用MATLAB绘制两圆板间中心线电场强度和电势图

用MATLAB绘制两圆板间中心线电场强度和电势图
在学习大学物理的过程中，我们学到了一种很重要的模型——偶极子模型，我们详细研究了他们间的电场强度及电势变化，同时，我们还学习了单个带电圆盘中心轴上电场强度和电势大小，我们设想将上面两个结合起来，来分析两带电圆板之间的电场强度和电势。

如图所示：
两圆板均带正电，电荷量为Q，且距离为2L，下面我们探讨他们之间中心线上的电场强度和电势大小。

理论推导：
建立如图所示的坐标图，设他们之间中点为原点：
我们考虑单个圆盘对中心线上的一点P作用，另一个圆盘用叠加即可。

场强：选取如图所示的微元，则该微元对P点的场强微元为
dE=
xdQ
4πε(x2+r2)3
2
; (1)
设σ为圆盘的面密度，则有σ=dQ
2πrdr
,代入（1）式可得：
dE=
xσ2πrdr
4πε(x2+r2)3 2
=
xσrdr
2ε(x2+r2)3
2
(2)
对（2）式在0到R求定积分便可以得到单个圆盘在P点的电场强度；
E=xσrdr
2ε(x2+r2)3 2
R 0=
σ
2ε
[1-x
(x2+R2)
1
2
]; (3)
这里，为了绘图的简便，我们总可以取σ=2ε；在上图中，我们的x 是P点到一个圆盘的距离，若以两盘中点为原点，则x应该由x+L 和L-x替换，此处x为P点的横坐标。

故
E1=1-
L +x (（x +L ）2+R 2)12 ； E2=1−L−x
(（x−L ）2+R 2)12
； 上述式子均令σ=2ε；
因此，
E=|E1-E2|=|L +x
(（x +L ）2+R )12−L−x
(（x−L ）2+R 2)12 | ;
下面来看他们之间的电势情况：
同样的，我们之选取一个圆盘研究再利用叠加的方法来求他们之间的合电势。

我们依旧选取圆环微元，如上图所示：
利用密度均匀性质，我们可以列出方程：
dq dA =Q πR
(4)
我们知道dA=2πrdr;
将上式代入（4）式可得：
dq=Q2πrdr πR =2Qrdr
R ;
由公式V=
14πε dq r 可得： V=
14πε （x 2+r 2） =
2Q 4πεR 22R 0 =Q 2πεR
2( x 2+R 2−x ) =σ2ε( x 2+R 2−x ) (σ为圆盘面密度，故有σ=Q
πR )
到此，我们也将电势求了出来，剩下的和电场强度一样，令σ=2ε，将x 由x+L 和L-x 替换求出总电势即可；
V1= （x +L ）2
+R 2−x −L ；
V2= （x −L ）2+R 2−L +x ；
V=V1+V2= （x +L ）2
+R 2−x −L + （x −L ）2+R 2−L +x = （x +L ）2
+R 2+ （x −L ）2+R 2−2L
MATLAB代码如下：
syms xLR;
y1=abs((L+x)/((x+L)^2+R^2)^0.5-(L-x)/((x-L)^2+R^2)^0.5); y2=((x+L)^2+R^2)^0.5+((x-L)^2+R^2)^0.5-2*L;
z1=subs(y1,'L','1');
f1=subs(z1,'R','1')
z2=subs(y2,'L','1');
f2=subs(z2,'R','1')
figure(1),ezplot(f1,-1,1);
figure(2),ezplot(f2,-1,1);
绘出的电场强度关于坐标x的图如下：
绘出的电势大小关于坐标x的图如下：
总结：虽然是两个圆盘，但是他们之间的电场强度和电势图和偶极子之间的图很相似，而由于圆盘也是无数个带点粒子组成，我们可以认为是无数个偶极子组成，故很容易理解为什么他们之间会如此相似。

利用MATLAB，我们很容易的绘出了两带电圆板间的电场强度和电势大小图，这让我们更好的理解了偶极子和带电圆板电场强度和电势。

也学会了利用MATLAB帮助学习大学物理。

参考文献：
大学物理学——滕小瑛改编——高等教育出版社。