×9的网格中，使得每行、每列以及每个3×3的小九宫格都包含了1-9的所有数字。

回溯算法可以用于数独问题：从左上角开始，依次对每一个格子进行填数，在填数的过程中，需要考虑到当前行、当前列和当前小九宫格的限制条件，如果填数失败则要回溯到上一个格子。

如果最终的结果满足数独的规则，则问题的解就找到了。

3、迷宫问题迷宫问题是一个经典的搜索问题，在直线走迷宫中，我们需要尽可能短的距离找出迷宫的出口，而且不能长时间的在迷宫中徘徊。

信息学竞赛中的搜索与回溯算法

信息学竞赛中的搜索与回溯算法在信息学竞赛中，搜索与回溯算法起着重要的作用。

这些算法通过遍历可能的解空间来寻找最优解，解决了许多实际问题。

本文将介绍搜索与回溯算法的基本原理、应用场景以及算法的优化方法。

一、搜索算法搜索算法通常用于在给定的搜索空间中查找目标解。

常见的搜索算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）和启发式搜索等。

1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索从根节点开始，沿着一条路径直到达到叶子节点或目标节点为止，然后回溯到上一个节点，继续搜索其他路径。

DFS算法非常适用于解决问题的完整解存在于较深路径的情况，例如迷宫问题、八皇后问题等。

2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索从根节点开始，逐层扩展搜索，直到找到目标解或者搜索空间被完全遍历。

BFS算法适用于解决问题的完整解存在于较浅路径的情况，例如最短路径问题、迷宫最短路径问题等。

3. 启发式搜索启发式搜索通过使用启发函数来评估搜索的方向和选择。

它常用于解决复杂问题，如人工智能、路径规划等。

A*算法是一种常见的启发式搜索算法，它通过估计从当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点。

二、回溯算法回溯算法是一种通过不断尝试所有可能解的方法，直到找到满足条件的解或遍历所有可能解的算法。

它常用于组合优化问题、排列问题等。

回溯算法的基本思想是通过逐步构建解空间，并在每一步选择一个可能的解，继续向下搜索。

如果当前选择导致无法满足条件，就回溯到上一步，尝试其他的选择。

回溯算法的典型应用包括全排列问题、子集问题和图的着色问题等。

它在信息学竞赛中广泛应用，可以有效地解决各种组合问题。

三、搜索与回溯算法的优化在实际应用中，搜索与回溯算法可能会面临解空间过大、搜索耗时长的问题。

为了提高算法的效率，可以采取以下优化方法。

1. 剪枝剪枝是指在搜索过程中，通过一些条件判断来减少搜索的路径，以避免不必要的计算。

剪枝可以根据问题的特点设计，例如对于排列问题，可以通过检查当前选择是否合法来剪枝。

回溯(Backtracking)基本原理

回溯算法1回溯(Backtracking)基本原理2007年9月26日张铭认识感性认识——皇后问题八皇后问题八皇后问题的一个解图示四皇后问题及其解空间树解表示成一个4维向量，<x 1,x 2,x 3,x 4>解空间树四皇后问题的解空间树直观分析原理描述原理描述结点分支判定条件：原理描述方式一：递归回溯void backtrack( int递归回溯算法解释constraint()方式二：迭代回溯void iterativeBacktrack() {效率分析提高时间效率的策略效率分析实战训练：背包问题构造解空间树0-1背包问题的一个解可以表示为一个0-1 <0,1,1,1> 对应于可行解：x 0=0, x 1=1, x 2=1, x 3=1. 重量：13，价值：282n搜索过程分析引子：可切割背包问题Constraintbound()回溯算法float btKnapsack(int递归函数：void backtrack(int// W存储各物品重量限界函数时间复杂度分析取决于空间复杂度分析运行数据已知1112n=8, M=11000155.1 257maxValue= 159运行实例分析更大的例子基本回溯小结回溯适应于求解组合搜索问题(组合优化问题)高级回溯讨论估计回溯算法的平均效率算法计算结点数回溯算法例Monte Carlo 方法估计四后问题的效率case1．<1,4,2>：1+4+4×2+4×2 = 21case2解空间的结点数为17必要条件多米诺性质？求不等式的整数解影响算法效率的因素分支限界技术实现方法装载问题用回溯法求解回溯法求解template<class T>void Loading<T>::maxLoading(int i){ // 从第i 层结点搜索n= 4r=19cw=0C分支限界法Queue<Type> Q; //活动结点队列Q.Add(-1);//同层结点尾标志-1AB C -1D E F 优先队列式分支限界法解装载问题搜索顺序不同的搜索空间背包问题背包问题搜索算法搜索顺序搜索空间搜索顺序搜索空间不同搜索顺序的比较代码思考新的搜索顺序搜索空间搜索顺序小结回溯和搜索一、字母的有限重全排列题意分析<a,b,c><a,a,c>for 效率分析回溯算法二、火车进出栈问题判断火车的出栈顺序是否合法回溯算法82解题思路利用合法的重构找冲突找不合法的结构回溯生成所有合法的出站序列第一类算法，有两个小方案第二类算法思想伪码void Train(n);<1,2>提高效率途径回溯算法四、布线问题印刷电路板将布线区域划分成其他线路不允许穿过被封锁的方格。

算法——回溯法

算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。

⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。

回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。

它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。

如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。

否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。

回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。

回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。

这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。

问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。

例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。

例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。

通常将解空间组织成树或者图的形式。

例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。

解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。

从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。

例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。

回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。

回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。

回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。

其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。

dfs 和回溯算法

dfs 和回溯算法
深度优先搜索（DFS）和回溯算法是两种常用的搜索和遍历算法。

深度优先搜索（DFS）是一种用于搜索和遍历图或树的算法。

它从一个起始顶点开始，沿着一个路径尽可能远地搜索，直到到达不能继续搜索的节点，然后返回并尝试其他路径。

在搜索过程中，DFS使用一个栈来记录已经访问的节点，并在回溯时返回到上一个节点。

DFS通常使用递归或栈来实现。

回溯算法是一种通过试错的方式来搜索和求解问题的算法。

它尝试在解空间中搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，以忽略那些不可能得到正确解的路径。

回溯算法通常使用递归来进行问题的求解，通过不断地尝试不同的选择和条件，直到找到满足问题要求的解或者无法找到解为止。

DFS和回溯算法在实际应用中常常结合使用，特别是在求解组合优化问题、图遍历和搜索等领域。

它们的共同特点是都基于搜索空间，通过深度优先的方式进行搜索和回溯。

在编程实现时，可以通过递归或显式地使用栈等数据结构来实现DFS和回溯算法。

回溯算法

回溯算法回溯算法是程序设计中最重要的基础算法之一，也是搜索算法中的一种控制策略，回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，选择另外一条路再走。

它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优先搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。

回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。

一、回溯算法说明1.算法定义回溯算法是搜索算法中的一种控制策略。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯算法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

回溯算法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯算法。

2.算法描述回溯算法描述如下：procedure run（当前状态）；vari：integer；beginif当前状态为边界then beginif 当前状态为最佳目标状态then记下最优结果；exit；{回溯}end；{then}for i←算符最小值to 算符最大值dobegin算符i作用于当前状态，扩展出一个子状态；if (子状态满足约束条件) and (子状态满足最优性要求)then run(子状态)；end；{for}end；{run}二、经典例题分析[问题描述]八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。

该问题由19世纪著名的数学家高斯于1850年提出：在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

高斯认为有76种方案。

搜索算法---回溯

回溯算法详解

基本算法-回溯法（迷宫问题）

回溯法

回溯法

算法设计中的回溯思想

计算方法之——回溯算法

第5章 搜索与回溯算法(C 版)

17图的搜索算法之回溯法

回溯

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