2.1 导数与微分
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
高等数学2.1 函数的导数
五、可导性与连续性之间的关系
定理1 如果函数 f ( x)在点 x0处可导,则函数在 该点必连续.
证 设函数 f ( x)在点 x0处可导,
即
y
lim x0 x
f ( x0 )
由函数极限存在与无穷小的关系，
y f ( x) 0 (x 0)
x
y f ( x)x x
所以,lim y 0, 函数 f ( x)在点x0连续. x0 上页 下页 返回
得函数相应改变量y f ( x0 x) f ( x0 ),
先求平均变化率y , 再求极限得瞬时变化率 x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
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§2.1 函数的导数
二、导数定义
1.导数定义
定义1 设函数 y f ( x) 在x0的某个邻域内有定义，
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) xn2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( xn ) nxn1
更一般地 ( x ) x1. ( R)
例如
(
x )
1
x
1 2
1
1
( x 0); ( x) x11 1
2
2x
( x 1 )
(1)x 11
1 x2
(x
0).
上页 下页 返回
例9
设
f
(
x)
2sin x, a bx,
确定a与b的值.
x 0 在 x 0 处可导， x0
解 函数在 x 0 处可导，则在 x 0 一定连续，
即满足 lim f ( x) lim f ( x) f (0)
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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高等数学中的微积分概念
高等数学中的微积分概念引言：微积分是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律与性质。
通过微积分的学习，我们可以深入理解函数的导数和积分，从而掌握函数的变化趋势、极值、曲线图像等重要概念。
本教案将以微积分的基本概念为主线，分为三个小节进行论述，分别是导数与微分、积分与定积分、微积分的应用。
通过系统的学习，学生将能够掌握微积分的核心概念，提高数学思维和解决问题的能力。
一、导数与微分1.1 导数的定义与计算导数是函数在某一点上的变化率，它描述了函数的局部性质。
在这一小节中，我们将介绍导数的定义和计算方法。
首先，我们引入极限的概念，然后定义导数，最后介绍常见函数的导数计算方法。
1.2 导数的几何意义与应用导数不仅仅是一个数值，它还有几何意义。
在这一小节中，我们将探讨导数的几何意义，包括切线斜率和曲线凹凸性。
此外，我们还将介绍导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
二、积分与定积分2.1 积分的定义与计算积分是导数的逆运算，它描述了函数的累积性质。
在这一小节中，我们将介绍积分的定义和计算方法。
首先，我们引入定积分的概念，然后介绍常见函数的积分计算方法。
2.2 定积分的几何意义与应用定积分不仅仅是一个数值，它还有几何意义。
在这一小节中，我们将探讨定积分的几何意义，包括曲线下的面积和曲线的长度。
此外，我们还将介绍定积分在实际问题中的应用，如求解物体的质量、面积等。
三、微积分的应用3.1 极值与最值极值是函数在某一区间上的最大值或最小值，它是微积分的重要应用之一。
在这一小节中，我们将介绍极值的概念和求解方法，包括函数的极值判定和极值点的求解。
3.2 曲线的图像与性质曲线的图像和性质是微积分的重要应用之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和特点。
在这一小节中，我们将介绍曲线的图像绘制方法和常见曲线的性质，如对称性、单调性等。
3.3 微分方程微分方程是微积分的重要应用之一，它描述了变量之间的关系和变化规律。
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
(完整版)导数的定义
设运动规律 s s(t )（例如自由落体 : s 1 gt 2 ) ,
2
求在t t0时刻的瞬时速度v ( t0 ).
设从时刻 t0 到 t0 t 的运动位移为 s
s s ( t0 t ) s ( t0 )
s s( t0 t ) s( t0 )
t
t
Δt 很小，速度近乎均匀，则
平均速度
s(t0 )
s(t0 t)
s
s t v(t0 )
令 t t) 1 gt 2 2
s s(t0 t) s(t0 )
t
t
1 2
g(t0
t)2
1 2
gt
2 0
t
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
★ 函数f(x)在点x0的导数 f (x0 ) ，
正是该函数的导数 f (x) 在该点x0的值 ，
即
f (x0 ) f (x) |xx0
例5 求函数y=x3在x=2的导数y，并求y|x=2 。
解 先求导函数
y
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
A,称 A为
f ( x)在 x0 的左导数，记作
f' ( x0 ),
f '( x0 0)。
若 lim x x0
高等数学2-2
解 tan( ) tan tan 1 tan tan
y lim arctan(x h) arctan x
h0
h
1
h
lim arctan
h0 h
1 ( x h)x
lim
h0
1 h
1
(
h x
h) x
1 1 x2
.
例7 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
由y f (u)在点u0可导 ,
lim y u u0
f (u0 )
o
CM
x0
T
xx
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
记x
x0
x, 则k
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ) .
2.1.2 导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内有定义, 如果极限
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
第2章 导数与微分
设f(x)=x3+4
π ′ . cosx， 求f′(x)及 f 2
f′(x) =(x3)′+(4 cosx)′ =3x2-4 ( ) − 4 ⋅ sin = π − 4 2 2 2 4
2
π
π
π
第2章 导数与微分
例3 设 f(x)=x3ex sinx， 求f′(x). 解f′(x) =(x3ex sinx)′ =(x3)′ex sinx+x3(ex)′ sinx+x3ex (sinx)′ =3x2ex sinx+x3ex sinx+x3ex cosx =x2ex(3 sinx+x sinx+x cosx)
即
(uυ )′ = u′υ + uυ ′
第2章 导数与微分
例1 设y=2x3-5x2+3x-7, 求y′. 解 y′ =(2x3-5x2+3x-7)′ =(2x3)′-(5x2)′+(3x)′-7′ =2(x3)′-5(x2)′+3(x)′ =2·3x2-5·2x+3
第2章 导数与微分
例2 解
第2章 导数与微分
当物体作匀速运动时， 它的速度不随时间而改变，
∆s s(t0 + ∆t ) − s(t0 ) = ∆t ∆t
是一个常量， 它是物体在时刻t0的速度， 也是物 体在任意时刻的速度.
第2章 导数与微分
但是， 当物体作变速运动时， 它的速度随时间而 确定， 此时 的平均速度 υ
∆s ∆t
在不致混淆的情况下， 导函数也简称为导数. 显然， 有
f ′( x0 ) = f ′( x ) |x = x0
第2章 导数与微分
2.1.3 利用定义求导数 根据导数的定义， 求导数可以分为以下三步： (1) 求增量∆y=f(x+∆x)-f(x)；
专升本高数第二章导数-PPT课件
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
导数的概念与导数的四则运算
导数的概念与导数的四则运算2 导数与微分2.1 导数的概念与导数的四则运算⼀、导⼊新课：导数与微分是微分学的两个最基本、最重要的概念。
导数刻画的是函数相对于⾃变量的变化快慢程度，即变化率。
本节主要研究导数的概念、性质和基本求导公式。
下⾯，我们先通过两个经典实例引出导数的概念，进⽽研究导数的计算⽅法。
⼆、讲授新课： 2.1.1两个引例引例2.1.1（变速直线运动的瞬时速度）设物体作变速直线运动，路程s 关于时间t 的运动⽅程为()s s t =，试求物体在0t 时刻的瞬时速度0()v t 。
解：对于匀速运动来说，我们有速度公式：=st速度（s 表⽰经过的路程，t 表⽰所⽤的时间）。
当时间t 由0t 获得增量t ?时，路程s 有相应的增量 00()()s s t t s t ?=+?- ⽐值00()()s t t s t s t t+?-?=就是物体在0t 到0t t +?这段时间内的平均速度，记作v ，即00()()s t t s t s v t t+?-?==?? 显然，t ?越⼩，平均速度v 就越接近于物体在0t 时刻的瞬时速度。
当t ?⽆限⼩时，平均速度v 就⽆限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t→?→?→+?-?===?? 引例2.1.2（平⾯曲线的切线斜率）设函数()y f x =的图像为曲线L ，考察曲线L 上某点的切线的斜率。
解：记点M 坐标为00(,())x f x ，设1(,())M x f x 为曲线L 上另⼀点，M 与1M 到x 轴的垂⾜分别为A 和B ，作MN 垂直1BM 并交1BM 于N ，则0MN x x x =?=-10()()NM y f x f x =?=- ⽽⽐值0000()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+?-?==?-? 便是割线1MM 的斜率tan ?，当0x ?→时，1M 沿曲线L ⽆限接近于M ，割线1MM ⽆限接近于切线MT ，从⽽得到切线的斜率10000()()tan lim tan limlimM Mx xα?→?→?→+?-?===?? 2.1.2 导数的定义1）导数的定义定义 2.1.1 设函数()y f x =在点0x 的某⼀领域内有定义，当⾃变量x 在0x 处有增量x ?（0x ?≠，0x x +?仍在该领域内）时，相应地，函数有增量00()()y f x x f x ?=+?-，如果当0x ?→时，极限0000()()limlim x x f x x f x yx x ?→?→+?-?=?? 存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称该极限值为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作0()f x '，也记为00(),x x x x df x y dx =='或x x dy dx=即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→?→+?-?'==?? 若极限不存在，则称函数()y f x =在点0x 处不可导。
2.1复变函数的导数和微分
定义 设函数 f (z) 在 z0 可导, 则
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) z r (z)z,
其中 lim r (z) 0, r (z)z 是 z 的高阶无穷 z0
小, f (z0 ) z 是函数 f (z) 的改变量 的
线性部分，称为函数w f (z)在点 z0的微分,
x 0, y 0. 于是
lim x 2yi lim x 1, z0 x yi x0 x
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z，
lim x 2yi lim 2yi 2, z0 x yi y0 yi
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在.
x 0 y
z o
y 0 x
f (z)g(z) f (z)g(z)
g2(z)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
13
二、复变函数的微分
复变函数微分的概念在形式上与一元实变函 数的微分概念完全一致.
事实上,由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f
( z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
0,
令 r(z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 ).
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z r(z)z,
再由 lim r(z) 0, 所以 z0
lim
z0
78Leabharlann 例3 证明：函数h(z) z 2 仅在 z 0 可导.
专升本第二章-一元函数的微分学.
二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数
例17.设 y x ,求 y(n) ( 1)( n 1)xn 例18.设 y sin x,求 y(n)
(sin x)(n) sin(x n )
2 同理(cosx)(n) cos(x n )
2
例19.设 y ln x,求 y(n) (1)n1 (n 1)!
dx2
dx2
n 阶导数的定义：
设函数 f (x)的(n 1)阶导数存在，如果
lim f (n1) (x x) f (n1) (x) 存在，那么称此
x0
x
极限值为 f (x) 在点 x 处的n阶导数。
记作：y(n) ,
f
(n) (x),
dny dxn
或
d n f (x) dxn
为了形式上统一
定义 y(0) y,或 f (0) (x) f (x)， 把 f (x) 称为 f (x)的一阶导数。
1 xln a
，
(ln
x)
1 x
(sin x) cos x ， (cos x) sin x
(tan x) sec2 x ， (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x ，(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 ，(arccos x) 1
(五) 对数求导法 利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例16. 设 y (x 1)2 3 3x 2 ，求 y x2 1 3 (2x 1)2
解：两边先取对数：
ln y 2ln(x 1) 1 ln(3x 2) 1 ln(x2 1) 2 ln(2x 1)
3
2
3
1 y
y
2 x 1
微积分教学课件第2章导数与微分
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用在高中数学学习的过程中，我们必然会遇到三角函数的导数与微分的概念与应用。
接下来，本文将探讨三角函数导数与微分的基本概念，并以实际应用为例，展示三角函数在数学和物理领域中的重要作用。
一、三角函数与导数的关系1.1 正弦函数的导数我们先来讨论高中数学中最常用的三角函数之一，即正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，其中x 为自变量，y 为因变量。
根据导数定义，我们可得到：dy/dx = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)] / h应用三角函数的和差公式，上式可以变换为：dy/dx = lim(h→0) [2cos((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * 1/2化简得到：dy/dx = cos(x)由此可得正弦函数的导数为余弦函数。
1.2 余弦函数的导数同理，我们可以推导出余弦函数的导数。
设函数 y = cos(x)，则有：dy/dx = l im(h→0) [cos(x+h) - cos(x)] / h同样地，应用三角函数的和差公式有：dy/dx = lim(h→0) [-2sin((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * 1/2进一步简化可得：dy/dx = -sin(x)因此，余弦函数的导数为负的正弦函数。
二、三角函数导数的应用2.1 极值点与拐点通过求解三角函数的导数，我们可以找到函数的极值点和拐点。
以正弦函数为例，由之前的推导可知，其导数为：dy/dx = cos(x)当导数为零时，函数的斜率为零，即为可能的极值点。
考虑在区间[0, 2π]上的正弦函数，我们可以找到导数为零的点：cos(x) = 0解得x = π/2 和x = 3π/2。
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念 一、选择题：
1、已知函数()f x 在点0x 处可导，则极限000
(3)()
lim
x f x x f x x
∆→-∆-=∆ （ A ）
A 、03()f x '-
B 、03()f x '
C 、01()3
f x '- D 、
01()3
f x '
2、若极限000
(2)()
lim
4,h f x h f x h
→+-=则0()f x '= （ B ）
A 、3
B 、2
C 、12
D 、
13
3、设()f x 是可导函数，且0
(1)(1)
lim
1x f f x x
→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的
切线斜率为 （ A ）
A 、1-
B 、2-
C 、0
D 、1
4、设3
2,1()3
,1
x
x f x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪>⎩
，则()f x 在1x =处 （ A ）
A 、左导数存在，但右导数不存在
B 、左、右导数都存在
C 、左、右导数都不存在
D 、左导数不存在，但右导数存在
5、
设2
(),0()0x g x x f x x ⎧≤⎪
=>，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 （ B ）
A 、极限不存在
B 、可导
C 、连续不可导
D 、极限存在，但不可导
二、填空题：
1
、'
⎛= ⎝
-
，'⎛⎫=
⎝
，
'
=
2、设0
()lim
,x f x k x
→=()f x 在0x =处连续，则(0)f '=
k
3、若曲线2
y x ax b =++和3
21y xy =-在点(1,1)-处相切，则a = 1 ，
b = -3 . 三、用定义求下列函数在指定点的导数： 1
、01y x =
=
解：
111
()(1)1
lim lim lim
112
x x x
f x f
y
x x
→→→
-
'===-
--
（1）=
2 、
,0
x
y a x
==
解：
00
()(0)1
(0)lim lim ln
x
x x
f x f a
y a
x x
→→
--
'===
-
四、讨论函数2
1,0
2,01
()1,12
1
4,2
2
x x
x x
f x x x
x x
-≤
⎧
⎪
<≤
⎪⎪
=⎨+<≤
⎪
⎪+<
⎪⎩
，在点0,1
x x
==及2
x=处的连续性与可导性。
解：
00
(00)lim11(00)lim20.
x x
f x f x
--
→→
-=-=-≠+==所以()
f x在点0
x=不连续。
2
11
221
(1)lim2,(1)lim2
11
x x
x x
f f
x x
-+
-+
→→
--
''
====
--
，所以()
f x在点1
x=可导、连续。
2
22
1
1
41
2
(2)lim4,(2)lim
222
x x
x
x
f f
x x
-+
-+
→→
-
-
''
====
--
，所以()
f x在点2
x=不可导
2
22
1
(20)lim(1)5(20)lim(4)(2) 5.
2
x x
f x f x f
-+
→→
-=+==+=+==所以()
f x在点2
x=连续。
五、求曲线cos
y x
=
在点(,
42
π
处的切线和法线的方程。
解：
4
()sin
42
k y x
π
π
'
==-=-，
故切线为10
4
x
π
+-+=
；法线为10
2
x
π
-+-=
六、证明：可导的奇函数的导函数是偶函数；可导的偶函数的导函数是奇函数.
证明：设()()
f x f x
-=-，两边对x求导得()()()()
f x f x f x f x
''''
--=-⇒-=
同理()
f x可导的偶函数的导函数是奇函数.。