知识点-集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语一、集合1、特定集合的表示①自然数集：N ②正整数集：+N③整数集：Z ④有理数集：Q⑤实数集：R ⑥正实数集：+R2、集合之间的关系①子集：A⊆B⇔ x∈A⇒x∈B。
真子集：A B⇔A⊆B且A≠B。
集合相等：A=B⇔A⊆B且B⊆A。
②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。
③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12-n个真子集。
3、集合的运算关系①交集：A∩B⇔x∈A且x∈B。
并集：A∪B⇔x∈A或x∈B。
补集：ACU⇔x∈U且x∉A。
②基本性质：A∩∅=∅；A∪∅=A；A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。
③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C) +Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。
④德摩根定律：(ACU )∩(BCU)=)(BACU⋃；(ACU)∪(BCU)=)(BACU⋂。
⑤其它性质：若{a1,a2…a m}⊆A⊆{a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合A的个数为m n-2。
若{a1,a2…a m}∪B={a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合B的个数为m2。
二、常用逻辑用语1、量词①全称量词：∀。
含有全称量词的命题为全称命题：∀x ∈M ，p(x)。
②存在量词：∃。
含有存在量词的命题为存在性命题：∃x ∈M ，p(x)。
2、基本逻辑连结词①∧(且)：若p 、q 全真，则p ∧q 为真；若p 、q 一真一假，则p ∧q 为假。
②∨(或)：若p 、q 至少一真，则p ∧q 为真；若p 、q 全假，则p ∧q 为假。
③⌝(非)：若p 真则p ⌝假；若p 假则p ⌝真。
㈠正面叙述的否定：都是→不都是；任意的→某个；任意n 个→某n 个；所有的→某些； 至多有n 个→至少有n+1个；至少有n 个→至多有n-1个；至少有一个→一个也没有。
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。
集合与常用逻辑用语知识点
集合与常用逻辑用语一、知识总结1、集合（1）元素与集合：①集合元素的特征性： 、 、 ；②元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号分别为 和 ；③常见集合的符号表示：自然数集 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集（R ）；④集合的表示方法 、 、 。
（2）集合与集合间的关系：①如果集合A 中 元素都是集合B 的元素，则A 叫做B 的子集；空集φ，它是任何非空集合的 ；②若B A ⊆，且A B ⊆，则 。
（3）集合的运算：设A 、B 是两个集合，全集为U ，则{}B x A x x B A ∈∈=且I ，{}B x A x x B A ∈∈=或Y ，{}A x U x x A C U ∉∈=且。
若B A ⊆，则A B A =I ，B B A =Y 。
2、命题及其关系、充分条件与必要条件 （1）命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中的语句叫真命题， 的语句叫假命题。
（2)四中命题及其关系：用q p 和分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，是等价关系。
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
（3）充分条件与必要条件：①如果q p ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；若q p ⇔，则p 是q 的 。
②若p 不能推出q ，且q 不能推出p ，则p 是q 的 . 3、逻辑连接词与量词（1）逻辑连接词：①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作 ，读作“p 且q ”。
②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作 读作“p 或q ”。
③对一个命题p 全盘否定记作 读作“非p ”或“p 的否定”。
（2）全称量词与存在量词：①全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示。
存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示。
②含有全称量词的命题，叫做 ；“对M 中任意一个x ，有()x p 成立”可用符号简记为： 。
《常用逻辑用语》集合与常用逻辑用语
用逻辑用语2023-11-07CATALOGUE目录•集合与常用逻辑用语概述•集合的表示方法与集合之间的关系•常用逻辑用语的基本概念和基本逻辑关系•常用逻辑用语的基本推理形式和方法•集合的常用逻辑用语在实际应用中的案例分析•总结与展望01集合与常用逻辑用语概述什么是集合集合的特性确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊的边界。
无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
互异性：集合中的元素是互不相同的，没有重复的元素。
定义：集合是由一组具有共同特征的元素组成的，这些元素可以是具体的也可以是抽象的。
集合的常用逻辑用语定义子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
符号表示为A ⊆B。
并集如果一个集合包含了两个或多个其他集合的所有元素，那么这个集合是这些集合的并集。
符号表示为A∪B。
补集如果一个集合的所有元素都不在另一个集合中，那么这个集合是另一个集合的补集。
符号表示为Ac。
集合符号通常用大写字母A、B、C等表示集合，并用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
真子集如果一个集合是另一个集合的子集，并且它们不相等，那么这个集合是真子集。
符号表示为A ⊄B。
交集如果一个集合只包含两个或多个其他集合的公共元素，那么这个集合是这些集合的交集。
符号表示为A∩B。
010203040506通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以更清晰地描述现实世界中的各种概念和现象。
描述组织推导使用集合的常用逻辑用语可以帮助我们组织和分类信息，以便更好地理解和处理数据。
通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以进行逻辑推理和推导，从而得出新的结论和发现。
03集合的常用逻辑用语的作用020102集合的表示方法与集合之间的关系将集合中的元素一一列举出来，例如{1, 2, 3, 4, 5}。
列举法用概括性的语言描述集合中的元素，例如{x|x是矩形}。
描述法用特定的符号表示集合，例如A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6}。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全单选题1、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .4、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.7、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N∗，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N∗时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.8、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a =−3时，A ={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a =−3满足要求．综上，a =2或a =−3．故选：D ．多选题9、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.10、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误. 由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD11、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD12、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．13、对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．a=b是ac=bc的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a>b是a2>b2的充要条件D．a<5是a<3的必要条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.填空题14、已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：a<－4或a>2分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.①当a>3即2a>a＋3时，A＝∅，满足A⊆B；.②当a≤3即2a≤a＋3时，若A⊆B，则有{2a≤a+3a+3〈−1或2a〉4，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.所以答案是：a<－4或a>215、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．16、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.答案：∉∉∉∈∈分析：由元素与集合的关系求解即可因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.解答题17、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p与q一真一假，然后分p真q假，p假q真，求解即可；（2）由p是q的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m>01−m≤−11+m≥5，从而可求出实数m的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).18、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤23.综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。
高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件
【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种 性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线 都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在 量词，并用符号“图片”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有 的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝ B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些 元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存 在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“图片”， 读作“非p”或p的否定．
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫作全称量词，并用符号“图片”表示．
【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有 题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词 语是“都” （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命 题．
高中数学-集合与常用逻辑用语
q⇒p
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p
p是q的既不充分也不必要 p⇒/ q且q⇒/ p 条件
集合法: A={x|p(x)}, B={x|q(x)} A⊆B A⊇B A=B A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
考点二 全称量词与存在量词
3.含有量词的命题的否定 含有量词的命题的否定必须否定命题所含的量词,对于隐含量词的命题要结 合命题的含义显现量 词,再进行否定.
题型方法
充分条件与必要条件的判断及应用
1.充分、必要条件的判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立与对应的集合间的关系进行判断.
x 1
是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 [0,1/2]
.
1.全称量词与存在量词
名称 全称量词
存在量词
常见量词
符号
所有、一切、任意、全部、 ∀ 每 一个等存在来自个、至少一个、有些 ∃ 、 某些等
2.全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题一般形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,符号表示:∀x∈M,p(x). 存在量词命题一般形式:存在M中一个x,使p(x)成立,符号表示:∃x∈M,p(x).
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2019北京文,6,5分)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶
函数”的 ( C )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)(2020山东省实验中学期中)设命题p: 2x 1 <0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p
专题1 集合与常用逻辑用语
专题1 集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示 （1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().1.2集合间的基本关系（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.解析获取vx ：lingzi980N N *N +Z Q R a M a M ∈a M ∉x x x ∅A (1)n n ≥2n21n-21n-22n -1.3 集合的基本运算1. 2.注意：1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.【例1】（2022•新高考Ⅰ）若集合 }4|{，<=x x M }13| {，≥=x x N 则=N MA ．}40|{<≤x xB ． }231|{<≤x x C ．}163|{<≤x x D ． }1631|{<≤x x 【例2】（2022•新高考II ）已知集合{}4211，，，-=A ，{}11≤-=x x B ，则=⋂B A A.{}21，- B.{}21， C.{}41， D.{}41，-【例3】（2022•乙卷理）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合M 满足{1U M =，3}，则( )AB {|x x ∈A A A =A∅=∅A B A ⊆A B B ⊆AB {|x x ∈A A A =AA ∅=AB A ⊇AB B ⊇U A {|x x ()U A A =∅()U A A U =U x A xC A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+()()()UU U A B A B =()()()U U U A B A B =A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【例4】（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3【例5】（2020•上海）集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ． 【例6】已知集合{0A =，1，2}，{|B ab a A =∈，}b A ∈，则集合B 中元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例7】已知集合{{}A =∅，}∅，下列选项中均为A 的元素的是( ) （1）{}∅；（2）{{}}∅；（3）∅；（4）{{}∅，}∅． A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【例8】已知函数2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =，集合5|(())4B x f f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =≠∅，则实数a 的取值可以是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【例9】向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是( ) A ．赞成A 的不赞成B 的有9人 B ．赞成B 的不赞成A 的有11人 C ．对A 、B 都赞成的有21人D ．对A 、B 都不赞成的有8人【例10】（2015•上海）设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是( ) A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 C ．存在a ，1P 不是2P 的子集，对任意b ，1Q 不是2Q 的子集 D ．存在a ，1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集1.（2022•乙卷文）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则MN =（ ）A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,4,6,8}D. {2,4,6,8,10}2.（2022•上海）已知集合A ＝（﹣1，2），集合B ＝（1，3），则A ∩B ＝ ．3.（2021•新高考Ⅰ）设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}4.（2021•上海）已知集合A ＝{x |x ＞﹣1，x ∈R }，B ＝{x |x 2﹣x ﹣2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是（ ） A ．A ⊆BB ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R5.（2022•天津）设全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，2}，则()(U A B =⋂)A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{1-，1，2}D ．{0，1-，1，2}6.（2022•浙江）设集合{1A =，2}，{2B =，4，6}，则(A B = )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}7.（2022•北京）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{|21}A x x =-<，则(UA = )A ．(2-，1]B ．(3,2)[1--，3) C ．[2-，1)D ．(3-，2](1,3)- 8.（2021•乙卷）已知集合{|21S s s n ==+，}n Z ∈，{|41T t t n ==+，}n Z ∈，则(S T = )A ．∅B ．SC ．TD ．Z9.（2020•全国）若集合A 共有5个元素，则A 的真子集的个数为( ) A ．32B ．31C ．16D ．1510.（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．611.（2017•江苏）已知集合{1A =，2}，{B a =，23}a +．若{1}A B =，则实数a 的值为 ．12.（2022•重庆期末）下列说法正确的是( ) A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{a ，}b 共有4个子集C ．集合{|31x x n =+，}{|32n Z x x n ∈==-，}n Z ∈D ．集合2{|1x x a =+，*2}{|45a N x x a a ∈==-+，*}a N ∈13.（2021•重庆期末）已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且UA B ⊆，则下列关系一定正确的是()A ．x U ∃∈，x A ∉且xB ∈ B ．x A ∀∈，x B ∉C ．x U ∀∈，x A ∈或x B ∈D ．x U ∃∈，x A ∈且x B ∈14.（2021•虎丘区月考）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有( ) A ．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B ．只参加球类一项比赛的人数有2人C ．只参加径赛一项比赛的人数为0人D ．只参加田赛一项比赛的人数为3人1.4 充分条件与必要条件充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.抓住关键词：大必小充。
知识点集合与常用逻辑用语
知识点集合与常用逻辑用语集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.3.【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p?q，但q p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；(4)如果q?p，且p q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A?B，则p是q的充分条件；(2)若A?B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 【必会习题】1．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3答案 B解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ，∴m ∈{1,3，m }，∴m ＝1或m ＝3或m ＝m ， 由集合中元素的互异性易知m ＝0或m ＝3.2．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ?B ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2} 答案 A解析 若A ?B ，则a ≥2，故选A.3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N 等于( ) A ．{x |－3<x <5} B ．{x |－5<x <5} C ．{x |x <－5或x >－3} D ．{x |x <－3或x >5} 答案 C解析 在数轴上表示集合M 、N ，则M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}，故选C. 4．满足条件{a }?A ?{a ，b ，c }的所有集合A 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个．5．已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(?U B )等于( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，A∪(?UB)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．7．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A．① B．② C．③ D．④答案C8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝?U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z等于( )A．(X∪Y)∩?U Z B．(X∩Y)∪?U Z C．(?U X∪?U Y)∩Z D．(?U X∩?U Y)∪Z答案B解析∵X*Y＝?U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z，( X*Y )*Z＝?U(X∩Y)*Z＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪?U Z.9．已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5?M，则a的取值范围是________________．答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)解析若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，∴5?M时，a<－2或a≥5.10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ，∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1?－1≤x ＋12－1≤1?0≤x ＋12≤2?－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)?[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0?1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎨⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。
(完整word版)集合与常用逻辑用语 讲义
第一章：集合与常用逻辑用语东北大学外国语学院丁梁整理1 元素与集合（1）概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集）。
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2)集合中元素的特征:1 确定性：作为一个集合,必须是确定的2 互异性：集合中的元素必须是互异的3 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3)元素与集合的两种关系：∈（属于) ∉（不属于）（4)集合的分类：有限集，无限集,空集（5)常用的数集及其表示符号（6）集示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2 集合间的关系(1)集合间的运算关系1 子集:如果集合A中所有的元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集2 真子集:如果集合A⊆B,但存在元素a∈B，但元素a∉A,则称集合A是集合B 的真子集3 等集:集合A与集合B中的元素相同，那么就说集合A与集合B相等4 并集：对于两个给定集合A、B，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合5 交集：对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合６补集：对于一个集合A，由全集U中所有属于集合U但不属于集合A的所有元素组成的集合成为A在全集U中的补集，记作C U A（2）集合间的逻辑关系交集：A B⊆A A B⊆B A A=A A =并集：A B⊇A A B⊇B A A=A A =A补集:C U（C U A)=A C U U= C U= U A （C U A）=A （C U A）=U3 设有限集合A,card（A）=n（n∈N+）,则（1）A的子集的个数是：n2（2）A的真子集的个数是：n2-1（3）A的非空子集个数是：n2—1（4）A的非空真子集的个数是：n2—24 逻辑联结词（1）命题的概念：例：①12>5 ②3是12的约数③0.5是整数定义：可以判断真假的语句叫命题.正确的叫真命题，错误的叫假命题。
高三数学集合与常用逻辑用语知识点框架
高三数学集合与常用逻辑用语知识点框架一、集合1. 集合的概念集合就像是一个大盒子，把一些特定的东西都装在里面。
比如说，一个班级里所有同学就可以看成一个集合。
集合里的这些东西呢，就叫做元素。
元素可不能随便乱塞哦，它得有一定的确定性。
就像你不能说“那些比较高的同学”是一个集合，因为“比较高”这个标准不明确，但是“这个班级里身高超过170厘米的同学”就可以是一个集合啦。
集合的表示方法也挺有趣的。
有列举法，就像把集合里的元素一个一个列出来，比如{1,2,3}，这就表示一个由1、2、3这三个元素组成的集合。
还有描述法，就像{x x是大于5的整数}，这就是说这个集合里的元素x是满足“大于5的整数”这个条件的。
2. 集合间的关系子集就像是小盒子放在大盒子里。
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那A就是B的子集，记作A⊆B。
比如说{1,2}是{1,2,3}的子集。
还有真子集呢，如果A是B的子集，但是A不等于B，那A就是B的真子集，就像{1,2}是{1,2,3}的真子集，记作A⊂B。
集合相等也很有意思。
如果集合A和集合B的元素完全一样，那A就等于B，这时候A⊆B而且B⊆A。
3. 集合的运算交集就像是找两个集合的共同部分。
比如说集合 A = {1,2,3}，集合B = {2,3,4}，那A和B的交集A∩B = {2,3}。
就好比两个朋友圈，交集就是那些两个朋友圈里都有的朋友。
并集呢，就是把两个集合的所有元素都放在一起组成一个新的集合。
还是上面那两个集合，A和B的并集A∪B = {1,2,3,4}。
这就像是把两个朋友圈的人都拉到一个大群里。
补集就有点像找剩下的部分。
如果有一个全集U，集合A是U 的子集，那A在U中的补集就是在U里但不在A里的元素组成的集合。
比如U = {1,2,3,4,5}，A = {1,2}，那A在U中的补集∁UA = {3,4,5}。
二、常用逻辑用语1. 命题命题就像是一个有明确判断的句子。
比如说“三角形的内角和是180度”这就是一个命题，它要么是对的，要么是错的。
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理1.集合是由一组对象组成的整体。
A set is a whole composed of a group of objects.2.如果A是B的子集，则B包含A的所有元素。
If A is a subset of B, then B contains all elements of A.3.并集是指集合中所有元素的总集合。
The union is the total set of all elements in a set.4.交集是指集合中共同元素的集合。
The intersection is the set of common elements in a set.5.补集是指所有不属于该集合的元素的集合。
The complement is the set of all elements not belonging to that set.6.空集是不包含任何元素的集合。
The empty set is a set with no elements.7.子集个数为n的集合，其幂集的元素个数为2的n次方。
For a set with n elements, the number of elements in its power set is 2 to the power of n.8.逻辑与表示同时满足两个条件。
Logic AND represents the satisfaction of two conditions simultaneously.9.逻辑或表示满足其中一个条件即可。
Logic OR represents the satisfaction of one condition.10.逻辑非表示条件的否定。
Logic NOT represents the negation of a condition.11.逻辑等价表示两个条件具有相同的真值。
Logic equivalence indicates that two conditions have the same truth value.12.逻辑蕴含表示如果条件A成立，则条件B一定成立。
集合与常用逻辑用语知识点总结与归纳
集合与常用逻辑用语知识点总结与归纳本文旨在总结和归纳集合与常用逻辑用语的知识点。
以下是相关概念和要点的简要介绍：集合定义集合是由一组特定元素构成的整体。
常用符号- ∪：表示并集，包括所有在两个或多个集合中的元素。
- ∩：表示交集，包括同时存在于两个或多个集合中的元素。
- ∈：表示元素属于某个集合。
- ∅：表示空集，即不包含任何元素的集合。
常见概念- 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集。
- 真子集：一个集合是另一个集合的真子集，当且仅当它是该集合的子集且不等于该集合本身。
- 并集：两个或多个集合中的所有元素构成的集合。
- 交集：两个或多个集合中共有的元素构成的集合。
逻辑用语常用逻辑符号- ∧：表示逻辑与（and），指两个命题都为真才为真。
- ∨：表示逻辑或（or），指两个命题只要有一个为真就为真。
- ¬：表示逻辑非（not），指对命题的否定。
- ⇒：表示逻辑蕴含（implies），指如果前提为真，则结论也为真。
- ⇔：表示逻辑等价（equivalence），指前提与结论互相为真或互相为假。
常见概念- 命题：陈述性句子，可以判断为真或为假。
- 否定：与命题相反的判断。
- 合取：将多个命题通过逻辑与连接起来的复合命题。
- 析取：将多个命题通过逻辑或连接起来的复合命题。
- 蕴含：由前提推导出结论的关系。
- 等价：前提与结论互相为真或互相为假的关系。
总结本文对集合与常用逻辑用语进行了概念、符号和概念的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些知识点。
深入学习和理解集合和逻辑用语将有助于在不同领域的问题解决和决策过程中的应用。
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知识点——集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即若
x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集，且集合B中
至少有一个元素不在集合A中
A⊊B
(或B⊋A)
集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B
互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B
的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合
∁U A＝{x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q
p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ⊋B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【易错提醒】
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．
2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．
6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
【必会习题】
1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()
A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3
答案 B
解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案 A
解析若A⊆B，则a≥2，故选A.
3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()
A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C
解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.
4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．
5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于() A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
A∪(∁U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，
∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．
7．给出以下四个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； ②若a >b ，则am 2>bm 2；
③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C
8．设U 为全集，对集合A ，B 定义运算“*”，A *B ＝∁U (A ∩B )，若X ，Y ，Z 为三个集合，则(X *Y )*Z 等于( )
A ．(X ∪Y )∩∁U Z
B ．(X ∩Y )∪∁U Z
C ．(∁U X ∪∁U Y )∩Z
D ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z 答案 B
解析 ∵X *Y ＝∁U (X ∩Y )，∴对于任意集合X ，Y ，Z ， ( X *Y )*Z ＝∁U (X ∩Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝(X ∩Y )∪∁U Z .
9．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋10
5a －25≤0，
∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5， ∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.
10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]
解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，
由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．
11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪
1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m
的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)
解析 ∵⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；
∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，
∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧
1－m <－1，
1＋m >3，
解得m >2.。