2014-2015微积分上复习题
微积分上复习题
（６） x ln(x 2 +1) − 2x + 2 arctan x + C; （７） [cos(lnx) + sin(ln x)] + C; （８） x(arcsin x)2 + 2 1 − x2 arcsin x − 2x + C;
x 2
2 −2 x x x 1 1 1 e (cos + 4 sin ) + C ; （１０） e x ( − sin 2 x − cos 2 x ) + C. 17 2 2 2 5 10 ５．计算下列各题：
（９） − （１） xf ' ( x ) − f ( x ) + C ; （２） x ln x + C. ６．利用函数的奇偶性计算下列定积分： （１） ７．计算下列定积分：
３ １２／５／２００６
π3 ; ； （２）０．． 324
1 1 3 π 1 π （１） ; （２） ; （３） １； （４） ; （５） 2 − ; （６） 2 ln 2 − 1; （７） ; （８） 1 − 2 ln 2; （９） ; 4 2 2 6 2 4
x 2
arcsin x 1+ x
dx ； （５） ∫
ln x d x ； x2
１ １２／５／２００６
（１） ∫ 2 1
− 2
1
(arcsin x ) 2 1− x2
dx ； （２） ∫
3 −3
x 3 sin 2 x x 4 + 2 x 2 +1
dx ．
７．计算下列定积分： （１） ∫ 2 sin x cos3 xdx ； （２） ∫
２．求下列不定积分： （１） − （５） −
微积分复习题集带参考答案(5)
微积分习题集带参考答案2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。
解 此时S 是l 的函数 πππ4222l l S =⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。
当1=S 时π2=l ，此时ππ12==l dl dS 。
5(2). 设ax y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。
解 设ax x f ||)(=。
当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。
只讨论0>α。
考虑左导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞===---+→1,0111,0)0()(lim10ααααa x x xxx f x f ， 考虑右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1,0111,)()(0)0()(lim10ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。
求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。
解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-→)0(0)(lim 0，则0=a 。
这样在1=x 处)(x f 也连续。
此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+xxx f x f f x x ，。
1111)1()(lim)1(1=--=--='-→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1)1sin(lim 1)1()(lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。
此时1)1('=f 。
解法2 同理可得0=a 。
微积分(上)复习题
微积分（上）复习题浙江工业大学成人教育学院二O O四年八月微积分（上）复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A.f(x)=1x 1x 2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是（ ）Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值 8.当x →0时，下列无穷小量与x 为等价无穷小的是（ ）A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x1D.x 1x 1--+9.下列极限正确的是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→x x x ；D.12sin lim 0=→xx x ； 10.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim （ ） A.e 2B.21eC.e -2D.21e-11.nn 211(lim +∞→）＝（ ） Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 12.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 13.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 14.=→2xtan3xlim 0x （ ）A.∞B.23C.0D.115.=-+-→xx x x x 32112lim （ ） A.21B. 0C. 1D. ∞16.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C. 12D. 217.x mxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 18. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。
2015微积分考试题及答案复习题及答案试题库
kx x
1
， C是常数 k C C, , , , , t an x C c oC x t C, C, , , 1 ,
1 ln x
arcx tan C ar cx si n C x si n C c xo C s s e xdx c c sxdx c sec x csc x C, C,
2 2
1 x
2
第 1 页 共 30 页
3 .................... ...................... 3 4 8 .... 8 9 10 13 13
（二）无界函数的反常积分
. ............................
15 16 16 17 18 18 18 20 20 21 22 22 22 23 23
如果 定积分 ,记作
f x dx
（ 2 ） 不 定积分得基本性质 1．
F x
C,
d dx
3。
f x dx Af x
f
x 2。 F dx
'
x dx
F x
C
Bg x
A f x dx
B g x dx.
（ 3）基本不定积分公式表一
第 3 页 共 30 页
(1)k d x （2 ) x d x （3） (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 x dx dx 1 x dx
co xdx s s ixdx n dx c o sx dx s t
(11) csc x cot xdx (12) a dx (13) shxdx (14) chxdx (15) (16) 1 ch x 1 sh x
2 2 x
a
x
ln a chx
微积分(本)上复习题及答案(2)
微积分上册本科复习题二一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。
共9小题，每小题2分，共18分）1. 函数()f x =ln(2)x +- 的定义域是(2,3)2. 设31()21x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则 1lim ()x f x -→=3； 1lim ()x f x +→=2-3. 函数1sinxy e =是由简单函数1,sin ,u y e u v v x===复合而成的.4. 01lim sin2x x x→=05. 1lim(1)x x x→∞-=1e -6. 已知323y x x =+，则y 的凸区间（下凹区间）是(,1)-∞-；拐点是(1,2)-7. 曲线 sin y x =上点(,0)π处的切线方程是x y π+=8. 设 y ，则 dy =dx9. 曲线2x y e -=的水平渐近线是0y =二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。
共9小题，每小题2分，共18分） x 等价的是（ B ）（A ） 22x x + ( B ) sin x ( C ) sin x x + ( D ) 3x 2. limx →∞sin xx=（ D ） （A ） 1 ( B ) 不存在 ( C ) ∞ ( D ) 0 3. 0sin 3limx xx→ =（ D ）（A ） 13( B ) 1 ( C ) 0 ( D ) 3 4. 曲线 31y x =+ 的铅垂渐近线为（ C ） （A ） 0y = ( B ) 1y = ( C ) 1x =- ( D ) 0x =5. 设2()x f x e -=，若()0f ξ'=，则ξ=（ A ）（A ）0 ( B ) 2- ( C ) 1 ( D ) 26. 设11()11x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则函数()f x 在点1x =处（ C ） （A ）极限不存在 ( B ) 连续 ( C ) 间断 ( D ) 可导7. 函数32101y x x =++的3阶导数y '''=（ A ）（A ） 6 ( B ) 6x ( C ) 3x ( D ) 23x 8. 若0()0f x '=，0()0f x ''<，则0()f x 是函数()f x 的（ B ）（A ）极小值 ( B ) 极大值 ( C ) 最小值 ( D ) 最大值9. 已知某商品生产Q 个单位产品的成本函数是2()34Q C Q =+，则生产10个单位产品时的边际成本是（ A ）（A ） 5 ( B ) 28 ( C ) 2.8 ( D ) 3三、计算题（共7小题，每小题6分，共42分）1.求极限 4216lim 2x x x →--解：4216lim 2x x x →--42(16)lim(2)x x x →'-='-324lim 1x x →=……………………… 4分 34232=⨯= ……………………… 6分2.求极限 111lim()ln 1x x x →-- 解：111lim()ln 1x x x →--11ln lim (1)ln x x x x x→--=- ……………………… 1分111lim1ln 1x xx x→-=+-……………………… 3分2121lim11x x x x →=+ ……………………… 5分12=……………………… 6分3.求极限 21lim(1)n n n →∞-解：21lim(1)n n n →∞-11lim(1)(1)n n n n n→∞=-+ ……………………… 2分 11lim(1)lim(1)n n n n n n→∞→∞=-⋅+ ……………………… 4分 11e e -=⨯= ……………………… 6分4. 已知3ln 2tan x y x x arc x =+-+, 求导数dy dx. 解：3()(ln )(2)(tan )x y x x arc x '''''=+-+……………………… ２分221132ln 21x x x x =+-++ ……………………… 6分注：每个函数的导数求错扣1分，全错给0分．5. 已知2(sin3cos3)y x x x =+, 求一阶导数y '和二阶导数y ''.解：22()(sin3cos3)(sin3cos3)y x x x x x x '''=+++ ……………………… ２分22(sin3cos3)3(cos3sin3)x x x x x x =++- ………………… 3分22(2)(sin3cos3)2(sin3cos3)(3)(cos3sin3)3(cos3sin3)y x x x x x x x x x x x x ''''=+++''+-+- ………………… 4分2(sin3cos3)(29)12(cos3sin3)x x x x x x =+-+- ………………… 6分6.已知y =, 求导数dy dx.解：y ''= ……………………… 1分21x x x''=+ ……………………… 3分=3221(1)x =+ ……………………… 6分7．已知由 ln ln 0x x y y -+-= 确定y 是x 的可导函数，求导数dydx和微分dy . 解：方程 ln ln 0x x y y -+-= 两边对x 求导数，得1110y y x y''-+-= ………………………………… 2分由上式得 (1)(1)y x y x y -'=- …………………………………………… 4分于是 (1)(1)y x dy dx x y -=- ………………………………………… 6分四、解答题（8分）求函数9()f x x x=+的单调区间和极值. 解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞．2222999(3)(3)()()1x x x f x x x x x x -+-''=+=-==由()0f x '=，解得 3x =-，3x =． …………………………… 3分 列表判别如下：………………………………………………………… 7分所以区间(,3)-∞-、(3,)+∞是()f x 的单调增区间，区间(3,0)-、(0,3)是()f x 的单调减区间．在3x =处有极小值(3)6f =；在3x =-处有极大值(3)6f -=-。
2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案
北京师范大学珠海分校2014-2015学年第一学期期末考试试卷A (参考答案)开课单位：_应用数学学院—课程名称:_微积分(上)(3学分)_ 任课教师： ________ 考试类型：—闭卷—考试时间：_12「分钟学院 _________ 姓名 _____________ 学号 _______________ 班级 _________题号-一--二二三四五总分得分阅卷人、填空题：(共5小题，每空3分，共30分) (1) 函数y=arctanx 的定义域是 (,),其微分dy=1 x 2(2) 函数f(x)在点X o 处连续，必须同时满足的条件是：1、f(x)在点X o 有定义,试卷装订线(5)已知f若 f(u) (共5小题，每题3 分, ) 、单选题： (1)下列正确的是(B A lim1 B limxx ， xxsi n 1 1xC lim xsin 1X 0x 1 , D lim xxsin 」0。
x(2) f(x)在x o 点可微与 f (x)在x o 点可导是(C)的A 相等 ，B 相关，C 等价 无关。
⑷ 若函数f(x)在[a,b]_上连续 _、在(a,b )_内可导 则至少有一点(a ,b )使得：f(b) f(a) f'( )(b a)2(u )可导；y=x f(lnx),的一个原函数是e u ,则共 15 分)解：y x arccosx+x(arccosx) =arccosxx1 x22'y'1 1X0 (、1 X2[1 1 X2]) X 0i_________ 2(2)已知y x、，a2x2—2 2 a2 21二 2 x a 1解：Q y 、a x 一2 c2 2 a2 x22 21 —2 x a一' a x21 . ~~2 22「L 2、十"X(3) 若f(X。
)0，f (x。
)0 ,贝U下列结论正确的是(AX0是f (X)的极大值点(X o, f (X o))是f(X)的拐点,C X0是f (x)的间断点X0是f (X)的极小值点。
2015微积分考试题及答案复习题及答案试题库（带答案）
微积分基础知识复习资料目录一、不定积分 (3)（一）不定积分概念，第一换元积分法 (3)（二）第二换元积分法，分部积分法 (4)二、定积分 (8)（一）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 (8)（二）定积分的几何定义 (9)（三）定积分的基本性质 (10)三、反常积分 (13)（一）无穷限的反常积分 (13)（二）无界函数的反常积分............................. 15 四、微分方程 ...........................................16 （一）微分方程的基本概念............................. 16 （二）可分离变量的微分方程...........................17 四、齐次方程 ...........................................18 （一）齐次方程 ...................................... 18 （二）可化为齐次的方程............................... 18 五、一阶线性微分方程 ...................................20 （一）线性方程 ...................................... 20 （二）伯努利方程 .................................... 21 六、可降阶的高阶微分方程................................22 （一）()()n y f x 型的微分方程...........................22 （二）(,)y f x y 型的微分方程..........................22 （三）(,)yf y y 型的微分方程..........................23 七、题型分析 ...........................................23一、不定积分（一）不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数F x与f x在区间,a b内有定义，对任意的,x a b，有'F x f x或dF x f x dx，就称F x是f x在,a b内的一个原函数。
微积分(全册)期末复习题
《微积分》（全册）期末复习题 黄士叶 老师一、填空题1、复合函数x y 5sin 4=可分解为______________________;2、若y=f （x ）的定义域是[0，1]，则)(2x f 的定义域是__________;3、=-→)13(lim 1x x ___ 4、=++→21lim1x x x ____ 5、=+∞→22342limxx x ____6、=-+-→265lim22x x x x _______;7、=++-∞→3223lim232x x x x ___8、=→x x x 5sin lim_ 9.=→xx x ωsin lim_____10、=-→xxx x sin tan lim______;11、=→xx x tan lim_____12．xx xx 21lim ）（+∞→=____ 13．x x x 1)1lim -→（ = ___ 14、xx x)81lim -∞→（ = __；15、43)31lim +∞→+x x x（ = ______； 16xx x2)21lim +∞→（ = ______；17、函数2)2(1+=x y 的间断点是______；是第______类间断点；18、函数2212)(2>≤⎩⎨⎧-=x x x x x f ，当2→x 时的左极限是______；右极限是______；在2=x 处______；（填是否连续） 19、函数3313)(≥<⎩⎨⎧-=x x x xx f ，当3→x 时的左极限是______；右极限是______；极限是______；在3=x 处______；（填是否连续） 20、函数2)1(1-=x y 当______时，是无穷大量；当______时，是无穷小量；21、函数11)2(1++-=x x y 的间断点是______和______；22、函数)(x f y =在点x 处的导数)(x f '表示曲线)(x f y =在点（x ，y ）处的______和______； 23、曲线x y ln =在点M （e ，1）处的切线方程是____________ ；24、若函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点0x 处必______，且=→)(lim 0x f x x ______；25、函数112)(3++=x x x f 在定义域内是单调______的； 26、函数6)1()(-=x x f 的凹区间为________ ；27、已知函数)(x f y =在点0x 处可导，且)(0x f 是极小值，则=')(0x f ___ ； 28、若点（1，4）是曲线23bx ax y +=的拐点，则a =_____，=b ___ ；29、已知函数F （x ）和G （x ）都是函数f （x ）的原函数，且G （x ）=2x e ，F （0）=0，则F（x ）=________ ；30、已知不定积分⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰=dx x F x f )()(________ ；31、根据定积分的几何意义可知：⎰=-1021dx x ____；32、已知0)2(1⎰=+dx b x ，则b=________ ； 33、已知连续函数)(x f 是奇函数，且1)(10-=⎰dx x f ，则⎰-=01)(dx x f ________ ；34、曲线y=x 3在点A(2,8)处的切线斜率为_________； 二、选择题1、=→x x e 1lim （ ）A 0； B －∞； C +∞； D 不存在。
高等数学微积分上复习题及答案
8. 函数( C )的需求价格弹性 EQ 与价格无关. EQ = Q ' P
Ep
Ep Q
(A) Q= a − bp
(B) Q =a − bp − cp2
(C) Q = Apa
9.下列不等式中,( B )成立.
∫ ∫ (A)
e ln2 xdx >
e
ln xdx
1
1
∫ ∫ (C) +∞ x3dx > +∞ x2dx
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=
x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f
(x)
=
x
x < 0 ，则 g [ f (x)] = ( B ).
x≥0
1+ x2 x < 0 (A)
1− x x ≥ 0
1+ x2 x < 0 (B)
1+ x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (C)
（B）连续但不可导 （D）可导且导数连续
13、由方程 e y + xy − e = 0 所确定的隐函数的微分 dy = ( C )。
（A） − x dx y + ex
（B） y dx x + ey
（C） −
x
y + ey
dx
（D）
1− y x + ey
dx
14、设函数 f (x) 二阶可导且处处满足方程 f ′′(x) + 3( f ′(x))2 + 2e x f (x) = 0 ，若
微积分上2014秋季期中测验 - 答案
2014－2015学年度第1学期《微积分（上）》期中测验试卷答案系别 班级 学号 姓名一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1. 极限 01lim sin x x x→= ( A )A. 0B.-1C.1D.不存在2.设函数()f x x =，则下列结论正确的是 （ D ） A.在0=x 处，()x f 不连续 B. ()x f 是奇函数C.在0=x 处，()x f 连续可导D.在0=x 处，()x f 连续但不可导 3. “()f x 在0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有极限的（ D ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 4.设函数()x x x f -=331，则1=x 是()x f 在[]2,2-上的 （ D ） A.极大值点，但不是最大值点 B.极大值点，也是最大值点 C.极小值点，但不是最小值点 D.极小值点，也是最小值点 5. 1=x 是函数2cos )(2-+=x x xx f 的（ C ） A. 第一类间断点且为可去间断点 B.第一类间断点且为可跳跃断点 C. 第二类无穷间断点 D.第二类非无穷间断点6.设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线 （ C ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上7.不定积分cos xdx =⎰（ A ） A.sin x C + B.sin x C -+ C.cos x C + D.cos x C -+8. 函数133()2f x x x =-在下列区间上不满足拉格朗日定理条件的是（ B ）A ：[0,1]B ：[-1,1]C ：27[0,]8D ：[-1,0] 9．函数()x x f x e e -=+ 在区间（-1，1）内 （ D ）A ：单调增加；B ：单调减少；C ：不增不减；D ：有增有减。
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
微积分（上）习题200题及答案
填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。
《微积分》(上)试题及其答案集锦
往年《微积分》（上）试题集锦学号：___________ 姓名：___________班级：___________ 成绩：___________一、 选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1． 下列极限正确的是 _________。
（A ）1lim 20x x +→= （B ）1lim 20x x -→=（C ）1lim (1)xx e x→∞-=- （D ） 01lim (1)1xx x+→+=2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，()f x 在 x a =点_________。
（A ） 不连续 （B ） 连续 （C ）可导 （D ） 不可导３． 设f （x ）有二阶连续导数，且20()(0)0,lim 1,_______x f x f x→'''==则。
()0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定４．下列函数中满足罗尔定理条件的是 。
()ln(2)[0,1]A f x x x =-（）201()01x x B f x x ⎧≤<=⎨=⎩（）()sin sin [0,]C f x x x x π=+（）21()1[1,1]D f x x=--（）5．若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-= ()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰ ()()()d d D f x dx x dx dxdxφ=⎰⎰二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x→-===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
2014-2015第一学期微积分I期末试卷(A卷)参考答案
一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n n p pp p n 。
答案：11p +。
2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。
答案：2cos ()2sin x x f x xe e x '=+⋅。
3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。
答案：图形面积154。
4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。
答案：2。
5．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。
答案：12π+。
6．求方程2x y dy dx +=的通解。
答案：220y x C -++=，其中1,C C 为任意常数。
7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。
答案：2111ln(1)arctan ln 1422x x x C ++-++。
8．求方程1y y x x'-=的通解。
答案：2y x Cx =+。
9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。
答案：2112123112()()1y y C y y C y y C x C x =+-+-=++，其中12,C C 为任意常数。
二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1． 求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。
答案：1。
2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。
答案：43。
3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。
答案：4263cos()2y dy x x dx ye=。
4. 求微分方程3''2y y =满足初始条件00|1,'|1x x y y ====的特解。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2004年)设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则（)A．x=0必是g(x)的第一类间断点．B．x=0必是g(x)的第二类间断点．C．x=0必是g(x)的连续点．D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．正确答案：D解析：由于若a=0，则g(x)在点x=0处连续；若a≠0，则g(x)在点x=0处连续．故应选D．2．(2017年)若函数在x=0处连续，则( )A．B．C．ab=0．D．ab=2．正确答案：A解析：要使f(x)在x=0处连续，则须故应选A3．(1987年)若f(x)在(a，b)内可导且a＜x1＜x2＜b，则至少存在一点ξ，使得（)A．f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a) (a＜ξ＜b)B．f(b)一f(x1)=f(ξ)(b一x1) (x1＜ξ＜b)C．f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1) (x1＜ξ＜x2)D．f(x2)一f(a)=f(ξ)(x2一a) (a＜ξ＜x2)正确答案：C解析：由f(x)在(a，b)内可导知，f(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ，使f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2—x1)x1＜ξ＜x2所以应选C．A、B、D均不正确．因为由f(x)在(a，b)内可导，不能推得f(x)在[a，b]，[x1，b]，[a，x2]上连续，故A、B、D选项均不满足拉格朗日中值定理条件．4．(2005年)当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点．( )A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f’(x)=6x2一18x+12=6(x2一3x+2)=6(x一1)(x一2) 令f’(x)=0，得x1=1，x2=2 f(1)=5一a，f(2)=4一a 当a=4时，f(1)=1＞0，f(2)=0．即x=2为f(x)的一个零点，由f’(x)=6(x一1)(x一2)知当一∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)严格单调增，而f(1)=1＞0，，则f(x)在(一∞，0)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减，又f(2)=0，则当1＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0．则x＞2时f(x)＞0，即在此区间内f(x)无零点．故应选B．5．(2014年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上( )A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x，则F’(x)=f’(x)+f(0)一f(1)，F’’(x)=f’’(x)．当f’’(x)≥0时，F’’(x)≥0．则曲线y=F(X)在区间[0，1]上是凹的，又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈[0，1]时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选D．6．(1999年)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数．正确答案：A解析：直接说明A正确，f(x)的原函数F(c)可表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C 则F(一x)=∫0－xf(t)dt+C—∫0xf(－u)du+C=∫0xf(u)du+C=F(x)故A是正确选项．7．(2015年)设D={(x，y)｜x2+y2≤2x，x2+y2≤2y}，函数f(x，y)在D上连续，则=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：积分域D如图所示，则故应选B．8．(2004年) 设有以下命题：则以上命题中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④正确答案：B解析：令un=(一1)n－1，则u2n－1+u2n=0，从而级数发散，所以①不正确．级数去掉前1 000项所得到的，由级数性质可知，若必收敛，则②正确．由检比法知若收敛，故③正确．令un=1，vn=一1，则级数都发散，则④不正确，故应选B．填空题9．(1994年) 设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数，则=_______．正确答案：应填解析：方程exy+y2=cosx两边对x求导，得exy(y+xy’)+2yy’=一sinx解得10．(2011年)设，则f’(x)=______．正确答案：应填e3x(1+3x)．解析：f(x)=xe3x，f’(x)=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)11．(1996年)设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=______．正确答案：解析：12．(2014年)设∫0axe2xdx=则a=______．正确答案：应填解析：13．(2006年)设函数f(u)可微，且则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=______．正确答案：应填4dx一2dy．解析：则dz｜(1，2)=4dx一2dy14．(2009年)幂级数的收敛半径为______．正确答案：应填解析：15．(2005年)微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______．正确答案：应填xy=2．解析：本方程是一可分离变量方程，由xy’+y=0知，ln｜y｜=一ln｜x｜+lnC1从而xy=C，又y(1)=2，则C=2．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分复习题集带参考答案
微积分习题集带参考答案一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分期末练习题
2013-2014学年第一学期《微积分》期末练习题一、单项选择题.1. 1()arcsin2x f x -=的定义域是（ ） A ．[]1,3- B ．()1,3 C ．[]0,3 D ．[]0,2 2. 1()lg |5|f x x =-的定义域是（ ）A ．(,5)(5,)-∞+∞B ．(,6)(6,)-∞+∞C ．(,4)(4,)-∞+∞D ．(,4)(4,5)(5,6)(6,)-∞+∞ 3. 1()arcsin2x f x -=的定义域是（ ） A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．[]0,3 D ．[]0,24. 211y x=+-的定义域是（ ） A ．()()()2,11,11,---+∞ B ．[)()()2,11,11,---+∞ C ．()()2,11,---+∞ D ．[)()2,11,-+∞ 5. 设()f x 的定义域是[0,1]，则(ln )f x 的定义域为（ ） A ．[]0,ln1 B ．[]0,e C ．[]1,eD ．()1,e6. 1()arctanf x x=的连续区间为（ ） A ．(,3)-∞ B ．(,3]-∞ C ．(,0)(0,3]-∞ D ．(,0)(0,3)-∞ 7. lg 3y -=）A ．()(),11,3-∞-B ．()(],11,3-∞-C ．(),3-∞D ．()()(),11,11,3-∞-- 8. ()lg 38y x =-的定义域是（ ）A ．()(),23,-∞+∞B ．()()8,2,33,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．()3,+∞D ．()8,2,+3⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭9. 设()sin 2f x x =，则()f x 的周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2πD ．4π10. 设()sin f x x =，则()f x 的周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2πD ．4π11. 设()sin+cos 23x xf x =，则()f x 的周期是（ ） A ．6π B ．4π C ．12π D ．9π 12. 下列各对函数中，相同的一对函数是（ ）A ．3x y x=与2y x = B ．2ln y x =与2ln y x =C ．y =与y x = D ．2y x =与2u v =13. 下列各对函数中，相同的一对函数是（ ）A ．3x y x=与2y x = B ．2ln y x =与2ln y x =C ．y =与y x = D ．y =与y x =14. 函数()(ln f x x =是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数15. 函数()2x xe ef x --=是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数 16. 函数arctan y x =在(),-∞+∞内是（ ）A ．有界函数B ．无界函数C ．偶函数D ．周期函数17．设函数2,012,12⎧≤<=⎨-<≤⎩x x y x x ，则1x =是它的( ).A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点18．设函数2,013,12x x y x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1x =是它的( ).A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点 19. 函数()1ln1x f x x -=+是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数，也非偶函数20. 数列n x 与n y 的极限分别是A 与B ，且≠A B ，那么数列112233,,,,,,x y x y x y 的极限是（ ） A ．A B ．B C ．+A B D ．不存在 21. 下列数列发散的是（ ）A ．1,0,1,0,1,0,B ．111,0,,0,,0,248C ．325476,,,,,,234567D ．11111111,,,,,,,,325374922. 设()f x 的定义域为),(+∞-∞，则()()f x f x --的图形是关于（ ）对称 A ．y x = B ．x 轴 C ．y 轴 D ． 坐标原点23. “函数)(x f 在0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有极限的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件24. “函数)(x f 在0x x =处有定义”是“函数)(x f 在0x x =处连续”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件25. “()f x 在点0x x =处可微”是“()f x 在点0x x =处连续”的（ ） A ．充分且必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件26. “()f x 在点0x x =处可微”是“()f x 在点0x x =处可导”的（ ） A ．充分且必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件27. “0()0f x ''=”是“()f x 的图形在点0x x =处有拐点”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．非必要充分条件 D ．既非充分也非必要条件 28. 当0x →时，下列变量中与2sin x 为等价无穷小量的是（ ）AB ．xC ．3xD ．2x29. 当0x →时，下列变量中与2x 不是等价无穷小量的是（ ）A ．2sin xB 1C ．()2ln 1x +D ．2sin x30. 函数()|1|f x x =-（ ） A ．在点1=x 处连续可导B ．在点1=x 处不连续C ．在点0=x 处连续可导D ． 在点0=x 处不连续 31. 设4103y x e =，则(10)y =（ ）A ．0B ．1C ．10eD ．e 32. 设sin y x =，则(2013)y =（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x - 33. 设32321=+++y x x x ，则(4)y =（ ）. A ．6 B ．1 C ．0 D ．1234. 函数 ()ln sin f x x =在区间5[,]66ππ上满足罗尔定理的ξ是( ).A ．34πB ． 23πC ．2πD ．3π35. 设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且()0f x '>，则( ). A ．(1)(0)f f > B ．(1)(0)f f < C ．(1)0f > D ．(0)0f <36. 设函数()y f x =在点0x x =处可微，()()00y f x x f x ∆=+∆-，则当0x ∆→ 时，必有（ ）A ．dy 是比x ∆高阶的无穷小量B ．dy 是比x ∆低阶的无穷小量C ．y dy ∆-是比x ∆高阶的无穷小量D ． y dy ∆-是与x ∆同阶的无穷小量 37. 函数2()23=--f x x x 在区间[1,3]-上满足罗尔定理的ξ是( ). A ．1- B ．1 C ．0 D ．2 38. 设()f x '存在，则()df x =⎰（ ）A ．()f xB ．()f xC + C ．C x f +')(D ．)(x f ' 39. 设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是（ ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1cos x + D ． 1cos x - 40. 下列等式中正确的是（ ）A ．()()d f x dx f x =⎰B ．()()df x dx f x C dx =+⎰ C ．()()d f x dx f x dx =⎰ D ． ()()df x dx f x dx dx=⎰ 41. 设()f x '存在，则()df x '⎡⎤⎣⎦⎰（ ）A ．()f xB ．()f x 'C ．()f x C +D ． ()f x C '+42.arcsind =⎰（ ）A ．B ．C +C ．D ．C43. d =⎰（ ）A ．B ．C +C ．D ．C44. 不定积分21()1dx x'=+⎰（ ） A ．tan arc x B ．tan +arc x C C ．211+x D ．211++C x二、填空题.1. 01lim sinx x x →= . 2. 1lim sin x x x →∞= .3. 0sin 2lim 3x x x→= . 4. 0sin 2lim tan 5→=x xx .5. 01lim x x e x →-= .6. 201cos lim x x x →-= .7. 0x →= . 8. sin lim x x xx→∞+= .9. arctan limx x xx→∞+= .10. 设xxx f +=1)(，则[()]f f x = .11. arcsin cos x arc x += . 12. arctan cot x arc x += . 13. [(cos )]f x '= . 14. [(ln )]f x '= .15. 设232lim83x x x cx →++=-，则c = . 16. 设232lim83x x x cx →-+=-，则c = . 17. arctan limx xx→∞= .18. 当x → 时，函数2)1(1-=x y 是无穷大量. 19. lim arctan x x →+∞= . 20. ()()n x e = .21. ()()sin n x = . 22. ()()cos n x = .23. 设()cos x f x e x =，则()df x = .24. 设函数()2,1,0, 1.x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则()1lim x f x →= 2 .25. 函数22ln y x x =-的单调增区间是 .26. 设函数211xy -=，则间断点是 27. 设函数()f x 在0x 处可导且在0x 处取得极值，则0()f x '= .28. 函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x x ∆→-∆-+∆=∆ .29. 已知(0)1f '=，则0(2)()lim →--=h f h f h h._________________30. 函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim x f x f x x x∆→--∆=∆ .31. 曲线arctan y x =的水平渐近线是 . 32. ln xdx =⎰._________________ 33. 21xdx x =+⎰. 34. 221x dx x =+⎰ 35 . 211dx x =+⎰ . 36. dxx =⎰._________________ 37. 2x e dx =⎰ . 38. 21()1dx x'=+⎰ .三、计算题（一）. （写清解题步骤） 1．求极限30tan sin limsin x x xx→-. 2.求极限x →.3. 求极限()120lg 100lim arcsin x x x a x→⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦. 4. 求极限()0ln 12limsin 3x x x→+.5．求极限22lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.6．求极限1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭. 7. 求极限111lim(1)242→∞++++ n n8. 求极限22212lim()111n nn n n →∞++++++ .9. 求极限()10lim 1sin xx x →+.10．利用等价无穷小代换求极限)21arcsin lim tan →x xx .11．利用等价无穷小代换求极限lim x +→.12. 求极限240sin sin cos lim x x x x xx →-.13. 求极限sin lim arcsin x x x e x -→-301.14. 求极限lim xx x +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1321.15．求极限lim x xx e e x-→-0.16．求极限ln limx xx →-11. 17．求极限lim x x x x x x →-+--+32321321.18．求极限sin lim x x x +→0.19. 求极限sin sin limx a x ax a→--.20. 求函数()2ln 1y x =+在区间[]1,2-上的最大值与最小值. 21. 求曲线2ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩在0t =处的切线方程及法线方程. 22．求21,110,1x x y xx ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩的间断点，并判断其间断点的类型. 23．若limx x ax bx →++=-2151，求a ，b 的值. 24．若lim x x ax bx x →++=--22222，求a ，b 的值. 25．求函数3237y x x =-+的极值.26．利用二阶导数，求函数32395y x x x =---的极值. 27．求函数4225y x x =-+在区间[]2,2-上的最大值与最小值. 28．设3333x x y x x =+++，求x y '.29. 设函数1arcsin y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求x y '.30．设()()22sin cos y f x f x =+，求x y '.31．求函数y =.32．已知cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，求dydx .33．已知2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，求dx dy34．已知()2arctan ln 1x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩，求dydx . 35．设函数()f x 有连续的导函数，()00f =且()0f b '=，若函数()()sin ,0,0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，求常数A . 36．求隐函数x y xye +=的微分dy . 37．求不定积分⎰.38. 求不定积分()22arctan 1x dx x+⎰.39. 求不定积分xxe dx -⎰. 40. 求不定积分⎰.41．求不定积分2xxe dx ⎰.42．求不定积分tan xdx ⎰. 43．求不定积分.44．求不定积分cos x xdx ⎰. 45. 求不定积分2cos2x dx ⎰. 46．求不定积分2xx e dx ⎰. 47．求不定积分25sin cos x xdx ⎰.48.求不定积分.49. 求不定积分(1sin 5)x dx +⎰.50. 求不定积分2xx e dx -⎰.四、计算题（二） （写清解题步骤）1．求椭圆4cos 3sin x t y t=⎧⎨=⎩在相应于4t π=点处的切线方程.2．方程()sin sin yx y x =确定y 是x 的函数，求x y '. 3．方程()2sin 0xy y π-=确定y 是x 的函数，求0x y =''.4. 设()21,1,1⎧-≤=⎨+>⎩x x f x ax b x 在点1x =处可导，求,a b 的值.5. 设(0,0,1)x a ba b x a y a b b x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用取对数求导法求x y '.6.求ln1.01的近似值.7. 求函数y =.8. 已知2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，求22,dy d ydx dx . 9. 已知()2arctan ln 1x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩，求dydx . 10. 设函数()()20,0x f x x g x x >=≤⎩，其中()g x 是有界函数，求()0f '.11.利用取对数求导法求函数y =的导数. 12．设()()ln 11001x x f x x +-<≤⎧⎪=<<，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性.13．设()21021012122x x x f x x x xx≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪<⎩，讨论()f x 在点0x =，1x =，2x =处的连续性与可导性.14. 求函数()2332f x x x =-的单调增减区间和极值.15. 求曲线4321=-+y x x 的凹凸区间与拐点.16. 方程1-=y y xe 确定y 是x 的函数，求0='x y 及0=''x y . 17..18．方程()2sin 0xy y π-=确定y 是x 的函数，求01x y y ==-'及01x y y ==-''.1920．求arctan1.02的近似值 21．求不定积分22156--+⎰x dx x x . 22. 设函数()f x 有连续的导函数，()00f =且()0f b '=，若函数()()sin ,0,0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处连续，求常数A . 23．设()P x 是多项式，且32()lim 2,→∞-=x P x x x 0()lim 1→=x P x x，求()P x24. 求极限()21lim 1tan 2x x x π→⎛⎫-⎪⎝⎭25. 设()1sin ,00,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x f x x x ，()21sin,00,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x g x xx ，试判定()(),f x g x 在点0x =处的连续性与可导性.五、证明题1．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式()212112arctan arctan x x x x x x -≤-<.2．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式 ()()1ln 1ln 01x x x x+->>+.3．证明：当0x >时，1x e x >+.4．证明函数()2ln 1y x x =-+单调增加.5．证明函数sin y x x =-单调减少.6．（利用拉格朗日中值定理证明）证明不等式 2121sin sin x x x x -≤-7．若1202x x <<<，证明：122212x x e e x x >.8．证明：531x x -=在0和2之间至少存在一个实根. 9．证明：arctan cot 2x arc x π+=.六、应用题（写清解答步骤）1．欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？2. 已知某商品的成本函数为()21004Q C C Q ==+，求：（1）当产量10Q =时的总成本、平均成本及边际成本. (2) 当产量Q 为多少时，平均成本最小？ 3. 已知某产品的需求函数为105QP =-，成本函数为502C Q =+，求产量Q 为多少时总利润()L Q 最大？并验证是否符合最大利润原则.4. 某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。
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一、选择1．“)(x f 在0x x =处有定义”是当0x x →时)(x f 有极限的[ ].（A ）必要条件（B ）充分条件 （C ）充分必要条件（D ）无关条件2．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是[ ]. （A ）2,8=-=b a （B ）b a ,2=为任意值 （C ）8,2-==b a（D ）b a ,均为任意值3．=+-+∞→xx xx x x sin 2sin 2lim22[ ]. （A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在4．已知当0→x 时，)(x f 是无穷大量，下列变量当0→x 时一定是无穷小量的是[ ].（A ）)(x f x ⋅ （B ）)(x f x + （C ）)(x f x（D ）xx f 1)(-5．下列函数中属于偶函数的是[ ].(A) x xe e --； (B) cos x -； (C) sin x x -； (D) 21y x =+。
6．下列函数中，____是（2，+∞）内的单调递增的连续函数[ ].(A) x 1; (B) ln(-2+x); (C) tanx; (D)xe -。
7.xx x 10571lim ⎪⎭⎫⎝⎛-→ =[ ]. (A) 41e； (B) 4e ； (C) 4-e； ( D) 57-e。
8．)53cos(1lim 2+-∞→x xx =[ ].(A)3； (B) 1 ； (C) 0； (D) ∞。
9．导数])ln(5[(ln '-+x =[ ].(A) 1-x ； (B) 3 x 2--x ； (C) 3xln3+2-x ； (D) 3xln32--x 。
10．若要修补31111)(xx x f ----=，使其在点0=x 处连续，则要补充定义=)(x f [ ].（A ）23 （B ）21 （C ）3 （D ）111.若()x f 点0x x =处可导，则下列各式中结果等于()0x f '的是[ ].（A ）()()000lim x f x f x x x ∆→-+∆∆ （B ）()()000lim x f x x f x x∆→-∆-∆（C ）()()0002limx f x x f x x ∆→+∆-∆ （D ）()()0002lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆12.下列结论错误的是[ ]（A ）如果函数()x f 在点0x x =处连续，则()x f 在点0x x =处可导 （B ）如果函数()x f 在点0x x =处不连续，则()x f 在点0x x =处不可导 （C ）如果函数()x f 在点0x x =处可导，则()x f 在点0x x =处连续（D ）如果函数()x f 在点0x x =处不可导，则()x f 在点0x x =处也可能连续13.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤=00312x ＞xx x x f ，则()x f 在点0=x 处[ ]（A ）左导数不存在，右导数存在 （B ）右导数不存在，左导数存在 （C ）左、右导数都存在 （D ）左、右导数都不存在14.若曲线b ax x y ++=2和x x y +=3在点（1，2）处相切（其中b a ,是常数），则b a ,之值为[ ].（A ）1,2-==b a （B ）3,1-==b a （C ）2,0-==b a （D ）1,3=-=b a 15．设Y=)23cos(x -, 则微分DY=____;（A)dx x )23cos(3-； （B)dx x )23cos(2--； （C)dx x )23sin(2-； （D)dx x )23sin(2--。
16．导数 ]ln 9['-x =____;A ）x 53-； B) x 35 ； C) x 5； D) x 35-。
17. 设10)1()1()1(lim 5035145=+++∞→x ax x x , 则A 的值为； A ） 1; B) 2; C) 均不对; D) 510。
18．补充定义F (1) = ____则函数F (X) =112--x x n 是连续函数;A) 4； B) n 2； C) 1； D) 3。
19. 设函数⎩⎨⎧-=),0(),0()lg()(2x x x x x f 则下列结论不正确的是；1)(lim 10=-→x f x ； B)0)(lim 0=+→x f x ；C)4)(lim 0=-→x f x ；D)9)(lim 3=+→x f x 。
20.设()x f 二阶可导，(),1nx f y =则][=''y（A ）()nx f 1'' （B ）()2''11x nx f （C ）()()[]nx f nx f x 111'''2+ （D ）()()[]nx f nx f x111'''2- 21.若()f u 可导,且()x y f e =有][=dy（A ）()dx e f x ' （B ）()x x de e f ' （C ）()[]x x de e f ' （D ）()[]dx e e f x x '22. ()||31x x f =，点0=x 是()x f 的[ ].（A ）间断点 （B ）极小值点 （C ）极大值点 （D ）拐点二、填空1．函数()1lg +=x xy 的定义域是 ；2．设函数x xx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ；. _______;)3,2(44)(.3的切线斜率为上一点过曲线x x x f -+=4.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是 ；5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是否连续？ ；是否可导？ ；（填是或者否） 6. xx x)251(lim -∞→= 。
7. x x e 9lim -+∞→= 。
8. )1212(lim 22+--+++∞→x x x x x = ________。
9. x x ex 6800lim +∞→= 。
10．13128lim 22-+--∞→x x x x = 。
11. 函数)1ln(2+=x y 在[－1，2]上的最大值为 ；最小值为 . 12.曲线 )1ln(x x y +-=在区间 内单调减少；在区间 内单调增加.13．曲线⎩⎨⎧==tt y t t x sin cos ，在2π=t 处的法线方程是1d lim 2,,x d xax ba b →++=２２１14、（ ）＝ｘ+1ｘ15、若则的值分别为：ｘ＋2x-316. 1)31ln(lim60--→x x e x = 。
17. ty t x cos 11{4-=-= ，=dx dy。
18. 导数)'(23x e x = 。
19. 若,)(x f e y =则y '' =______。
20. 若函数y = f (x) 满足f’(3) = 0且f ”(3) <0, 则x = 3是函数的________点。
三、计算+解答1. x xx 2ln lim 4+∞→。
2. xe xe x x 57lim 65-++∞→ 。
3. )cos 1sin ('+xx。
4. y = ln sin （-8x ） , 求微分dy 。
5.求极限212lim x x x e →6. 若34()(10),''(0)f x x f =+求7.24lim(cos )xx x →求极限8．y = 6)1(x +, 求二阶导数y ''。
9．求x x y y 8343-=+过点 (2,0) 的切线方程。
10． 43123+-=x x y , 求 y 的极值。
11． 求函数 y = x xe - 的凸凹区间及拐点（列表）。
12. 423lim 222-+-→x x x x ．13． xx x 1)sin 1(lim +→)1ln(tan lim .1420x x x x x +-→15.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值17. 将一个边长为30厘米的正方形，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将 四边折起做一个无盖容器，问截去的小正方形边长为多大时，所得容器体积最大？18. 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0 01cos )(.162x x x x x x f 讨论。