2018届高考数学二轮复习直线与圆教学案文学案含答案(全国通用)

专题13 直线与圆
(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．
(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．
(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．
1．直线方程
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
(2)直线方程
(3)两直线的位置关系
(4)距离公式
①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
.
②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离
d ＝
|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
2．圆的方程 (1)圆的方程
①标准方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .
②一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2
，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．
②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2
(或0)作比较，大于r 2
(或0)时，点在圆外；等于r 2
(或0)时，点在圆上；小于r 2
(或0)时，点在圆内．
(3)直线与圆的位置关系
直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)与圆：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)的位置关系如下表. 代数法：⎩
⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0
x －a 2
＋y －b 2
＝r
2
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
(4)圆与圆的位置关系
【误区警示】
1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
考点一 直线及其方程
例1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,
(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若
20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】[-
【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由22
250
50
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，可得5
:5
x A y =-⎧⎨
=-⎩或
1
:7x B y =⎧⎨=⎩
，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.
【变式探究】【2016高考新课标3文数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B
两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.
【答案】4
【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－
22，12 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
1－
22，13 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，12 【答案】B
【解析】(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1
得y E ＝a ＋b a ＋1，又易知x D ＝－b
a ，
∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝1
2
得b ＝
1
1＋1
a
＋1
∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.
图① 图②
(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC 、BC 相交时(如图②)，由S △FCG ＝12(x G －x F )·|CM |＝12得b ＝1－221－a
2
∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－
22，1 (∵0<a <1)，
∵对于任意的a >0恒成立 ，
∴b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，即b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12.故选B. 考点二 两直线的位置关系
例2、【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.
【解析】利用两平行线间距离公式得
d 5
=
=
=
. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3
)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a
3
B ．b ＝a 3
＋1a
C ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0
D ．|b －a 3|＋|b －a 3
－1a
|＝0
【答案】C
【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，
y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．
【答案】5
【解析】易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2
＋|PB |
2
＝|AB |2
＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2
＋|PB |
2
2＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B
重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.
考点三 圆的方程
例3．【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线2
2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析 【解析】
（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：。