第一章 集合与常用逻辑用语第一节集合
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语第一节 集合的有关概念一．集合的有关概念１．集合的概念：集合是集合论中最原始的未定义的概念，只作描述性的说明，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. 集合通常用大写的拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…来表示。
２．集合的元素：构成集合中的每一个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素通常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…来表示。
３．空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ ４．集合元素的特征： 集合元素具有下列特征：（１）确定性：设Ａ是一个给定的集合，x 是某个具体的对象，则x 或者是集合Ａ中的元素，或者不是集合Ａ中的元素，两种情况必有一种成立。
（２）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也应当是说“集合中的元素是互异的”。
（３）无序性：集合中的元素在集合中的位置是任意的，是没有顺序的。
５.集合的分类：（１）按集合元素的性质可分为：数集、点集和具有其他性质的集合； （２）按集合中元素的个数可分为两类：有限集、无限集。
①有限集：集合中的元素个数是有限的； ②无限集：集合中的元素个数是无限的；而空集作为集合的一个特殊类型出现在集合的分类中，规定空集是不含任何元素的集合，记作Φ。
６.集合的元素和集合的关系（１）元素和集合是“属于”和“不属于”的关系。
某个对象要么是集合Ａ的元素，要么不是集合Ａ的元素，如果x 是集合Ａ的元素，那么称为“x 属于集合Ａ”，记作“A x ∈；”如果x 是不集合Ａ的元素，那么称为“x 不属于集合Ａ”，记作“A x ∉”（２）元素和集合之间的关系是个体和整体的关系。
（３）符号“∈和∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非是在具有特殊意义的集合与集合的关系时。
７.集合的表示法：（１）特定集合的表示：为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示。
①全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N 。
②全体正整数组成的集合称为正整数集，记作*N （或+N ）。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法(第2课时)集合的表示
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区间及其表示 把下列数集用区间表示： (1)x|x≥－12； (2){x|x＜0}； (3){x|－2＜x≤3}； (4){x|－3≤x＜2}； (5){x|－1＜x＜6}．
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【解】 (1)－12，＋∞； (2)(－∞，0)； (3)(－2，3]； (4)[－3，2)； (5)(－1，6)．
集合表示法 学会在集合的不同表示法
的简单应用 中作出选择和转换
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核心素养 数学抽象
数学抽象
数学抽象 数学抽象
问题导学 预习教材 P5 倒数第 4 行－P8 的内容，思考以下问题： 1．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？ 2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？ 4．如何用区间表示集合？
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2．描述法 一般地，如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)， 而不属于集合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集 合 A 的一个特征性质．此时，集合 A 可以用它的特征性质 p(x) 表 示 为 _____{_x_|p_(_x_)}_____ ． 这 种 表 示 集 合 的 方 法 ， 称 为 __特__征__(t_èz_hē_n_g)_性_质__描__述_法___，简称为描述法．
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3．使 51－x有意义的 x 的取值范围为________(用区间表示)． 解析：要使 51－x有意义，则 5－x＞0，即 x＜5. 答案：(－∞，5)
试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)由方程 x(x2－2x－3)＝0 的所有实数根组成的集合； (2)大于 2 小于 7 的整数． 解：(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示 为{0，－1，3}． (2)用描述法表示为{x∈Z|2<x<7}，用列举法表示为 {3，4，5，6}．
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
高中数学教材——集合篇
[解析] (1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知 B＝{1,2,3,4}，比较
A，B 中的元素可知 A B，故选 C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又 B⊆A，∴满足条件 B⊆A 的集合
B 的个数为 22＝4，故选 C. (3)当 m≤0 时，B＝∅，显然 B⊆A. 当 m>0 时，因为 A＝{x|－1<x<3}． 若 B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节 集 合
一、基础知识
1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：
A．B⊆A
B．A＝B
C．A B
D．B A
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合 A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件 B⊆A 的集合 B 的
个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
(3)已知集合 A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为________．
二、常用结论
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B. (2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. (4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A. (5)含有 n 个元素的集合共有 2n 个子集，其中有 2n－1 个真子集，2n－1 个非空子集． (6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
高考数学《1.1集合与常用逻辑用语》
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-13-
知识梳理 双基自测 自测点评
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5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)·(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( )
A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)
A.{1,2,3} B.{1,2,4}
C.{1,3,4} D.{2,3,4}
解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, A∴∁U(A∩B)={1,2,3}
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第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
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2.集合间的基本关系
关系 自然语言
符号语言
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A)
∈B)
真子 集
相等
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不在集合 A 中
集合 A,B 中元素相同或 集合 A,B 互为子集
A⫋B(或B⫌A) A=B
-5-
Venn 图 或
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-6-
知识梳理 双基自测 自测点评
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3.集合的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B
={x|x∈A或x∈B}
人教版数学必修一第一章集合与常用逻辑用语全套ppt课件
3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的 意识．
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)接近于0的数可以组成集 合．( ) (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成 的两个集合是相等的．( ) (3)一个集合中可以找到两个相 同的元素．( )
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[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝ {0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，32， 所以C＝－1，32.
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(4)由yy＝ ＝x－＋23x， ＋6， 得xy＝ ＝14， . 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}．
3．常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
_N___
_N__*或___N_＋__ Z
___Q___
R
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D [“很大”“好”“漂亮”
1．下列给出的对象中，能构成 等词没有严格的标准，故选项A、
集合的是 )
B、C中的元素均不能构成集合，故
A．一切很大的数
[答案] ∉ ∈ ∉ ∉ ∈
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4．已知集合M有两个元素3和a
3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝
＋1，且4∈M，则实数a＝______. 3.]
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合作探究 提素养
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集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地最美的乡村；
2023年高考数学总复习第一章 集合与常用逻辑用语 第1节：集合(学生版)
2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}表示4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}4.(易错题)(2021·南昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁U A)∩B＝()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.62.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N x |13≤x <aM ∩N ＝N ，则a 的取值范围为()A.a ≤13B.a >4C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________.例2(2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%例3向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±15.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则()A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.B AD.A B6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是()A.0B.1C.2D.37.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)8.设集合A ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的最大值为()A.－2B.2C.3D.49.(2021·合肥模拟)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B ＝{x ||x －1|≤2}，则A ∩B ＝________.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A ＝{x |y ＝x －3}，B ＝{x |1<x ≤9}，则(∁R A )∩B ＝________.11.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N +，T ⊆N +，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y x ∈S .下列命题正确的是()A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝________.。
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合
二、复习巩固，任务驱动
3．集合的基本运算
集合的并集
符号 表示 图形 表示 x|x∈A，或x∈B} 意义 {_______________ { x|x∈A，且 ___________ x∈B} ______ {x|x∈U，且 ____________ x∉A} _____
集合的交集
集合的补集
若全集为U，
答案：D
五、课堂总结，布置作业
1．课堂总结： （1）涉及知识点：
元素与集合、集合间的基本关系、集合的 基本运算。
（2）涉及数学思想方法： 转化与化归思想；数形结合思想、分类与整合 思想。
五、课堂总结，布置作业
2.作业设计：限时规范检测P185（一） 集合 3.预习任务：第一章集合与常用逻辑逻 辑用语第二节命题及其关系、充分条 件与必要条件 （P3-P5）
不同的具体问题．
一、导学提示，自主复习
考 什 么
3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并 集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的
补集．
7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
三、考点分析，把脉高考
集合间的基本关系
[ 精析考题] [例 2] (1)(2013· 泉州七中模拟)若集合{x|ax2＋2x＋1＝0}与集
合{x2－1＝0}的元素个数相同，则实数 a 的取值集合为________．
(2)(2012· 福建质检)已知 A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1<x<a}， 若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是 A．(1,2) C．(2，＋∞) B．(1,2] D．[2，＋∞) ( )
第一章集合与常用逻辑用语
如下图所示的集合为{a,b, c, d, e, f }
4. 集合的分类 非空集
图 1.1.1 Venn 图
类型 空集
有限集 无限集
集合的含义 不含任何元素 含有有限个元素 含有无限个元素
5. 注意
(1) 符号“ ”，“”仅仅表示元素与集合之间的关系，对于一个元素 a 与一个集合 A 而言， 只有“ a A”与“ a A ”这两种结果. (2) “ ”和“”具有方向性，左边元素，右边集合，形如 N 1是错误的.
第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 3.2 导数的应用 3.3 定积分与微积分基本定理
第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角与弧度制 4.2 三角函数概念、同角三角函数的基本关系 4.3 诱导公式 4.4 三角恒等变换 4.5 三角函数的图象与性质 4.6 正、余弦定理与解三角形
第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念 5.2 平面向量的线性运算 5.3 平面向量的基本定理及坐标表示 5.4 平面向量的数量积 5.5 平面向量应用举例 5.6 数系的扩充与复数的引用
写法：{元素 a ，元素 b ，元素 c ，等等}，如{ 2 ， 3 ， 4 ， 5 }
一般对于有限集，在元素不太多时，宜采用列举法，直观明了. ②描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
写法：{元素的一般符号及取值范围| 元素的共同特征}，如 A {x R | x 10}.如果从上
下文的关系来看， x ∈ R 是明确的，那么 x ∈ R 可以省略.
第六章 数列 6.1 数列的概念与表示 6.2 等差数列 6.3 等比数列 6.4 数列的综合应用
第一章集合与常用逻辑用语
知识结构
重要考点 常用逻辑用语
知道命题的特征. 能准确写出命题 的否定.
命题及 其关系
充分条件 必要条件 充要条件
简单的逻辑联结 全称量词 词:且、或、非 存在量词
A∩B__⊆__A，A∩B＝A⇔A⊆B. (4)补集：A∩(∁UA)＝__∅__，A∪(∁UA)＝__U__. (5)∁U(A∪B)＝___∁_U_A_∩__∁_U_B__，∁U(A∩B)＝__∁_U_A_∩__∁_U_B__.
规律总结
1．集合的准确识别 对集合的准确识别，关键是要特别注意代表元素是什么， 有什么属性，如果属性相同，但代表元素不同，所表示的集合 也不一样，如集合{y|y＝2x2}，{x|y＝2x2}，{(x，y)|y＝2x2}分别表 示函数y＝2x2的值域，定义域和图象上的点，属于不同的集合． 2．集合元素的性质 集合元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，尤其是 “互异性”在解题中要注意把握与运用，在解决元素含参数的 集合问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误．
3．空集的特殊性 任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集．在涉及集 合之间的包含关系，利用A⊆B解题时，若不明确集合A是否是为空 集时，应对集合A的情况进行分类讨论，勿因忽略“空集是任何集 合的子集”造成解题结果不全面． 4．数形结合思想的应用 在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴使抽象问题 直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时 用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍． 5．补集思想的应用 在解决集合有关问题时，如果从正面求解较困难，则采用“正 难则反”的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体视为全集 ，求出使问题反面成立的集合A，则集合A的补集即为所求． 6．集合问题中常用的转化结论 A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B，A⊆B且B⊆A⇔A＝B.
第一章 第一节 集 合
集合间的基本关系
讲练融通
(1)(2022·山东泰安二模)设全集 U＝R，则集合 M＝{0，1，2}和 N＝{x|x·(x －2)·log2x＝0}的关系可表示为( )
(2)(2022·吉安期中)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋ 1≤x≤2m－1}，则使 B⊆A 成立的实数 m 的取值范围是________．
3．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若 3－m∈A，n＋1∈A，则非 零实数 m＋n 的可能取值构成的集合是________．
答案：{2} 解析：因为 3－m∈A，所以 3－m＝1 或 3－m＝2 或 3－m＝3， 解得 m＝2 或 m＝1 或 m＝0， 因为 n＋1∈A，所以 n＋1＝1 或 n＋1＝2 或 n＋1＝3， 解得 n＝0 或 n＝1 或 n＝2，又因为 B＝{1，m，n}，所以mn＝＝02， 或mn＝＝20，， 即 m＋n＝2.
把 y＝ 3 x＋4 代入 x2＋y2＝4，得 x2＋2 3 x＋3＝0，解得 x＝－ 3 ，有唯
一解，故集合 A∩B 中元素的个数为 1.
2．已知集合 A＝{x∈N|1<x<log2k}，集合 A 中至少有 3 个元素，则( ) A．k≥16 B．k>16 C．k≥8 D．k>8 B 解析：由集合 A 中至少有 3 个元素，得 log2k>4，解得 k>16，故选 B.
练4 已知集合 M＝{x|0<x<5}，N＝{x|m<x<6}．若 M∩N＝{x|3<x<n}，则 m
＋n 等于( )
A．9
B．8
C．7
D．6
B 解析：因为 M∩N＝{x|0<x<5}∩{x|m<x<6}＝{x|3<x<n}，所以 m＝3，n＝
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合核心素养立意下的命题导向1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.[理清主干知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.4．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁U A∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9B．8C．5 D．4答案：A2．(并集与交集的运算)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}答案：D3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案：C4．(相等集合)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 021＋y2 020＝________.答案：－1二、易错点练清1．(忽视元素的互异性)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( ) A ．1 B ．0或1或3 C ．0或3D ．1或3解析：选C 由B ⊆A ，得m ＝3或m ＝m ， 解m ＝m ，得m ＝0或m ＝1，由集合元素的互异性知m ≠1.∴m ＝0或3.2．(忽视空集的情形)已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．0或1或－1解析：选D 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M ，当N ＝∅时，a ＝0；当N ≠∅时，1a ＝a ，解得a ＝±1，故a 的值为±1,0.3．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，如图所示，所以m ≥3.答案：[3，＋∞)考点一 集合的基本概念[典例] (1)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1. 故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [方法技巧]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．[针对训练]1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素( ) A ．整数集Z B.{}x |x ＝|x |C.{}x ∈N |－1<x <1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x ＋1≤0解析：选ABD 对于A ，∵1是整数，∴1∈Z ，故A 正确． 对于B ，∵x ＝|x |，∴x ≥0，∵1>0，∴B 正确．对于C ，∵{}x ∈N |－1<x <1＝{}0，1不在集合中，∴C 不正确．对于D ，∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x ＋1≤0＝{}x ∈R |－1<x ≤1，1是集合中的元素，∴D 正确．故选A 、B 、D.2．已知集合A ＝{1，x 2}．若x 2∈{1,3,9，x }，则x ＝________.解析：由题意知，x 2≠1，∴x ≠±1.∵x 2∈{1,3,9，x }，∴若x 2＝3，则x ＝±3，经检验可知符合题意；若x 2＝9，则x ＝±3，经检验，x ＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x ＝3或－3或－3或0.答案：3或－3或－3或03．设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为________．解析：因为集合A ，B 中有唯一的公共元素9，所以9∈A .若2a －1＝9，即a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，则集合A ，B 中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{9，－2，－2}，B 中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.答案：－3考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] (1)法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．(2)因为B ⊆A ，所以，①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[答案] (1)A (2)(－∞，3][方法技巧] 解决有关集合间的基本关系问题的策略(1)一般利用数轴法、Venn 图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．[提醒]不能忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．[针对训练]1．已知集合M＝{x|y＝1－x2，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．M N B．N MC．M⊆∁R N D．N⊆∁R M解析：选B依题意知，M＝{x|y＝1－x2，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m ∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N M.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.考点三集合的基本运算考法(一)集合间的交、并、补运算0，1，2，3，4，集合A＝[例1](1)(多选)(2021·山东滨州期末)设全集U＝{}{}0，1，3，则()0，1，4，B＝{}0，1A．A∩B＝{}B．∁U B＝{}40，1，3，4C．A∪B＝{}D．集合A的真子集个数为8(2)(2021年1月新高考八省联考卷)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A ．∅B ．MC ．ND ．R[解析] (1)∵全集U ＝{}0，1，2，3，4，A ＝{}0，1，4，B ＝{}0，1，3，∴A ∩B ＝{}0，1，∁U B ＝{2,4}，A ∪B ＝{0,1,3,4}，集合A 的真子集个数为23－1＝7，故选A 、C.(2)如图所示，易知答案为B.[答案] (1)AC (2)B[方法技巧] 解决集合运算问题3个技巧 看元素 构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合 化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图考法(二) 利用集合的运算求参数[例2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________．[解析] (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.(2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，只能是a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．[针对训练]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝() A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}解析：选C因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∪B＝{x|1≤x<4}．2．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则(∁R A)∩B＝()A．(－1,0] B．[－1,2)C．[1,2) D．(1,2]解析：选C∵A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，∁R A＝{x|x≤－1或x≥1}，则(∁R A)∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．(－∞，3]解析：选C因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.一、创新命题视角——学通学活巧迁移集合中的新定义问题类型(一)定义新运算[例1]定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝()A．X B．YC．X∩Y D．X∪Y[解析]由题意可知，X∩Y＝{2,4}，X∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}，∴X*Y＝{0,1,3,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)∩Y＝{1,3,5}，(X*Y)∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)*Y＝{0,2,4,6,8,10，…}＝X.故选A.[答案] A[名师微点]正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境．注意结合集合的基础知识解答．类型(二)定义新概念[例2]已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合A n＝{y|y＝f(x)，x ∈A n－1}，若A n∩A n－1＝∅对任意的x∈N*成立，则称该函数具有性质“∅”．(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y＝1x；②y＝x2＋1；③y＝cosπ2x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析](1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0<x<1}，所以A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，显然符合A n∩A n－1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y＝x＋1.(2)对于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|x>1}，A2＝{x|0<x<1}，…，依次循环下去，符合A n∩A n－1＝∅.对于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根据函数y＝x2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n∩A n－1＝∅.对于③，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2<x<3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合A n∩A n－1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②.[答案](1)y＝x＋1(2)①②[名师微点]解决集合创新型问题的方法紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质二、创新考查方式——领悟高考新动向1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多人数是55B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80解析：选B设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n ＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为()A．128 B．127C．37 D．23解析：选D∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 64．已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .解：假设a 1∈A ，则a 2∈A .又若a 3∉A ，则a 2∉A ，∴a 3∈A ，与集合A 中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a 1∉A .假设a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，且a 1∉A ，与集合A 中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a 4∉A .故集合A ＝{a 2，a 3}，经检验知符合题意．[课时跟踪检测] 1．(多选)若集合M ⊆N ，则下列结论正确的是( ) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ⊆(M ∩N )D ．(M ∪N )⊆N解析：选ABCD 由于M ⊆N ，即M 是N 的子集，故M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ，从而M ⊆(M ∩N )，(M ∪N )⊆N .2．(2020·天津高考)设全集U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝ {－3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{－3,3}B ．{0,2}C ．{－1,1}D ．{－3，－2，－1,1,3}解析：选C 法一：由题知∁U B ＝{－2，－1,1}，所以A ∩(∁U B )＝{－1,1}，故选C. 法二：易知A ∩(∁U B )中的元素不在集合B 中，则排除选项A 、B 、D ，故选C.3．(2019·北京高考)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选C将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．由图可得A∪B＝{x|x>－1}．4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝()A．{2,3,4} B．{1,3,4}C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}解析：选A∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}．7．已知全集U＝{x|－1<x<9}，A＝{x|1<x<a}，A是U的子集，若A≠∅，则a的取值范围是()A．{a|a<9} B．{a|a≤9}C．{a|a≥9} D．{a|1<a≤9}解析：选D由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是{a|1<a≤9}．8．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若A∩B＝{0}，则B的子集有() A．2个B．4个C．8个D．16个解析：选B∵A∩B＝{0}，∴0∈B，∴m＝0，∴B＝{x|x2－3x＝0}＝{0,3}．∴B 的子集有22＝4个．故选B.9．(多选)已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(x －2)的定义域为M ，集合N ＝{}x |x 2－2x >0，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∩(∁U N )＝∅C ．M ∪N ＝UD ．M ＝∁U N解析：选AB 由x －2>0得x >2，所以M ＝(2，＋∞)．由x 2－2x >0得x <0或x >2，所以N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，∁U N ＝[0,2]，所以M ∩(∁U N )＝∅，M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ≠U ，M ≠∁U N .故选A 、B.10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．[(∁I A )∩B ]∩C B ．[(∁I B )∪A ]∩C C ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．[A ∩(∁I B )]∩C解析：选D 由图知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C .则阴影部分表示的集合是[A ∩(∁I B )]∩C .12．(2021·湖北八校联考)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k ＋16，k ∈N ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m 2－13，m ∈N ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n 2＋16，n ∈N ，则集合A ，B ，C 的关系是( )A ．A CB B ．C A B C ．A B ＝CD ．A B C解析：选A ∵集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝n 2＋16，n ∈N ，∴当n ＝2a (a ∈N )时，x ＝2a 2＋16＝a ＋16，此时C ＝A ，∴A C .当n ＝b －1(b ∈N *)时，x ＝b －12＋16＝b 2－12＋16＝b 2－13(b ∈N *)．而集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝m 2－13，m ∈N ，当m ＝0时，－13∈B ，但－13∉C ，∴集合C B .综上，A C B ，故选A.13．已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝________.解析：P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}， ∵P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，∴Q ＝{x |－1≤x ≤3}， ∴－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－a ，(－1)×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，∴a ＋b ＝－5. 答案：－514．若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k 的取值集合是________．解析：由题意知，方程x 2＋2kx ＋1＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4k 2－4＝0，解得k ＝±1，∴满足条件的实数k 的取值集合是{1，－1}． 答案：{1，－1}15．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________________.解析：由题意知A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，所以A *B ＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 答案：[－3,0)∪(3，＋∞)16．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }，∴∁U A ＝{x |x <－m }． ∵B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，∴－m ≤－2，即m ≥2.∴m 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词核心素养立意下的命题导向1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件p⇒q A⊆Bp是q的必要条件q⇒p A⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒p A＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q p A Bp是q的必要不充分条件p q且q⇒p A Bp是q的既不充分p q且q p A B且A⊉B也不必要条件[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称全称命题特称命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(充分、必要条件的判断)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．(全称命题的否定)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为__________________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”3．(特称命题的否定)命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定为________________．答案：∀x∈R，x2－x－1≤04．(全(特)称命题的真假判断)下列命题中的真命题是______(填序号)．①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x≤0时，x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．答案：①②④二、易错点练清1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．答案：充分不必要考点一充分条件与必要条件的判断[典例](1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] (1)由a 2>a 得a >1或a <0，反之，由a >1得a 2>a ，则“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选A.(2)由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．故选B.[答案] (1)A (2)B[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法1．(多选)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a ＞b ＞0”是“a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件解析：选BC c ＝0时，由ac ＝bc 不能得出a ＝b ，A 错误；1a ＞1b 与a ＜b 相互不能推导，如a ＝2，b ＝－1时，满足1a ＞1b 但不满足a ＜b ，反之若a ＝－1，b ＝2，满足a ＜b 但不满足1a ＞1b ，∴“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件，B 正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C 正确；由a ＞b ＞0能得出a n ＞b n ，当a ＝－4，b ＝－2时，a 2＞b 2，但a ＜b ，D 错误．2．设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.考点二 根据充分、必要条件求参数范围[典例] (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1](2)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[解析] (1)由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.(2)p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}．由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.[答案] (1)B (2)(－∞，－7]∪[1，＋∞) [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[针对训练]1．若“x >2”是“x >a ” 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a <2} B ．{a |a ≤2} C ．{a |a >2}D ．{a |a ≥2}解析：选C “由x >2”是“x >a ”的必要不充分条件，知{x |x >a }是{x |x >2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a >2，故选C.2．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解2x －1x －1<0，得12<x <1，所以p ：12<x <1；由q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 即q ：a ≤x ≤a ＋1.要使p 是q 的充分不必要条件， 则⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，解得0≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 考点三 全称量词与存在量词考法(一) 全(特)称命题的否定[例1] (1)(2021·石家庄模拟)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2021·山东师范大学附中模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是增函数，则 綈p 为( )A ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数B ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数C ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数D ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 [解析] (1)因为x x －1>0，所以x <0或x >1，所以x x －1>0的否定是0≤x ≤1，所以命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.(2)由特称命题的否定可得綈p 为“∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数”． [答案] (1)B (2)D [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法(二) 全(特)称命题的真假判断 [例2] (多选)下列命题说法错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1[解析] 根据指数函数的性质可得e x >0，故A 错误；x ＝2时，2x >x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，ab 没有意义，故C 错误；因为“x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D 正确．故选A 、B 、C.[答案] ABC[方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数[例3] (2021·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)[解析] 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.故选C.[答案] C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[针对训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是()A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n≤x2”．故选C.2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.4．已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.答案：(0,4)创新思维角度——融会贯通学妙法避免充分必要条件在解题应用中的失误学习充分条件和必要条件的重要意义，在于自觉地把它们应用到解题中，其实有许多题目，本身虽然没有出现充分条件和必要条件的字样，但在思考中，会运用充要条件的概念．如果理解不到位，在做题时就会经常出错．一、解题变形时错将必要不充分条件代替充要条件[例1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求f (x )的解析式． [错解展示] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 当a ＝－3，b ＝3时，f (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋9.[易错矫正] 本题错误的根源在于：f ′(x 0)＝0是连续可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要而非充分条件，只有在x ＝x 0的左右两侧导数符号相反时，函数f (x )才在x ＝x 0处取得极值．在错解中得到a ，b 的值后，再进一步对驻点情况加以判定．当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝0的驻点是x ＝－113和x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x⎝⎛⎭⎫－∞，－113－113 ⎝⎛⎭⎫－113，1 1 (1，＋∞)由表格可知，f ′(x )在x ＝1两侧符号相反，故f (x )在x ＝1处取得极小值10，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，经检验，不合题意，应舍去． 综上，所求解析式是f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 二、解题变形时错将充分不必要条件代替充要条件[例2] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .[错解展示] 因为S 3＋S 6＝2S 9，所以a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0.由q ≠0得方程2q 6－q 3－1＝0，所以(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，解得q ＝－342或q ＝1. [易错矫正] 在错解中，由a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0时，应有a 1≠0和q ≠1.在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因为q ≠1是数列{a n }为等比数列的充分不必要条件，因此，在解题时应先讨论公比q ＝1的情况，再考虑q ≠1的情况．若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1但a 1≠0， 即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9⇒a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ⇒q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，所以2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. [名师微点]解题变形时先求出其必要条件，然后再检验其充分性并将扩大的部分舍去；或先求出一个充分条件，再对可能出现的遗漏进行补充．三、解题变形时错将既不充分也不必要条件当成充要条件[例3] 若函数f (x )＝a －3x1＋a ·3x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则a 的值为________．[错解展示] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0.即a －11＋a＝0，所以a ＝1.[易错矫正] f (0)＝0是函数f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件，而本题错作为充要条件来用．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0.即a －3x 1＋a ·3x ＋a －3－x 1＋a ·3－x ＝0，所以(a 2－1)(3－x ＋3x )(1＋a ·3x )(1＋a ·3－x )＝0对定义域中的任意x 都成立，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝1－3x 1＋3x，此时函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)；当a ＝－1时，f (x )＝－1＋3x1－3x，此时函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，都关于原点对称．故a ＝±1.[答案] ±1 [课时跟踪检测]1．(2021·青岛模拟)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( ) A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8x B ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8x C ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0.故选C.2．(2021·山东济宁期末)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2解析：选B ∀x ∈R,2x －1>0，根据y ＝2x －1的图象知A 正确；∀x ∈N *，(x －1)2>0，取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 错误；∃x 0∈R ，lg x 0<1，取x 0＝1，计算lg x 0＝0<1，故C 正确；∃x 0∈R ，tan x 0＝2，y ＝tan x 的值域为R ，故D 正确．故选B.3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2；由(x －1)2≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，据此可知：“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的必要不充分条件．4．(2021·福州质检)已知函数f (x )＝3x －3－x ，∀a ，b ∈R ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 易知函数f (x )＝3x －3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a >b ”可得“f (a )>f (b )”，由“f (a )>f (b )”可得“a >b ”，即“a >b ”是“f (a )>f (b )”的充要条件．5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0解析：选AC 命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B 选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题，又选项A 、C 中的命题为假命题，选项D 中的命题为真命题，故选A 、C.6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D ∵集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，x ∈A 且x ∉B ，∴－1<x <1；又当 －1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，∴“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．7．已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.8．(2021·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.9．(多选)下列命题正确的是( ) A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件解析：选ABD 若1a <1，则a >1或a <0，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，故B 正确；当x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，当x 2＋y 2≥4时却不一定有x ≥2且y ≥2，如x ＝5，y ＝0，因此“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；因为“ab ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件，所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选A 、B 、D.10．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选D ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.11．(多选)设a 是实数，则a <5成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a <6 B ．a <4 C ．a 2<25D ．3a ＋4≤20。
第一章 集合与常用逻辑用语
目 链
接
答案： B A，D C，A C，B C，A D，B D
考点探究
考点3 集合的基本关系及空集的妙用
【例 3】设集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x
≤2m－1}，若 B A，求实数 m 的取值范围．
栏
目
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清 A， 链
B 两集合谁是谁的子集．若 B A，说明 B 是 A 的子集，即 接
1≤x≤a}，且(A∪B) (A∩B)，则实数 a＝( B )
栏
A．0 B．1 C．2 D．3
目
(2)(2013·泰安一检)设 P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q
ห้องสมุดไป่ตู้
链 接
＝{y|y＝2x，x∈R}，则( C )
A．P Q B．Q P
C．∁RP Q D．Q ∁RP
考点探究
解析：(1)由(A∪B) (A∩B)易得 A∪B＝A∩B，
_A__＝___B__
空集
集合．空集是任何
集合 A 的_子___集__
课前自修
三、集合的基本运算
表示 运算
文字语言
符号语言 图形语言 记法
交集
属于A_且___属于 B的元素组成的 集合
{x|x∈A_且___ x∈B}
栏
__A_∩__B_
目 链
接
并集
属于A_或___属于 B的元素组成的 集合
{x|x∈A_或___ x∈B}
答案：B
栏
目
点评：元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关 链
系，一般都能通过Venn图形象表达.若题设条件比较抽象，
接
也可以借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分
第一章 第一节 集合
∅B(B≠∅) Ü
真子集
空集
3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 若全集为U，集合 A为全集U的一个 子集，则集合A的 补集为____ ðA
U
符号 表示
A∪B _____
A∩B _____
图形 表示
ðU A {x | x U, __________ 数学语言 {x|x∈A,或 {x|x∈A,且x∈B} _____________ _____________ x∈B} 且x A} 表示 ______ _______
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）任何集合至少有两个子集.(
)
（2）已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则
A=B=C.(
)
（3）含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1， 非空真子集的个数是2n-2.( ) )
（4）A∩B=∅的充要条件是A=B=∅.(
2
或
方法二:因为A∪B=A∩B,所以A=B，所以{1，b}={a2,ab}.由于
两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别
等于另外两个数的和与积，故{1,b}={a2,ab}成立的充要条件
是
1b a 2 ab, 解得 b a 2 或 ab, 1 a 1, a 1, 反代回A，B集合知，只有 b0 b R.
【思路点拨】（1）A∪B=A⇒B⊆A，据此得关于m的方程进行求 解，再检验得m值． （2）A∪B=A∩B⇔A=B，列出关于a,b的方程组求解，再根据集 合元素的性质加以检验得出结论．
【规范解答】（1）选B.因为A∪B=A,所以B⊆A, 所以m=3或 则 若
高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第2课时 集合的表
第2课时集合的表示方法必备知识·探新知基础知识1．列举法把集合中的元素__一一列举__出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法．思考1：用列举法可以表示无限集吗？提示：可以．但构成集合的元素必须具有明显的规律，并且表示时要把元素间的规律呈现清楚，如正整数集N＋可表示为{1,2,3,4,5,6，…}．2．描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__{x|p(x)}__.(3)集合__{x|p(x)}__中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}．思考2：用列举法与描述法表示集合的区别是什么？提示：列举法描述法一般形式{a1，a2，a3，…，a n}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括3．区间及其表示(1)一般__区间__的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b)半开半{x|a≤x<b}[a，b)闭区间半开半(a，b]{x|a<x≤b}闭区间(2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考3：区间与数集有何关系？提示：(1)联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表达形式；(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集、自然数集等；(3)区间与区间之间可以用集合的运算符号连接起来，表示两个集合之间的运算．基础自测1．用列举法表示集合{x∈N*|x－3≤2}为( D )A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2,3,4,5}C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}解析：集合{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}的元素为小于等于5的全部正整数，则{x∈N*|x－3≤2}＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}．2．第一象限的点组成的集合可以表示为( C )A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0}C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0}解析：第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为{(x，y)|x>0且y>0}．3．能被2整除的正整数组成的集合，用描述法可表示为__{x|x＝2n，n∈N*}__.4．下列集合：①{1,2,2}；②R＝{全体实数}；③{3,5}；④不等式x－5>0的解集为{x－5>0}．其中，集合表示方法正确的是__③__(填序号)．5．(1){x |－1≤x ≤2)}可用区间表示为__[－1,2]__； (2){x |1<x ≤3}可用区间表示为__(1,3]__； (3){x |x >2}可用区间表示为__(2，＋∞)__； (4){x |x ≤－2}可用区间表示为__(－∞，－2]__.关键能力·攻重难类型 用列举法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例1 用列举法表示下列集合：(1)36与60的公约数构成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根构成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图像的交点构成的集合．思路探究：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式． 解析：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}． (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}．(3)方程y ＝x －1与y ＝－23x ＋43可分别化为x －y ＝1与2x ＋3y ＝4，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合可表示为{(75，25)}．归纳提升：1.用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(4)是点集，而非数集．集合的所有元素用有序数对表示，并用“{}”括起来，元素间用分隔号“，”．(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，{1,1,2}为错误表示．又如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合．┃┃对点训练__■1．用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合． (2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0，b ≠0)的所有值组成的集合．解析：(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}． (2)因为a ≠0，b ≠0，所以a 与b 可能同号也可能异号， 所以①当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；②当a <0，b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2；③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝0.故所有的值组成的集合为{－2,0,2}． 类型 用描述法表示集合 ┃┃典例剖析__■典例2 用描述法表示以下集合：(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合； (3)使y ＝2－xx有意义的实数x 组成的集合；(4)200以内的正奇数组成的集合； (5)方程x 2－5x －6＝0的解组成的集合．思路探究：用描述法表示集合时，关键要先弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x ∈N ”等条件．解析：(1)集合可表示为{x ∈R |2≤x ≤20}．(2)第二象限内的点(x ，y )满足x <0，且y >0，故集合可表示为{(x ，y )|x <0且y >0}．(3)要使该式有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x ≠0，解得x ≤2，且x ≠0.故此集合可表示为{x |x ≤2，且x ≠0}． (4){x |x ＝2k ＋1，x <200，k ∈N }． (5){x |x 2－5x －6＝0}．归纳提升：用描述法表示集合应注意的问题1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他形式． 2．准确说明集合中元素所满足的特征．3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号．4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．┃┃对点训练__■ 2．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②所有奇数组成的集合为{x |x ＝2n ＋1}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合． 其中正确的有( A ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①正确；②不正确，应为{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }；③不正确，{(x ，y )|y ＝1－x }表示的是点集，而{x |y ＝1－x }表示的为数集．类型 集合与方程的综合问题 ┃┃典例剖析__■典例3 (1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，则a ＝( D )A ．1B ．2C ．0D ．0或1(2)设12∈{x |x 2－ax －52＝0}，则集合{x }x 2－192x －a ＝0}中所有元素之积为__92__.思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一根；(2)先求出a 的值，再求元素之积．解析：(1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0， 此时x ＝－12，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解， 此时A 中只有一个元素． (2)因为12∈{x |x 2－ax －52＝0}．所以(12)2－12a －52＝0，解得a ＝－92，当a ＝－92时，方程x 2－192x ＋92＝0的判别式Δ＝(－192)2－4×92＝2894>0，由x 2－192x ＋92＝0，解得x 1＝12，x 2＝9，所以{x |x 2－192x ＋92＝0}＝{12，9}，故集合{x |x 2－192x ＋92＝0}的所有元素的积为12×9＝92.归纳提升：集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数根．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．┃┃对点训练__■3．(1)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，求a ，b 的值．(2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a 的取值范围．解析：(1)由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，9－3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6.因此a ＝5，b ＝6.(2)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由例题解析可知，当a ＝0或a ＝1时，A 中有一个元素；当A 中有两个元素时，Δ＝4－4a >0，即a <1且a ≠0.所以A 中至少有一个元素时，a 的取值范围为(－∞，1]．易混易错警示 对集合中的代表元素认识不到位┃┃典例剖析__■典例4 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； (2)B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；(3)C ＝{方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，的解}．错因探究：(1)本题容易忽略集合的代表元素是y ，习惯认为是x ，误认为A ＝{0,1,2}．(2)本题容易忽略代表元素，把点集误认为数集，导致错误答案B ＝{0,6,1,5,2}．(3)本题容易对“方程组的解为有序实数对”认识不到位，导致错误答案C ＝{1,2}．解析：(1)因为y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， 所以当x ＝0,1,2时，y ＝6,5,2，符合题意， 所以用列举法表示为A ＝{2,5,6}．(2)(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，满足条件，所以用列举法表示为B ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是有序实数对，其解的集合可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，用列举法表示为{(1,2)}． 误区警示：当用描述法表示集合时，要注意其表达符号(花括号、竖线)，竖线前表示代表元素，竖线后为元素的特征性质．看一个集合要先弄清其代表元素是什么，再弄清元素具有的特征性质是什么．学科核心素养 集合中的“新定义”问题 ┃┃典例剖析__■“新定义”型集合问题就是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的一种新型集合问题．由于“新定义”题目形式新颖，强调能力立意，突出对学生数学素养的考查，特别能够考查学生“后继学习”的能力，因此在近年来成为各类考试的热点．新定义可能以文字形式出现，也可能以数学符号或数学式子的形式出现，求解此类问题时，应充分利用题目中所给的信息，准确将其转化为已掌握的知识进行求解．典例5 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中所有元素之和为( D )A．0 B．2C．3 D．6分析：欲求A*B中所有元素之和，需先确定A*B中的元素，而要求A*B中的元素，需弄清A*B的含义．解析：∵A*B中的元素是A，B中各任取一元素相乘所得结果，∴只需把A中任意元素与B中任意元素相乘即可．∵1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，∴A*B＝{0,2,4}，∴所有元素之和为0＋2＋4＝6.规律方法：(1)理解新定义．例如，本例中A*B中的元素是由A、B中任意两个元素相乘得来的．(2)运用新定义．例如，本例给出具体的A、B，求A*B.(3)不要被新符号迷惑．例如，本例中的新符号“*”，把它看成新定义的运算，就像“＋”“－”“×”“÷”一样，用符号表示运算法则．课堂检测·固双基1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( C )A．{x|x＝2 019} B．{y|(y－2 019)2＝0}C．{x＝2 019} D．{2 019}解析：选项A，B，D中都只有一个元素“2019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x＝2 019，而不是实数 2 019，故此集合与其他三个集合不同．2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( D )A．{x|－3<x<11，x∈Q}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}解析：选项A 表示的是所有大于－3且小于11的有理数；选项B 表示的是所有大于－3且小于11的实数；选项C 表示的集合中不含有－2这个偶数．3．用列举法表示集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x 2y ＝－x 正确的是( B )A ．(－1,1)，(0,0)B ．{(－1,1)，(0,0)}C ．{x ＝－1或0，y ＝1或0}D ．{－1,0,1}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以已知集合可用列举法表示为{(－1,1)，(0,0)}．4．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n －m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数为__4__. 解析：当n ＝2，m ＝3时，n －m ＝－1； 当n ＝2，m ＝4时，n －m ＝－2； 当n ＝3，m ＝4时，n －m ＝－1； 当n ＝3，m ＝2时，n －m ＝1； 当n ＝4，m ＝2时，n －m ＝2； 当n ＝4，m ＝3时，n －m ＝1.所以集合B 中的元素共4个：－2，－1,1,2.5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集． (1)由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； (3)不等式3x ＋4≥x 的解集．解析：(1)因为方程x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1，所以由方程x 2＋x －2＝0的根组成的集合为{－2,1}．有限集．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．有限集．(3)由3x ＋4≥x 得2x ≥－4，所以x ≥－2，所以不等式3x ＋4≥x 的解集是[－2，＋∞)．无限集．。
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合第1课时集合的概念及表示【考试要求】1.理解集合的概念，掌握集合的表示法。
∈、的含义，能用这两个符号表示元素与集合间的关系。
2.理解符号∉【知识精讲】1.集合的基本概念(1).集合：把一些看成一个整体，就形成一个集合。
集合通常用大写英文字母来表示，集合中的每一个对象叫做这个集合的。
元素通常用小写英文字母来表示。
(2).集合中元素的性质：①；②；③无序性。
(3).元素与集合的关系：若a是集合A的元素，就说a集合A，记作；若a不是集合A的元素，就说a集合A，记作。
(4).常见数集的符号表示①自然数集；②正整数集；③整数集；④有理数集；⑤实数集。
(5).集合的分类①有限集：的集合；②无限集：的集合。
2.集合的表示法(1).列举法：把集合的元素 ，写成大括号内表示集合的方法。
集合的元素不多时可一一列举，集合的元素较多或无限集，在不发生误解的情况下，只列出几个代表元素，其他元素 表示。
(2).性质描述法：把集合的 描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
①特征性质：集合A 的特征性质P ，是指属于集合A 的元素 ，而不属于集合A 的元素 。
②性质描述法的一般形式： ，竖线左边的x 代表集合的任一元素，U 是 ，p 是只有该集合的元素才具有的性质(特征性质)。
有时U 可略去不写，如x 的取值范围为实数集R 时，R 可略去不写。
③简略形式：｛元素名称｝，如｛整数｝、｛平行四边形｝等。
(3).文氏图法：用平面内的一条封闭曲线的内部表示集合的方法 ，如圆、椭圆、平面多边形等。
【基础训练】1.下列关系正确的有( )。
①0.5∈Z ②3.14∈Q ③0∈N ④2∉QA.1个B.2个C.3个D.4个2.填空(用列举法表示集合)(1).大于3且小于10的偶数的全体 。
(2).绝对值等于1的实数的全体 。
(3).小于100的正偶数的全体 。
(4).一年中有31天的月份的全体 。
3. 填空(用性质描述法表示集合)(1).绝对值等于1的实数的全体 。
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列举法 ；(2)______ 描述法；(3)______ 3．集合的表示方法：(1)______ Venn图 ．
4．常见集合的符号 自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
3．设 ＝______.
b a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，a，b，则
b－a
解析： 2
由题意知集合中必含 0,1 且 a≠0， 从而 a＋b＝0，
b 即 a＝－b，a＝－1.，所以集合中还含有元素－1，结合题意知 a＝－1，b＝1 故 b－a＝2.
A⊆B
任何集合 的子集，是 空集是_________ 任何非空集合 的真子集 ______________
∅⊆A∅ B(B≠∅)
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第一章 集合与常用逻辑用语
三、集合的基本运算
基本 运算 图形 A∪B＝ A∩B＝ ∁UA＝ 并集 交集 补集
A．[－2，－1] C．[－1,1]
)
B．[－1,2) D．[1,2)
解析：选A
∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．
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第一章 集合与常用逻辑用语
4.(2015· 广 州 三 校 联 考 ) 已 知 全 集 U ＝ R ， 集 合 A ＝ {x||x|≤1 ， x∈Z} ， B ＝ {x|x2 － 2x ＝ 0} ，则图中的阴影部分表示 的集合为( )
C．5
解析： 选 C
D．9
逐个列举可得， x ＝ 0 ， y ＝ 0,1,2 时， x － y ＝
0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝ 0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B的元 素为－2，－1,0,1,2.故选C.
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m＋1≥－2 则2m－1≤7 m＋1＜2m－1
，解得 2＜m≤4.
综上，m 的取值范围为 m≤4.
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第一章 集合与常用逻辑用语
集合的基本运算(☆☆☆☆☆)
[ 典例 2] (1)(2014· 江西高考) 设全集为 R ，集合 A＝{x|x2－ 9 ＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝( A．(－3,0) C．(－3，－1] B．(－3，－1) D．(－3,3) )
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)(2013· 重 庆 高 考 ) 已 知 全 集 U ＝ {1,2,3,4} ， 集 合 A ＝ {1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( A．{1,3,4} ) B．{3,4}
C．4
解析： 选 C 为22＝4个．
D．16
由题意知 A∩B ＝ {1,3} ，故 A∩B 的子集个数
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第一章 集合与常用逻辑用语
1． 判断集合间的关系时有两种常用方法：一是对描述法 表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关 系；二是对用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
集合的基本概念(☆☆☆)
1．(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－ y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( A．1 B．3 )
x∈R}，B ＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件 A⊆C⊆B 的集合 C的
个数为( A．1 C．3 解析：选D 集合C的个数． 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}． 由 题 意 知 B ＝ {1,2,3,4} ， ∴ 满 足 条 件 的 C 可 为 {1,2} ， ) B．2 D．4 用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出
(1)任何集合至少有两个子集．( ) (2) 已知集合 A ＝ {x|y ＝ x2} ， B ＝ {y|y ＝ x2} ， C ＝ {(x ， y)|y ＝
x2}，则A＝B＝C.(
)
) )
(3) 含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n ，真子集个数是 2n －1，非空真子集的个数是2n－2.( (4)A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅.(
，则∁UA＝______.
解析：{0}
由x∈Z知，n－1为2的约数．当n－1＝－2，
即n＝－1时，x＝－1；当n－1 ＝2，即n＝3时，x＝1；当n－1 ＝－1，即n＝0时，x＝－2；当n－1＝1，即n＝2时，x＝2.所以
A＝{－2，－1,1,2}．故∁UA＝{0}．
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{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
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2 ．已知集合 A ＝ {x| － 2≤x≤7} ， B ＝ {x|m ＋ 1 ＜ x ＜ 2m － 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________． 解析：(－∞，4] 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图．
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4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2 ，a2＋3a＋3}，若1∈A，
则实数a＝______. 解析： 0 ①若a ＋2 ＝ 1 ，则a ＝－ 1 ，(a＋ 1)2 ＝ 0 ，a2 ＋ 3a ＋3＝1－3＋3＝1，与互异性矛盾． ②若(a＋1)2＝1，
(3)√
(4)× 当A＝B＝∅时，A∩B＝∅，反之不成立，故错误． (5)√ 这五个关系式的实质都是A⊆B，故正确．
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2．i 是虚数单位，若集合 S＝{－1,0,1)，则( A．i∈S C．i ∈S
3
)
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2．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只 有一个元素，则a＝( A．4 C．0 解析： 选 A ) B．2 D．0或4 由ax2＋ax ＋1 ＝0只有一个实数解，可得当 a
＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝ 4(a＝0不合题意舍去)．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的
关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决 这类问题时常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
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1 ． (2012· 湖 北 高 考 ) 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － 3x ＋ 2 ＝ 0 ，
解析：选C
由题意知A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
因为 B ＝ {x| － 1 ＜ x≤5} ，所以 ∁ RB ＝ {x|x≤ － 1 或 x ＞ 5} ．所以 A∩(∁RB) ＝ {x| － 3 ＜ x ＜ 3}∩{x|x≤ － 1 或 x ＞ 5} ＝ {x| － 3 ＜ x≤ － 1}．故选C.
二、集合间的基本关系
表示 关系 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素 相同 ______ A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素， 真子集 且 B 中至少有一个元素不是 A 中的 元素 空集 A B 符号语言
A ⊆B 且______ B⊆A ⇔A＝B ______
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第一节 集合
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第一章 集合与常用逻辑用语
一、集合与元素 1．集合元素的三个特征：确定性 ______、互异性 ______、无序性 _______． ∈或 2．元素与集合的关系是____ 属于或______ 不属于关系，用符号___ ∉ 表示． ___
B．i2∈S 2 D. i ∈S
解析：选B 因i2＝－1∈S，故选B.
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3 ． (2014· 新课标 Ⅰ) 已知集合 A ＝ {x|x2 － 2x － 3≥0} ， B ＝
{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(
(5)A⊆B ， A∩B ＝ A ， A∪B ＝ B ， ∁ UA⊇∁UB ， A∩(∁UB) ＝ ∅