(整理)基本初等函数.
(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档
( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式：
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合，位置排在前面的选 f ，排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则： 加减法，数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)
基本初等函数
●
当0<a<1, b>1时，y=logab<0;
●
当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。
● 注意：负数和0没有对数。
● 4.三角函数 ● 以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为
因变量的函数叫三角函数 ● 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观
或者计算得出，称为三角恒等式。 ● 常见三角函数主要有以下 6 种：
● （4）单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；
● （5）奇偶性：非奇非偶函数
● （6）周期性：不是周期函数
● （7）零点：x=1
● （8）若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）
●
当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;
●
当a>1, b>1时，y=logab>0;
End
● 7.常数函数 y=C（C为常数） ● 常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数 ● f(X)是一个常数函数,f(X)与其他任何函数的复合函数仍是一个常数函数。 ● 任一定义域和值域相同的常数函数是等幂的。 任一拓扑空间上的常数是连续的。 在一个
连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数
● 3.对数函数 y=loga x（a>0且a=/1，x>0）
● （1）定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大 于0以外，还应注意底数大于0且不等于1.
● （2）值域：实数集R，对数函数无界；
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数初等函数
基本初等函数初等函数初等函数是指可以用基本初等函数表示和运算的函数。
基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
常数函数是指函数的值恒为一些常数的函数，例如f(x)=3幂函数是以x为底数的幂指数函数，可以表示为f(x)=x^n，其中n是一个常数。
指数函数是指以指数形式表示的函数，例如f(x)=a^x，其中a是一个常数。
对数函数是指以对数形式表示的函数，例如 f(x) = log_a(x)，其中a 是一个常数。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
它们都是周期函数，周期为2π。
反三角函数是三角函数的反函数，例如正弦函数的反函数是反正弦函数（arcsin），余弦函数的反函数是反余弦函数（arccos），正切函数的反函数是反正切函数（arctan）。
例如，用加法和乘法运算可以生成多项式函数，多项式函数是指以多项式形式表示的函数，例如f(x)=3x^2+5x+2用加法、乘法和除法运算可以生成有理函数，有理函数是指以多项式分式形式表示的函数，例如f(x)=(3x^2+5x+2)/(2x+1)。
用加法、乘法、除法和根号运算可以生成代数函数，代数函数是指通过代数运算得到的函数，例如f(x)=√(3x^2+5x+2)。
例如，两个初等函数的和、差、积和商仍然是初等函数。
两个初等函数的复合函数也是初等函数。
例如，f(x) = sin(x^2) 是正弦函数和幂函数的复合函数。
需要注意的是，初等函数是一个相对的概念。
一些函数在特定的领域内可以表示为初等函数，但在其他领域内则可能无法表示为初等函数。
例如，f(x)=e^x在实数域上是一个指数函数，但在复数域上则无法用基本初等函数表示。
初等函数在数学和科学领域中有着广泛的应用。
它们可以描述和研究自然界中的各种现象和规律，为科学家和工程师提供了强大的工具。
此外，初等函数还在数学分析、微积分、概率论、统计学等许多数学学科中发挥着重要的作用。
六大初等函数
六大初等函数
在数学中，初等函数是指可以用有限次基本运算与求导来表示的函数。
在高中数学中，常见的六大初等函数包括：
1. 常数函数：y = c （c为常数）
2. 幂函数：y = x^n （n为正整数）
3. 指数函数：y = a^x （a>0，且a≠1）
4. 对数函数：y = loga(x) （a>0，且a≠1）
5. 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x) （x为弧度）
6. 反三角函数：y = arcsin(x)、y = arccos(x)、y = arctan(x) （x为实数）
这六大初等函数在数学中应用广泛，是数学学习的基础。
其中，常数函数和幂函数是最基本的函数，指数函数和对数函数则在科学计算、物理学、化学等领域中被广泛应用，三角函数和反三角函数则在几何学、物理学、信号处理等领域中有重要作用。
了解和掌握这些初等函数的概念、性质和应用，对于进一步学习高等数学和应用数学都至关重要。
- 1 -。
基本初等函数
基本初等函数在数学中，基本初等函数是指一组常见且重要的函数，它们在解决实际问题和数学建模中起着关键作用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
本文将介绍这些基本初等函数的定义、性质和应用。
1. 常数函数常数函数是最简单的函数之一，它的定义域中的每个数对应着同一个数值。
常数函数可以用以下形式表示：f(x) = c其中c为常数。
常数函数在数学建模中常用于表示恒定的数值，例如表示物体的质量、温度等。
2. 幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数或有理数。
当n为正整数时，幂函数表示将x连乘n次。
当n为负整数时，幂函数表示将x连除|n|次。
幂函数还可以表示开方运算，当n为1/2时表示平方根，n 为1/3时表示立方根等。
幂函数在物理学和工程学中广泛应用，如描述电路的功率特性、物体的速度随时间的变化等。
3. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的图像通常呈现出曲线的形状，随着自变量x的增大或减小，函数值急剧增加或减少。
指数函数在财务学、生物学、经济学等领域中有广泛的应用，如描述投资的复利增长、细菌的繁殖规律等。
4. 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
对数函数是指数函数的反函数，它描述了一个数以某个底数为底的幂的指数是多少。
对数函数在计算复杂度、音乐领域、数据压缩领域等有广泛的应用。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们是单位圆上的点对应的y坐标、x坐标和y/x之间的关系函数。
三角函数在物理学、工程学、地理学等领域中广泛应用，如描述波动的特性、建筑物的结构设计等。
6. 反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
它们可以用来解决三角方程，求解角度或与角度有关的问题。
反三角函数在几何学、物理学、导航系统等领域有广泛的应用。
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
基本初等函数公式定理
基本初等函数公式定理1. 二次函数的顶点公式：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标为x = -b / 2a，纵坐标为f(-b / 2a) = -Δ / 4a，其中Δ = b^2 - 4ac为二次函数的判别式，用来判断函数的开口方向和与x轴的交点情况。
2. 二次函数的两根公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个根为x1,2 = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ为判别式。
当Δ > 0时，方程有两个不等实根；当Δ = 0时，方程有两个相等实根；当Δ < 0时，方程无实根。
3. 余弦和正弦的和差公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓sin(x)sin(y)，sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)。
这些公式用于计算给定角度的正余弦值。
4. 三角函数的周期性：sin(x + 2πn) = sin(x)，cos(x + 2πn) = cos(x)，其中n为任意整数。
这表示正弦和余弦函数在每个周期内的值是相同的。
5. 对数函数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c为正实数，且a、c不等于1、这个公式可以用来将一个对数的底换成任意其他的底。
6. 指数函数的幂的性质：a^m ∙ a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(mn)，(ab)^n = a^n ∙ b^n，a^m / a^n = a^(m-n)，其中a、b为正实数，m、n为任意实数。
7.二分法定理：如果一个连续函数在区间[a,b]上取得不同符号的两个值，那么在这个区间内必然存在一个根。
这个定理可以用于求解方程的近似解。
8.中值定理：如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在开区间内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
(整理)基本初等函数性质及其图像.
基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12反余弦函数，定义域为[-1，1]，值域为，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14反余切函数，定义域为，值域，为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。
二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
基本初等函数
数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.
例题：
是初等函数。
一、函数与极限
6、初等函数
⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、
对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：
函
数 函数的记号
名
函数的图形
函数的性质
称
指 a):不论 x 为何值,y 总为
数 正数;
函 b):当 x=0 时,y=1.
数
a):其图形总位于 y 轴右
对
侧,并过(1,0)点
数
பைடு நூலகம்b):当 a＞1 时,在区间
函
(0,1)的值为负；在区间
数
(-,+∞)的值为正；在定义域
内单调增.
令 a=m/n
a):当 m 为偶数 n 为奇数
幂
时,y 是偶函数;
函
a 为任意实数
b):当 m,n 都是奇数时,y
数
这里只画出部分函数图
是奇函数;
形的一部分。
c):当 m 奇 n 偶时,y 在
(-∞,0)无意义.
三 (正弦函数)
角 这里只写出了正弦函
函 数
数
a):正弦函数是以 2π为周 期的周期函数
b):正弦函数是奇函数且
反 (反正弦函
三 数)
角 这里只写出了反正弦函
函 数
数
a):由于此函数为多值函 数,因此我们此函数值限制 在[-π/2,π/2]上,并称其 为反正弦函数的主值.
⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函
(整理)基本初等函数91878
五、基本初等函数（指数函数，对数函数，幂函数）<知识要点>要点1.指数函数（解析式与定义，图像与函数性质，运算性质）要点2.对数函数（解析式与定义，图像与函数性质，运算性质）要点3.幂函数（解析式与定义，图像与函数性质，运算性质）<例题讲解>一、指数函数例1.化简a a 1-，332)3()3(--+x x ，223223-+ 例2.设0≥a ，计算23692639)()(a a ⋅的结果是_________例4.若y x x 25552=⋅，则y 的最小值是_________ 例5.设b a 、是方程01322=++x x 的两个根，则=+b a )41(________ 例6.已知278-=a ，7117=b ，求3331313432332272793b a a ba ab ab a -÷-++的值。
例7.函数22)21(++-=x x y 的单调增区间是_______例8.设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件)1(+=x f y 是偶函数，且当1≥x 时，则12)(-=x x f ，)31(),23(),32(f f f 的大小关系是__________例9.求函数1)21()41()(+-==x x x f y ，]2,3[-∈x 的值域。
例10.函数x y 3=的图像与函数2)31(-=x y 的图像关于___________对称。
例11.关于x 的方程a a x -+=523)43(有负根，求实数a 的范围。
例12.已知函数)1,0(23≠>-=-a a a y x 且的图像恒经过的点的坐标为________ 例13.比较下列各组数的大小：（1）24.0)65(-与41)65(-；（2）ππ-)1(与1；（3）2)8.0(-与21)45(-例14.如果75+->x x a a)1,0(≠>a a ，求x 的取值范围。
基本初等函数公式
1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；x y =；1y x -=；/n m y x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，1sin lim 0=→x x x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n xπ是无穷小量1sin lim0=→xxx()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅dx y dy '=kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(ln ln ='=xdx dx x x d sin )(cos cos -='=0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a a ax xxx 21)(='x x e e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==0 dx c=⎰ dx c = ln xxa a dx c a =+⎰不定积分运算法则：加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 3223dx x c =+x x e dx e c =+⎰⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+ x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='() ()|()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰() bb baaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbb a aafg dx fg f g dx ''=-⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)(用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。
(整理)第一课时基本初等函数
第二课时：基本初等函数 备课教师：许新新教学目标: 使学生熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数的定义，图像性质； 教学重点：二次函数根的分布和最值得求法； 教学难点：二次函数根的分布和最值得求法； 教学过程： 1.指数函数1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符表示，负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,mm nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质2对数函数2.1对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N=，其中a叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b=．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N；自然对数：ln N ，即l o g e N（其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且2.2对数函数及其性质设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 3幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．4.二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x a x b x c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b2a ＞k②x 1≤x 2＜k ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0af (k )＞0－b2a ＜k③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＞0k 1＜－b 2a ＜k2或⎩⎪⎨⎪⎧△＝b 2－4ac ≥0a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＜0k 1＜－b 2a ＜k2⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (k 1)＞0f (k 2)＜0f (p 1)＜0f (p 2)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0f (k 1)＜0f (k 2)＞0f (p 1)＞0f (p 2)＜0此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） 最小值若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =-③若2bq a ->，则()m f q =b 2 0 b 2 0 a b x 2最大值若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) 最大值①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2bM f a =-③若2bq a ->，则()M f q =0 O b 2 0x 0 ab x 2 0x b 20 b 2 0a 2最小值①若02b x a -≤，则()m f q = ②02bx a ->，则()m f p =．ab x20x 0 O b 2 0x。
(整理)基本初等函数一.
课题：基本初等函数一一、学习目标：理解基本概念、基本性质，熟练掌握基本运算法则、基本性质、基本技巧的运用。
二、自学指导：基础知识梳理：1、指数式、对数式的概念及其运算法则（1）指数式：对数式：（2）运算法则①实数指数幂运算法则（3个）②对数运算法则（3个）③对数换底公式2、指数函数（y=a x、a>0且a≠1）3、对数函数(y=xlog、a>0且a≠1,x>0)a4、指、对函数的关系：（代数方面）、（定义域值域）、（图像方面）5、幂函数（y=xα、α∈R）性质：6、函数的实际应用：有哪些类型？三、合作学习、补充完善：四、基础训练1、计算())(8421221221*-++∈∙⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅N n n n n 的结果（ ）A ，461；B ，22n+5； C ，6222+-n n ；D, 7221-⎪⎭⎫⎝⎛n2、若0<a<1,x>y>1,则a x ,x a ,a y ,y a 从小到大的顺序是3、若3x =4y =36,则yx 12+的值是 4、函数82221++-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的定义域 值域5、函数)34(log 25.0+-=x x y 的递增区间是课题：基本初等函数三一、学习目标：，熟练掌握基本运算法则、基本性质、基本技巧的综合运用。
二、典型例题研究：例1、已知函数 )(log )(x a a a x f y -==(a>1)(1)求f(x)的定义域、值域、反函数； (2)判断f(x)的单调性并证明。
例2、已知x 满足203log 7log 21221≤++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，求函数f(x)=log 24x ·log 22x的最大值和最小值。
三、小组合作学习： 四、展示、点拨、总结：五、巩固练习：1、定义在[-1，1]上的奇函数f(x)，当x ∈(]1,0时，f(x)=142+x x，（1）求f(x)在[-1，1]上的解析式 （2）判断并证明f(x)在(]1,0上的单调性。
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函数的概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f 。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。
5．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”。
映射和函数的区别：映射是两个集合之间的对应关系，集合A 所有元素在B 中有元素对应，集合B 中的元素在A 中不一定有对应的元素。
但是函数，自变量x 所有的值在因变量y 里面都有对应，而因变量y 的所有元素在自变量x 中也有对应； 6．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 7．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈(a ，b )，u ∈(m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。
典例解析题型1：函数概念1.设函数f （x ）＝812,(,1]log x,(1,)x x x -⎧∈-∞⎨∈+∞⎩，则满足f （x ）=41的x 值为 。
2.设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题型2：判断两个函数是否相同1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。
题型3：函数定义域问题1. 求下述函数的定义域：（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21( .2. 已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +；(2)2y =解：（1）由0＜x 2＜2， 得3. 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞31 B ．－12＜a ≤0C ．－12＜a ＜0D ．a ≤31 解：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0，答案B 。
题型4：函数值域问题例5．求下列函数的值域：（1）232y x x =-+；（2）y =；（3）312x y x +=-；解：（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥， ∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞。
改题：求函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。
解：（利用函数的单调性）函数232y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。
∴函数232y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。
（2）求复合函数的值域：设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2]。
（3）（法一）反函数法： 312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。
（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---， ∵702x ≠-，∴7332x +≠-， ∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠。
题型5：函数解析式例6．（1）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ； 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x+=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）。
（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-。
题型6：函数应用例1．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：5030003600- =12，所以这时租出了88辆车。
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： f （x ）=（100－503000-x ）（x －150）－503000-x ×50，整理得：f （x ）=－502x +162x －21000=－501（x －4050）2+307050。
所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.函数的性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)（2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。