倒立摆实验指示书200703

倒立摆控制系统 实 验 指 示 书赵世敏 编清华大学自动化系2007年3月目 录1背景介绍 (1)2倒立摆家族简介 (3)2.1直线倒立摆 (3)2.2环形倒立摆 (4)2.3平面倒立摆 (5)3预备知识 (6)3.1一级倒立摆动力学方程的建立 (6)3.2传递函数 (8)3.3状态空间方程 (8)3.4用LQR方法计算反馈系数 (9)4倒立摆实验介绍 (12)4.1实验设备简介 (12)4.2实验软件简介 (15)4.3实验准备及注意事项 (16)5实验软件操作指南 (18)5.1启动准备 (18)5.2打开软件 (18)5.3设置软件参数 (19)5.4编译 (20)5.5连接 (21)5.6运行 (21)5.7在线的实时参数调整 (21)5.8数据的观察及记录 (21)6一级倒立摆实验 (24)6.1实验一建立一级倒立摆的数学模型 (24)6.2实验二倒立摆系统控制算法的状态空间法设计 (28)6.3实验三研究倒立摆系统对信号的跟踪 (32)7二级倒立摆实验 (34)7.1实验四建立两级倒立摆的数学模型 (34)7.2实验五二级系统控制算法的状态空间法设计 (37)8实验报告要求 (40)1背景介绍倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。

它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。

通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。

在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。

一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。

倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。

倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性是显而易见的。

只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。

实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。

这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。

2倒立摆家族简介2.1直线倒立摆旋转运动模块直线一级摆直线柔性模块直线二级摆柔性关节一级摆旋转运动模块环形一级摆环形串联二级摆环形并联二级摆平面摆两自由度球关节3预备知识3.1一级倒立摆动力学方程的建立由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。

在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图3-1所示。

图3-1 一级倒立摆系统运动示意图M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置Φ 摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）图3-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。

图3-2 倒立摆系统小车和摆杆的受力分析应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M −′−=′′由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程： )sin (22θl x dt d m N +=① θθθθsin )(cos 2′−′′+′′=ml ml x m N合并可得：F ml x b x m M =′−′′+′+′′+]sin )(cos [)(2θθθθ ②为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：)cos (22θl dt d m mg P =−]cos )(sin [2θθθθ′+′′−=−ml mg P合并得到力矩平衡方程如下：θθθ′′=−−I Nl Pl cos sin ③方程中φπθ+=，当φ与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：1cos −=θ、φθ−=sin 、0)(2=dtd θ，用u 来代替被控对象的输入力F，线性化两个运动方程（即将上述等式带入②和③）如下：⎩⎨⎧′′=−′′+=′′−′+′′+xml mgl ml I uml x b x m M φφφ)()(2④ 3.2 传递函数对方程组④进行拉普拉斯变换，得到：⎪⎩⎪⎨⎧=Φ−Φ+=Φ−++22222)()()()()()()()()(ss mlX s mgl s s ml I s U s s ml s s bX s s X m M ⑤ 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到： )(([)(22s s g ml ml I s X Φ−+=把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数：q bmgl s q mgl m M s q ml I b s sqmls U s −+−++=Φ)()()()(223进而得到输入到输出-小车位置的传递函数： 222432()()()()()I ml mgls X s q qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q +−=+++−−s q 其中])())([(22ml ml I m M q −++=3.3 状态空间方程设系统的状态方程为⎩⎨⎧+=+=′Du CX y BuAX X 方程组④对x ′′和φ′′求解代数方程，得到解如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++′−=′′′=′+++′+−=′′′=′u p ml p m M mgl x p mlb u pml I p gl m x p b ml I x x x φφφφφ)()(22222)(Mml m M I p ++=整理后得系统状态空间方程：u p mlp ml I x x pm M mgl p mlb p gl m p bml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡′′⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡′′′′′′000)(010000)(000102222φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡′′⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 其中2)(Mml m M I p ++=3.4 用lqr 方法计算反馈系数在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。

而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是很适用的。

给定一个n 阶线性控制对象，其状态方程是 )()()()()(t u t B t X t A t X+= ，0)(X t X = ⑥寻求最优控制，使性能指标)(t u∫++=ft t T T f f T dt t u t R t u t X t Q t X t SX t X J 0)]()()()()()([)()(21⑦达到极小值。

这是二次型指标泛函，要求、、使对称矩阵，并和应是非负定的或正定的，应是正定的。

S )(t Q )(t R S )(t Q )(t R 式⑦右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度。

f t )(f t X 式⑦右侧的积分项是一项综合指标。

积分中的第一项表示对于一切的，对状态的要求。

用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于经典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分。

这一积分项越小，说明控制的性能越好。

积分的第二项是对控制总能量的限制。

],[0f t t t ∈)(t X 如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。

实际上，上述两个积分项是相互制约的，要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。

求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵及的选取。

)(t u )(t Q )(t R 如果重视控制的准确性，则应增大加权矩阵的各元，反之则应增大加权矩阵的各元。

中的各元体现了对中各分量的重视程度，如果中有些元素等于零，则说明对中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小。

由此也能说明加权矩阵为什么可以是正定或非负定对称矩阵。

因为对任意一个控制分量所消耗的能量都应限制，又因为计算中需要用到矩阵的逆矩阵，所以必须是正定对称矩阵。

)(t Q )(t R )(t Q )(t X )(t Q )(t X )(t Q )(t R )(t R 常见的二次型性能指标最优控制分两类，即线性调节器和线性伺服器，它们已在实际中得到了广泛的应用。

由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化成比例，即)()(t KX t u −=（实际上，它是采用状态反馈的闭环控制系统），因此这类控制易于实现，也易于驾驭，是很引人注意的一个课题。

如果施加于控制系统的参考输入不变，当被控对象的状态受到外界干扰或受到其他因素影响而偏离给定的平衡状态时，就要对它加以控制，使其恢复到平衡状态，这类问题称为调节器问题。