多层多跨框架结构内力及位移计算
3框架内力与位移计算4(D值法)
作业题:某三层两跨框架，跨度及层高、尺寸如图，柱截面积尺寸300×350，左跨梁截面为250×500，
右跨梁截面为250×400，现浇梁柱及楼面，采用C30钢筋混凝土（Ec=3.0×104MPa），试用D值法求其 内力（M图）。 0.8kN 3.60m
J
1.2kN
K
L
1.5kN 4.50m
D A
7.80m
第三章 框架结构内力与位移计算
----D值法
水平荷载作用下的改进反弯点法——D值法
当框架的高度较大、层数较多时，柱子的截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线刚度之比往往要小于3， 反弯点法不再适用。如果仍采用类似反弯点的方法进行框架内力计算，就必须对反弯点法进行改进— —改进反弯点（D值）法。 日本武藤清教授在分析多层框架的受力特点和变形特点的基础上作了一些假定，经过力学分析，提出了 用修正柱的抗侧移刚度和调整反弯点高度的方法计算水平荷载下框架的内力。修正后的柱侧移刚度用D表 示，故称为D值法。
反弯点高度比
图给出了柱反弯 点位置和根据柱 剪力及反弯点位 置求出的柱端弯 矩、根据结点平 衡求出的梁端弯 矩。根据梁端弯 矩可进一步求出 梁剪力（图中未 给出）。
作业练习
1．用反弯点法和D值法计算的刚度系数d和D值物理意义是什么？什么区别？为什么？二者在基本假定 上有什么不同？分别在什么情况下使用？ 2．影响水平荷载下柱反弯点位置的主要因素是什么？ 框架顶层和底层柱反弯点位置与中部各层反弯点位 置相比,有什么变化？ 3．D值法的计算步骤是什么？边柱和中柱，上层柱和底层柱D值的计算公式有是区别？ 4．请归纳一下D值法与反弯点法都作了哪些假定？有哪些是相同的？为什么说二者都是近似方法？D值法 比反弯点法有哪些改进？
E
第五章多层框架内力和侧移计算简介
120
100（80）50
2、结构的抗震等级 地震作用下，钢筋混凝土结构的地震反应有下列特点：
（1）、地震作用越大，房屋的抗震要求越高； （2）、结构的抗震能力主要取决于主要抗侧力构件的性 能，结构形式不同，抗震要求也不同。 （3）、房屋越高，地震反应越大，抗震要求越高。
抗震等级是确定结构构件抗震计算和抗震措施的标准。 根据设防烈度、房屋高度、建筑类别、结构类型及构件在 结构中的重要程度确定，共分四个等级，一级最高。
9
≤ 25
一 一
≤ 50
一 一
注：①.建筑场地为Ⅰ类时，除6度外可按表内降低一度所对应的 抗震等级采取抗震构造措施，但相应的计算要求不应降低；
②.接近或等于高度分界时，应允许结合房屋不规则程度及场 地、地基条件确定抗震等级。
3、防震缝与抗撞墙布置
➢高层建筑避免采用不规则的建筑结构方案，尽量 不设防震缝。
（c) min 见下表
抗震等级
类别
一
二
三
四
中柱和边柱
1.0
4）框架梁下部纵向钢筋在端节点的锚固要求与中间 节点相同。
3 框架柱纵向钢筋在顶层节点的锚固 （1）框架柱纵筋在中间节点的锚固
梁高足够时
梁高不够时
板厚>80mm时
（2）框架柱纵筋在顶层端节点的锚固
三、箍筋
1.在框架节点内应设置水平箍筋，箍筋应符合柱箍 筋的构造规定，但间距不宜大于250mm。
2.对四边均有梁与之相连的中间节点，节点内可只 设置沿周边的矩形箍筋，不必设置复合箍筋。
2）框架-抗震墙结构房屋的防震缝宽度可采用
框架规定数值的50%，且不宜小于70mm。
3）防震缝两侧结构类型不同时，按需要较 宽防震缝的结构类型考虑和按低的房屋高 度计算缝宽。
框架结构的内力和位移计算
框架梁跨中截面： T型截面
框架梁支座截面： 矩形截面
边框架：I＝I0
注：I0为矩形截面框架梁的截面惯性矩
框架结构的内力和位移计算
10
§ 3.2 竖向荷载作用下的近似计算方法——分层法 计算假定：
➢ 多层多跨框架在一般竖向荷载作用下，侧移小， 作为无侧移框架按力矩分配法进行内力分析
➢ 多层框架简化为单层框架，分层作力矩分配计算
17
2 弯矩二次分配法
具体计算步骤： （1）根据各杆件的线刚度计算各节点的杆端弯矩
分配系数，并计算竖向荷载作用下各跨梁的固端弯矩。 （2）计算框架各节点的不平衡弯矩，并对所有节
点的不平衡弯矩同时进行第一次分配（其间不进行弯 矩传递）。
框架结构的内力和位移计算
18
（3）将所有杆端的分配弯矩同时向其远端传递（对 于刚接框架，传递系数均取1/2）。
首先，将多层框架分解成一层一层的单层框架
框架结构的内力和位移计算
12
分层法 例题：
框架结构的内力和位移计算
13
分层法
力学知识回顾
➢转动刚度——对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度以S表示 等于杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
➢固端弯矩 方向 +
框架结构的内力和位移计算
14
分层法
➢传递系数
➢分配系数
框架结构的内力和位移计算
2
荷载和设计要求
步骤四：内力计算 ➢ 竖向恒荷载作用下内力计算 ➢ 竖向活荷载作用下内力计算 ➢ 水平风荷载作用下内力计算 ➢ 地震作用下内力计算
步骤五：侧移验算 ➢ 侧移不满足要求回到步骤一
步骤六：控制截面及控制截面内力调整 ➢ 梁柱轴线端内力调整至构件边缘端 ➢ 竖向荷载梁端出现塑铰产生的塑性内力重分布
框架结构内力位移计算算例
结构力学课程大作业——多层多跨框架结构内力及位移计算班级学号姓名华中科技大学土木工程与力学学院年月日结构力学课程大作业——多层多跨框架结构内力与位移计算一、任务1、计算多层多跨框架结构在荷载作用下的弯矩和结点位移。
2、计算方法要求：（1）用迭代法、D 值法、反弯点法及求解器计算框架结构在水平荷载作用下的弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
（2）用迭代法、分层法、二次力矩分配法及求解器计算框架结构在竖向荷载作用下的弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
3、分析近似法产生误差的原因。
二、计算简图及基本数据本组计算的结构其计算简图如图1所示，基本数据如下。
混凝土弹性模量：723.010/h E kN m =⨯构件尺寸：柱：底 层：23040b h cm ⨯=⨯其它层：23030b h cm ⨯=⨯ 梁：边 梁：22560b h cm ⨯=⨯中间梁：22530b h cm ⨯=⨯ 水平荷载：'15P F kN ＝，30P F kN ＝（见图2）竖向均布恒载：17/q kN m 顶＝ 21/q kN m 其它＝（见图8） 图1各构件的线刚度：EIi L =，其中312b h I ⨯=边 梁：33410.250.6 4.51012I m -⨯==⨯F 7311 3.010 4.510225006EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 中间梁： 34420.250.3 5.6251012I m -⨯==⨯ 7422 3.010 5.6251067502.5EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 底层柱： 33440.30.4 1.61012I m -⨯==⨯ 7344 3.010 1.61096005EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 其它层柱：34430.30.3 6.751012I m -⨯==⨯ 7433 3.010 6.75106136.43.3EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 三、水平荷载作用下的计算 （一）用迭代法计算1、计算各杆的转角分配系数ikμ' 转角分配系数计算公式：()2ikikiki i i μ'=-∑结点“1”：12225000.3932(6136.422500)μ'=-=-⨯+156136.40.1072(6136.422500)μ'=-=-⨯+结点“2”：21225000.3182(67506136.422500)μ'=-=-⨯++图2232(67506136.422500)⨯++266136.40.0872(67506136.422500)μ'=-=-⨯++由于该结构是对称结构，因此结点“3”的分配系数应该等于结点“2”的，结点“4”的分配系数应该与结点“1”的相等，所以本题只需计算1、2、5、6、9、10、13、14、17、18结点的分配系数。
框架结构的内力和位移计算
H
（4.21）
（10.53）
E
（4.84）
（括号内数字为线刚度相对值）
A
（i=EI/l）
B
8.00m
2021/4/10
（8.21）
I
（2.00） q=2.4kN/m
（10.77）
F
（5.00）
C
6.00m
19
4.40m
3.80m
水平荷载作用下的近似计算——反弯点法
框架所受水平荷载主要是风力和地震作用。将在每个楼层上 的总风力和总地震作用分配给各个框架，将结构分析简化为平面 框架分析。 • 受力和变形特点 • 假定条件 • 计算方法 • 需注意的问题
3
2
2i12z1
4i12z1 1/2
1
0 3 i13 z1
4i15z1
i14 z1 -1
4
i14 z1
1/2
5
2i15z1
11
2021/4/10
弯矩分配法注意事项
12
2021/4/10
例题
G
（4.21）
D
（7.11）
q=2.8kN/m
（7.63） q=3.8kN/m
H
（4.21）
（9.53）
E
基本假定
①假定同层各节点转角相同； 承认节点转角的存在，但是为了计算的方便，假定同层各节点转角相同。 ②假定同层各节点的侧移相同。这一假定，实际上忽略了框架梁的轴向变形。这与实际结构差别不大。
优点： 1、计算步骤与反弯点法相同，计算简便实用。 2、计算精度比反弯点法高。 缺点： 1、忽略柱的轴向变形，随结构高度增大，误差增大。 2、非规则框架中使用效果不好。
点角位移 ，0 各节点只有侧移，同层各节点 水平位移相等； • 底层柱反弯点在距底端2/3h处，上层各柱反 弯点在柱高1/2处。
框架施工图—内力分析及侧移计算(建筑构造)
（2） 侧移刚度d的确定 侧移刚度d表示柱上下两端有单位侧移时在柱中产生的 剪力。根据假定（1），梁柱线刚度之比无穷大，则各 柱端转角为零，由结构力学的两端无转角但有单位水平 位移时杆件的杆端剪力方程，柱的侧移刚度d可写成：
V 12 i
d= =
c
D
h2
EI
i=
c
h
内力分析及侧移计算
（3）同层各柱剪力的确定
（5
柱端弯矩确定以后，根据节点平衡条件可确定梁的弯矩。
对于边柱节点（图(a)），有Mb=Mc1+Mc2 对于中柱节点（图1(b))
Mb1=ib1/(ib1+ib2)(Mc1+Mc2 Mb2=ib2/(ib1+ib2)(Mc1+Mc2)
内力分析及侧移计算
如图所示，从框架中任取一柱AB，根据转角位移方
内力分析及侧移计算
分层法
认为某层框架梁上的荷载只给本层梁及与本层梁相连的框架产 生剪力和弯矩
进行弯矩分配后叠加，叠加后的不平衡弯矩再分配但不传递
内力分析及侧移计算
2 框架在水平荷载作用下内力的近似计算——反弯点法和D值法
A 反弯点法 反弯点法基本假定: （1） 在进行各柱间的剪力分配时，假定梁与柱的线
（2） 在确定各柱的反弯点位置时，假定除底层柱以
多层多跨框架所受水平荷载主要是风荷载及水平 地震作用。一般可简化为作用在框架节点上的集中 荷载，其弯矩图如图(a)所示。它的特点是，各杆的 弯矩图都是直线形，每杆都有一个零弯矩点，称为 反弯点。框架在水平荷载作用下的变形情况如图(b) 所示
内力分析及侧移计算
程，柱两端剪力为：
V
=
12ic h2
6ic h
毕业设计指导书框架结构设计内力计算及组合
第三章 框架内力计算3.1计算方法框架结构一般承担的荷载主要有恒载、使用活荷载、风荷载、地震作用，其中恒载、活荷载一般为竖向作用，风荷载、地震则为水平方向作用，手算多层多跨框架结构的内力（M 、N 、V ）及侧移时，一般采用近似方法。
如求竖向荷载作用下的内力时，有分层法、弯矩分配法、迭代法等；求水平荷载作用下的内力时，有反弯点法、改进反弯点法（D 值法）、迭代法等。
这些方法采用的假设不同，计算结果有所差异，但一般都能满足工程设计要求的精度。
本章主要介绍竖向荷载作用下无侧移框架的弯矩分配法和水平荷载作用下D 值法的计算。
在计算各项荷载作用效应时，一般按标准值进行计算，以便于后面荷载效应的组合。
1. 弯矩分配法在竖向荷载作用下较规则的框架产生的侧向位移很小，可忽略不计。
框架的内力采用无侧移的弯矩分配法进行简化计算。
具体方法是对整体框架按照结构力学的—般方法，计算出各节点的弯矩分配系数、计算各节点的不平衡弯矩，然用进行分配、传递，在工程设计中，每节点只分配两至三次即可满足精度要求。
相交于同一点的多个杆件中的某一杆件，其在该节点的弯矩分配系数的计算过程为： （1）确定各杆件在该节点的转动刚度杆件的转动刚度与杆件远端的约束形式有关，如图3-1：（a ）杆件在节点A 处的转动刚度 （b ）某节点各杆件弯矩分配系数图 3-1 A 节点弯矩分配系数（图中lEI i ）（2）计算弯矩分配系数μ（3）相交于一点杆件间的弯矩分配弯矩分配之前，还需先要求出节点的固端弯矩，这可查阅相关静力计算手册得到。
表3-1为常见荷载作用下杆件的固端弯矩。
在弯矩分配的过程中，一个循环可同时放松和固定多个节点（各个放松节点和固定节点间间隔布置，如图3-2），以加快收敛速度。
计算杆件固端弯矩产生的节点不平衡弯矩时，不能丢掉由于纵向框架梁对柱偏心所产生的节点弯矩。
具体计算可见例题。
常见荷载作用下杆件的固端弯矩 表3-1注：梯形和三角形分布荷载下的固端弯矩以及反力：图 3-2 弯矩分配过程中放松和固定节点顺序图3-3 分层法的计算单元划分2.分层法分层法是弯矩分配法的进一步简化，它的基本假定是：1.框架在竖向荷载作用下的侧移忽略不计；2.可假定作用在某一层框架梁上的竖向荷载只对本楼层的梁以及与本层梁相连的框架柱产生弯矩和剪力，而对其他楼层的框架梁和隔层的框架柱都不产生弯矩和剪力。
第四章 框架结构内力计算
4、计算和确定梁、柱弯矩分配系数。 按修正后的刚度计算各结点周围杆件的杆 端分配系数。 5、按力矩分配法计算单层梁、柱弯矩。 6、将每个单层框架的计算结果按相应部分迭 加起来便得到原框架的计算结果，即柱的弯矩 取相邻两个单元中同一柱对应弯矩之和，而梁 的弯矩直接采用。
四、计算例题
作业2
3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法
d
i 1
m
V pj
ij
4、柱端弯矩的确定 M j V jY j 柱下端弯矩 柱上端弯矩 M j V j (h j Yj )
5、梁端弯矩的确定 M ml (M mt M m1b ) 对于边柱 ibl 对于中柱
M ml ( M mt M m1b ) M mr ibl ibr ibr ( M mt M m1b ) ibl ibr
第3章 框架结构的内力和位移计算
3.1 竖向荷载下内力的近似计算—分层法 3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法 3.3 水平荷载下内力的近似计算—D值法 3.4 水平荷载作用下侧移的近似计算
3.1 竖向荷载下内力近似计算—分层法
一、竖向荷载 自重、活荷、雪荷载及施工检修荷载等。 二、分层法的基本假设 1、忽略侧移的影响； 2、忽略每层梁的竖向荷载对其它各层梁 的影响。 三、分层法计算要点 1、将N层框架划分成N个单层框架，柱 端假定为固端， 用力矩分配法计算。
三、柱的侧移刚度D 12ic D 2 h
—为柱侧移刚度修正系数，表示梁柱刚 度比对柱侧移刚度的影响。
四、剪力计算 有了D值后，与反弯点法类似，计算各柱分 配的剪力 Dij Vij V pj Dij 五、确定柱反弯点高度比 影响柱反弯点高度的主要因素是柱上下端的 约束条件。
框架结构的内力与位移计算
框架结构的内力与位移计算4．1 概述框架结构是目前多、高层建筑中常采用的结构形式之一。
框架在结构力学中称为刚架，结构力学中已经比较详细地介绍了超静定刚架(框架)内力和位移的计算方法，比较常用的手算方法有全框架力矩分配法、无剪力分配法和迭代法等，均为精确算法。
但在实用中大多已被更精确、更省人力的计算机分析方法(矩阵位移法)所代替。
不过，其中有些手算近似计算方法由于其计算简单、易于掌握，又能反映刚架受力和变形的基本特点，目前在实际工程中应用还很多，特别是在初步设计时的估算，手算的近似方法仍为设计人员所常用。
多、高层建筑结构在进行内力与位移计算中，为使计算简化，必须作出一些假定，以下将讨论一些结构计算中的基本假定：(1)弹性工作状态假定：结构在荷载作用下的整体工作按弹性工作状态考虑，内力和位移按弹性方法计算。
但对于框架梁及连梁等构件，可考虑局部塑性变形，内力重分布。
(2)平面结构假定：任何结构都是一个空间结构，实际风荷载及地震作用方向是随意的、不定的。
为简化计算，对规则的框架、框架—剪力墙、剪力墙结构体系及框筒结构，可将结构沿两个正交主轴方向划分为若干平面抗侧力结构—若干榀框架、若干片墙，以承受该框架、墙平面方向的水平力(风荷载及水平地震作用)，框架、墙不承受垂直于其平面方向的水平力。
(3)刚性楼面假定：各平面|考试大|抗侧力结构之间通过楼板相互联系并协同工作。
一般情况下，可认为楼板在自身平面内刚度无限大，而楼板平面外刚度很小，可以不考虑。
为保证楼面在平面内刚度，在设计中应采取相应的构造措施。
但当楼面有大开孔、楼面上有较长的外伸段、底层大空间剪力墙结构的转换层楼面以及楼面的整体性较差时，宜对采用刚性楼面假定的计算结果进行调整或在计算中考虑楼面的平面内刚度。
在上述假定下，内力分析时要解决两个问题：一个是按各片抗侧力结构的相对刚度大小，分配水平荷载至各片抗侧力结构；另一个是计算每片抗侧力结构在所分到的水平荷载作用下的内力及位移。
框架结构内力与位移计算
《高层建筑结构与抗震》辅导材料四框架结构内力与位移计算学习目标1、熟悉框架结构在竖向荷载和水平荷载作用下的弯矩图形、剪力图形和轴力图形；2、熟悉框架结构内力与位移计算的简化假定及计算简图的确定；3、掌握竖向荷载作用下框架内力的计算方法——分层法；4、掌握水平荷载作用下框架内力的计算方法——反弯点法和D值法，掌握框架结构的侧移计算方法。
学习重点1、竖向荷载作用下框架结构的内力计算；2、水平荷载作用下框架结构的内力及侧移计算。
框架在结构力学中称为刚架，刚架的内力和位移计算方法很多，可分为精确算法和近似算法。
精确法是采用较少的计算假定，较为接近实际情况地考虑建筑结构的内力、位移和外荷载的关系，一般需建立大型的代数方程组，并用电子计算机求解；近似算法对建筑结构引入较多的假定，进行简化计算。
由于近似计算简单、易于掌握，又能反映刚架受力和变形的基本特点，因此近似的计算方法仍为工程师们所常用。
本章内容主要介绍框架结构在荷载作用下内力与位移的近似计算方法。
其中分层法用于框架结构在竖向荷载作用下的内力计算，反弯点法和D值法用于框架结构在水平荷载作用下的内力计算。
既然是近似计算，就需要熟悉框架结构的计算简图和各种计算方法的简化假定。
一、框架结构计算简图的确定一般情况下，框架结构是一个空间受力体系，可以按照第四章所述的平面结构假定的简化原则，忽略结构纵向和横向之间的空间联系，忽略各构件的抗扭作用，将框架结构简化为沿横方向和纵方向的平面框架，承受竖向荷载和水平荷载，进行内力和位移计算。
结构设计时一般取中间有代表性的一榀横向框架进行分析，若作用于纵向框架上的荷载各不相同，则必要时应分别进行计算。
框架结构的节点一般总是三向受力的，但当按平面框架进行结构分析时，则节点也相应地简化。
在常见的现浇钢筋混凝土结构中，梁和柱内的纵向受力钢筋都将穿过节点或锚入节点区，这时节点应简化为刚接节点；对于现浇钢筋混凝土柱与基础的连接形式，一般也设计成固定支座，即为刚性连接。
框架结构侧移计算及限值
（4）梁下部纵向钢筋也可贯穿框架节点，在节点外梁内 弯矩较小部位搭接，如图14-23（c）所示，钢筋搭接长 度按上册式（5-31）计算。
（5）当计算中充分利用钢筋的抗压强度时，其下部纵向 钢筋应按受压钢筋的要求锚固，锚固长度应不小于0.7。
7.钢筋的连接，见GB50010-2002,p116
8.纵向受力钢筋的最小配筋率，见GB500102002,p119
二、框架结构的抗震构造措施 1.有抗震设防要求的构件的锚固和连接要求。
GB50010-2002,p168 2.材料要求。 GB50010-2002,p169 3.框架梁的构造要求。GB50010-2002,p169
(9)框架顶层端节点最好是将柱外侧纵向钢筋弯入梁内作 梁上部纵向受力钢筋使用，亦可将梁上部纵向钢筋和柱 外侧纵向钢筋在顶层端节点及其临近部位搭接，如图
GB50010-2002,p141，fig10.4.4 。
5.混凝土保护层厚度
见GB50010-2002,p113
6.钢筋的锚固，见GB50010-2002,p115
2）怎样进行调幅
设某框架梁AB在竖向荷载作用下，
梁端最大负弯矩分别为MA0 、MB0 ，梁跨中最大正弯矩为 MC0 ，
则调幅后梁端弯矩可取:
式中β 为弯矩调幅系数。
对于现浇框架，可取β=0.8～0.9；对于装配整体框架由于接头焊接不牢或由于节 点区混凝土灌注不密实等原因，节点易变形达不到绝对刚性，框架梁端的实 际弯矩比弹性计算值要小，因此，框架梁端的调幅系数允许取得低一些，一 般取β=0.7～0.8。
梁端弯矩调幅后，在相应荷载作用下的跨中弯矩必将增加， 如图14-22所示。 调幅后梁端弯矩MA、MB的平均值与跨中最大正弯 矩 之和应大于按简支梁计算的跨中弯矩值。
§13.3 框架结构的内力和位移计算
§13.3 框架结构的内力与位移计算一、竖向荷载作用下的内力近似计算方法——— 分层法1. 基本假定（1） 在竖向荷载作用下，多层多跨框架的侧移很小可忽略不计。
（2） 每层梁上的荷载只对本层的梁和上、下柱产生内力对其他各层梁及其他柱内力的影响可忽略不计。
2. 计算方法（1）将多层框架分层，以每层梁与上下柱组成的单层框架作为计算单元，柱远端假定为固端。
（2）用力矩分配法分别计算每个计算单元的内力。
（3）在分层计算时，假定上、下柱的远端是固定的，但实际上有转角产生，是弹性支承。
为消除由此所带来的误差，可令除底层柱外，其他每层柱的线刚度均乘以0.9的折减系数（底层铰结时为0.75） ，相应的弯矩传递系数取1/3，底层柱弯矩传递系数仍为1/2。
（4）分层计算所得的梁端弯矩即为最后弯矩，而每根柱分别属于上下两个计算单元，所以柱端弯矩要进行叠加。
叠加后节点上的弯矩可能不平衡，但一般误差不大，若欲进一步修正则可对节点的不平衡弯矩作一次弯矩分配，但不再传递。
二、水平荷载作用下的内力近似计算方法 （一） ——反弯点法对在水平荷载作用下的框架内力近似计算，一是需要确定各柱间的剪力分配比；二是要确定各柱的反弯点位置。
1.基本假定（1）梁的线刚度无限大，各柱上下两端只有水平位移没有角位移，且同一层柱中各端的水平位移相等。
（2）框架底层柱的反弯点在距柱底2/3柱高处，其余各层柱的反弯点在柱高的中点。
（3）梁端弯矩可由节点平衡条件求出。
2.计算方法（1）同层各柱剪力的确定首先求出同层每根框架柱的抗侧移刚度d = 12i c / h 2 ，式中i c = EI/ h 称为柱的线刚度，h 为层高。
柱的抗侧移刚度d 表示柱端产生单位水平位移Δu = 1时，在柱端所需施加的水平力大小。
设框架结构共有n 层，每层共有j 根柱子，则第i 层各柱在反弯点处剪力计算式为：i j j ji ji V dd ∑==1 Vij 式中 V ij ———第i 层第j 根柱子的剪力；d ij ———第i 层第j 根柱子的侧移刚度；∑d ij ———第i 层j 根柱子的侧移刚度总和；Vi ———第i 层楼层总剪力，为第i 层及第i 层以上所有水平荷载总和。
3-1框架内力计算
q=2.8kN/m （10.21） （1.79） q=3.4kN/m
H
（4.21）
I
3.80m
D
（9.53） （7.11） （4.84）
E
（12.77） （3.64）
F
4.40m
（括号内数字为线刚度相对值）
A
（i=EI/l） 7.50m
B
5.60m
C
解：
上层各柱线刚度×0.9，然后计算各节点的弯矩分配系数
多层与高层建筑结构设计
第三章 框架结构内力与位移计算
土木工程系
框架结构内力与位移计算
• 框架结构的布置与计算简图
• 竖向荷载作用下的近似计算——分层计算法 • 水平荷载作用下的近似计算——反弯点法 • 水平荷载作用下的改进反弯点法——D值法
• 水平荷载作用下侧移的近似计算
框架结构的布置与计算简图
装配整体式楼面
框架柱的截面尺寸估算
框架柱的截面尺寸一般根据柱的轴压比限值按下列公式估算：
N＝βAGn
N Ac≤ [ N ] f c
框架柱轴压比限值，对 一级、二级和三级抗震 等级，分别取0.7, 0.8和 0.9。
其中β——考虑地震作用组合后柱轴压力增大系数，边 柱取1.3，不等跨内柱取1.25，等跨内柱取1.2； A——按简支状态计算的柱的负载面积； G——折算在单位建筑面积上的重力荷载代表值， 可根据实际荷载计算，也可近似取12～16 kN/m2； n——验算截面以上楼层层数；
-0.200 0.133
-0.267 0.231
-4.836
0.668
15.045
0.353 0.175
-13.585
0.472
0.733
框架结构内力和位移计算
-2.5% -24.8%
-15.825 -14.750
E
7.3%
0.733 1.71
-57.1%
I
-0.929 -1.710
-45.7%
1.924 3.440
-44.1%
F
-0.829 -1.610 -1.336 -1.830
-48.5% -27%
3.395
A
82.5% 1.860
分析结论：1）梁的误差较小； 2）柱的误差比较大。
竖向荷载作用下的近似计算（分层计算法）
在一般竖向荷载下，框架侧移比较小，可以按照弯矩分配法进行内力分析
第1页/共49页
多层多跨框架在一般竖向荷载作用下侧移是比较小的，可作为无侧移框架按力矩分 配法进行内力分析。由精确分析可知，各层荷载对其他层杆件内力影响不大。因此， 在近似方法中，可将多层框架简化为单层框架，即分层作力矩分配计算。 上述两点即为分层计算法的基本简化假定。
1
0 3 i13 z1
4i15z1
i14 z1 -1
4
i14 z1
1/2
5
2i15z1
第10页/共49页
弯矩分配法注意事项
第11页/共49页
3.80m
例题
G
（4.21）
D
（7.11）
q=2.8kN/m
（7.63） q=3.8kN/m
H
（4.21）
（9.53）
E
（4.84）
（括号内数字为线刚度相对值）
计算时候，假定上下柱远端均为固定,实际上除了底层柱外,其他均为弹性支撑,故为了 减小误差。特意作如下修正：
1、上层各柱线刚度乘以0.9加以修正。梁不变 2、除底层柱外，各柱传递系数修正为1/3。梁不变 计算结果中结点上弯矩可能不平衡，但是误差不会太大，可以不再计算，也可以为 提高精度，再进行一次弯矩分配。
框架结构内力及位移计算
第一节 高层建筑结构计算的基本假定
高层建筑是一个复杂的空间结构，它不仅平面形状多变，立面体型也各种各样，而且结 构型式和结构体系均各不相同，高层建筑中，有框架、剪力墙和筒体等竖向抗侧力结构，又 有水平放置的楼板将它们连为整体；同时高层建筑的实际荷载也是很复杂的，钢筋混凝土结 构又会有开裂、屈服等现象，并不是弹性匀质材料。因此要对这种高次超静定、多种结构型 式组合在一起的空间结构进行精确的内力和位移计算是十分困难的，在设计计算时，就必须 作出一些简化假定，以便简化计算。
面形状复杂，抗侧力结构又斜向布置时，就需要经过计算才能确定主轴方向。
四、框架结构计算方法分类
框架在结构力学中称为刚架，刚架的内力和位移计算方法很多，通常有精确法（如力法
和位移法）、渐近法（如力矩分配法、迭代法和无剪力分配法）和近似法（分层法、反弯点
法和 D 值法）三种。
精确法计算假定少，较为接近实际状况，但需建立大型的代数方程组，一般均利用计算 机进行求解；渐近法通常是利用一般的数学运算，使解答逐步趋于正确值，渐近法的优点是： 运算简单，方法易于掌握，当计算精度达到应用要求时，即可停止计算，故渐近法兼有近似 法和精确法的功能，渐近法的缺点是在数值计算中，不能包含变量，故不能研究某些量改变 时对结构的影响；近似法对结构引入较多的假定，忽略了一些次要因素，进行简化计算，其 概念清楚、计算简单、易于掌握、精确度也足够。
V = 12ic δ h2
因此，柱的侧移刚度为：
d = V = 12ic δ h2
ic
=
EI h
图 14 柱剪力与水平位移的关系
上两式中：V 为柱剪力； δ 为柱层间位移； h 为层高； EI 为柱抗弯刚度； ic 为柱线刚度。 侧移刚度 d 的物理意义是柱上下两端相对有单位侧移时柱中产生的剪力。 设同层各柱剪力为V1,V2 ,L,Vi ,L, 根据层剪力平衡，有：
框架结构内力与水平位移的近似计算方法
风荷载 水平荷载
水平地震作用
一般简化成作用于节点处水平集中力
第二节 内力与水平位移的近似计算方法 竖向荷载作用下的框架内力分析—分层法 分层法假定
作用在某一层竖向荷载只对本层梁及 与之相连的柱产生弯矩和剪力，忽略对其 他楼层的框架梁和隔层的框架柱产生的弯 矩和剪力。
分层法计算
在多层竖向荷载同时作用下的框 架内力，看成是各层竖向荷载单独作 用下的内力的叠加
现浇楼盖
中框架梁取 I＝2I0 边框架梁取 I＝1.5I0
装配整体式楼盖 装配式楼盖
中框架梁取I＝1.5I0 边框架梁取I＝1.2I0
按实际截面计算I。
第二节 内力与水平位移的近似计算方法
框架结构的计算简图 6、荷载计算 作用于框架结构上的荷载有两种
一般为分布荷载
建筑结构自重
竖向荷载 楼面活荷载
h h
柱下端弯矩
Ml c jk
Vjk
yh
5、计算梁端弯矩 M b
M br
ibr ibl
ibr
Mcu Mcl
Mbl
ib l ibl ibr
Mcu Mcl
第二节 内力与水平位移的近似计算方法 水平荷载作用下的框架内力分析— D值法
计算步骤
6、计算梁端剪力Vb
Vb
M bl
M br l
7、计算柱轴力N
各柱上下端不发生角位移
梁柱线刚度比无限大
除底层以外，各柱上 下端节点转角均相同
底层柱反弯点在 距基础2/3层高处
其余各层框架柱的反 弯点位于层高的中点
第二节 内力与水平位移的近似计算方法 水平荷载作用下的框架内力分析—反弯点法
计算简图与基本公式
沿第j层各柱反弯点处 切开代以剪力和轴力
结构力学分层法计算书
结构力学课程大作业——多层多跨框架结构内力及位移计算班级：土木工程姓名：学号：华中科技大学土木工程与力学学院2015年 11月22日一、任务1. 求解多层多跨框架结构在竖向荷载作用下的弯矩以及水平荷载作用下的弯矩和各层的侧移。
2. 计算方法：（1）用近似法计算：水平荷载作用用反弯点法计算，竖向荷载作用采用分层法和二次力矩分配法计算。
（2）用电算（结构力学求解器）进行复算。
3. 就最大相对误差处，说明近似法产生误差的来源。
4. 将手算结果写成计算书形式。
5. 计算任务分配：每位同学一题。
二、计算简图及基本参数数据本次任务计算的结构简图如图1，基本数据如下。
杆件弹性模量：E ℎ=3.0×107kN/m 2 构件尺寸：L 1=4.8m, L 2=2.7m, H 1=4.8m, H 2=3.6m 底层柱(b ×h)= 500mm ×500mm 其他层柱(b ×h)= 450mm ×450mm 边梁(b ×h)=250mm ×450mm 中间梁(b ×h)=250mm ×450mm水平荷载和分层法、二次分配法标号如图2F P1=30kN F P2=15kN竖向荷载和反弯点算法的标号：如图3 g 1=21kN/m 2, g 2=17kN/m 2各杆件的线刚度： i =EI L,I =bℎ312边梁有：I 1=250×450312=1.90×109mm 4, i 1=E ℎ×I 1L =11865.234kN ∙m1A 1′D5 8 4 2′B 7 2 48 C37 DB26 A E I15 HE 5′ 4′ A ′ 7′ D ′ 8′ B ′E ′ GH H′G′9 FJ G K LOMN中间梁有：I2=250×450312=1.90×109mm4, i2=Eℎ×I2L2/2=42187.5kN∙m底层柱有：I4=500×500312=5.21×109mm4, i4=Eℎ×I4H1=32552.083kN∙m其他层柱有：I3=450×450312=3.42×109mm4分层法中： i3=Eℎ×I3H2×0.9=25628.906kN∙m二次分法和反弯点法中： i3=Eℎ×I3H2=28476.562kN∙m 三、用分层法计算竖向荷载作用下的弯矩（1）确定计算简图本结构可以分顶层，中间层和底层三个部分进行计算，再叠加即可（2）顶层弯矩的计算取出顶层如右图4（1），其半结构如图4（2）。
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ik i3 i3 i3 i3
ik F=30kN i i i
EI 3.010 1.6107 3
i 4 9600kNm
4
L 5
i 3 6136.4kNm
3
L 3.3
三、水平荷载作用下的计算
（一）用迭代法计算
1、计算各杆的转角分配系数ik
1 P
结点“”：
9 10 11 12
12 P 1 2 1
2(6136.422500) 13 14 15 16
6136.4
0.087
26
2(67506136.422500)
“3” “2”
22500 i3 i3 i3 i3
0.393 F=30kN i i i
2
L 2.5
0.30.43 3 4
底层柱： I 4 1.610 m
12
12
-2-
----------------------- Page 3-----------------------
EI 3.010 4.5107 3
结构力学课程大作业
——多层多跨框架结构内力与位移计算
一、任务
1、计算多层多跨框架结构在荷载作用下的弯矩和结点位移。
2、计算方法要求：
1 D
（）用迭代法、 值法、反弯点法及求解器计算框架结构在水平荷载作用下的
EI bh3
各构件的线刚度：i ，其中I
L 12
0.250.63 3 4
边 梁：I 1 4.510 m
i 1 22500kNm
1
L 6
0.250.33 4 4
15
2(6136.422500)
i4 i4 i4 i4
2
结点“”：
华中科技大学土木工程与力学学院
年 月 日
-1-
----------------------- Page 2-----------------------
0.30.33 4 4
其它层柱：I 3 6.7510 m
12
EI 3.பைடு நூலகம்10 6.75107 4
F'=15kN i1 i2 i1
转角分配系数计算公式： P
1 2 3 4
6136.4 P 1 2 1
0.107 17 18 19 20
弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
2
（）用迭代法、分层法、二次力矩分配法及求解器计算框架结构在竖向荷载作
用下的弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
3、分析近似法产生误差的原因。
二、计算简图及基本数据
1
21
2(67506136.422500)
图2
-3-
本组计算的结构其计算简图如图 所示，基本数据如下。
混凝土弹性模量：E 3.010kN/mh 7 2
构件尺寸：
柱：底 层：bh3040cm2
其它层：bh3030cm2
梁：边 梁：bh2560cm2
中间梁：bh2530cm2
水平荷载：
' ， （见图2）
F ＝15kN F＝30kN
P P
竖向均布恒载：
q ＝17kN/m q ＝21kN/m （见图8） 图1
顶 其它
21 22 23 23
22500
0.318
()i
i3 i3 i3 i3
F=30kN i1 i2 i1
----------------------- Page 4-----------------------
6750
0.095
23
2(67506136.422500)
----------------------- Page 1-----------------------
结构力学课程大作业
——多层多跨框架结构内力及位移计算
班级
学号
姓名
中间梁： I 2 5.62510 m
12
EI 3.010 5.625107 4
i 2 6750kNm
2 i P 1 2 1
ik
5 6 7 8
i3 i3 i3 i3
F=30kN i i i