特殊的平行四边形课时练习

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人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷含答案解析

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。

特殊平行四边形练习题

特殊平行四边形练习题1．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是．2．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作出∠ABC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连接EF．求证：四边形ABFE为菱形．5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．6．如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE，（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：四边形EGFH为菱形．8．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．9．边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．C．2 D．2 11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．13．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．14．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）A．8 B．4C．8D．1615．下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED 等于度．17．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直19．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A．10 B．C．6 D．520．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD 的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°22．若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm23．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．1624．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．2B．3C．6D．25．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．。

特殊的平行四边形全章分节练习题

第一节菱形（2016年7月16日）1、菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．2、菱形的性质：①．菱形的四条边______；菱形的对角线_____________，且每条对角线______________． ②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴. 3、菱形的判定：①．__________________边都相等的四边形菱形．②．对角线_____________________________的平行四边形是菱形．③．对角线_____________________________________________的四边形是菱形． 4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________ 5、练习：①．如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____． ②．一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的周长等于 cm ，面积= cm 2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为 6、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，且点A 的坐标为（0，2）,则点B 坐标（），点C 坐标为（），点D 坐标为（）。

7、一平行四边形的一条边长是9，两条对角线长分别是12和56，它是形，它的面积是，周长是。

8、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8cm ，DB=6cm, DH ⊥AB 于点H ，求DH 的长.第二节矩形（2016年7月17日）1、矩形的定义：_________________的平行四边形叫矩形．2、矩形的性质：①．矩形的四个角都是______；矩形的对角线_______________________． ②. 矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.3、矩形的判定：①．有_____个是直角的四边形是矩形．②．对角线____________________________的平行四边形是矩形． ③．对角线________________________________的四边形是矩形． 4、矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形对角线AC 长为______cm ．5、四边形ABCD 中，AD //BC ，则四边形ABCD 是，其对角线AC ，BD 交于点O ，若 ∠OAB=∠OBA ，则四边形ABCD 是_______．8、如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为9、如图，矩形纸片ABCD ，长AD ＝9cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为和。

特殊的平行四边形专题练习

第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可．【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴．（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形；（2）有三个角是__________的四边形是矩形；（3）对角线__________的四边形是矩形．【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形；（3）有一个角是直角的__________是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形．【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质．【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的．【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ．（1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ；（2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是A．400 B．192C．208 D．304九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；3．对角线互相垂直的矩形是正方形；4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．（1）判定四边形BECF的形状，并证明；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是 A ．对角线互相平分的四边形 B ．对角线互相垂直且平分的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A ．6B ．8C ．12D ．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是 A ．对角线相等，对边平行且相等 B ．一组对边平行，一组对角相等C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D ．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．159．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形．（2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ；（2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A ．AD 平分∠MANB ．AD 垂直平分BC C ．∠MBD =∠NCD D ．四边形ACDB 一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．。

特殊平行四边形(习题及答案)

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12. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路：要证四边形 ABCD 是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：_____________________________________________．【过程书写】
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列结论不正确的是（） A．当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 OA=OB 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当∠ABD=∠CBD 时，四边形 ABCD 是矩形
如图在正方形abcd中对角线acbd相交于点o则图中的等腰三角形共有a4个b6个c8个d10个aadbdbcc第5题图第7题图6
特殊平行四边形（习题）
例题示范
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形．
【思路分析】 ①读题标注：
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
5. 符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（） A．四条边都相等 B．两组邻边分别相等 C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
6. 下列命题错误的是（） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC． P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点 M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

初中数学,特殊的平行四边形同步练习题

特殊的平行四边形同步练习题基础练习题1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是A．对角线互相平分的四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A．6 B．8 C．12 D．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．35．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是A．斜边长为10 cm B．周长为25 cmC．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为A ．158B ．154C ．152D ．159．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为A ．485cm B ．245cm C ．125cm D ．105cm 10．如图，在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是A ．30B ．24C ．18D ．611．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于A ．60°B ．55°C ．45°D ．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：学-科网（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形．（2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ；（2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．能力拓展25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BCC．∠MBD=∠NCD D．四边形ACDB一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．35．如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．（1）求证：AM=CN；（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．真题实战36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连接OH .若OB =4，S 菱形ABCD =24，则OH 的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=1 3 S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．参考答案1. B2. A3. C4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. B 11. A 12. B 13. 2 14. 90 15. 9 16. 617. （18. 15°19. 485（cm ）．20. ∵BC =CD ，∠BCF =∠DCE =90°，CF =CE ， ∴△BCF ≌△DCE ，∴∠FBC =∠EDC . 又∵∠BFC =∠DFG ，∴∠DGF =∠BCF =90°，即BG ⊥DE ．21. （1）等腰三角形；（2）150° 22. （1）∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∥BC AF ，∴CBE DFE ∠=∠，又∵DE CE =，DEF BEC ∠=∠， ∴△BEC ≌△FED ，∴BE EF =，又∵CE DE =，∴四边形BDFC 是平行四边形．（2）如图，过D 作DH CB ⊥于H ，∴∠DHB =∠A =∠ABH =90°，∴四边形ADHB 是矩形，∴1BH AD ==， ∵3CB CD ==，∴2CH =，在Rt △CDH 中，∵90CHD ∠=︒，∴22325DH =-= ∴平行四边形BDFC S BC DH =⋅35= 23．（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠ADC =90°，AB =DC =7，BC =AD =12，∴∠BAF +∠AFB =90°， ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF =∠CDF =45°，∴△DCF 是等腰直角三角形， ∴FC =DC =7，∴AB =FC ，∵AF ⊥EF ，∴∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∴∠BAF =∠EFC ，在△ABF 和△FCE 中，BAF EFCAB FC B C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△FCE （ASA ），∴EF =AF ；（2）BF =BC –FC =12–7=5，在Rt △ABF 中，由勾股定理得： AF 22227574AB BF +=+则EF =AF 7424．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，∠A =∠D =90°. ∵M 为AD 的中点，∴AM=MD ，∴△ABM ≌△DCM . （2）1∶2，理由：∵AB ∶AD =1∶2，∴AB =12AD ． ∵AM =12AD ，∴AB=AM ，∴∠ABM =∠AMB ． ∵∠A =90°，∴∠AMB =45°. ∵△ABM ≌△DCM ，∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，∴四边形MENF是菱形．∵∠BMC=90°，∴菱形MENF是正方形．25．A26．A27．A28．D29．B30．B31．30°32．3.533．①②④⑤34．（1）如图，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；（3）∵AB=BC3∠BAE=30°，∴BE=1，CE31，∵∠EFC=30°，∴CF=3S△CEF=12CE•CF3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF=S正方形ABCD–S△ADF–S△AEB–S△CEF=S正方形ABCD–S△AEF–S△CEF，∴S△AEF=12（S正方形ABCD–S△CEF）=2111)(3322-=35．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°，在△AMD和△CNB中，＝＝＝ADM CENAMD CNBAD BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMD≌△CNB．∴AM=CN．（2）猜想：当EF=AC时，四边形AECF是矩形．证明：由（1）得△AMD≌△CNB，∴DM=BN．∵BE=DF，∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．在△AMF和△CNE中，＝＝＝MF NEAMF CNE AM CN∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMF≌△CNE．∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．∴AF∥CE且AF=CE．即四边形AECF是平行四边形．又EF=AC，∴四边形AECF是矩形．36．C37．A38．D39．D40．B41．B42．C43．B44．C45．24 546．347．48．（2，﹣3）49．∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．50．∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，EOD FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．51．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形．学-科网（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC·BD=12×4×2=4，故答案为：4．。

北师大版九年级上册第一章单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)

单元练习题：《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.512．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P为AD边上的一点，过点P 分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD 于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE ⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF 与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝1．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝1．∴BP 1＝．∴PB 的最小值是．故选：C ．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD 中，AB ＝17，BD ＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB ＝90°，BO ＝15，在Rt △AOB 中，AO ＝＝＝8，∴AC ＝2AO ＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD 到N ，使DN ＝BF ，连接AN ，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，＝，∴S△AOD＝4×＝50．∴S正方形ABCD故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为 4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习(解析版)

人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习（解析版）同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC﹨BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD ﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E﹨F分别是BC﹨CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6﹨9﹨x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC 的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…﹨则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC﹨AD分别相交于P﹨Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP﹨△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE﹨CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE﹨EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。

特殊的平行四边形练习题

特殊的平行四边形练习题一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．42．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．3．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）6．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.410．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．811．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE 沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣212．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．二．填空题（共5小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．14．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．15．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为cm．16．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为．17．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=50°，则∠APD等于．三．解答题（共13小题）18．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG 至点F使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．19．感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C ﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？21．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．22．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．23．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．24．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．25．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．26．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B 作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH 交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．28．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG ⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．29．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB 于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．30．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．特殊的平行四边形练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．2．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．4．（2016•龙岩模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．5．（2016•青山区模拟）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）【解答】解：作BM⊥CD于M，如图所示：∵B（﹣3，1），C（1，4），∴BN=3，BM=3+1=4，CM=4﹣1=3，ON=1，∴BC==5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=5，∵AB∥y轴，∴点A的坐标为（﹣3，6）；故选：C．6．（2016•高县一模）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A ．﹣4+4B ．4+4C ．8﹣4D ．+1【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，则S △ACD =AD•CD=×2×2=2； AC=AD=2，则EC=2﹣2，∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =ME•EC=（2﹣2）2=6﹣4，∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣4）=4﹣4．故选：A ．7．（2016•扬州二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF ≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．故选A．8．（2016•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故选D．9．（2016•桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB 上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CD，此时，S△ABC即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．10．（2010•天门校级自主招生）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．8【解答】解：在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG∵∠ABO=90°﹣∠AHB，∠OCG=90°﹣∠OHC，∠OHC=∠AHB∴∠ABO=∠OCG∵OB=OC，CG=AB∴△OGC≌△OAB∴OG=OA=6，∠BOA=∠GOC∵∠GOC+∠GOH=90°∴∠GOH+∠BOA=90°即：∠AOG=90°∴△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）∴AC=16．故选B．11．（2016•平房区模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC 边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F 的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣2【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S=BA•AB′=2，S△ABE=1，△ABB′∴CB′=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠FCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CF=FB′=2﹣．故选C．12．（2016•夏津县一模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB=45°，FM=BM．在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，∴FM=AM•sin∠FAM=．AB=AM+MB=2+．故选C．二．填空题（共5小题）13．（2016春•柳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC=AB×AC，∴AP×BC=AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10，∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=∴AM=，故答案为：．14．（2017•桂林一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD 边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴MD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴MC==2，∴A′C=MC﹣MA′=2﹣2．故答案为：2﹣2．15．（2017春•广安月考）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为10cm．【解答】解：∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点，∵OE⊥BD，∴BE=DE，△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=×20=10（cm），故答案为：10．16．（2016•甘肃模拟）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为3．【解答】解：∵S △PAB +S △PCD =S ▱ABCD =S △ACD ，∴S △ACD ﹣S △PCD =S △PAB ，则S △PAC =S △ACD ﹣S △PCD ﹣S △PAD ，=S △PAB ﹣S △PAD ，=5﹣2，=3．故答案为：3．17．（2016秋•安丘市校级月考）如图，D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若∠CDE=50°，则∠APD 等于 50° ．【解答】解：由折叠得：∠PDE=∠CDE=50°，∵D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，∴DE ∥AB ，∴∠APD=∠PDE=50°，故答案为：50°．三．解答题（共13小题）18．（2016•重庆模拟）如图1，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过B 作BG ⊥AE 于G ，延长BG 至点F 使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．【解答】（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，∵∠CFB=45°∴CH=HF，∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°∴∠BAG=∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，∴△AGB≌△BHC，∴AG=BH，BG=CH，∵BH=BG+GH，∴BH=HF+GH=FG，∴AG=FG；（2）解：∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH=GM，∴BG=GM，∵BM=10，∴BG=2，GM=4，∴AG=4，AB=10，∴HF=2，∴CF=2×=2，∴CM=2，过B点作BK⊥CM于K，∵CK=CM=CF=，∴BK=3，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，∴△BKC≌△CQD∴CQ=BK=3，DQ=CK=，∴QF=3﹣2=，∴DF==2．19．（2016•广水市一模）感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．【解答】探究：证明：∵根据旋转的性质得：△EBC≌△FDC，∴CE=CF，DF=BE，∵CG平分∠ECF，∴∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∵GF=DG+DF=DG+BE，∴EG=BE+GD；应用：解：如图3，过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，则∠A=∠B=∠CHA=90°，∵AB=BC，∴四边形ABCH是正方形，∵∠DCE=45°，AH=BC，∴∠DCH+∠ECB=90°﹣45°=45°，∵由已知证明知：△EBC≌△MHC，∴∠ECB=∠MCH，∴∠DCH+∠MCH=45°，∴CD平分∠ECM，∴由探究证明知：DE=BE+DH，在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，设BE=x，则BC=AB=x+8=AH，即x+8=6+10﹣x，x=4，BE=4，AB=4+8=12，BC=AB=12，∴梯形ABCD的面积是×（6+12）×12=108．20．（2017•临沂模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s 的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？【解答】解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24﹣4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=24﹣4t，解得：t=4，答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．21．（2016•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．22．（2014秋•重庆月考）如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．23．（2013•沙坪坝区校级模拟）如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．【解答】（1）解：设∠CDE=x°，∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°，∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，∴5x=180°，x=36°，∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°，∴∠BDC=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BDC=54°；（2）证明：连接AC，GE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，∴GD=GC，∴G在CD的垂直平分线上，∵DE=CE，∴E在CD的垂直平分线上，∴GE为CD的垂直平分线，∴DM=CM，∵BG=DG，∴GM∥BC，∴∠DGE=∠DBC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDG，∴∠DGE=∠FDG，∴FD∥GE，∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE，∴四边形FDEG是平行四边形，∴H为EF的中点．24．（2013•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．【解答】解：（1）过点D作DH⊥MC于点H，∵菱形ABCD的周长为8，∴CD=2，∵CD=CM，且∠D=67.5°，∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，=CM•DH=×2×=；∴S△MCD（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，∴BC=CM，∠2=∠ABC，∵∠1+∠ABC=∠2+∠5∴∠1=∠5在△BNC和△MEC中，，∴△BNC≌△MEC（SAS），∴∠4=∠3，CE=NC，∵AD∥BC，∴∠2=∠BCM=∠ABC，∵∠ECF=∠ABC，∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，在△NCF和△ECF中，，∴△NCF≌△ECF（SAS），∴FN=EF，EF=FB+NB=FB+EM，∴FB=EF﹣EM．25．（2013•重庆模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．【解答】（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB=4，∴等边△ABC底边BC上的高为4×=2，∴菱形ABCD的面积=4×2=8；（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，∴∠AE′E=60°，∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=∠AEC﹣60°，又∵∠BE′E=∠AE′B﹣∠AE′E=∠AE′B﹣60°，∴∠BE′E=∠CEF，∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，∴∠ECF=180°﹣60°=120°，又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，∴∠E′BE=∠ECF，在△EE′B和△FEC中，，∴△EE′B≌△FEC（ASA），∴BE=CF，∴BC=CE+BE=CE+CF，∵AB=BC，∴AB=CE+CF．26．（2015•魏县二模）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？【解答】解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=4×1=4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC=BE=6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B=∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，而BP=4t，CP=10﹣4t，∴4t=10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x=30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）27．（2015•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H 延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．28．（2013•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．【解答】解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，∵∠ADE=15°，∴∠EDO=30°∵DE=4，∠EOD=90°，∴OD=6，在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；（2）延长GF，过C作CM∥AG，交GF的延长线于M，连接DM．∵AC∥GF，即AC∥GM，∴四边形ACMG是平行四边形，∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，∵∠ADE=15°∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，∴∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=AD，∵∠DMF=∠ADE=15°∴△AED≌△DFM，∴FM=ED，AE=DF又∵AC=GM，即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，∴∠DGF=30°，∴GF=2DF，∴BD=2DF+ED．29．（2013•重庆模拟）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA 的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1=∠2=22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又AC=AB=4∴AP=4，=AP•CD=4×4=8；∴S△APC（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP=CF在CN上截取NH=FN，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．30．（2013秋•重庆校级期中）在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠BCD=90°，又∵点G为DE中点，∴CG=GE=GD，∴∠GCD=∠GDC，∴∠BCG=∠ADG，在△ADG与△BCG中，，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴GA=GB．（2）证明：如图，过点H作HN⊥BC于N，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴△CHN为等腰直角三角形，∴HN=CN，易得AB∥HN，∴==，∴=，∴∠HBN=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABG=90°﹣30°=60°，∴△ABG是等边三角形，由（1）知GA=GB，∴AD=AG=AB，∴∠AGD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BGM=180°﹣75°﹣60°=45°，∵BM⊥E，∴△BMG是等腰直角三角形，∴BG=BM，∴AG=BM．第41页（共41页）。

九年级上特殊平行四边形课时练习题及答案

九（上）第一章特殊平行四边形重点题目菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中，错误的是（）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm，8 cm，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5, AO＝4，求对角线BD和菱形ABCD的面积.6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，求菱形ABCD的高DH。

9、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．EOB第7题CF DA 15、【提高题】如图，在菱形ABCD 中，顶点A 到边BC 、CD 的距离AE 、AF 都为5， EF ＝6，那么，菱形ABCD 的边长是_____菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD 是△ABC 的角平分线。

初中数学特殊的平行四边形学案练习题

第六章特殊的平行四边形1.能说出菱形的定义，会判断是否为菱形2.能说出菱形的性质，并能灵活应用菱形的性质解题1. 平行四边形的定义：2. 平行四边形的性质边：① ② 角：① ② 对角线：情景一：将一张长方形的纸横对折，再竖对折，然后沿图中的虚线剪下；情景二：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，得到重叠的部分四边形ABCD；学习目标复习回顾新课引入情景三：将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开；知识点一菱形的定义平行四边形叫做菱形.知识点二菱形的性质1.定理1：菱形的四条边都2.定理2：菱形的对角线3.对称性：菱形既是图形，又是图形，对称轴是两条对角线所在的直线知识点三菱形的面积重点1 利用菱形的性质求线段长例1 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，菱形ABCD的周长是20，BD=6（1）求AC 的长（2）求菱形ABCD 的高DE 的长变式1 已知一个菱形的面积为cm 2 ,且两条对角线的长度比为1：，则菱形的边长为变式2 如图，菱形的周长为20cm ，相邻两内角的度数之比为1:2，求菱形的两条对角线的长及面积。

新知探究巩固新知重点2 利用菱形的性质求角度例2 在菱形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且AE=EF=AF=AB, 则∠C 的度数为（）A 120ºB 100ºC 80ºD 60º变式3 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100º，AB的垂直平分线交对角线AC于点E,F为垂足，连接DF，∠CDF等于变式4 如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠B=EAF=60º∠（1）求证：△AEF是等边三角形（2）若∠BAF=37º,求∠CEF的度数重点3 利用菱形的性质求面积例3 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是40cm,求：（1）两条对角线AC,BD的长度（2）菱形ABCD的面积变式5 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120º，AC=4，则该菱形的面积是（）A B C D 8重点4 利用菱形的性质进行证明例4 如图所示，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F分别是边AB,AD 的中点（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长变式6 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE达标测评1.下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A 对角线互相垂直B 对角线所在的直线是对称轴C 对角线相等D 对角线互相平分2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，有下列结论：①OA=OD;AC BD;②⊥③∠∠④菱形ABCD =AC BD1=2;S，其中正确的序号是（）ArrayA ①②B ③④C ②④D ②③3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6,0），点A的纵坐标是的坐标为（）1，则点B ArrayA (3，1)B (3,-1)C (1,-3)D (1,3)4.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E,F分别是AD,CD边上的中点，连接EF.若FE=， BD=2，则菱形ABCD的面积为（） A B C D如图1所示，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE.（1）求证：∠F=EBC∠（2）若，当△BEF 为等腰三角形时，求的度数（如图2所示）创新培养菱形的判定学习目标1. 能说出菱形的判定定理2. 能利用菱形的判定定理证明菱形课前诊断1.菱形的性质菱形的四条边都，菱形的对角线，菱形既是图形，又是图形，对称轴是 .2.如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.在菱形ABCD 中，，AB=2，则菱形ABCD的面积为新知探究活动一定义法问题: 如果一个四边形是一个平行四边形，只要再添加一个什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？【归纳定理】小试牛刀如图所示，在Rt△ABC中，，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD 交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形.活动二菱形的第二个判定方法【操作探究】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。

特殊平行四边形练习题

特殊平行四边形练习题〔矩形，菱形，正方形〕矩形的习题精选一、性质1、以下性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是〔〕A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，那么∠ACB=__ _3.矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，那么矩形的周长为______4.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________5.如下图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，那么它的面积为___7、，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，假设∠A=35°，那么∠DBC= 。

8、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.求证：BE=CF.9.如图，△ABC 中，∠ACB=900，点D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 在BC 延长线上，且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形；:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90° ∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 或CB 的延长线D 。

试说明:DC=2AB.11、在△ABC 中，∠C=90O ，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ， PF ⊥BC 于点F 。

求证：DE=DF二、判定1、以下检查一个门框是否为矩形的方法中正确的选项是〔〕A ．测量两条对角线，是否相等B ．测量两条对角线，是否互相平分C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直2、平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形A B E F O3、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形4、平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA ⊥PC ，PB ⊥PD ，垂足为Ｐ。

2020年中考数学复习《特殊的平行四边形》专题训练及答案解析

2020年中考数学复习《特殊的平⾏四边形》专题训练及答案解析2020年中考数学专题练习特殊的平⾏四边形⼀、选择题1. (2019·上海)已知ABCD Y ，下列条件中，不能判定这个平⾏四边形为矩形的是( )A.A B ∠=∠ B. A C ∠=∠C. AC BD =D. AB BC ⊥ 2. (2019.杭州)如图，P 是矩形ABCD 内⼀点(不含边界)，设1PAD θ∠=，2PBA θ∠=，3PCB θ∠=，4PDC θ∠=.若80APB ∠=?，50CPD ∠=?，则( )A.1423()()30θθθθ+-+=? B. 2413()()40θθθθ+-+=? C. 1234()()70θθθθ+-+=? D. 1234()()180θθθθ+++=?3. (2019·遵义)如图，P 是矩形ABCD 的对⾓线AC 上⼀点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于点,E F ，连接,PB PD .若2,8AE PF ==，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 10B. 12C. 16D. 184. (2019·威海)矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若2,1====，则BC EF CD CE GH的长为( )C. D.A. 1B. 235. (2019·⼗堰)菱形不具备的性质是( )A.四条边都相等B.对⾓线⼀定相等C.是轴对称图形D.是中⼼对称图形6. (2019·淮安)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A. 20B. 24C. 40D. 487. (2019·⼤连)如图，在菱形ABCD中，对⾓线,AC BD相交于点O.若5,6==，则BD的长是( )AB ACA. 8B. 7C. 4D. 38. (2019·⾈⼭)⽤尺规在⼀个平⾏四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )9. (2019·宿迁)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD相交于点O，E 为边CD 的中点.若菱形ABCD 的周长为16，60BAD ∠=?，则OCE ?的⾯积是( )10.(2019·湘西州)下列说法:①对顶⾓相等;②两直线平⾏，同旁内⾓相等;③对⾓线互相垂直的四边形为菱形;④对⾓线互相垂直平分且相等的四边形为正⽅形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.(2019·宜昌)如图，正⽅形ABCD 的边长为1，,E F 分别是对⾓线AC 上的两点，EG AB ⊥，EI AD ⊥，FH AB ⊥，FJ AD ⊥，垂⾜分别为,,,G I H J ，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 1B. 12C. 13D. 1412.(2019·河南)如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿B →→以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图②是点F 运动时，FBC ?的⾯积y (cm 2)随时间x (s)变化的图象，则a 的值为( ) A.B. 2C. 52D.⼆、填空题13. (2019·株洲)如图，矩形ABCD的对⾓线AC与BD相交点O，AO AD的中点，则PQ的长度=分别为,10,,AC P Q为.14.(2019·成都)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆⼼，以⼤于1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若==，则矩形的对⾓线AC的长为. 2,3DE CE15. (2019·徐州)若菱形两条对⾓线的长分别是6 cm和8 cm，则其⾯积为cm 2.16. (2019·⼴州)如图，若菱形ABCD的顶点,A B的坐标分别为-，点D在y轴上，则点C的坐标是.(3,0)，(2,0)17. (2019·葫芦岛)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 .18.(2019·黔西南州)已知⼀个菱形的边长为2，较长的对⾓线长为，则这个菱形的⾯积是 .19.( 2019·双鸭⼭)如图，在ABCD Y 中，添加⼀个条件，使ABCD Y 是菱形.20.(2019·南通)如图，在ABC ?中，,AD CD 分别平分BAC ∠和ACB ∠，//AE CD ，//CE AD .若从三个条件:①AB AC =;②AB BC =;③AC BC =中选择⼀个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是 . (填序号)21. (2019·随州)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为2，点A 在第⼀象限，点C 在x 轴正半轴上，60AOC ∠=?.若将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转75o，得到四边形'''OA B C ，则点B 的对应点'B 的坐标为 .22. (2019·荆门)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E .若菱形OACD 的边长为1，则k 的值为 .23. (2019·镇江)如图，点,,E F G 分别在菱形ABCD 的边,,AB BC AD 上，13AE AB =，13CF CB =，13AG AD =.已知EFG ?的⾯积等于6，则菱形ABCD 的⾯积等于 .24. (2019·乐⼭)如图，四边形ABCD 是正⽅形，延长AB 到点E ，使AE AC =，连接CE ，则BCE ∠的度数是 .25. (2019·咸宁)如图，将正⽅形OEFG 放在平⾯直⾓坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2,3)，则点F 的坐标为 .26. (2019·上海)对于⼀个位置确定的图形，如果它的所有点都在⼀个⽔平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都⾄少有⼀个公共点(如图①)，那么这个矩形⽔平⽅向的边长称为该图形的宽，铅垂⽅向的边长称为该矩形的⾼.如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB ⽔平放置.如果该菱形的⾼是宽的23，那么它的宽的值是 .27.(2019·武汉)以正⽅形ABCD 的边AD 作等边三⾓形ADE ，则BEC ∠的度数是 .28. (2019·青岛)如图，正⽅形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，AE DF = 2=，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .29. (2019·呼和浩特)如图，在正⽅形ABCD 中，M 是边BA 延长线上的动点(不与点A 重合)，且AM AB <，CBE ?由DAM ?平移得到.若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂⾜，则有以下结论:①点M 位置变化，使得60DHC ∠=?时，2BE DM =;②⽆论点M 运动到何处，都有DM =;③⽆论点M 运动到何处，CHM ∠⼀定⼤于135o.其中正确的结论为 . (填序号)30. (2019·江西)在正⽅形ABCD 中，6AB =，连接,,AC BD P 是正⽅形边上或对⾓线上⼀点.若2PD AP =，则AP 的长为 .三、解答题31. (2019·湘西州)如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接,DE CE .(1)求证: ADE BCE ;(2)若6,4AB AD ==，求CDE ?的周长.32. (2019连云港)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长,CE BA 交于点F ，连接,AC DF .(1)求证:四边形ACDF 是平⾏四边形;(2)当CF 平分BCD ∠时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由.33. ( 2019·河南)如图，反⽐例函数(0)k y x x =>的图象过格点(⽹格线的交点)P .(1)反⽐例函数的解析式为 .(2)在图中⽤直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满⾜下⾯两个条件:①四个顶点均在格点上.且其中两个顶点分别是,O P ;③矩形的⾯积等于k的值.34. (2019·青岛)如图，四边形ABCD是平⾏四边形，对⾓线AC 与BD相交于点,E G为AD的中点，连接,CG CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证:AB AF=;(2)若AG AB∠=?，判断四边形ACDF的形状，并证BCD=，120明你的结论.35. (2019·⼴东)如图，BD是菱形ABCD的对⾓线，75∠=?.CBD(1)请⽤尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂是为E，交AD于点F;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接BF，求DBF∠的度数.36.(2019·娄底)如图，在四边形ABCD中，对⾓线, AC BD相交于点O，且AD BC于点,E F.==，过点O作EF BD,OA OC OB OD⊥，分别交,(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.37. (2019·南京)如图，在四边形ABCD中，BC CDC BAD∠=∠.=，2==.求证: O是四边形ABCD内⼀点，且OA OB OD (1) BOD C∠=∠;(2)四边形ABCD是菱形.38. (2019·乌鲁⽊齐)如图，在四边形ABCD中，90∠=?，EBAC 是BC的中点，//⊥于点F.AE DC，EF CDAD BC，//(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若6,10==，求EF的长.AB BC39. (2019·⼴安)如图，四边形ABCD是正⽅形，M为BC上⼀点，连接AM，延长AD⾄点E，使得AE AM=，过点E作=.⊥，垂⾜为F，求证:AB EFEF AM40. (2019·盐城)如图，在正⽅形ABCD中，对⾓线BD所在的直线上有两点,E F满⾜BE DFAE AF CE CF.=，连接,,,(1)求证: ABE ADF;(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.41. (2019·长春)在正⽅形ABCD中，E是边CD上⼀点(点E不与点,C D重合)，连接BE. [感知]如图①，过点A作AF BE⊥交BC于点F.易证.(不需要证明)ABF BCE[探究]如图②，取BE的中点M，过点M作FG BE⊥交BC于点F，交AD于点G.(1)求证:BE FG=.(2)连接CM，若1CM=，则FG的长为.[应⽤]如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG BE⊥交AD于点G，连接,EG MG.若3CM=，则四边形GMCE的⾯积为.42. (2019·潍坊)如图，M是正⽅形ABCD边CD上⼀点，连接⊥于点E，BF AM⊥于点F，连接BE.AM，作DE AM(1)求证:AE BF=;(2)已知2∠的正弦AF=，四边形ABED的⾯积为24，求EBF值.43. (2019·吉林)如图①，在ABC=，过AB上⼀点D中，AB AC作//DE AC交BC于点E，以E为顶点，ED为⼀边，作∠=∠，另⼀边EF交AC于点F. DEF A(1)求证:四边形ADEF为平⾏四边形;(2)当D为AB的中点时，ADEFY的形状为;(3)延长图①中的DE 到点G ，使EG DE =，连接,,AE AG FG ，得到图②，若AD AG =，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由.44. (2019·绍兴)⼩敏思考解决如下问题:原题:如图①，点,P Q 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，PAQ B ∠=∠，求证: AP AQ =.(1)⼩敏进⾏探索，将点,P Q 的位置特殊化:把PAQ ∠绕点A旋转得到EAF ∠，使AE BC ⊥，点,E F 分别在边,BC CD 上，如图②.此时她证明了AE AF =.请你证明.(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线:如图③，作AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂⾜分别为,E F .请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:4AB =，60B ∠=?，如图①，请你编制⼀个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案.(根据编出的问题层次，给不同的得分)参考答案⼀、1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. B 11. B 12. C⼆、15.13. 2.5 14.2416.-17. (2,3)-18.19. 答案不唯⼀，如：AB BC=20. ②21.22. 23. 27 24.22.5o 25. (1,5)- 26.1813 27. 30o或150o28. 29. ①②③30. 2或三、解答题31. (1)点拨：由AD BCA B AE BE =??∠=∠??=?，可得()ADE BCE SAS .(2) CDE ?的周长是16.32. (1) 点拨：由()FAE CDE ASA ，可得FA CD =. ⼜∵//CD AF ，∴四边形ACDF 是平⾏四边形.(2)2BC CD =33. (1)反⽐例函数的解析式为4y x= (2) 答案不唯⼀，如图，矩形OAPB ，矩形OCDP 即为所求作的图形34. (1) 点拨：由AGF DGC=.，可得AF DC∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB CD=，∴AB AF=.(2) 四边形ACDF是矩形点拨：由(1)可知四边形ACDF是平⾏四边形.由AGF DGCCF FG=，2=.，可得2AD AG由AG AB是∠=?，AB AF=，120BCD=，可得AFG等边三⾓形，∴AG FG=，∴AD CF=.∴四边形ACDF是矩形35. (1) 如图所⽰，直线EF即为所求(2) 45∠=?DBF36. (1)点拨：由题意得到四边形ABCD 是平⾏四边形，∴EAO FCO ∠=∠，⼜∵OA OC =，OEA COF ∠=∠，∴AOE COF(2) 四边形BEDF 是菱形37. (1)如图，延长线段AO 到点E .由题意可得，2BOD BAD ∠=∠.(2)如图，连接OC .证明OBC ODC .得到12BOC DOC BOD ∠=∠=∠，12 BCO DCO BCD ∠=∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴OB CB =，∴OB CB CD OD ===，∴四边形ABCD 是菱形.38. (1)点拨：AE CE =(2)245EF=39. 点拨：EFA ABM40. (1) 点拨：AB ADABE ADF BE DF=∠=∠=(2)点拨：连接AC，交BD于点O.可知OC OA=，OE OF=，AC EF⊥，∴四边形AECF是菱形.41. [探究] (1)点拨如图，过点G作GP BC ⊥于点P.由PGF CBEPG CBFPG ECB∠=∠=∠=∠，得到PGF CBE(2) 2 [应⽤] 942. (1)点拨：由AFB DEAAB DAABF DAE∠=∠=∠=∠，可得ABF DAE(2)213sin EBF∠= 43. (1)点拨：//AD EF(2)菱形。

特殊的平行四边形专项练习(含答案)

特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。

北师大版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形同步练习题 (含答案)

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．482．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．284．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．OA＝OC B．BC＝DC C．AD＝BC D．AD＝DC5．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④6．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，MN为垂足若AB＝a，则DM+CN的值为（）A．a B．a C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（）A．B．2 C．1.5 D．8．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 9．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（）A．4B．32 C．64 D．12810．在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60°D．AB＝AF二．填空题（共10小题）11．已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝23°．则∠FEC＝度．12．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是．13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．16．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2：．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF（A、E、F是格点）同时形变为△A′E′F′，若这个菱形的“形变度”k＝，则S△A′E′F′＝．17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．18．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．20．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为．三．解答题（共7小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求的值．22．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE ∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．23．已知：AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点EF分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）当∠ABE＝15°时，AB＝1+，求BE．24．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．25．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF ＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．26．在正方形ABCD的外侧作等腰△ABE，已知∠EAB＝a，连接ED交等腰△ABE底边上的高AF所在的直线于点G．（1）如图1，若a＝30°，求∠AGD的度数；（2）如图2，若90°＜a＜180°，BE＝8，DE＝14，则此时AE的长为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周长为24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO•BO＝14，∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，故选：D．4．【解答】解：A、若AO＝OC，且BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠BAO＝∠OCD，且∠OAB＝∠OAD∴∠OAD＝∠OCD∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC＝DC，BO＝DO∴AC是BD的垂直平分线∴AB＝AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，C、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝BC∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝CD∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．6．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝a，∴AN平分∠DAB，∴∠DAM＝45°，∴∠CEN＝∠DEM＝45°，∵DM⊥AN，CN⊥AN，∴△DME和△CNE是等腰直角三角形，∴DM＝DE，CN＝CE，∴DM+CN＝（DE+CE）＝CD＝a；故选：C．7．【解答】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，∴S△BDE＝2S△BOE＝．∴DE•AB＝，又∵AB＝2，∴DE＝，∴BE＝在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝1.5．故选：C．8．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．9．【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×8×8＝32，故选：B．10．【解答】解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD，CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴BF＝FD，同理，BE＝ED，∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，∴∠BAE＝∠FAC，且AB＝AC，∠B＝∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝∠D＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，又∠AEC＝∠B+∠BAE＝83°，∴∠CEF＝83°﹣60°＝23°．故答案为：2312．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，∴∠AOD＝90°，∴OD＝＝8，∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，故答案为96．13．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝10若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴OB＝＝∴AD＝AB﹣2OB＝故答案为：14．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB＝AD（答案不唯一）15．【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．16．【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：a2，形变后的菱形的面积为：a•a＝a2，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：a2：a2＝2：，∵这个菱形的“形变度”为2：．∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比＝这个菱形的“形变度”，S△AEF＝×2×2+×2×2＝4，∵若这个菱形的“形变度”k＝，∴＝，即＝，∴S△A′E′F′＝．故答案为：．17．【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．18．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2019．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．20．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵BF⊥a，DE⊥a，∴∠AED＝∠AFB＝90°∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，∴△AFB≌△DEA，∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，故答案为：8三．解答题（共7小题）21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∵OA＝a，OB＝b，AB＝，∴a2+b2＝5，，∵a，b满足：．∴a2b2＝4，∴ab＝2，∴△AOB的面积＝ab＝1，∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，∴a+b＝3，∴＝．22．【解答】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF，AB＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：连接EF交BC于O，如图所示：∵AD＝7，AB＝DC＝2.5，∴BC＝AD﹣AB﹣DC＝2，∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，EF⊥BC，OB＝BC＝1，OE＝OF，∴△CBE是等边三角形，∠BEO＝30°，∴BC＝EC＝2，∴OE＝OB＝，∴EF＝2，∴菱形BFCE的面积＝BC×EF＝×2×2＝2；故答案为：2．23．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝BC＝CD，且∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°∴AB＝AD＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°∴∠ABD＝∠EBF＝60°＝∠BDC，∴∠ABE＝∠DBF，∠BAD＝∠BDF＝60°，且AB＝BD∴△ABE≌△DBF（ASA）∴BE＝BF，且∠EBF＝60°．∴△BEF是等边三角形（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，作∠GEB＝∠ABE＝15°，∴∠EGH＝30°，GE＝GB，设HE＝x，在Rt△GHE中，∠EGH＝30°∴GE＝2x＝BG，HG＝x，在Rt△AHE中，∠BAD＝60°∴AH＝x，∵AB＝AH+HG+BG＝1+∴x+x+2x＝1+∴x＝∴HE＝∴BH＝∵BE2＝HE2+BH2，∴BE2＝（）2+（）2，∴BE＝24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，∴a2＝122+（18﹣a）2，∴a＝13，∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．25．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，即∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．26．【解答】解：（1）∵AE＝AB，AF⊥BE，∠EAB＝30°∴∠FAE＝15°∵∠EAB＝30°，∠BAD＝90°∴∠EAD＝120°，且AE＝AD∴∠AED＝∠ADE＝30°∴∠AGD＝∠AED+∠EAF＝45°（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是正方形∴BO＝DO，BD＝AB，∠ABD＝∠ADB＝45°∵AE＝AB，AF⊥BE∴∠AEB＝∠ABE，EF＝BF＝4，且BO＝DO∴FO＝DE＝7，FO∥DE∵AE＝AD∴∠AED＝∠ADE∵∠ABD+∠ADB+∠AED+∠ADE+∠AEB+∠ABE＝180°∴2（∠AEB+∠AED）＝90°∴∠DEB＝45°∵FO∥DE∴∠BFO＝45°，且BM⊥FO∴FM＝BM，∴BF＝BM＝4∴BM＝FM＝4∴MO＝3∴BO＝＝5∴BD＝2BO＝10∴AB＝5＝AE故答案为：527．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，解得，t＝；②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，解得t＝；④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，解得，t＝12．综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．。

人教版八年级数学下册特殊平行四边形课后练习及详解

第十九章特殊平行四边形练习题题一：下列说法中，正确的是()A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直题二：如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是()A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形题三：如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，①求证：四边形EFGH是平行四边形．②探索下列问题，并选择一个进行证明．a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形E FGH是矩形．b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．题四：如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题五：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？(3)若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．题六：如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH 的形状会有哪些变化？完成以下题目：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？题七：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．题八：在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；(2)请证明你所得到的数学猜想．题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．(1)试说明△PCM≌△QDM；(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．题十：如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN 过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．题十一：如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．题十二：已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD 的面积．特殊平行四边形课后练习参考答案题一：C．详解：A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C．题二：C．详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；故选C．题三：见详解．详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EH G=90°，∴四边形EFGH是矩形．b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=12AC，EH=12BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．题四：见详解．详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题五：见详解．详解：连AC，设AC、BD相交于点O，(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；(3)四边形ABCD不是矩形．题六：见详解．详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；(2)结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．∴四边形EFGH为菱形．(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．题七：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=12AD，CN=12BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=12AN，∴MQ=12BM，∵MP=12BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．题八：见详解．详解：(1)四边形ABCD是菱形；(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=12∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=12∠CAN，∠DCA=∠MCD=12∠ACM，∠ACB=∠NCB=12∠ACN，∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．题九：见详解．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)÷2=1.5，∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．题十：见详解．详解：(1)∵点N只在AD上运动，∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，即2.5＜t＜7.5，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右侧，如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，∵2.5＜t＜7.5，∴t =1舍去；②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t-11=10-t，解得t =7，此时符合，∴当t =7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，设N运动的时间是t秒，则10-t=2t -5，解得：t =5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．题十一：8．详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．题十二：18．详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，∴EB=AD=3，DE=AB=4，∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3，∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，∴四边形ABCD的面积是：12(AD+CB)•DE=12(3+6)×4=18．。

初三特殊平行四边形练习题

初三特殊平行四边形练习题题一：已知平行四边形ABCD，AB=10cm，BC=8cm，BD垂直于BC，求BD的长度。

解：由于ABCD为平行四边形，所以AB ∥ CD 且 AD ∥ BC。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，BD = AC = AB = 10cm。

答案：BD的长度为10cm。

题二：已知平行四边形EFGH，EH=12cm，HF=6cm，EF垂直于HF，求EF的长度。

解：由于EFGH为平行四边形，所以EF ∥ GH 且 EG ∥ FH。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，EF = GH = HF = 6cm。

答案：EF的长度为6cm。

题三：在平行四边形IJKL中，LJ=12cm，IK=16cm，LK垂直于LJ，求LK的长度。

解：由于IJKL为平行四边形，所以IJ ∥ LK 且 IL ∥ KJ。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，LK = IJ = LK = 12cm。

答案：LK的长度为12cm。

题四：在平行四边形MNOP中，MN=8cm，NO=6cm，MP垂直于MN，求MP的长度。

解：由于MNOP为平行四边形，所以MN ∥ OP 且 MP ∥ NO。

根据垂直平行四边形定理可知，垂直于平行边的连线所对应的边长相等。

因此，MP = NO = 6cm。

答案：MP的长度为6cm。

题五：已知平行四边形QRST，QT=14cm，RS=10cm，符合B呼W=QW，求QW的长度。

解：在平行四边形QRST中，根据B呼W=QW的性质可知，比例相等的边与对角线共线。

因此，BW ∥ TR 且 BQ ∥ ST。

与TR平行的边的长度为QS。

根据比例B呼W = QW，可以得到QS/QW = TR/BW= QT/QS。

解方程得到QS^2= QW^2，即QS = QW。

由QS = QT - TS 可知，QS = 14cm - 10cm = 4cm。

3特殊的平行四边形-矩形多种类型题

特殊的平行四边形矩形矩形的性质【基础练习】一、矩形性质1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分二、矩形边、对角线1．如果矩形的一边与对角线的夹角为50 ，则两条对角线相交所成的锐角的度数为( ) A．60° B．70° C．80° D．90°2．一个矩形的对角线等于长边的一半与短边的和，则短边与长边的比为。

3、2，则它的一条对角线的长是______．4．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB 的长是（）A．12 B．22 C．16 D．265．矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，-3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（）A．（1，-4） B．（-8，-4） C．（1，-3） D．（3，-4）6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线交于点O，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对7．矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别在D′、C′位置，若∠EFB=65°，则∠AED′=_____.9．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.AB CDE FO三、矩形与等腰三角形1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC BD，交于点O，已知120 2.5AOD AB∠==o，，则AC的长为．2．矩形边长为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，则这两部分的长分别为 ( ) A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm3．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线和短边的和为15，则短边的长是，对角线长是。

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数学：19.2特殊的平行四边形课时练（人教新课标八年级下）课时一矩形1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（） A.26 B.13 C.8.5 D.6.53.矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于 .4. 如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（） A.34B.33C.24D.８5. 如图所示，矩形A B C D 的对角线A C 和B D 相交于点O ，过点O 的直线分别交A D 和B C 于点E 、F ，23A B B C ==，，则图中阴影部分的面积为．6.已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8cm ，则较大的边长为 .7. 如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，B E A C ⊥于E ，C F B D ⊥于F 。

求证BE=CF 。

8. 如图所示，E 为□ABCD 外，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形9.已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：S △PBC =S △PAC +S △PCD 理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．A BC DEF 第4题图CF图l∵ S△PBC +S△PAD=12BC·PF+12AD·PE=12BC（PF+PE）=12BC·EF=12S矩形ABCD又∵ S△PAC +S△PCD+S△PAD=12S矩形ABCD∴ S△PBC +S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．∴ S△PB C =S△PA C+S△P CD．请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PB C 、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．图2 图310. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.课时一答案：1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为：1351222=+，斜边的中线长为5.6213=；3.18，提示：AB=5,BC=12,AC=13,cmACABOBOAABLABO18513=+=+=++=∆；4. A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形ADE中，∠DAE=30 ，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设BF=x，则AF=2x，342,32,36422====-xAFxxx；5.3；6.14；7证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,∵B E A C⊥,C F B D⊥,∴∠BEO=∠CFO=90 ,又∵∠BOE=∠COF则∆∆BOE COF≅∴BE=CF8.连接AC、BD，AC与BD相交于点O，连接OE在□ABCD中，AO=OC,BO=DO. 在DEBRt∆中，OE=BD21,在AEC Rt ∆中，OE=AC 21,∴BD=AC, ∴□ABCD 为矩形.9. 猜想结果：图2结论S △PBC =S △PAC +S △PCD ；图3结论S △PBC =S △PAC -S △PCD 证明：如图2，过点P 作EF 垂直AD ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点． ∵ S △PBC =12BC·PF=12BC·PE+12BC·EF=12AD·PE+12BC·EF=S △PAD +12S 矩形ABCD S △PAC +S △PCD =S △PAD +S △ADC =S △PAD +12矩形ABCD∴ S △PBC =S △PAC +S △P CD10. (1)证明：∵MN ∥BC ，∴∠BCE =∠CEO 又∵∠BCE =∠ECO∴∠OEC =∠OCE ，∴OE =OC ,同理OC =OF ，∴OE =OF(2)当O 为AC 中点时，AECF 为矩形，∵EO =OF (已证)，OA =OC ∴AECF 为平行四边形，又∵CE 、CF 为△ABC 内外角的平分线 ∴∠EOF =90°，∴四边形AECF 为矩形课时二菱形1. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（） A ．AC=2OE B ．BC=2OE C ．AD=OE D ．OB=OE2. 如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（） A.四边形ABCD 是平行四边形B.AC ⊥BDC.△ABD 是等边三角形D.∠CAB ＝∠CAD3. 如图，如果要使A B C D 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为。

5.□ABCD 的对角线相交于点O ，分别添加下列条件：①AC ⊥BD ；②AB=BC;③AC 平分∠BAD ；④AO=DO ，使得□ABCD 是菱形的条件有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.菱形的周长为20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的面积为 .7. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从(1)AB=CD ；(2)AB ∥CD ；(3)OA=OC ；(4)OB=OD ；(5)AC ⊥BD ；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形。

如(1)(2)(5)⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒ABCD 是菱形；________⇒ABCD 是菱形。

DCB8. 如图所示，AD 是△ABC 的角平分线.DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F .四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由.9..□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BCAFCE 是否是菱形？为什么？10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．课时二答案：1. B ；2. C;3.答案不唯一：AB AD AC BD =⊥，等；4.5；5.C ；6.24，提示：由已知得菱形一边长为5cm ，由菱形的对角线互相平分且垂直，所以另一条对角线的长为)(63245222cm =⨯=-⨯，∴S 菱=)(2468212cm =⨯⨯；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；8.四边形AEDF 是菱形，∵DE ∥AC ，∴∠ADE ＝∠DAF ， ∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠DAE ＝∠DAF ，∴∠ADE=∠DAE ，∴AE =E D. 又∵DE ∥AC ，DF ∥AB∴四边形AEDF 是平行四边形，∴平行四边形AEDF 是菱形.9. □AFC E 是菱形，△AOE ≌△COF ，四边形AFCE 是平行四边形，EF ⊥AC10.. 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ．∴AE ＝CF ．∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ．∵AE ＝BE ， ∴AE ＝BE ＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形．课时三正方形1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，能判别这个四边形是正方形的条件是（） A.OA =OB =OC =OD ，AC ⊥BD B.AB ∥CD ，AC =BDC.AD ∥BC ，∠A =∠CD.OA =OC ，OB =OD ，AB =BC2. 在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（） A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623. 已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4. 下列命题中的假命题是( )． A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B ．一组邻边相等的矩形是正方形c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.6. 如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第六个正方形的面积是．7. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．8. 已知如下图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点， F 为BC 延长线上一点，CE =CF . (1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD 的度数.A 第7题图B C DE9如图所示，.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．10. 把正方形A B C D 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形A E F G ，边F G 与B C 交于点H （如图）．试问线段H G 与线段H B 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．11.如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上运动，AC 与BE 交于点F ．（1）如图1，当点E 运动到DC 的中点时，求△ABF 与四边形ADEF 的面积之比；（2）如图2，当点E 运动到CE ：ED=2：1时，求△ABF 与四边形ADEF 的面积之比．（3）当点E 运动到CE ：ED=3：1时，写出△ABF 与四边形ADEF 的面积之比；当点E•运动到CE ：ED=n ：1（n 是正整数）时，猜想△ABF 与四边形ADEF 的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，•最多4分，计入总分，但总分不超过120分）．课时三答案：1.A ；2.A;3.∠A =90°或∠B =90°或∠C =90°或∠D =90°中的任一条件即可;4. D ；5. 32；6.132;7.105;8.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形.∴BC =DC ，∠BCD =90°D C ABGHF E第10题图第9题图在Rt △BCE 和Rt △DCF 中，BC =DC ，CE =CF ,∴Rt △BCE ≌Rt △DCF (2)∵CE =CF ，∴∠CEF =∠CFE ,∴∠CFE =21(180°－90°)=45°∵Rt △BCE ≌Rt △DCF ,∴∠CFD =∠BEC =60° ∴∠EFD =∠DFC －∠EFC =15°9. (1) 证明：如图，∵ AD =CD ，DE =DG ，∠ADC =∠GDE =90o，又 ∠CDG =90o+∠ADG =∠ADE ， ∴ △ADE ≌△CDG ． ∴ AE =CG ．（2）猜想： AE ⊥CG ．证明：如图，设AE 与CG 交点为M ，AD 与CG 交点为N ． ∵ △ADE ≌△CDG ， ∴ ∠DAE =∠DCG ．又∵ ∠ANM =∠CND ， ∴ △AMN ∽△CDN ． ∴ ∠AMN =∠ADC =90o．∴ AE ⊥CG ．10. 解：H G H B =．证法1：连结A H ，∵四边形A B C D ，A E F G 都是正方形．∴90B G ∠=∠=°．由题意知A G A B =，又A H A H =． Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△， H G H B =∴．证法2：连结G B ．∵四边形A B C D A E F G ，都是正方形，90A B C A G F ∠=∠=∴°．由题意知A B A G =．A GB A B G ∠=∠∴．H G B H B G ∠=∠∴． H G H B =∴．11. 解：（1）如图1，连结DF ．因为点E 为CD 的中点，所以12E C E C A BD C==．据题意可证△FEC ∽△FBA ，所以14C EF ABFS S ∆∆=．（2分）因为S △DEF =S △CEF ，S △=S ．（2分）所以45AEF AEFAD F D EFAD EFS S S S S ∆∆∆∆==+四边形．（2）如图2，连结DF ．DCABGHF E（第10题）DC ABGHFE（第10题）与（1）同理可知，C EF ABFS S ∆∆=49，S △DEF =12S △CEF ，AD F ABF S S ∆∆=，所以ABF ABFAD EFD EF AD FS S S S S ∆∆∆∆=+=911．（3）当CE ：ED=3：1时，=1619．当CE ：ED=n ：1时， =22(1)(1)n n n+++（=222131n n n n ++++）．（4）提问举例：①当点E 运动到CE ：ED=5：1时，△ABF 与四边形ADEF 的面积之比是多少？②当点E 运动到CE ：ED=2：3时，△ABF 与四边形ADEF 的面积之比是多少？ ③当点E 运动到CE ：ED=m ：n （m ，n 是正整数）时，△ABF 与四边形ADEF•的面积之比是多少？。

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