2012年高考真题——文科数学(北京卷)解析版(2)

2012年全国高考文科数学试题及解析-大纲卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）数学（文科）一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|A x x =是平行四边形，{}|B x x =是矩形，{}|C x x =是正方形，{}|D x x =是菱形，则A ．AB ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆ 答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。

【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合C 是最小的，集合A 是最大的，故选答案B 。

2．函数1)y x =≥-的反函数为A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥ C ．21(0)y x x =+≥ D ．21(1)y x x =+≥ 答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解x ，再互换,x y 得到结论，同时也考查了函数值域的求法。

【解析】由2211y x y x y =⇒+=⇒=-，而1x ≥-，故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥，故选答案A 3．若函数[]()sin(0,2)3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ= A ．2πB ．23πC ．32πD ．53π答案C【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。

【解析】由[]()sin (0,2)3x f x ϕϕπ+=∈为偶函数可知，y 轴是函数()f x 图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故3(0)sin13()3322f k k k Z ϕϕπππϕπ==±⇒=+⇒=+∈，而[]0,2ϕπ∈，故0k =时，32πϕ=，故选答案C 。

4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．2425答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。

2012年高考文科数学试题解析（全国卷）

2012年高考文科数学试题解析（全国课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

合题目要求的。

（1）已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则，则（A ）A Ì¹B （B ）B Ì¹A （C ）A=B （D ）A ∩B=Æ【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题. 【解析】A=（－1,2），故B Ì¹A ，故选B. （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是的共轭复数是（A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题. 【解析】∵z =32ii-++=1i -+，∴z 的共轭复数为1i --，故选D. （3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1 【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题. 【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. （4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y ab +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为A .12B .23C .34D .45【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，的等腰三角形，∴0260PF A Ð=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C. （5）已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题. 【解析】有题设知C(1+3,2)，作出直线0l ：0x y -+=，平移直线0l ，有图像知，直线:l z x y =-+过B 点时，m a x z =2，过C 时，m i n z =13-，∴z x y =-+取值范围为(1－3，2)，故选A. （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B，则A .A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和的和B2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数的算术平均数C .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数中的最大数和最小数D .A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题. 【解析】由框图知其表示的算法是找N 个数中的最大值和最小值，A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数，故选C. （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为体积为A .6 B .9 C .12 D .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题. 【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为1163332´´´´=9，故选B. (8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【命题意图】【命题意图】【解析】【解析】（9）已知w >0，0j p <<，直线x =4p 和x =54p 是函数()sin()f x x w j =+图像的两条相邻的对称轴，则j = （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题. 【解析】由题设知，p w =544p p -，∴w =1，∴4pj +=2k pp +（k Z Î）， ∴j =4k pp +（k Z Î），∵0j p <<，∴j =4p，故选A. （10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为A .2B .22C .4 D .8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题. 25+，则公比=0得，=01110|= . 1022322(+1)+sinx2的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)(附详细答案)(20200621145848)

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】BS：相关系数．【专题】29：规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选：A．【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ﹣2 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用．【专题】15：综合题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈?；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012年北京市高考数学(文科)试题及标准答案详解

20 2 xy ２01２年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(北京卷)本试卷共5页，1５0分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B =(A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- （Ｃ）2(,3)3-(D)(3,)+∞ 【解析】和往年一样，依然是集合（交集）运算,本次考察的是一次和二次不等式的解法。

利用一次、二次不等式的解法2{|}3A x x =>-,{|13}B x x x =<->或并画出数轴图易得答案:D2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（A)(1,3) （B ）(3,1) （C)(1,3)- （D ）(3,1)-【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

因为10133ii i=++,实部为1,虚部为3,对应复平面上的点为(1,3) 答案：A 3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A)4π （B ）22π- (C ）6π(D ）44π-【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划,圆的概念和面积公式，几何概型。

题目中表示的区域如右图正方形所示,而动点Ｄ可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分,因此所求概率是44π- ,答案:D 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 （B ）4 （Ｃ）8 （D ）１６【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整数指数幂的计算。

当ｋ＝3时，循环结束,此时输出的Ｓ为8,答案:Ｃ5．函数的零点个数为（A ）0 （Ｂ）1 （C)2 (D)3【解析】表面上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题(单调性)的变种,该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点,即令()0f x = 。

2012年文数高考试题答案及解析-新课标

绝密* 启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上 .2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 .写在本试卷上无效 .3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上 .写在本试卷上无效 ·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回 .第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A={x| x2－ x －2<0}，B={x| －1<x<1}，则（ A ）A B（B ）B A（C ）A=B（D ） A ∩B=【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题 .【解析】 A=（－ 1,2），故 B A ，故选 B.（2）复数 z ＝ 3 2 i i 的共轭复数是（ A ） 2 i （B ） 2 i （C ） 1 i （D ） 1 i 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.【解析】∵ z =3 2 i i = 1 i ，∴ z 的共轭复数为 1 i ，故选 D. （3）在一组样本数据（ x 1，y 1），（x 2， y 2），⋯ ，（x n ，y n ）（n ≥ 2，x 1,x 2, ⋯ ,x n 不全相等）的散点图中，若所有样1 1本点（ x i ，y i ）(i=1,2, ⋯ , n) 都在直线y x 1y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为22 12（ A ）－ 1 （B ）0 （C ）（D ）1 【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题 . 【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D.（4）设 F , 1 F 是椭圆 E ： 2 2 2 x y 22 a b=1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点， P 为直线x 3a 2 上一点，△ F PF 是底角为 2 10 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为A . 1 2B . 2 3C . 3 4D . 4 5【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题 .【解析】∵△F PF 是底角为2 130 的等腰三角形，∴0PF2A 60 ， | PF2 | | F1F2 | 2c，∴| AF | =c，∴232c a，∴e=234，故选C.第1页共8 页（5）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ ABC 内部，则 z x y 的取值范围是（A ）(1－ 3，2) （B ）(0，2) （C ）( 3－1，2) （D ）(0，1+ 3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题 .【解析】有题设知 C(1+ 3 ,2)，作出直线l ： x y 0，平移直线 l 0 ，有图像知，直线 l : zx y 过B0 点时， z =2，过C 时， max z =1 3，∴ z x y 取值范围为 (1－ 3，2)，故选A.min（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N ( N ≥ 2)和实数 a ， a 2 ，⋯ ， a N ，输出 A ， B ，则1 A . A + B 为 a 1， a2 ，⋯ ， a N 的和 B . A B 2 为 a ， a 2 ，⋯ ， a N 的算术平均数1 C . A 和 B 分别为 a ， 1 a ，⋯ ，2 a 中的最大数和最小数N D . A 和 B 分别为 a ， 1 a ，⋯ ， 2 a 中的最小数和最大数N【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题 . 【解析】由框图知其表示的算法是找N 个数中的最大值和最小值， A 和B 分别为 a ， 1 a ，⋯ ， 2a 中的最大数和最小数，故选C . N2（7）如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A .6B .9C .12D .18【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题 . 【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为 6，这边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为 1 1 3 2 6 3 3 =9，故选B . (8)平面 α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为2，则此球的体积为（ A ） 6π （B ）4 3π （ C ）4 6π（D ）6 3π【命题意图】【解析】（9）已知 >0， 0，直线 x = 和x =两条相邻的对称轴，则 = 45 4 是函数 f (x) sin( x) 图像的（A ） π 4 （B ）π 3 （C ）π 2 3π（D ）4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题 .【解析】由题设知， = 5 4 4 ，∴ =1，∴ = k （ k Z ），4 2∴= k （k Z ），∵0 ，∴=4 4，故选A.（10）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线 2 16y x的准线交于A、B 两点，| AB |= 43 ，则 C 的实轴长为A . 2B . 2 2C .4D .8第2页共8 页【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题 . 【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4 ，设等轴双曲线方程为： x 2 y 2 a 2 ，将 x 4 代入等轴双曲线方程解得 y = 2 16 a ，∵ | AB |=4 3 ，∴ 22 16 a =43 ，解得a =2，∴ C 的实轴长为4，故选C .(11)当 0< x ≤1 2x 时， 4log a x ，则 a 的取值范围是（A ）(0， 2 ) （B ）( 2 2 ，1) （C ）(1， 2) （D ）( 2，2)2【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题 .0 a 1 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 1 1 log 42 a 2，解得2 a ，故选A .2 （12）数列 {n a }满足a 1 ( 1) a 2n 1，则 { a n }的前 60 项和为 n n n （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题 . 【解析】【法 1】有题设知 a a =1，① a 3 a 2 =3 ② a 4 a 3 =5 ③ a 5 a 4 =7， a 6 a 5 =9， 2 1a a =11， a 8 a 7 =13， a 9 a 8 =15， a 10 a 9=17， a 11 a 10 =19， a 12 a 11 21， 7 6 ⋯ ⋯∴②－①得a a =2，③ +②得 a 4 a 2 =8，同理可得 a 5 a 7 =2， a 6 a 8=24， a 9 a 11 =2， a 10 a 12 =40，⋯ ， 1 3∴a a ， a 5 a 7 ， a 9 a 11 ，⋯ ，是各项均为 2 的常数列， a 2 a 4 ， a 6 a 8 ， a 10 a 12 ，⋯ 是首项为8， 1 3 公差为16 的等差数列，∴{ 1 a }的前 60 项和为15 2 15 8 16 15 14 n2=1830. 【法 2】可证明：b 1 a 4 1 a 4 2 a 4 3 a 4 4 a 4 3 a 4 2 a 4 2 a 4 16 b 16n n n n nn n n n n1 5 1 4b a a a a 1 0 S 1 0 1 5 1 6 1 8 3 01 1234 1 52二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

2012文科数学高考真题全国卷Ⅱ试卷及答案

2012年高考数学试题（文）第1页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ={x |x 2-x -2<0}，B ={x |-1<x <1}，则（）A ．A ⊂≠BB ．B ⊂≠AC ．A =BD ．A ∩B =∅2．复数32iz i-+=+的共轭复数是（） A ．2+iB ．2-iC ．-1+iD ．-1-i3．在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1, x 2,…, x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1, 2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（） A ．-1B ．0C ．12D ．14．设F 1、F 2是椭圆E ：22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12B ．23C ．34D ．455．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是（）A．(1- B ．(0，2) C．1,2)D. 1) 6．如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A 、B ，则（） A ．A +B 为a 1，a 2，…，a N 的和B ．2A B +为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别为a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数2012年高考数学试题（文）第2页【共10页】D ．A 和B 分别为a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 7．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） A ．6B ．9C ．12D ．188．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距） AπB ．C ．πD ．9．已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（） A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π410．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（） AB．C ．4D ．811．当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（） A ．(0B ．1)C ．(1D ．2)12．数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为 . 14．等比数列{n a }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q = . 15．已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |=.2012年高考数学试题（文）第3页【共10页】16．设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = .三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .18.（本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售. 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)(附详细答案)(20200621145848)

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】BS：相关系数．【专题】29：规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选：A．【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ﹣2 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用．【专题】15：综合题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈?；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012学年高考文科数学年北京卷答案

数学试卷第1页（共8页）数学试卷第2页（共8页）绝密★启用前江苏省苏州市2012年中考数学试卷数学本试卷满分130分,考试时间120分钟.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.2的相反数是( )A .2-B .2C .12-D .122.,则x 的取值范围是 ( )A .2＜xB .2≤xC .2＞xD .2≥x3.一组数据2,4,5,5,6的众数是( )A .2B .4C .5D .74.如图,一个正六边形转盘被分成6个全等正三角形,任意转动这个转盘1次,当转盘停止时,指针指向阴影区域的概率是( )A .12B .13C .14D .165.如图,已知BD 是O 直径,点A ,C 在O 上,=AB BC ,60∠=AOB ,则∠BDC 的度数是( )A .20B .25C .30D .406.如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD ,相交于点O ,CE BD ∥,DE AC ∥若4=AC ,则四边形C O D E 的周长是 ( ) A .4 B .7 C .8D .107.若点(,)m n 在函数21=+y x 的图像上,则2-m n 的值是( )A .2B .-2C .1D .-1 8.若2139273⨯⨯=m m ,则m 的值是( )A .3B .4C .5D .79.如图,将AOB △绕点O 按逆时针方向旋转45后得到△''A OB ,若15∠=AOB ,则∠'AOB 的度数是 ( )A .25B .30C .35D .4010.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点1B 在y 轴上,点1C ,1E ,2E ,2C ,3E ,4E ,3C 在x 轴上.若正方形1111A B C D 的边长为1,1160∠=B C O ,112233∥∥B C B C B C ,则点3A 到x 轴的距离是( )A.318B.118C.36D.16二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.) 11.计算：32= .12.若2=a ,3+=a b ,则2+=a ab .13.已知太阳的半径约为696000000m ,696000000这个数用科学记数法可表示为 .14.已知扇形的圆心角为45,弧长等于π2,则该扇形的半径为 . 15.某初中学校共有学生720人,该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查,并将调查结果制成了如图所示的条形统计图,由此可以估计全校坐公交车到校的学生有人.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共8页）数学试卷第4页（共8页）16.已知点11()，A x y ,22()，B x y 在二次函数21()1y x =+-的图像上,若121＞＞x x ,则1y 2y (填“＞”“＜”“=”).17.如图,已知第一象限内的图像象是反比例函数1=y x 图像的一个分支,第二象限内的图像是反比例函数2=-y x图像的一个分支,在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A ,B ,过点A ,B 作x 轴的垂线,垂足分别为C ,D .若四边形ACBD 的周长为8且＜AB AC ,则点A 的坐标是 .18.如图①,在梯形ABCD 中,∥AD BC ,60∠=A ,动点P 从点A 点出发,以1cm/s 的速度沿着→→→A B C D 的方向不停移动,直到点P 到达点D 后才停止.已知△PAD 的面积S (单位：2cm )与点P 移动的时间t (单位：s )的函数如图②所示,则点P 从开始移动到停止移动一共用了 s (结果保留根号).三、解答题(本大题共11小题,共76分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 19.(本题满5分)计算：01)|2|-+-.20.(本题满分5分)解不等式组：322,813(1).＜≥-+⎧⎨--⎩-x x x x.21.(本题满分5分)先化简,再求值：222441112a a aa a a -+++---,其中1a .22.(本题满分6分)解分式方程：231422+=++x x x x.23.(本题满分6分)如图,在梯形ABCD 中,已知AD BC ∥,AB CD =,延长线段CB 到E ,使=BE AD ,连接AE ,AC . (1)求证：ABE CDA ≌△△； (2)若40∠=DAC,求∠EAC 的度数.数学试卷第5页（共8页）数学试卷第6页（共8页）24.(本题满分6分)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家,有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15,中、美两国人均淡水资源占有量之和为313800m ,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：3m )？25.(本题满分8分)在33⨯的方格纸中,点A ,B ,C ,D ,E ,F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上.(1)从A ,D ,E ,F 四个点中任意取一点,以所取的这一点及B ,C 为顶点画三角形,则所画三角形是等腰三角形的概率是；(2)从A ,D ,E ,F 四个点中先后任意取两个不同的点,以所取的这两点及B ,C 为顶点画四边形,求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解).26.(本题满分8分)如图,已知斜坡AB 长60m ,坡角(即∠BAC )为30,⊥BC AC ,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE (请将下面2小题的结果都精确到0.1米,参考数据：1.732≈).(1)若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BEF )不大于45,则平台DE 的长最多为 m ；(2)一座建筑物GH 距离坡角A 点27m (即27m =AG )远,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30.点B ,C ,A ,G ,H 在同一个平面内,点C ,A ,G 在同一条直线上,且⊥HG CG ,问建筑物GH 高为多少米？27.(本题满分8分)如图,已知半径为2的O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与O 交于点D ,连接PA PB ,,设PC 的长为4(2)＜＜x x . (1)当52=x 时,求弦PA ,PB 的长度； (2)当x 为何值时,PD CD 的值最大？最大值是多少？-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷第7页（共8页）数学试卷第8页（共8页）28.(本题满分9分)如图,正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合,将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动,移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中,边AD 始终与边FG 重合,连接CG ,过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ,连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ,矩形EFGH 的边FG ,GH 的长分别为4cm ,3cm .设正方形移动时间为(s)x ,线段GP 的长为(cm)y ,其中0 2.5≤≤x .(1)试求出y 关于x 的函数关系式,并求出3=y 时相应x 的值；(2)记DGP △的面积为1S ,△CDG 的面积为2S ,试说明12()-S S 是常数； (3)当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时,求线段PD 的长.29.(本小题满分10分)如图,已知抛物线2(11144)4=-++by x b x (b 是实数且2＞b )与x 轴的正半轴分别交于点A ,B (点A 位于点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C . (1)点B 的坐标为是 ,点C 的坐标为是 (用含b 的代数式表示)； (2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,求出点P 的坐标；如果不存在,请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得QCO △,QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在,求出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由.。

2012北京高考真题数学文(解析分析)

19. （本小题共 14 分） x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的一个顶点为 A( 2 , 0 ) ，离心率为，直线 a b 2 y k( x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程（Ⅱ）当 AMN 的面积为
Sn
O
1 2 3 4
5 6
7 8 9 10 11 n
第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 直线 y x 被圆 x 2 ( y 2)2 4 截得的弦长为__________． 10. 已知 {an } 为等差数列，S n 为其前 n 项和，若 a1 _________________． 11. 在 ABC 中，若 a 3 ， b 3 ， A
2 B． (1, ) 3 2 C． ( ,3) 3
D． (3, )
2.
在复平面内，复数 A． (1,3)
10i 对应的点的坐标为（） 3i B． (3,1) C． (1,3)
D． (3, 1)
3.
0 x 2 设不等式组表示的平面区域为 D ．在区域 D 内随机取一个点， 0 y 2 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（） 2 4 A． B． C． D． 4 2 6 4
π ，则 C 的大小为_________． 3 1 ，S2 a3 ，则 a2 ____________，Sn 2
12. 已知函数 f ( x) lg x ，若 f (ab) 1 ，则 f (a 2 ) f (b2 ) _____________． 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为_______ ；

2012年(全国卷II)(含问题详解)高考文科数学

2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．AB B ．C B C ．D C D ．A D2．函数1y x =+(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B ．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 3．若函数()sin 3x f x ϕ+=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π34．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α＝( ) A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B ．13()2n -C ．12()3n -D ．112n -7． 6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种8．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，122CC =，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A．2 B ．3 C ．2 D．19．△ABC中，AB边的高为CD．若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝( )A．1133-a b B．2233-a bC．3355-a b D．4455-a b10．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A．14B．35C．34D．4511．已知x＝ln π，y＝log52，12=ez-，则( )A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝1 3 .动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为( ) A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．(x＋12x)8的展开式中x2的系数为__________．14．若x，y满足约束条件10,30,330,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z＝3x－y的最小值为__________．15．当函数y＝sin x －3cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝__________.16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A．18．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和23n nnS a+=.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．19．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，22AC=，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2) 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．21．已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y＝f(x)上，求a的值．22．已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－12)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D 到l的距离．2012年普通高等学校招生全国统一考试（2全国卷）数学(文)试题答案解析:1． B ∵正方形组成的集合是矩形组成集合的子集， ∴C B ．2． A ∵1y x =+，∴y 2＝x ＋1， ∴x ＝y 2－1，x ，y 互换可得：y ＝x 2－1. 又∵10y x =+≥.∴反函数中x ≥0，故选A 项． 3．C ∵()sin3x f x ϕ+=是偶函数，∴f (0)＝±1. ∴sin 13ϕ=±.∴ππ32k ϕ=+(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，3π2ϕ=.故选C 项． 4．A ∵3sin 5α=，且α为第二象限角， ∴24cos 1sin 5αα=-=－－.∴3424sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选A 项． 5． C ∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-.∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项．6．B 当n ＝1时，S 1＝2a 2，又因S 1＝a 1＝1，所以212a =，213122S =+=. 显然只有B 项符合．7． C 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为14A ，剩余5人进行全排列：55A ，故总的情况有：14A ·55A ＝480种．故选C项．8． D 连结AC 交BD 于点O ，连结OE ， ∵AB =2，∴22AC =.又122CC =，则AC =CC 1. 作CH ⊥AC 1于点H ，交OE 于点M . 由OE 为△ACC 1的中位线知，CM ⊥OE ，M 为C H 的中点．由BD ⊥AC ，EC ⊥BD 知，BD ⊥面EOC ， ∴CM ⊥BD ．∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离．又△AC C 1为等腰直角三角形，∴CH =2.∴HM =1. 9． D ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . 又∵|a |＝1，|b |＝2， ∴||5AB =.∴1225||55CD ⨯==. ∴222545||2()55AD =-=. ∴4544445()55555AD AB AB ===-=-a b a b .10． C 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴2m －m ＝22.∴=22m . 又22224c a b =+=， ∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-=.11． D ∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞51log 52=，12111e2e 4z -==>=，且12e －＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x . 12． B 如图，由题意：tan ∠BEF =12，∴2112KX =，∴X 2为HD 中点， 2312X D X D =，∴313X D =， 4312X C X C =，∴413X C =， 5412X H X H =，∴512X H =， 5612X A X A =，∴613X A =，∴X 6与E 重合，故选B 项． 13．答案：7 解析：∵(x ＋12x)8展开式的通项为T r ＋1＝8C r x 8－r(12x)r＝C r 82－r x 8－2r，令8－2r ＝2，解得r ＝3.∴x 2的系数为38C 2－3＝7.14．答案：－1解析：由题意画出可行域，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，要使z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过A (0,1)时，z 最大．∴z max ＝3×0－1＝－1. 15．答案：5π6解析：y ＝sin x －3cos x ＝13π2(sin cos )2sin()223x x x -=-．当y 取最大值时，ππ2π32x k -=+，∴x ＝2k π＋5π6. 又∵0≤x ＜2π，∴5π6x =. 16．答案：35解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角，在△AEA 1中，2222212222322cos 5222a a a a a AEA a a a a ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 17．解：由A ，B ，C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，A ＋C ＝120°.由2b 2＝3ac 及正弦定理得2sin 2B ＝3sin A sin C ，故1sin sin 2A C ＝.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝12-，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°或A ＝30°.18．解：(1)由2243S a ＝得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由3353S a ＝得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝12133n n n n a a -++-，整理得111n n n a a n -+=-. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…a n －1＝2nn -a n －2，a n ＝11n n +-a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得(1)2n n n a +=. 综上，{a n }的通项公式(1)2n n n a +=. 19．解法一：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．又PA ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD ．设AC ∩BD =F ，连结EF . 因为22AC =，PA =2，PE =2EC ，故23PC =，233EC =，2FC =，从而6PC FC =，6ACEC=，因为PC ACFC EC=，∠FCE =∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC =∠PAC =90°，由此知PC ⊥EF .PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED ．(2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面PAB ⊥平面PBC ．又平面PAB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC ．BC 与平面PAB 内两条相交直线PA ，AG 都垂直，故BC ⊥平面PAB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，2222PD PA AD =+=. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则1sin 2d PD α==. 所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二：(1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .设C (22，0,0)，D (2，b,0)，其中b ＞0，则P (0,0,2)，E (423，0，23)，B (2，－b,0)．于是PC ＝(22，0，－2)，BE ＝(23，b ，23)，DE ＝(23，－b ，23)，从而0PC BE ⋅=，0PC DE ⋅=，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BDE . (2)AP ＝(0,0,2)，AB ＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量，则m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即2220p r -=且22033p bq r ++=，令p ＝1，则2r =，2q b =-，n ＝(1，2b-，2)．因为面PAB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即20b b-=，故2b =，于是n ＝(1，－1，2)，DP ＝(2-，2-，2)，1cos ,2||||DP DP DP ⋅==n n n ，〈n ，DP 〉＝60°. 因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.20．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；B i 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．(1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0·A＋A1·A)＝P(A0·A)＋P(A1·A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(B0)＝0.62＝0.36，P(B1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P(B2)＝0.42＝0.16，P(A2)＝0.62＝0.36.C＝A1·B2＋A2·B1＋A2·B2P(C)＝P(A1·B2＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B2)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16＝0.307 2.21．解：(1)f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1.①当a≥1时，f′(x)≥0，且仅当a＝1，x＝－1时，f′(x)＝0，所以f(x)是R上的增函数；②当a＜1时，f′(x)＝0有两个根x 1＝－1－1a-，x2＝－1＋1a-.当x∈(－∞，－1－1a-)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(－1－1a-，－1＋1a-)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；当x∈(－1＋1a-，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(2)由题设知，x1，x2为方程f′(x)＝0的两个根，故有a＜1，x12＝－2x1－a，x22＝－2x2－a.因此f(x1)＝13x13＋x12＋ax1＝13x1(－2x1－a)＋x12＋ax1＝13x12＋23ax1＝13(－2x 1－a )＋23ax 1＝23(a －1)x 1－3a . 同理，f (x 2)＝23(a －1)x 2－3a .因此直线l 的方程为y ＝23(a －1)x －3a . 设l 与x 轴的交点为(x 0,0)，得02(1)ax a =-， 22322031()[][](12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+----．由题设知，点(x 0,0)在曲线y ＝f (x )上，故f (x 0)＝0，解得a ＝0或23a =或34a =.22．解：(1)设A (x 0，(x 0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y ′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x 0＋1)．当x 0＝1时，不合题意，所以x 0≠1. 圆心为M (1，12)，MA 的斜率2001(1)21x k'x +-=-.由l ⊥MA 知k ·k ′＝－1，即2(x 0＋1)·2001(1)21x x +--＝－1，解得x 0＝0，故A (0,1)，r ＝|MA |＝2215(10)(1)22-+-=，即52r =. (2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t＋1)2＝2(t ＋1)(x －t )，即y ＝2(t ＋1)x －t 2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为52，即22212(1)11522[2(1)](1)t t t +⨯--+=++-，化简得t 2(t 2－4t －6)＝0，解得t 0＝0，1210t =+，2210t =-.抛物线C 在点(t i ，(t i ＋1)2)(i ＝0,1,2)处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为y ＝2x ＋1，①y ＝2(t 1＋1)x －t 12＋1，② y ＝2(t 2＋1)x －t 22＋1，③②－③得1222t t x +==. 将x ＝2代入②得y ＝－1，故D (2，－1)．所以D 到l 的距离22|22(1)1|6552(1)d ⨯--+==+-.。

2012年文数高考试题答案及解析-新课标

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题【解析】由题设知， ∴ =k （ k =
5 4 4
，∴
=1，∴ ，∴ =
4
=k ，故选 A.
2
Z），
4 2 （ 10 ）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 则 C 的实轴长为
A. 2 B.2 2
4
Z），∵ 0
16x 的准线交于 A 、B 两点，| AB | = 4 3 ，
C .4
D .8
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【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为：程解得 y =
2
.
x
4 ，设等轴双曲线方程为：
2
x
2
y
2
a ，将 x
2
4 代入等轴双曲线方
（ 6 ）如果执行右边的程序框图，输入正整数
N ( N ≥ 2)和实数 a1 ， a2 ，…， aN ，输出 A ， B ，则
A . A + B 为 a1 ， a2 ，…， aN 的和 B.
A 2
B
为
a1 ， a2 ，…， aN 的算术平均数
C . A 和 B 分别为 a1 ， a2 ，…， aN 中的最大数和最小数
1 2
x 1 y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为
（ D） 1 . 1，故选 D.
1 2
【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题
2 2 2
【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为（ 4 ）设
F1 , F2 是椭圆 E ：
x a

2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)逐题详解_(纯word解析版)

2012年全国统一高考数学试卷（新课标版）（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．2．（2012•课标文）复数z=的共轭复数是（）B． 2﹣i C．解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．3．（2012•课标文）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的D解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．4．（2012•课标文）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上B D21∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（2012•课标文）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，﹣（1+由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（）（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A6．（2012•课标文）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）． A+B为a1，a2，…，a n的和为a1，a2，…，a n的算术平均数再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（2012•课标文）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（2012•课标文）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球πB 4π所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．9．（2012•课标文）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两B D解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．10．（2012•课标文）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，By2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．11．（2012•课标文）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（），，解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选Bn解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1） a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（2012•课标文）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．14．（2012•课标文）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣215．（2012•课标文）已知向量夹角为45°，且，则=3．解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：316．（2012•课标文）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（2012•课标文）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=218．（2012•课标文）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）19．（2012•课标文）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．20．（2012•课标文）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（2012•课标文）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为222．（2012•课标文）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•课标文）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解：（1）点A，B，C，D 的极坐标为点A，B，C，D 的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•课标文）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．第11页（共11页）。

2012高考数学(文)真题精校精析(北京卷)(纯word书稿).解答

2012·北京卷(数学文科)1．[2012·北京卷] 已知集合A ＝{x ∈|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈|(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)1．D [解析] 本题考查集合的表示集合交集运算和一元一次二次不等式求解，考查学生基础知识的掌握情况，属于基础题．因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞， B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.2．[2012·北京卷] 在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1) C ．(－1,3) D ．(3，－1)2．A [解析] 本题考查复数代数形式的乘法运算和复数几何意义，考查学生对基本知识的掌握情况. 10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，所以它对应点的坐标为(1,3)．3．[2012·北京卷] 设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－2 2C.π6 D.4－π43．D[解析] 本题考查了线性规划圆的概念圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识，考查学生的实际应用能力，灵活反应能力．如图所示，P＝S2S＝S－S1S＝4－π4.4．[2012·北京卷] 执行如图1－2所示的程序框图，输出的S值为()图1－2A．2 B．4C．8 D．164．C[解析] 本题考查了循环结构的流程图，简单的指数幂计算等基础知识，考查了学生的读图能力以及数学语言转译水平．根据循环k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2，S＝8，当k＝3，时，输出S＝8.5．[2012·北京卷] 函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．35．B[解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质，考查数形结合的数学思想．由f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x＝0，可得x12＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，令h(x)＝x12，g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x，所以函数f(x)的零点个数就是函数h(x)与g(x)的交点个数，如图可知交点个数只有一个，所以函数f(x)的零点个数为1，答案为B.6．[2012·北京卷] 已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a26．B[解析] 本题考查等比数列通项简单不等式性质与均值不等式．对于A选项，当数列{a n}首项为负值，公比为负值时明显不成立，比如a n ＝(－1)n，a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A错误；对于B选项，a21 ＋a23 ≥2|a1 a3 | ＝2a22 ，明显成立，故B正确；对于C选项，由a1＝a3＝a1q2只能得出等比数列公比q2＝1，q＝±1，当q＝－1时，a1≠a2，故C错误；对于选项D，由a3>a1可得a 1(q 2－1)>0，而a 4－a 2＝a 2(q 2－1)＝a 1q (q 2－1)的符号还受到q 符号的影响，不一定为正，也就得不出a 4>a 2，故D 错误．7．[2012·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是( )图1－4A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 57．B [解析] 本题考查三棱锥的三视图与表面积公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如图所示，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10， S 左＝12×6×25＝65， S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋6 5.8．[2012·北京卷] 某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()图1－6A．5 B．7C．9 D．118．C[解析] 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢，检查学生从现象中提炼本质的数学能力．法一：因为随着n的增大，S n在增大，要使S nn取得最大值，只要让随着n的增大S n＋1－S n的值超过S n＋1－S1n(平均变化)的加入即可，S n＋1－S n的值不超过S n＋1－S1n(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S mm是S nn取的最大值，所以只要S mm>S m＋1m＋1即可，也就是S m－0 m－0>S m＋1－0(m＋1)－0，即可以看作点Q m(m，S m)与O(0,0)连线的斜率大于点Q m＋1(m＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率．答案为C.9．[2012·北京卷] 直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．9．22 [解析] 本题考查直线和圆的位置关系考查简单的平面几何知识．法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝22；法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.10．[2012·北京卷] 已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.10．1 14n ()n ＋1 [解析] 本题考查等差数列的基础量运算．设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得d ＝a 1＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝14n (n ＋1)．11．[2012·北京卷] 在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．11.π2 [答案] 本题考查三角形中正弦定理(或余弦定理)以及三角形性质的应用．法一：正弦定理：由正弦定理知a sin A ＝3sin π3＝b sin B ＝3sin B ，所以sin B ＝12，又a ＝3>b ＝3，所以A >B ，所以0<B <π3，得B ＝π6，故C ＝π－B －A ＝π－π6－π3＝π2；法二：余弦定理：由余弦定理可得a 2＝32＝c 2＋(3)2－2×c ×3cos π3，故c 2－3c －6＝0，所以c ＝2 3.再由正弦定理可得c sin C ＝23sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝23，所以sin C ＝1，故C ＝π2.12．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.12．2 [解析] 本题考查函数解析式与对数运算性质．因为f (ab )＝lg(ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(ab )2＝2lg(ab )＝2.13．[2012·北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE→·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．13．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识，考查学生对平面数量积的理解，属于基础题．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.14．[2012·北京卷] 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．14．(－4,0) [解析] 本题考查函数图像与性质不等式求解逻辑二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力．由已知g (x )＝2x－2<0，可得x <1，要使∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)．15．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x . (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．15．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈)，故f (x )的定义域为{x ∈|x ≠k π，k ∈}．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈)．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈)．得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈)．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈)．16．[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图1－9(2)．(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．图1－916．解：(1)因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD ，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.17．[2012·北京卷] 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x ＝ 13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.18．[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．18．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)．即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b . 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：由此可知：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28；当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．19．[2012·北京卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2.由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.20．[2012·北京卷] 设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，a＋b＋c＋d＋e＋f＝0.记r i(A)为A的第i行各数之和(i＝1,2)，c j(A)为A的第j列各数之和(j＝1,2,3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值．(1)对如下数表A，求k(A)的值；(2)设数表A形如其中－1≤d≤0，求k(A)(3)对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值．20．解：(1)因为r1(A)＝1.2，r2(A)＝－1.2，c1(A)＝1.1，c2(A)＝0.7，c3(A)＝－1.8，所以k(A)＝0.7.(2)r1(A)＝1－2d，r2(A)＝－1＋2d，c1(A)＝c2(A)＝1＋d，c3(A)＝－2－2d.因为－1≤d≤0，所以|r1(A)|＝|r2(A)|≥1＋d≥0，|c3(A)|≥1＋d≥0.所以k(A)＝1＋d≤1.当d＝0时，k(A)取得最大值1.(3)任给满足性质P的数表A(如下所示)．任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k(A)＝k(A*)．因此，不妨设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0.由k(A)的定义知，k(A)≤r1(A)，k(A)≤c1(A)，k(A)≤c2(A)．从而3k(A)≤r1(A)＋c1(A)＋c2(A)＝(a＋b＋c)＋(a＋d)＋(b＋e)＝(a＋b＋c＋d＋e＋f)＋(a＋b－f)＝a＋b－f≤3.所以k(A)≤1.由(2)知，存在满足性质P的数表A使k(A)＝1.故k(A)的最大值为1.。