测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)

从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规 律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律 性，并且误差个数越多，规律性越明显。 例如某一测区在相同观测条件下观测了368个三角形的全 部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不 一定等于真值180°(表6-1)
§6.1 观测误差来源及其分类
误差区间 dΔ 0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″ >24″ ∑
规律：小误差比大误差出现的频率高； 绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近； 最大误差不超过24″。
§6.1 观测误差来源及其分类
6.1.3
观测误差的分类及其处理方法
统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝 对值不超过一定的限值。(有界性) 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误 差出现的频率小。(大小性) 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(对 称性) 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 0，即(抵偿性)
|m| 1 K D D |m|
§6.2 观测量的估计及精度评定
6.2.3
极限 误 差和容许误差
⑴极限误差 由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差 的绝对值不会超过一定的限值。这就是极限误差。 ⑵容许误差 测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差 的大小进行数量限制的。 在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为偶然误 差的容许值，称为容许误差，即 Δ容≈2m 或 Δ容≈3m 如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该 观测值不可靠，应舍去不用，并重测。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。
测量所获得的数值称为观测值。 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 或 观测误差。 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δ i=Li-X (6-1) 式中Δ i就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类
6.1.2
观测误差的来源
观测误差来源于三个方面（观测条件）： ①观测者视觉鉴别能力和技术水平； ②仪器、工具的精密程度； ③观测时外界条件的好坏。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不 相同的各次观测，称为非等精度观测。 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚 至趋近于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度 的误差。
§6.1 观测误差来源及其分类
6.1.3
观测误差的分类及其处理方法
2、偶然误差——在一定的观测条件下，对某量进行一系列 观测时，符号和大小均不一定。 产生原因：不固定的和难以控制的。如观测者的估读误差、 照准误差等；不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然 误差。 偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了 一定的系统误差的观测值中占主导地位。
§6.1 观测误差来源及其分类
6.1.3
观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差
1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。
尽量设法消除和减小系统误差，方法有： ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
6.1.3
观测误差的分类及其处理方法
负误差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 k/n 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505 正误差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 k/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 个数 k 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358 合计 频率 k/n 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 1.00
m
m
2、真值未知
[] n [vv] n 1
v = l - L
§6.2 观测量的估计及精度评定
6.2.2
相对误差
中误差和真误差都是绝对误差。 在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达 精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和200m的两段距 离，中误差皆为±0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相 同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。 相对误差K是中误差m的绝对值与观测值D的比值：
lim
n
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1 2 n n
lim

n
n
0
本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 即∑Δi=[Δ]
§6.1 观测误差来源及其分类
6.1.3
观测误差的分类及其处理方法
图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表的数据， 以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如 图所示。——频率直方图。
可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ， 图中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分 布曲线。
§6.2 观测量的估计及精度评定
在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对 应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值， 都具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可 以用前一节方法，绘出频率直方图或误差分布表加以分析 来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的 关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密 集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精度 的指标。
§6.2 观测量的估计及精度评定
6.2.1
中 误 差
真误差：观测值与真值之差： Δ i=Li-X [ ] i
[ Li ] X
n n
n
L X
lim L X
在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定 义中误差m作为衡量精度的一种标准：
1、真值已知