最新基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(超级全)
一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时.宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时.常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点.且横线坐标已知时.选用两根式求()f x 更方便． （①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线.对称轴方程为,2x a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时.抛物线开口向上.函数在(,]2b a -∞-上递减.在[,)2ba-+∞上递增.当2b x a =-时.2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时.抛物线开口向下.函数在(,]2ba -∞-上递增.在[,)2b a -+∞上递减.当2bx a=-时.2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地.函数y x α=叫做幂函数.其中x 为自变量.α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义.并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>.且n N +∈.那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且.则x 叫做以a 为底N 的对数.记作log a x N =.其中a 叫做底数.N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =.log 1a a =.log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N .即10log N ；自然对数：ln N .即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>.那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A .值域为C .从式子()y f x =中解出x .得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值.通过式子()x y ϕ=.x 在A 中都有唯一确定的值和它对应.那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数.函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数.记作1()x fy -=.习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域.即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=.并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上.则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地.函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2.0）B ．（2.-2）C ．（2.-8）D ．（-2.-8）例2．已知抛物线的顶点为（ 1.2）.且通过（1.10）.则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限.试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时.求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时.求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时.求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性.并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ） A、12C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==ba .则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====.则M ∩P （） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0.1)B ．(1.1)C ．(2.3)D ．(2.4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域.并讨论函数的单调性、奇偶性.4416a 8a 4a 2a五、对数函数的运算例18.已知32a=.那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+.则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =.那么12x -等于（ ）A 、13B C D 例21.2log 13a <.则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中.在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数)()lg f x x =是（奇、偶）函数。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数第一讲
2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)（I ）复习回顾 引例：填空___=； -_____9=)0a _____(2≥=； （II ）讲授新课22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？分析过程：结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为na x =。
从而有：3273=，2325-=-，236a a =结论2：当n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n 次方根有两个且互为相反数，负数没有n 次方根。
此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。
结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 由所得结果，可有：（板书）②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （Ⅳ）例题讲解 注意：根指数n 为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n 为偶数的运算。
必修一 第二章 基本初等函数及应用讲义
基本初等函数及其综合运用考纲要求指数函数、对数函数、二次函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握三种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 重难点归纳(1)运用三种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用(2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 (3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。
指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;.log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。
性质：见表2典型题例示范讲解题型一：指数及指数函数的考查：例1.（2010深圳）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数2.（2010东莞）（7）设232555322555a b c ===（,（）（），则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 3. （12汕头理）若102a b <<<，则（ ） A ．22aba> B ．22abb> C ．2log ()1ab >- D ．2log ()2ab <-54. （12汕头）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. ln y x = C. 21y x = D. cos y x = 6. 1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，题型二：对数及对数函数的考查例1.（2010山东）（10）设25abm ==，且112a b+=，则m = （A（B ）10 （C ）20 （D ）1002.（2009年山东理）已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<3.（2010山东文）(3)函数()()2log 31xf x =+的值域为A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ 练习：1（2009全国卷Ⅱ理）设323log ,log log a b c π===A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>2.（2009年山东理）已知2(3)4log 3233xf x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++x的值等于 ．3.(2010山东)函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . 题型三：二次函数的考查例1（2010山东文）（6）设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是2.（本小题满分14分）（2011广一模）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；题型四：反函数的考查例 1.(2009年广东卷文)若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =( )A ．x 2log B ．x 21 C ．x 21log D ．22-x2.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与x y e =互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x 轴对称，若g(a)=1,则实数a 值为 （A ）-e (B) 1e -(C) 1e(D) e 练习1. (11山东)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,32．（2011佛二模）．已知()(0,1)xf x a a a =>≠，()g x 为()f x 的反函数.若(2)(2)0f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是A B C D3.（2010全国卷2理）（2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈4.（2010佛山）9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
高中总复习二轮数学精品课件 专题一 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用 (2)
(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后
根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点
的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)在R上为增函数
C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)
D.函数f(x)只有一个零点
)
答案 (1)B (2)AC
解析 (1)由于
1
4
c=log93= ,b=
2
9
1
5
=
2
3
2
5
<
2
3
1
3
=a,又 b=
4
9
1
5
>
1
32
1
5
=
1
,所
2
以 c<b<a.故选 B.
(2)对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;
专题一
第2讲 基本初等函数、函数的应用
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
(1)log
b =logab(a>0,且 a≠1,b>0,m≠0).
n
(2)对数恒等式:lo g =N(a>0,且 a≠1,N>0).
log
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
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函数概念与基本初等函数(最全)
（二）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数y＝f(x)中，与自变量x的值的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）
例如：①形如y＝ ，可采用法；②y＝ ，可采用法或法；③y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c，可采用法；④y＝x－ ，可采用法；⑤y＝x－ ，可采用法；⑥y＝ 可采用法等.
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
第2课时函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
①已知函数的解析式，就是.
②复合函数f[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的域是外函数f(x)的域.
解：B
例3求函数 的值域。
解：（直接法）因为 ，所以 ，所以函数的值域为
方法小结：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
基本初等函数之对数与对数函数,附练习题
对数与对数函数（讲义）知识点睛一、对数与对数的运算1.对数（1）如果x a N =(a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数：10log lg N N =；自然对数：e log ln N N =．（2）当a >0，且a ≠1时，x a N =⇔log a x N =．（3）负数和零没有对数；log 10a =，log 1a a =．2.对数的运算性质（1）如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么①log ()log log a a a M N M N ⋅=+；②log log log aa a MM N N=-；③log log ()n a a M n M n =∈R ．（2）换底公式：log log log c a c bb a=(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．（3）log (010)a b a b a a b =>≠>，；．二、对数函数及其性质1.定义：一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．2.对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图象和性质：0<a <1a >1图象定义域(0，+∞)值域R性质①过定点(1，0)，即x =1时，y =0②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数3.对数函数底数变化与图象分布规律1log a y x =；②log b y x =；③log c y x =；④log d y x =，则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<；x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>．4.反函数对数函数与指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．精讲精练1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）32=8_______________；（2）415625-=_______________；（3）13127=3-_______________；（4）lg 0.0013=-_____________；（5）0.3log 2=a _____________；（6）ln x =_____________．2.求下列各式的值．（1）43log (927)⨯（2）1lg lg 4lg 52++（3）661log 12log 2-（4）22333399(log 2)(log )log log 422++⋅（5）2345log 3log 4log 5log 2⋅⋅⋅（6）48525(log 5log 5)(log 2log 2)++3.已知234log [log (log )]0x =，则x 的值为_________．4.已知3485log 4log 8log log 25m ⋅⋅=，那么m 的值为（）A ．9B ．18C ．12D ．275.已知4823log 3x y ==，，则x +2y 的值为（）A ．3B ．8C ．4D ．log 486.已知log 3a m =，log 2a n =，那么a 2m +3n =（）A ．17B ．72C ．108D ．317.已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则xy的值为_________．8.设lg a ，lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个实根，则2(lg )ab的值等于（）A ．2B ．12C ．4D ．149.已知函数()lg f x x =．若()1f ab =，则22()()f a f b +=_____．10.下列函数表达式中是对数函数的是（）A ．0.01log (0)y x x =>B ．22log y x =C ．2log (2)(2)y x x =+>-D ．2ln(1)y x =+11.若点(a ，b )在lg y x =图象上，且a ≠1，则下列点也在此图象上的是（）A ．1()b a ，B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )12.若函数log ()a y x b =+(a >0，a ≠1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2，b =2B ．2a b ==C ．a =2，b =1D ．a b ==13.直接写出下列函数的定义域：311log (2)_______________2345log (3)_______________16_______________ln(1)x y x y y y y x y x -=-====-=+=+（）；（）；（）；（）；（）；（）．14.已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12[log (3)]y f x =-的定义域是_____________．15.函数212log (613)y x x =++的值域为（）A ．RB ．[8，+∞)C ．(-∞，-2]D ．[-3，+∞)16.函数log a y x =在区间[2，π]上最大值比最小值大1，则a =__________．17.下列判断不正确的是（）A ．22log 3.4log 4.3<B ．0.20.3log 0.4log 0.4<C ．67log 7log 6>D ．30.3log log 4π<18.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度19.函数21log (01)1a x y a a x +=>≠-，的图象过定点P ，则点P 的坐标为（）A ．(1，0)B ．(-2，0)C ．(2，0)D ．(-1，0)20.已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-(a >0，且a ≠1)．（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．21.设a ，b ∈R 且a ≠2，定义在区间(-b ，b )上的函数1()lg12axf x x+=+满足：()()0f x f x +-=．（1）求实数a 的值；（2）求b 的取值范围．22.已知关于x 的方程212log 210x a x ⋅--=有实数根，求a 的取值范围．23.已知函数2log [(21)]a y x a x a =--+的定义域为R ，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1．（1）2log 83=；（2）51log 4625=-；（3）2711log 33=-；（4）3100.001-=；（5）0.32a =；（6）e x =2．（1）11；（2）1；（3）12；（4）4；（5）1；（6）543．644．A 5．A 6．B 7．48．A 9．210．A 11．D 12．A13．（1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(0；（5）(12)(23)⋃，，；（6）(10)(02]-⋃，，14．5[22，15．C16．2π或2π17．D18．C 19．B20．（1）(-1，1)；（2）偶函数，证明()()()()f x g x f x g x -+-=+21．（1）2a =-；（2）102b ≤<22．02a ≤<23．33(11)(1122，-⋃+对数与对数函数（随堂测试）1.函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0，+∞)，则正实数a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．42.求函数2log (4)(01)a y x x a a =->≠，且的单调递减区间．【参考答案】1.B2.当01a <<时，f (x )的单调递减区间为(0，2]；当1a >时，f (x )的单调递减区间为[2，4)对数与对数函数（作业）1.求下列各式的值．（1）lg +（2）553log 10log 0.125+（3）22(lg 2)(lg 5)lg 4lg 5++⋅（4）22lg 5lg83+（5）20321log log ()52-+-（6）231lg 25lg 2lg log 9log 22+-⨯2.下列对数运算中，一定正确的是（）A ．lg()lg lg M N M N +=⋅B ．ln ln n M n M =C ．lg()lg lg M N M N⋅=+D ．lg log lg a b b a=3.已知3log 2a =，那么33log 22log 6-用a 表示是（）A ．5a -2B ．-a -2C ．3a -(1+a )2D ．3-a 2-14.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c+=+5.已知x ，y 为正实数，则下列式子中正确的是（）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y⋅=+D ．lg()lg lg 222x y x y⋅=⋅6.设方程22(lg )lg 30x x --=的两实根是a ，b ，则log log a b b a +等于（）A ．1B ．-2C ．-4D ．103-7.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．5a >或2a <B ．23a <<或35a <<C ．25a <<D ．34a <<8.函数()ln1xf x x =+-的定义域为（）A ．(0，+∞)B ．(1，+∞)C ．(0，1)D ．(0，1)∪(1，+∞)9.已知函数12()2log f x x =的值域为[-1，1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．22B ．[11]-，C ．1[2]2，D ．2(])2-∞⋃∞，+10.已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>11.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>12.函数12log 2y x =+的单调增区间为（）A ．()-∞∞，+B ．(2)-∞-，C ．(2)-∞+，D ．(2)(2)-∞-⋃∞，，+13.若函数log (01)a y x a =<<在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为（）A ．22B ．24C ．12D ．1414.函数log (2)5a y x =-+过定点（）A ．(1，0)B ．(3，1)C ．(3，5)D ．(1，5)15.当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．16.设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠，在()-∞+∞，上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．17.已知函数e 1(1)()ln (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则(ln 2)f 的值为_________．18.函数12log (1)()2(1)x x x f x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥的值域是_________________．19.已知13log 2a =，0.62b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为_____________．20.给出下列命题：12log 2log a a x x =；2函数2log (1)y x =+是对数函数；3函数1ln1xy x+=-与ln(1)ln(1)y x x =+--的定义域相同；4若log log a a m n <，则m n <．其中正确的命题是_________．21.已知函数()f x 在[0)+∞，上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，求x 的取值范围．22.设函数212log (0)()log ()(0)xx f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，求实数a 的取值范围．23.已知函数3()2log f x x =+(1≤x ≤9)，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值．【参考答案】24．（1）1；（2）3；（3）1；（4）2；（5）4；（6）12-25．D26．B27．B28．D29．D30．B31．B32．A33．D34．C35．B36．B37．C38．A39．C40．141．(2)-∞，42．a <c <b43．③44．11010x <<45．1a >或10a -<<46．22阅读材料反函数趣谈在指数函数2x y =中，x 为自变量，y 为因变量．如果把y 当成自变量，x 当成因变量，同学们思考一下，x 是不是y 的函数？在指数函数2x y =中，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式2x y =可得到对数式2log x y =．这样，对于任意一个(0)y ∈+∞，，通过式子2log x y =，在R 中都有唯一确定的x 和它对应．此时，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，这时我们就说2log x y =((0))y ∈+∞，是函数2x y =()x ∈R 的反函数．注意到，在函数2log x y =中，y 是自变量，x 是函数，但是习惯上，我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们对调函数2log x y =中的字母，把它写成2log y x =，这样，对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是指数函数2x y =()x ∈R 的反函数．由前面的讨论可知，指数函数2x y =()x ∈R 与对数函数2log y x =((0))x ∈+∞，是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数log (01)a y x a a =>≠，且和指数函数x y a =(01)a a >≠，且互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x y =的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个(0)y ∈+∞，，都有唯一确定的2log x y =和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y 只有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素y ，通过对应法则y=f (x )存在着一一对应关系．清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．通过画出指数函数2x y =与对数函数2log y x =的图象后，我们发现它们是关于直线y=x 对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x 对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f (x )=C （C 为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数10110x xy =+，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由10110x x y =+得到(110)10x x y +=，解得101x y y =-，反函数即为lg 1y x y =-，反函数的定义域为原函数的值域，也就是01y y >-，原函数的值域即为(01)，．练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A ．22y x x=+B ．||y x =C ．2lg y x =D ．11y x =-2.函数21x y =-的反函数为_____________．3.已知函数1212x x y -=+，求它的值域．【参考答案】1.D2.2log (1)y x =+3.(-1，1)。
高中数学专题讲义：函数概念与基本初等函数1
高中数学专题讲义:函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念；2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数,并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A,B 设A,B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x),x∈A 映射:f:A→B2.(1)在函数y＝f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ,而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0},其定义域不同,故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1,故y ＝x 2＋1－1≥0,故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时,才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2},值域为N ＝{y |0≤y ≤2},则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2,2],C 中图象不表示函数,D 中函数值域不是[0,2]. 答案 B3.(2017·青岛一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞,1]B.[－1,1]C.[1,2)∪(2,＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析 由题意,得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0,所以f (－2)＝2－2＝14>0,所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12,故选C.答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4),则a ＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上,所以4＝－a ＋2,则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0,＋∞)B.(1,＋∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017],则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1,故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1,＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1,2 017], ∴g (x )有意义,应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016,且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016,且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016,且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(－1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 解析(1)要使函数f (x )有意义,应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4,且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立,则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0,解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ,则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1,则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1),则x ＝2t －1,∴f (t )＝lg 2t －1,即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝2,得c ＝2,f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1, 则2ax ＋a ＋b ＝x －1,∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中,将x 换成1x ,则1x 换成x , 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg 2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法:由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )＝x (1－x ),则当－1≤x ≤0时,f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1),则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ,则x ＝(t －1)2(t ≥1),代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1, 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时,0≤x ＋1≤1, 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1). (3)当x ∈(－1,1)时, 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ,则－x 换成x , 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得,f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ),x ∈(－1,1). 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义,f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6, 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4,则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ,若52－b <1,即b >32时,则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4,解之得b ＝78,不合题意舍去.若52－b ≥1,即b ≤32,则252－b ＝4,解得b ＝12. (2)当x <1时,e x －1≤2,解得x ≤1＋ln 2,所以x <1.当x ≥1时,x 13≤2,解得x ≤8,所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞,8]. 答案 (1)D (2)(－∞,8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3,则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________.解析 (1)当a ≤1时,f (a )＝2a －1－2＝－3, 即2a －1＝－1,不成立,舍去； 当a >1时,f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3, 即log 2(a ＋1)＝3,解得a ＝7,此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时,由题意得x2＋1≥－1, 解之得－4≤x ≤0.当x >0时, 由题意得－(x －1)2≥－1, 解之得0<x ≤2,综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不是数集,则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论.基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2017·唐山质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A.[－3,1]B.(－3,1)C.(－∞,－3]∪[1,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0,解得x>1或x<－3,所以f(x)的定义域为(－∞,－3)∪(1,＋∞).答案 D2.(2017·衡水中学月考)设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下:映射f的对应法则x 123 4f(x)342 1则f [g (1)]的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由映射g 的对应法则,可知g (1)＝4, 由映射f 的对应法则,知f (4)＝1,故f [g (1)]＝1. 答案 A3.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]＝x ＋2,则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0),又f [f (x )]＝x ＋2, 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2,即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1,且kb ＋b ＝2,解得k ＝b ＝1. 答案 A4.(2017·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝()A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案 C5.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法,若x ＝56,则y ＝5,排除C ,D ；若x ＝57,则y ＝6,排除A ,选B.答案 B6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0,＋∞),而y ＝x ,y ＝2x 的定义域均为R ,排除A ,C ；y ＝lg x 的值域为R ,排除B ,故选D. 答案 D7.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[－1,1)上,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R . 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92,则f (5a )的值是( )A.12B.14C.－25D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a , f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110, ∴－12＋a ＝110,则a ＝35,故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C8.(2017·铜陵一模)设P (x 0,y 0)是函数f (x )图象上任意一点,且y 20≥x 20,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x －1xB.f (x )＝e x －1C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析 对于A 项,当x ＝1,f (1)＝0,此时02≥12不成立.对于B 项,取x ＝－1,f (－1)＝1e －1,此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1,此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A ,B ,D 均不正确.选C.事实上,在C 项中,对∀x 0∈R ,y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0,有y 20≥x 20成立. 答案 C 二、填空题9.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 解析 要使函数有意义,则3－2x －x 2≥0, ∴x 2＋2x －3≤0,解之得－3≤x ≤1. 答案 [－3,1]10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案 －211.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |,则f (x )的解析式是________.解析 根据题意知x >0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ,则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2 x12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________.解析 由题意知,若x ≤0,则2x＝12,解得x ＝－1；若x >0,则|log 2x |＝12,解得x ＝212或x ＝2－12,故x的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2015·湖北卷)设x ∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 当x >0时,|x |＝x ,sgn x ＝1,则|x |＝x sgn x ； 当x <0时,|x |＝－x ,sgn x ＝－1,则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时,|x |＝x ＝0,sgn x ＝0,则|x |＝x sgn x . 答案 D14.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1,＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得,f (a )≥1.当a <1时,有3a －1≥1,∴a ≥23,∴23≤a <1. 当a ≥1时,有2a ≥1,∴a ≥0,∴a ≥1. 综上,a ≥23. 答案 C15.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1].答案 (0,1]16.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x<1，则f(f(－3))＝________,f(x)的最小值是________.解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1,∴f(f(－3))＝f(1)＝0,当x≥1时,f(x)＝x＋2x－3≥22－3,当且仅当x＝2时,取等号,此时f(x)min＝22－3<0；当x<1时,f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0,当且仅当x＝0时,取等号,此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案022－3第2讲函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I,使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D 上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).()(3)对于函数y＝f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1,＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞).()解析(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1＝－1,x2＝1,则f(－1)＜f(1),故应说成单调递减区间为(－∞,0)和(0,＋∞).(3)应对任意的x1＜x2,f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x,f(x)在[1,＋∞)上为增函数,但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(2017·合肥调研)下列函数中,在区间(0,＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x－x解析对于A,y1＝1x在(0,＋∞)内是减函数,y2＝x在(0,＋∞)内是增函数,则y＝1x－x在(0,＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在(0,＋∞)上均不单调；选项D中,y′＝e x－1,而当x∈(0,＋∞)时,y′＞0,所以函数y＝e x－x在(0,＋∞)上是增函数.答案 A3.如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞,1)上是减函数,那么()A.a＝－2B.a＝2C.a≤－2D.a≥2解析二次函数的对称轴方程为x＝－a－1 3,由题意知－a－13≥1,即a≤－2.答案 C4.函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________.解析f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),y＝lg u在(0,＋∞)上为增函数,u＝x2在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上递增,故f(x)在(－∞,0)上单调递减.答案(－∞,0)5.(2016·北京卷)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.解析易得f(x)＝xx－1＝1＋1x－1,当x≥2时,x－1>0,易知f(x)在[2,＋∞)是减函数,∴f(x)max＝f(2)＝1＋12－1＝2.答案 2考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为() A.(0,＋∞) B.(－∞,0) C.(2,＋∞) D.(－∞,－2)(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性.(1)解析由x2－4>0,得x>2或x<－2.∴f(x)的定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞).令t＝x2－4,则y＝log12t(t>0).∵t＝x2－4在(－∞,－2)上是减函数,且y＝log12t在(0,＋∞)上是减函数,∴函数f(x)在(－∞,－2)上是增函数,即f(x)单调递增区间为(－∞,－2).答案 D(2)解 法一 设－1<x 1<x 2<1, f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1, f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）,由于－1<x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0,故当a >0时,f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(－1,1)上递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(－1,1)上递增.规律方法 (1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有:①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【训练1】 判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,＋∞)上的单调性,并给出证明. 解 f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上是增函数. 证明如下:法一 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a ).当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1－x 2<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数. a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1－x 2<0,所以f (x 1)－f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,＋∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 法二 f ′(x )＝1－a x 2,令f ′(x )>0,则1－ax 2>0, 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0,则1－ax 2<0,解得－a <x <a . ∵x >0,∴0<x <a .∴f (x )在(0,a ]上为减函数,在[a ,＋∞)上为增函数. 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)(2017·丽水一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝________,函数f (x )的最大值是________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ,x ∈[1,＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时,求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1,＋∞),f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围. (1)解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1,则f (f (3))＝f (－1)＝－3,②当x >1时,f (x )＝log 13x 是减函数,得f (x )<0.当x ≤1时,f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞,1]上单调递增,则f (x )≤1,综上可知,f (x )的最大值为1. 答案 －3 1(2)解 ①当a ＝12时,f (x )＝x ＋12x ＋2,设1≤x 1＜x 2,则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2, ∵1≤x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0,2x 1x 2＞2, ∴0＜12x 1x 2＜12,1－12x 1x 2＞0,∴f (x 2)－f (x 1)＞0,f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[1,＋∞)上为增函数,∴f (x )在区间[1,＋∞)上的最小值为f (1)＝72. ②当x ∈[1,＋∞)时,x 2＋2x ＋ax >0恒成立.则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1,＋∞)上恒成立. 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1,＋∞)上恒成立. 令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1,x ∈[1,＋∞), ∴g (x )在[1,＋∞)上是减函数,g (x )max ＝g (1)＝－3.又a ≤1,∴当－3<a ≤1时,f (x )>0在x ∈[1,＋∞)上恒成立.故实数a 的取值范围是(－3,1]. 规律方法 (1)求函数最值的常用方法:①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (b ),最小值为f (a ).若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数,则f (x )在[a ,b ]上的最大值为f (a ),最小值为f (b ).【训练2】 如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1＋x )＝f (－x ),且当x ≥12时,f (x )＝log 2(3x －1),那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4D.－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x ),可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称.又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增,故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减,则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C考点三 函数单调性的应用(典例迁移)【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集为________. 解析 (1)对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.所以y ＝f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.(2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数,且y ＝f (x )在(0,＋∞)上递增. ∴y ＝f (x )在(－∞,0)上也是增函数, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,∴log 19x >12或－12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3【迁移探究1】 在例题第(1)题中,条件不变,若设m ＝f (－12),n ＝f (a ),t ＝f (2),试比较m ,n ,t 的大小.解 由例题知f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数, 且32≤a <2,又－12<a <2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2),即m <n <t .【迁移探究2】 在例题第(2)题中,若条件改为:“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0,＋∞)上单调递减”,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (log 19x )>0的解集是________.解析 因为f (x )在R 上为偶函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 19x ＞0等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,又f (x )在[0,＋∞)上为减函数,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 19x ＜12,即－12＜log 19x ＜12,解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 (2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2),则a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )在R 上是偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增, ∴f (x )在(0,＋∞)上是减函数, 则f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2), 因此2|a －1|<2＝212, 又y ＝2x 是增函数, ∴|a －1|<12,解得12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32[思想方法]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤: (1)取值 ；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. [易错防范]1.区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.例如,函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数,在(0 ,1)上是减函数,但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数,如函数f (x )＝1x .基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3,＋∞),则a 的值为( ) A.－2B.2C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2,＋∞),令－a2＝3,∴a ＝－6. 答案 C2.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数,且y ＝cos x 在(－1,1)上不具备单调性.∴A ,B ,C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1,1)上是减函数.答案 D3.定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b ＝a 2；当a <b 时,a ⊕b ＝b 2,则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x ),在区间[－2,2]上的最大值等于( ) A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时,f (x )＝x －2, 当1<x ≤2时,f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2,f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称,且在(1,＋∞)上单调递增,设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12,b ＝f (2),c ＝f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称,∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又y ＝f (x )在(1,＋∞)上单调递增,∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c .答案 B5.f (x )是定义在(0,＋∞)上的单调增函数,满足f (xy )＝f (x )＋f (y ),f (3)＝1,当f (x )＋f (x －8)≤2时,x 的取值范围是( ) A.(8,＋∞) B.(8,9] C.[8,9]D.(0,8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9),由f (x )＋f (x －8)≤2,可得f [x (x －8)]≤f (9),因为f (x )是定义在(0,＋∞)上的增函数,所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6.(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1),则函数g (x )的递减区间是________.解析 由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 （x >1），0 （x ＝1），－x 2 （x <1），函数的图象如图所示的实线部分,根据图象,g (x )的减区间是[0,1). 答案 [0,1)7.(2017·石家庄调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减,y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增,所以f (x )在[－1,1]上单调递减,故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38.(2017·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ,a ＋1)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a ＋1)上单调递增,需满足a ≥4或a ＋1≤2,即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞,1]∪[4,＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0,x >0). (1)求证:f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0,则x 2－x 1>0,x 1x 2>0,∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0,∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(0,＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12,f (2)＝2,易知a ＝25.10.已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当a ＝1时,求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f (x )取得最值时x 的值. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝2x －1x ,任取1≥x 1＞x 2＞0, 则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0,∴x 1－x 2＞0,x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2),∴f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x ＝1时取得最大值1,所以f (x )的值域为(－∞,1].(2)当a ≥0时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值, 当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时,f (x )＝2x ＋－ax , －a2≥1,即a ∈(－∞,－2]时,y ＝f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x ＝1时取得最小值2－a ； －a 2＜1,即a ∈(－2,0)时,y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增,无最大值,当x ＝－a2时取得最小值2－2a .能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2017·郑州质检)若函数f (x )＝a x (a >0,a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0,＋∞)上是增函数,则a ＝( )A.4B.2C.12D.14解析 当a >1,则y ＝a x 为增函数,有a 2＝4,a －1＝m ,此时a ＝2,m ＝12, 此时g (x )＝－x 在[0,＋∞)上为减函数,不合题意. 当0<a <1,则y ＝a x 为减函数, 有a －1＝4,a 2＝m ,此时a ＝14,m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0,＋∞)上是增函数.故a ＝14. 答案 D12.(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )＝e x －1,g (x )＝－x 2＋4x －3,若存在f (a )＝g (b ),则实数b 的取值范围为( ) A.[0,3]B.(1,3)C.[2－2,2＋2]D.(2－2,2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1,g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1, 若f (a )＝g (b ),则g (b )∈(－1,1], 即－b 2＋4b －3>－1,即b 2－4b ＋2<0, 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2,2＋2). 答案 D13.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3,g (x )＝log 2x ,则函数h (x )＝min{f (x ),g (x )}的最大值是________. 解析 依题意,h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时,h (x )＝log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )＝3－x 是减函数, ∴h (x )在x ＝2时,取得最大值h (2)＝1. 答案 114.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2),其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围. 解 (1)由x ＋ax －2＞0,得x 2－2x ＋a x＞0,当a ＞1时,x 2－2x ＋a ＞0恒成立,定义域为(0,＋∞), 当a ＝1时,定义域为{x |x ＞0且x ≠1},当0＜a ＜1时,定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋ax －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时, ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0. 因此g (x )在[2,＋∞)上是增函数, ∴f (x )在[2,＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞),恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2,x ∈[2,＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2,＋∞)上是减函数,∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时,恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2,＋∞).第3讲 函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.(1)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称函数y＝f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝x2在x∈(0,＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y＝x2在(0,＋∞)上不是偶函数,(1)错.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0,(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是()A.y＝xB.y＝e xC.y＝cos xD.y＝e x－e－x解析A,B中显然为非奇非偶函数；C中y＝cos x为偶函数.D中函数定义域为R,又f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x),∴y＝e x－e－x为奇函数.答案 D3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数,那么a＋b的值是()A.－13 B.13 C.12 D.－12解析依题意b＝0,且2a＝－(a－1),∴a＝13,则a＋b＝13.答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12, 又∵当－1≤x <0时,f (x )＝－4x 2＋2, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称,f (3)＝3,则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数,∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称, ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3,解得x ＝±3,即函数f (x )的定义域为{－3,3}, 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x ), ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x－2<0,∴|x－2|－2＝－x,∴f(x)＝lg（1－x2）－x.又∵f(－x)＝lg[1－（－x）2]x＝－lg（1－x2）x＝－f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.∵当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时,－x<0,则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝－f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)(2017·佛山质检)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)对于A,定义域为R,f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x),为奇函数；对于B,定义域为R,f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x),为偶函数；对于C,定义域为R,f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x),为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数,故选D.(2)依题意得对任意x∈R,都有f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),因此,f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1,则f(1)＋g(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数,则a＝________.解析(1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f(x)为偶函数,则ln(x＋a＋x2)为奇函数,所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0,则ln(a＋x2－x2)＝0,∴a＝1.答案(1)C(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(－∞,－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－4x,则f(x)＝________.解析(1)易知f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x,由f(－x)＝－f(x),得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a,即1－a2x＝－2x＋a,化简得a(1＋2x)＝1＋2x,所以a＝1,f(x)＝2x＋12x－1,由f(x)>3,得0<x<1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (0)＝0. 又当x <0时,－x >0,∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数,∴f (－x )＝－f (x ), 则f (x )＝－x 2－4x (x <0),∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.考点三 函数的周期性及其应用【例3】 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )＝4x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数, ∴f (0)＝0,又f (x )在R 上的周期为2, ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.答案 －2规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数,且a ≠0),则2a 为函数f (x )的一个周期. 【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x ＋2)＝－1f （x ）,当2≤x ≤3时,f (x )＝x ,则f (105.5)＝______.解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x ).故函数的周期为4.。
大学数学(高数微积分)专题一第2函数基本初等函数的图像性质(课堂讲义)
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主干知识梳理
5．与周期函数有关的结论 (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一 个周期是T＝|a－b|.
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(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期 是T＝2a. 1 1 (3)若f(x＋a)＝ 或f(x＋a)＝－ ，则f(x)是周期函数， fx fx 其中一个周期是T＝2a. 提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x a＋b ＝ 对称. 2
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解析
(1)f(log23)＝f(log23＋3)
log2 24 2 ＝f(log224)＝ ＝24.
(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
本 2 讲 ＝log2 3x＋6log3x＋6＝(log3x＋3) －3， 栏 目 2 因为 1 ≤ x ≤ 9 ，且 1 ≤ x ≤9，所以1≤x≤3， 开 关
3 1 1 － ＝f ＝－ . 4 2 2
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函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性
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以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换 函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据 函数的性质解决问题．
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(1)(2013· 天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函 数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋
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(1)函数 y＝xln(－x)与 y＝xln x 的图象关于 ( A．直线 y＝x 对称 B．x 轴对称 ( C．y 轴对称 D．原点对称 log2|x| (2)函数 y＝ x 的大致图象是
基本初等函数知识点归纳
函数及其基本初等函数〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 （1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．（所以进行已知对应关系()f x 的函数，一定先求出函数的定义域）③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．而且无论闭区间或者开区间，,a b 均称为端点。
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．例1 已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A 00,()0x R f x ∃∈=B 函数()y f x =的图像是中心对称图形C 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间（-∞，0x ）上单调递减D 若0x 是()f x 的极值点，则'()0f x =例2 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，(2)f =0，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是（ ）例 3 设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[(()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A （-∞，-6）∪（6，+∞）B （-∞，-4）∪（4，+∞）C （-∞，-2）∪（2，+∞）D （-∞，-1）∪（1，+∞） 例4 下列函数与y=x 有相同图像的一个函数是（ ）A y =B 2x y x=C log (01)xy aa a =>≠且 D log xa a y =【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数（判定方法2）． （3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =． 【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O1y =〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域（即原函数的值域）．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1<k f 0)(2<k f a b x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合x y1x 2x 0>a O ••1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O•<a 1k •2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =f(p) f (q) ()2b f a-f (p)f(q)()2bf a-f (p)f (q)()2b f a-f(p) f (q)()2b f a-0x f(p) f(q)()2b f a-0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用〖3.1〗方程的根与函数的零点 一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
基本初等函数讲义超级全
一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2x a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b fx a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． 过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ） A、12C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M ∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.4416a 8a 4a 2a五、对数函数的运算例18.已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13B C D 例21.2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数)()lg f x x =是（奇、偶）函数。
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。
二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
基本初等函数讲义(完整版)
一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（1）根式的概念：如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ） A ．m ＜－1或m ＞2 B ．m ＜0或m ＞－1 C ．－1＜m ＜0 D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ） A、12CD 、—12例12.44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a例13.若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域： （1）442x y -=（2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.例18.已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13B C D 例21.2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x =D 、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数)()lg f x x =是（奇、偶）函数。
新高考数学复习考点知识专题讲义 2---基本初等函数、函数与方程
新高考数学复习考点知识专题讲义第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案B解析由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e.规律方法(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－e x－1的大致图象可能是()答案A解析当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln2－e－1，由于ln2>ln e＝12，e－1<12，所以f(0)＝ln2－e－1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－1 2的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1， 即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1函数零点的判断例2(1)(2022·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于()A．2B．2或2＋1 eC．2或3D．2或3或2＋1 e答案D解析当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)e x，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x≤0时，f′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1<m<2或m＝0或m＝－1e.若1<m<2，则x1＋x2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2求参数的值或取值范围例3(1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案[－3,0)解析设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)， 由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解， 又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________． 答案[－3，－1)∪[3，＋∞)解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x轴有两个交点．若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为()A ．1B ．3C ．2D ．4 答案B解析作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为() A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案CD解析当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8.专题强化练一、单项选择题1．(2022·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a 等于() A.116B.19C.18D.16 答案B解析方法一因为a log 34＝2， 所以log 34a ＝2， 所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19. 方法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(0,2)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2022·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案B解析4a ＝6>4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2022·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)() A ．60B ．63C ．66D ．69 答案C 解析因为I (t )＝K1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1，∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2022·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是() A ．1<a <2B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1D ．a ≥2 答案A解析令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2022·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于() A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案C解析g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象， －2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0， 设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12， 故g (x )在x <0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0， 解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是() A ．(1,2) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案D解析作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0， 解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0， 解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32. 二、多项选择题9．(2022·临沂模拟)若10a ＝4,10b ＝25，则() A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22D ．b －a >lg6 答案ACD解析由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b－a＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg254<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正确．10．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，则()A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析∵f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a(x＋1)＋log a(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A对；由f(－x)＋g(－x)＝log a(－x＋1)＋log a(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a(1－x2)，∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a(1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝log a(x ＋1)－log a(1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．11．(2022·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是() A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点 答案AB解析对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，则下列结论正确的是()A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132 答案ACD解析f (x )＝⎩⎨⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确． 三、填空题13．(2022·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案－3解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx ，x >0的最小值为________． 答案2 2解析因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a <b ， 则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a <1)，所以g (x )＝⎩⎨⎧(x ＋2)2＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x >0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2； 当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax ≥2ax ·2ax ＝22，当且仅当x ＝2a 时，等号成立， 综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案[3,4]解析由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1， 因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.21 / 21 方法一因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
基本初等函数讲义(超级全)
一、一次函数之阳早格格创做二、二次函数（1）二次函数剖析式的三种形式 ①普遍式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶面式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③二根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）供二次函数剖析式的要领 ①已知三个面坐标时，宜用普遍式．②已知扔物线的顶面坐标或者与对付称轴有关或者与最大（小）值有关时，常使用顶面式．③若已知扔物线与x 轴有二个接面，且横线坐标已知时，采用二根式供()f x 更便当．（3）二次函数图象的本量①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条扔物线，对付称轴圆程为,2bx a =-顶面坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时，扔物线启心进与，函数正在(,]2ba-∞-上递减，正在[,)2b a-+∞上递加，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，扔物线启心背下，函数正在(,]2b a -∞-上递加，正在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．三、幂函数（1）幂函数的定义普遍天，函数y x α=喊干幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象过定面：所有的幂函数正在(0,)+∞皆有定义，而且图象皆通过面(1,1)． 四、指数函数（1）根式的观念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 喊干a 的n 次圆根．（2）分数指数幂的观念①正数的正分数指数幂的意思是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的背分数指数幂的意思是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的背分数指数幂不意思．（3）运算本量①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r=>>∈ab a b a b r R （4）指数函数五、对付数函数（1）对付数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 喊干以a 为底N 的对付数，记做log a x N =，其中a 喊干底数，N喊干真数．②背数战整不对付数． ③对付数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个要害的对付数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）时常使用对付数与自然对付数时常使用对付数：lg N ，即10log N ；自然对付数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对付数的运算本量 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log aNa N =⑤log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且（5）对付数函数(6)反函数的观念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对付于y 正在C 中的所有一个值，通过式子()x y ϕ=，x 正在A 中皆有唯一决定的值战它对付应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=喊干函数()y f x =的反函数，记做1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的供法①决定反函数的定义域，即本函数的值域；②从本函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并证明反函数的定义域． （8）反函数的本量 ①本函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于曲线y x =对付称． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 正在本函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 正在反函数1()y f x -=的图象上．④普遍天，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、供二次函数的剖析式244y x x =--的顶面坐标是（）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）例2．已知扔物线的顶面为（-1，-2），且通过（1，10），则那条扔物线的表白式为（）A ．()2312y x =-- B ．()2312y x =-+C.()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.扔物线y=222xmx m -++的顶面正在第三象限，试决定m的与值范畴是（）A ．m ＜－1或者m ＞2B ．m ＜0或者m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1()f x 共时谦脚条件：（1）()()11f x f x +=-；（2）()f x 的最大值为15；（3）()0f x =的二根坐圆战等于17供()f x 的剖析式 二、二次函数正在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，供函数223y x x =--的最大值战最小值． 例6．当0x ≥时，供函数(2)y x x =--的与值范畴．例7．当1t x t ≤≤+时，供函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数(),0-∞上为减函数的是（）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -={}0x x >的是（）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=例10.计划函数y ＝52x 的定义域、值域、奇奇性、单调性，并绘出图象的示企图． 例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）供函数的定义域、值域； （2）推断函数的奇奇性； （3）供函数的单调区间． 四、指数函数的运算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的截止是（）A、12C 、— D 、—12例12.44等于（）A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a53,83==ba，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的本量例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.供下列函数的定义域与值域：（1）442x y -=（2）||2()3x y =()2301x y a a a -=+>≠且的图像必通过面 ()A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4) 例17供函数y=2121x x -+的定义域战值域，并计划函数的单调性、奇奇性.五、对付数函数的运算32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、23a a - 例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM 的值为（）A 、41B 、4 C 、1 D 、4或者1732log [log (log )]0x =，那么12x-等于（）A 、13B C D 例21.2log 13a <，则a 的与值范畴是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对付数函数的本量例22.下列函数中，正在()0,2上为删函数的是（）A 、12log (1)y x =+B 、2log y =C 、21log y x=D 、2log (45)y x x =-+2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（）A 、x 轴对付称B 、y 轴对付称C 、本面对付称D 、曲线y x =对付称)()lgf x x=是（奇、奇）函数.课下做业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象大概是图所示的( )2.对付扔物线y=22(2)x -－3与y=－22(2)x -＋4的道法不精确的是（）A ．扔物线的形状相共B ．扔物线的顶面相共C ．扔物线对付称轴相共D ．扔物线的启心目标差异3. 二次函数y=221xx --+图像的顶面正在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示，谦脚a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（）5．如果扔物线y=26x x c ++的顶面正在x 轴上，那么c 的值为（）A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 正在共一坐标系中的图象大概是( )7.正在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(ab )x 的图象大概是 （）8．若函数f(x)＝(a －1)x2＋(a2－1)x ＋1是奇函数，则正在区间[0，＋∞)上f(x)是( )A ．减函数B ．删函数C ．常函数D ．大概是减函数，也大概是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3正在关区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的与值范畴是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2]10、使x2＞x3创造的x 的与值范畴是（ ）A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝ax ，y＝bx ，y ＝c x ，y ＝d x 正在共一坐标系中的图象如左图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=正在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不克不迭决定 13．若面(),A a b 正在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列论断中不克不迭创造的是A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数f(x)＝log 12(x2－6x ＋5)正在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的与值范畴是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)15、设集中2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（） A 、∅ B 、T C 、S D 、有限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、正在(2)log (5)a b a -=-中，真数a 的与值范畴是（）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、估计lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、320、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a --21、已知幂函数f(x)过面（2，），则f(4)的值为（）A 、12B 、 1C 、2D 、81.扔物线y ＝8x2－(m －1)x ＋m －7的顶面正在x 轴上，则m ＝________.23-=xy 的定义域为___________.()()12m f x m x +=-，如果()f x 是正比率函数，则m=____ ,如果()f x 是反比率函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．14(1)x --蓄意思，则x ∈___________．35x y <=___________．25525x x y ⋅=，则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===. 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是. 9、2lg 25lg 2lg50(lg 2)++=.1622<-+x x的解集是__________________________.282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________.103,104x y ==，则10x y -=__________________________.13、已知函数3xlog x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定面2、已知幂函数f （x ）＝23221++-p p x（p ∈Z ）正在（0，＋∞）上是删函数，且正在其定义域内是奇函数，供p 的值，并写出相映的函数f （x ）、222(3)lg 6x f x x -=-，(1)供()f x 的定义域；(2)推断()f x 的奇奇性.a R ∈，22()()21xx a a f x x R ⋅+-=∈+，试决定a 的值，使()f x 为奇函数.5. 已知函数x 121f (x)log[()1]2=-，（1）供f(x)的定义域；（2）计划函数f(x)的删减性.。
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一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质图像定义域 (),-∞+∞对称轴 2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象2b x a =-2b x a =-过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1. 抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D. ()2312y x =-+---例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．222x mx m -++例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -=例10. 讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11. 计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ）AB 、12 CD 、—12例12.等于（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 例13. 若53,83==ba ，则b a 233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域：4416a 8a 4a 2a（1）442x y -= （2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、 C D例21.2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x = D、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（ ）A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称 例23.函数)()lg f x x =是 （奇、偶）函数。
课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ）A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反3. 二次函数y=图像的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=的图像是（ ） 22(2)x -22(2)x -221x x --+2ax bx +C5．如果抛物线y=的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(a b)x 的图象可能是 （ ）8．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2] 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是 （ ）A 、x ＜1且x≠0 B 、0＜x ＜126x x c ++C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝cx ，y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则ST 是 （ ）A 、∅B 、TC 、SD 、有限集 16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a的取值范围是（ ）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a << 19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于（ ）A 、0B 、1C 、2D 、320、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a表示是（ ）A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、 231a a --21、已知幂函数f(x)过点（2，），则f(4)的值为（ ）A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.2.函数23-=x y 的定义域为___________.3.设()()12m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m=____ ,如果()f x 是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．4.若14(1)x --有意义，则x ∈___________．5.当35x y <=___________．6.若25525x x y⋅=，则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。