第9讲 三角形中添加辅助线的技巧
全等三角形中常见辅助线的添加方法
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,则点D到AB的距离等于 4 .
过点D作DE⊥AB
A
构造全等的 直角三角形
E
B
D
C
三.用角平分线的性质构造全等
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
B
A
F
过点E作EF⊥BC
E
构造全等的 直角三角形
C
还有其他的方法吗？
D
四、截长与补短
四、截长与补短
典例1、已知在△ ABC中， AD是∠BAC 的角平分线 ，
∠C=2∠B, 求证 :AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
A
D
B
C
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
A
D
1 2
B
34
E
C
在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 ° F
四、截长与补短
变题：已知在△ ABC中， AD是∠BAC的角平分线 ，
AB=AC+CD, 求证:∠C=2∠B
A
E
12
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
初中数学：几何巧画辅助线技巧
几何巧画辅助线的技巧基本图形的辅助线的画法1、三角形类问题添加辅助线方法（1）有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
（2）含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
（3）结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
（4）结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线；（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3、梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰；（2）梯形外平移一腰；（3）梯形内平移两腰；（4）延长两腰；（5）过梯形上底的两端点向下底作高；（6）平移对角线；（7）连接梯形一顶点及一腰的中点；（8）过一腰的中点作另一腰的平行线；（9）作中位线。
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
(完整版)三角形全等添加辅助线口诀
三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。
几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。
话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。
实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。
得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。
对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。
高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。
最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。
达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。
我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。
高中几何添加辅助线的常用技巧
高中几何添加辅助线的常用技巧
高中几何学习中，添加辅助线是解决许多问题的有效方法。
以下是几种常用的几何辅助线技巧：
1、平移辅助线：通过将线段或图形平移，将其移动到更方便处理的位置来简化问题。
比如，对于一条直线外一点的角平分线，我们可以通过平移这条直线，使该点与角的顶点重合，然后再画出该点到角两边的垂线，这样就可以得到角平分线。
2、垂线辅助线：通过向一条直线引垂线来解决问题。
比如，对于一条直线上一点到另一条直线的垂线，我们可以通过在该点处引垂线使两条直线相交，然后再利用垂线的性质来解题。
3、相似三角形辅助线：利用相似三角形的性质来解决问题。
比如，对于一条直线外一点到两条平行线的距离，我们可以利用相似三角形的性质，构造出一个相似三角形，然后利用相似三角形的对应边比相等的性质来求出所需的距离。
4、角平分线辅助线：通过构造角平分线来解决问题。
比如，对于一个三角形的内角平分线，我们可以通过构造该角的外角平分线，然后利用外角和内角的性质来求出该角的内角平分线。
5、中垂线辅助线：通过构造线段中点的垂线来解决问题。
比如，对于一个三角形的垂心，我们可以通过构造三角形三边的中垂线，然后利用中垂线的性质来求出垂心的位置。
这些技巧可以帮助学生更好地理解几何概念和解题思路，提高几何水平。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。
具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。
b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。
c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。
b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。
c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。
3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。
b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。
c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。
4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。
a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。
b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。
c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。
d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。
通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。
在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。
初中数学几何之第九讲：讲作辅助线方法
DBC BBD ECB一、作延长线、倍长中线1.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°,求证:BD+DC=AB2.如图,在△ABC 内,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P,Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是∠BAC,∠ABC 的平分线.求证:BQ+AQ=AB+BP3.如图,已知△ABC 中,E 为BC 边的中点,D 为BC 延长线上的一点,且∠BAE=∠D,∠BAC=∠ACB.求证: AD=2EA.4.如图,已知锐角△ABC 中,∠B=2∠C,BE 是角平分线.AD ⊥BE,垂足为D,求证:AC=2BD.5.已知在△ABC 中∠C=2∠A,AC=2BC,求证:∠B=90°.CBADBEC 第14题F 第6题6.如图AD 平分∠A,CD ⊥AD,垂足为D,DE//AB 交AC 于E.求证:DE=AC/27.已知平行四边形ABCD 中,BC=2AB,M 是AD 的中点,CE ⊥AB 于E.求证:∠DME=3∠MEA.8.如图，点E 为BC 的中点，BD 平分∠ADE ，AD=2DE ，AB=m+1,CD=2m,求m 的值.9.如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF 。
10.已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，BD 与CE 交于F 。
求证：AF ⊥BE 。
D A A B C F ED C B AN11.如图,已知AC//BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证:AB=AC+BD.12.如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD ＝AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC ＝2AE13.如图，在△ABC 的形外作直角三角形ABD 和直角三角形ACE ，且∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AC=AE ，AM 为△ABC 中BC 边上的中线，连结DE ，且∠ADE=∠BAM 。
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。
以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。
方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。
通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。
通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。
三角形中几种添加辅助线的方法技巧
三角形中几种添加辅助线的方法技巧分宜中学游小敏摘要：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
关键词：三角形辅助线解题方法每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
技巧一：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
例：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF=BG=DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．技巧二：含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
例：已知：如图，△ABC是锐角三角形。
分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。
D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。
求证：DE=EF证明：连结CM 、BN∵△ABM 、△ACN 为等边三角形∴AM=AB ，AC=AN ，∠MAB=∠CAN=60°∴∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC即∠MAC=∠BAN在△MAC 与△BAN 中MA=BA （已证）∠MAC=∠BAN （已证）AC=AN （已证）∴△MAC ≌△BAN （SAS ）∴CM=BN （全等三角形对应边相等）又∵D 、E 、F 为中点∴DE=1/2CM ，EF=1/2BN∴DE=FE技巧三：含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC， CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：?本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧及典型例题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线D段、角相等创造了条件。
如图1-2，AB2AC2AC3 CAC 。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，AE=21（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH 21证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是咼频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目, 不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：证明:延长BA, CE交于点Xl、倍长中线法遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点•延长AD至点E,使得DE = AD，并连接BE,贝UAADC 也zEDB (SAS)我们来看一个例题:三、遇角平分线作双垂线法在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧!例 3；已知，如SLAC 平分ZBAD, CD=CB, AB>AD, 求证畫ZB+ZADC=18O0・AC证明：作CE丄AB于E,CF丄AD于F. TAC 平分 ZBADr ACE=CF.在 RtACBE 和RtACDF 中,％心RtACBE^RtACDF (HL),二ZB二ZCDF,VZCDF+ZADC=180° , A ZB+ZATC=180°四、作平行线法在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
例4如ffl, A ABC中,是朋上一点,F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若EB=CF.求证當DE=DF.五、截长补短法题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系例6；如图甲.AD/BC.点E 在线段AB 上.ZADE 二ZCDE, ZDCE=ZECB,求证：CRAMBU证明：在CD 上截取CF-BC.如图乙(T - < Ji在厶 FCE^ABCE 中 - netCE CLAAFCE^ABCE(SAS), .\Z2=Z1- 又VAD/7BC,AZADC+ZBCD^180° , :.ZXE+ZCDE=90<>, /- Z2+Z3=90* , •\ ZUZ4=90° . :. Z3=Z14 LH 3)1加十 z5 = Z4A AFDE^AADli (ASA) , ADF-DAr 又 VCD=DF+CF, <\CD=AD+BC O D D{。
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角形中辅助线的两种特殊添加方法
题 转化 到 ＡＣ Ｈ三 边 的关 系 问 Ｇ
题．
证 明 ：‘ 。 Ｇ是重 心 ， ．
．
． ．
Ｄ ： Ａ． ：－ ．Ｂ Ｇ ＋ ＤＦ ￣ Ｃ ＧＩ Ｆ
Ｅ 肥 ， Ｇ：
‘ ・ ・
１ 通过特殊点和线构 作对称 图形
’
．
．
证明 ： 延长 埘 ，Ⅳ 分别交 Ｂ Ａ ， Ｃ所在直线于 Ｐ， ， Ｑ
。 ．
’ Ａ Ｄ＝／Ｃ Ｄ， Ｂ Ａ＝／Ｂ Ｑ， Ｎ＝ Ｎ， ＿ ／ Ｂ Ｂ ／ Ｎ － ＿ Ｎ Ｂ Ｂ
．
‘ ．
‘ Ｓ Ｑ＝／ Ｇ ／Ｑ＝ １Ｅ ＿ ／Ｅ ＿Ｓ Ａ， － ， Ｑ＝Ｇ Ａ，
．
‘ ．
ＡＢ △Ｂ Ｑ．Ｎ＝Ｑ ． Ｍ Ｎ Ａ Ｎ
分 析 ： 根 据 已 仅
・
７９・
《 数学之友》
２０ ０ ８年第 ８期
知条件来 解决 问题似乎无 从 下手 ， 从 已 知 的“ ” 现 高
证 明 ： Ａ Ｂ 的外 接 圆 ， 长 Ａ Ａ 作 ＡＣ 延 Ｐ，Ｑ分 别交
ｏ０于 Ｄ， 连 接 Ｂ Ｃ ．． Ａ ＝ＬＣ Ｅ ， Ｄ， Ｅ ・ ／Ｂ Ｄ Ａ．
ＡＥ Ｑ￣ ＡＧ Ａ，Ｓ＝Ｇ ． Ｓ Ｓ Ｅ Ｓ １ ２ 将 中线延 长 ， 中心对称 图形 ． 作
．
同理 Ａ ＝Ｐ Ｍ Ｍ，
‘
．
‘
ＭＮ 为 Ａ Ａ 中点 ， Ｐ，Ｏ
例 ２ 已知 ： ＡＡ Ｃ中， Ｄ， Ｅ， Ｆ是 三条 中 在 Ｂ Ａ Ｂ Ｃ
・ ． ．
Ｍ ／Ｂ ． Ｎ／ Ｃ
Ⅳ， 求证 ： Ｎ Ｃ Ｍ ＃Ｂ ．
全等三角形中的辅助线的作法
全等三角形中的辅助线的作法在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，本文将对添加辅助线的一些常用方法进行介绍，通常有连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等等四种常见辅助线。
一、连线构全等例1：已知，如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：D C ∠=∠分析：此题是一道易错的全等三角形证明题，很多学生会错误地认为需要证明的是ADO ∆和BCO ∆，但条件明显是不能证明的，所以本题的正确解法是连结AB （或者CD ）构造ADB ∆和BCA ∆全等，再得到D C ∠=∠证明：连结AB在ADB ∆和BCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BA AB BD AC BC ADADB ∆∴≌BCA ∆ （SSS ）D C ∠=∠∴练习1：如图，CD AB =，DC BC =，求证：D B ∠=∠.练习2：如图，CD AB //，CD AB =，求证：BC AD =练习3：如图，AB=AC ，BD=CD ，M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：ANC AMB ∠=∠二、截长补短法截长补短法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：已知在ABC ∆，B C ∠=∠2，21∠=∠，求证：CD AC AB +=分析：本题证明的是线段的和差问题，可考虑利用截长或补短法。
方法一（截长法）：如图1，在AB 上截取AE=AC ，连结BE ，易证ADE ∆≌ADC ∆，从而得DC DE =，AED C ∠=∠，AC AE =又因为B C ∠=∠2所以得B AED ∠=∠2，又因为BDE B AED ∠+∠=∠所以得BDE B ∠=∠可得DE BE =从而得CD AC AB +=方法二（补短法）：如图2，延长AC 到点E ，使得AE=AB ，易证ADE ∆≌ADB ∆，从而得AE AB =，E B ∠=∠又因为B ACB ∠=∠2所以得E ACB ∠=∠2，又因为E CDE ACB ∠+∠=∠所以得E CDE ∠=∠可得CE CD =从而得CD AC AB +=练习1：如图所示，已知BC AD //，AE 平分DAB ∠，BE 平分ABC ∠，线段CD 经过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AB BC AD =+图1图2练习2：如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点，若AC 平分BAE ∠，︒=∠90ACE ，猜想线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并证明。
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例6 如图，已知：AD∥BC，∠1=2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD 于D，交BC于点C． 求证：AD+BC=AB．
全等变换话全等 我们把只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换．全等 变换包括平移变换、翻折变换、旋转变换三种方式．全等变换前后的两个图形全等， 具有全等图形的所有性质．利用全等变换，可以为研究几何图形提供思路． (1)判断图形变换方式
例10 如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=30°，∠C＝40°． 问：(1)顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点B'与原△ABC 的顶点C和A在同一直线上？ (2)再继续旋转多少度时，C、A、C在同一直线上？（原△ABC是指开 始时的位置）
例7 如图 ABC ≌ ABC ，通过怎样的全等变换，可以使它们重合？
(2)判断线段的数量和位置关系
例8 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF= 1 AB．已知△ABE≌△ADF，指出图中线段BE和DF的数量和位置关系， 2 并说明理由．
Байду номын сангаас
(3)求角的大小
例9 如图，把长方形ABCD沿AE翻折，使点D落在BC边上的点F处，如果 ∠BAF=60°，则∠DAE为多少度？
三角形） 例3 如图，在△ABC中,∠B=60°，AD、CE分别为∠BAC、∠ACB的角平分线．试说 明AE+CD=AC．
全等三角形的性质作用巨大，应用广泛．下面分类说明“全等三角形” 之“用武之地”． (1)证明线段或角相等 基本思路：先根据已知条件证明线段或角所在的两个三角形全等，然后 再利用全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应 角相等”证明线段或角相等． 例1 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E， DE=FE．求证：AE=CE．
三角形中添加辅助线的技巧
⑴倍长中线法
本法常用于题目条件中有中线，且结论不易直接证明的题目． 例1 如图，已知AD为△ABC的中线，试说明AB+AC>2AD.
⑵翻折、旋转法
例2 如图D是等边△ABC外一点，且∠ADB= 60°．试说明AD= BD+DC．
⑶添线构成特殊三角形法（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、全等
例2 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
(2)证明两线段的和差等于另一条线段 基本思路：证明两线段和或差等于另一条线段，常利用全等等“手段”将 要证明的两线段转化到同一线段上，然后再根据具体情况确定和或差， 例5 如图，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线， 且B、C在AE的异侧．BD⊥AE于D，CE⊥AE于E求证：BD=DE+CE．