2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛B组论文检摘

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2010 年 7 月 20 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘要医疗服务质量的改善关系到民生，也是我国构建“和谐社会”的重要基础。

病床作为一种重要的医疗资源，其合理的安排和有效的使用能很大程度上改善医疗服务的质量和解决“看病难”的问题。

确立诊前延误指标、手术延误指标、就医水平指标和医务效率指标四个构成因素，建立综合指标评价模型；通过对所给数据的处理，预测不同病症住院时间的周期，测定出患者从门诊到住院等待的时间区间即为病人门诊时即告知其大致住院时间的区间：果。

关键词：综合指标评价模型；病床合理分配一、问题重述与分析1.1问题的重述医院就医排队是大家熟悉的一个生活现象。

例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们需要对某医院眼科病床的合理安排建立数学建模。

医院现有的运行状况如下：（1）该医院的眼科门诊每天开放，且住院部一共有79张病床。

（2）到医院就诊的患者分为四类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

（3）白内障手术比较简单，且无急诊，目前该医院是统一安排每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多些，大约占到60%，且这类病人要做是周一先做一只，周三再做另一只。

且白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

（4）外伤疾病通常属于急诊，病床有空位时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

（5）视网膜疾病、青光眼较复杂，但大致住院以后的2、3天就可以接受手术，主要是术后观察时间较长。

这类病人的手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、三。

由于该疾病的急诊数量较少，建模时可以不用考虑其急诊状况。

（6）目前，住院部对全体非急诊病人是按照FCFS（First come,First serve）规则安排住院，即所有的患者（急诊除外）都根据门诊的先后顺序安排住院的。

但造成等待住院的病人队列却越来越长。

需解决的问题：建立综合指标评价模型；病床合理分配比例1.2问题分析上述需解决问题，其核心是建立一个合理的病床安排模型。

目前患者就医一般采取的程序是挂号——就诊——住院，每一个阶段都存在 排队等待的现象。

就住院部现有情况而言，实际流程考虑为门诊——住院——术前准备——手术——出院。

二、基本假设与符号说明1．N λ和P λ分别为急症病人和非急症病人在单位时间内的平均到达量，则单位时间病人总到达量λ=N λ+P λ，急症病人比例P N =N λ/(N λ+P λ)2. μ为平均服务速率，1/μ为平均住院日.3 . P ν =P λ/μ , N ν =N λ/μ,ν=N ν+P ν。

ν为平均每日病床需求量=λ/μ。

4. S 为病区总病床数，B 为普通病床数，则S 一B 为留作急症病床数.5.n C 为n 张病床被占用的稳态概率。

J (n,q)为n 张病床被占用而有q 个病人在排队等待的联合稳态概率。

显然，C n =()∑∞=0,q q n J （n=B 、B+1、…S ）三、模型的建立与求解通过问题的初步分析，我们已经对一些相关因素间的联系有了一个明确了解，对模型应该具备的特点也有了一个大致的轮廓。

下面我们将对各个具体问题建立模型并求解。

3.1综合指标评价体系评价体系中会涉及到很多方面的因素，也就是多个评价指标。

而这些评价指标都在一定程度上影响着评价对象的优劣，并非考虑的指标越多越好，而是要考虑对综合指标数值影响最大的那些主要因素。

因此，我们要寻求这样的一些因素，并将其挑出，与综合指标建立起某种函数关系式。

3.1.1评价体系综合指标的组成分析影响床位分配合理性的因素有很多。

我们经过以上的分析筛选，得出该综合评价体系涉及到以下四个重要指标：①诊前延误指标②手术延误指标③就医水平指标④医务效率指标。

下面我们将对选定该四个指标的合理性做出分析。

以下分析的数据均来源于题目提供的2008-7-14到2008-9-7期间的数据。

系统状态转移图及其概率转移方程当0n =时，01C C λμ=当1,22n B =⋅⋅⋅⋅⋅⋅-时,11()(1)n n n n C C n C μλλμ-++=+-当1n B =-时，112(1)(,0)B B B C B C C B J B λμλμ---+-=+当,0n B q ==时，1()(,0)(,0)(1)(1,0)(,1)P N B J B B J B C B J B B J B λλμλμ-++=++++5、当,1n B q =≥时，()(,)(,)(,1)(,1)(1)(1,)P N P J B q B J B q J B q B J B q B J B q λλμλμμ++=-+++++ 6、当1,2,,1,0n B B S q =++⋅⋅⋅-=时，()(,0)(,0)(1,0)(1),(1,0)P N N J n n J n J n n J n λλμλμ++=-++=7、当1,2,,1,1n B B S q =++⋅⋅⋅-≥时()(,)(,)(,1)(,1)(1)(1,)P N P N J n q n J n q J n q J n q n J n q λλμλλμ++=-+-+++8、当,0n S q ==时，()(,0)(1,0)p N S J S J S λμλ+=-9、当,1n S q =≥时，()(,)(,1)(1,)p P N S J S q J S q J S q λμλλ+=-+-方程的解及其状态概率计算 有n 张病床被占用的概率n C ，有n 张病床被占用的概率由等式11110(/)(1,1)(,0)(/)(,)(/)(,1)(/)/[/]{[/(1)!]}/{[,[(!/)](/!)]}B n n n n B SP n B n n n SB B P n B n B SBN N n BC n C n B J B B C J B q B J n q C n C C C B C C B C B B n γγγγγγγγγγ--=--====⋅⋅⋅-==-==-=--∑∑∑这时n C 可以通过以下递推等式计算11111111111/1/[(1)/][/],(2,3,0)/1/(/)(/),(1,2,)//[]/(/)(/),(1,2)1/[(/)](/B B n B n B B B n B N n n SB B P n B n B B B B n B n Bn n B C C C C n C C n B B C C C C n C C n B B S C C B C C C C C C n B B S C C C C C C γγγγ---+-------=-==+=--⋅⋅⋅⋅⋅⋅===++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑∑11)B C -5.2.2.3 系绕有k 个病人排队的概率在医院住院系统中，病人排队的概率可由下列矩阵表示：01'1(,0)(1,1)(,)(1,0)(1,1)(1,)(,0)(,1)(,)sS SJ S J S J S C J S J S J S C J J B J B J B C Q Q Q Q θθθθ--⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，θ为病人排队的最大长度．(,)(,),(,1,)(,)n q q Sn BC J n q J n q n B B S Q J n k θ∞======+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∑∑∑实际上一个医院住院系统排队等待的病人不可能很多，即θ很大时，Q 往往很小，可以忽略不计。

这时：01'Snnin B i CQ θ===+∑∑可以证明(,)J n q 往往可以写成：(,)(,)(,)(,),(,1,,1)(,)1(,)0(1,0)()/(1,0)0(,0)[(1)(1,0)(2)(2,0)]/(,0)0,(2,3,)(1,)()/(1,)(/)(,P N N P NP N J n q M n q J S q A n q n B B S q M S q A S q M S S A S M n n M n n M n A n n S S B M S q S A S q J S γγγγγγγγ=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥==-=+-==+++-++==--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=+-=-1)(,)(1/)[(1)(1),(2)(2,)(1,1)]N P q M n q n M n q n A n q J n q γγγ-=+++-+--+- (,)(1/)[(1)(1,)(2)(2,)(1,1)]N P A n q r r n A n q n A n q r J n q =-++-++-+- 由上式可以发现(,)M n q 与q 无关(,)()(,)(,)J n q M n J S q A n q =+这时k Q 可以由以下等式计算得，首先计算()M n1(,0)(/)/()B J S r B C M B -= (1,0)()/(,0)P N J S r S r J S -=+(,0)()(,0)J n M n J S =则0'(,0)Sn BQ J n ==∑S 张病床被占用而有q 个病人在等待的联合稳态概率为：(,)[(,)(,)]/()J S q J B q A B q M B =-最后可得排队长度等于k 的概率(,)Sk n BQ J n k ==∑3.2模型的建立医院住院管理系统运行指标(1)排队的概率：Snn BC=∑(2)所有病床均披占用的概率 ：S C(3)平均每天占用病床数：00Snn nC μ==∑(4)住院系统内病人的期望数101(,)SmSn n q n BL nC q J n p ====+⋅∑∑∑(5)排队等待病人的期望数；21mkk L k Q ==⋅∑(6)病人在系统内逗留时间的期望数； 1/()N P W L λλ=+ (7)病人排队等待时间的期望数 ：2/H L λ= (8)病床使用率：max 0100%/Z S μ=⨯ (9)病床周转次数：max 30[(1)]P N S T C λλ=+- （10）平均等待时间：min V H W =+s.t 7171715177112,1,23,3,41,1,2,3,47910001,2,7jj ij j ij j ij kj ij i j j j j ij ij jj y y x i x i x x i k p w y x x w y j ======⎧=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪≤=⎪⎪⎪+≤==⎨⎪⎪≤⎪⎪⎪≤⎪⎪==⎪⎪≥≥=⎩∑∑∑∑∑∑ 或，，3.3模型解答：我们采用了题目给出的所有已知数据，也包括使用模型二的动态病床安排模型解出的原未知数据。