2012年北京高考数学真题及答案(文科)

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）在复平面内，复数10i3i+对应的点的坐标为（A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3)-（D）(3,1)-（3）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（文）（北京卷）第 1 页（共10 页）数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页）（5）函数()121()2xf x x =-的零点个数为（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（6）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是（A ）13a a +≥22a （B ）2213a a +≥222a（C ）若13a a =，则12a a =（D ）若31a a >，则42a a >（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 （A）28+ （B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9（D ）11正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 10 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 ． （10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = ．（11）在ABC △中，若3a =，b =π3A ∠=，则C ∠的大小为 ． （12）已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b += ．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB −−→−−→⋅的值为 ；DE DC −−→−−→⋅的最大值为 ．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是 ．数学（文）（北京卷） 第 4 页（共 10 页）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D E ，分别为AC AB ，的中点，点F 为线段CD 上的一点．将ADE△沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：//DE 平面1A CB ； （Ⅱ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅲ）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c，，，其中0a >，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L ，其中x 为数据12,,,n x x x L 的平均数）A 1BCFD E 图1图2数学（文）（北京卷） 第 5 页（共 10 页）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求a b ，的值； （Ⅱ）当3a =，9b =-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N ，． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当AMN △k 的值．（20）（本小题共13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a b c d e f ，，，，，[1,1]∈-，且0a b c d e f +++++=．记()i r A 为A 的第i 行各数之和（1,2i =），()j c A 为A 的第j 列各数之和（1,2,3j =）；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值． （Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；（Ⅱ）设数表A 形如其中10d -≤≤．求()k A 的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求()k A 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B （6）B （7）B （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）11(1)4n n+（11）π2（12）2（13）11（14）(4,0)-三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin0x≠得πx k≠(k∈Z)，故()f x的定义域为{x∈R|π,x k≠k∈Z}．因为(sin cos)sin2 ()sinx x x f xx-=2cos(sin cos)x x x =-sin2cos21x x=--π)14x=--，所以()f x的最小正周期2ππ2T==．（Ⅱ）函数y=sin x的单调递减区间为π3π[2π,2π]22k k++(k∈Z).由ππ3π2π22π242k x k+-+≤≤，πx k≠(k∈Z)，得3π7πππ88k x k++≤≤(k∈Z)．所以()f x的单调递减区间为3π7π[π,π]88k k++(k∈Z)．数学（文）（北京卷）第 6 页（共10 页）数学（文）（北京卷） 第 7 页（共 10 页）BD EFC A 1PQ（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以//DE BC ．又因为DE ⊄平面1A CB ， 所以//DE 平面1A CB ． （Ⅱ）由已知得AC BC ⊥且//DE BC ，所以DE AC ⊥．所以1DE A D ⊥，DE CD ⊥． 所以DE ⊥平面1A DC ． 而1A F ⊂平面1A DC ， 所以1DE A F ⊥． 又因为1A F CD ⊥， 所以1A F ⊥平面BCDE ． 所以1A F BE ⊥．（Ⅲ）线段1A B 上存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取11A C A B ，的中点P Q ，，则//PQ BC ． 又因为//DE BC ， 所以//DE PQ ．所以平面DEQ 即为平面DEP ． 由（Ⅱ）知，DE ⊥平面1A DC ， 所以1DE A C ⊥．又因为P 是等腰三角形1DA C 底边1A C 的中点， 所以1A C DP ⊥． 所以1A C ⊥平面DEP ． 从而1A C ⊥平面DEQ ．故线段1A B 上存在点Q ，使得1A C ⊥平面DEQ ．数学（文）（北京卷） 第 8 页（共 10 页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为40024001001003==++“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量．（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即()P A 约为4002406071000++=0.，所以()P A 约为10.70.3-=．（Ⅲ）当600a =，0b c ==时，2s 取得最大值．因为 1()2003x a b c =++=，所以 22221[(600200)(0200)(0200)]800003s =-+-+-=．（18）（共13分）解：（Ⅰ）()2f x ax '=，2()3g x x b '=+．因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，所以(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=．即 11a b +=+，且23a b =+． 解得 3a =，3b =．（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+．当3a =，9b =-时，32()391h x x x x =+-+， 2()369h x x x '=+-．令()0h x '=，得13x =-，21x =． ()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：由此可知：当3k -≤时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=； 当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28． 因此，k 的取值范围是(,3]-∞-．数学（文）（北京卷） 第 9 页（共 10 页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得2222,,a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得b =．所以椭圆C 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）由22(1),1,42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=．设点,M N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412k x x k +=+，21222412k x x k -=+．所以||MN==． 又因为点(2,0)A 到直线(1)y k x =-的距离d =，所以AMN △的面积为1||2S MN d =⋅=．=1k =±． （20）（共13分）解：（Ⅰ）因为1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，所以()0.7k A =．（Ⅱ）1()12r A d =-,2()12r A d =-+,12()()1c A c A d ==+,3()22c A d =--.因为10d -≤≤，所以12|()||()|1r A r A d =+≥≥0，3|()|1c A d +≥≥0. 所以()11k A d =+≤．当0d =时，()k A 取得最大值1．数学（文）（北京卷） 第 10 页（共 10 页）（Ⅲ）任给满足性质P 的数表A （如下所示）．任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表*A 仍满足性质P ，并且*()()k A k A =． 因此，不妨设1()0r A ≥，12()()0c A c A ≥0，≥．由()k A 的定义知，1()()k A r A ≤，12()()()()k A c A k A c A ≤，≤．从而 1123()()()()k A r A c A c A ++≤()()()a b c a d b e =++++++()()a b c d e f a b f =+++++++- a b f =+-3≤．所以()1k A ≤．由（Ⅱ）知，存在满足性质P 的数表A 使()=1k A ．故()k A 的最大值为1．。