应用统计学-第八章：方差分析

医学统计学 -第08章方差分析

第一节方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计算过程省略)
变异来源总变异组间组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)

第八章：方差分析

SSE xij xi
k ni i 1 j 1
2
计算结果为： SSE = 2708
三个离差平方和的关系
总离差平方和(SST)、组内离差平方和(SSE) 、组间离差平方和 (SSA) 之间的关系：
x
k i 1 j 1
ni
ij
x ni xi x xij x
外包装底色对产品销量是否有显著影响？
市场北京上海深圳西安成都红色 36 35 27 29 38 橙色 28 26 31 30 24 紫色 30 32 28 26 35 蓝色 22 27 20 21 29
什么是方差分析?
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表：

2.
方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布（每个行业被投诉的次数必须服从正态分布） 2. 各个总体的方差相同（ 4个行业被投诉次数的方差都相等） 3. 观测值是独立的（每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立）
方差分析的基本假设
H 0 : m1 m2 mk H1 : m1 , m2 , , mk 不全相等
2.计算误差
计算全部观测值的均值以及各水平下的组均值计算总误差计算组内误差计算组间误差
计算总误差（ SST）
1. 全部观察值 xij 与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1 2
方差分析
差异源
组间组内
SS
1456.609 2708

i第八章单因素方差分析-文档资料

yi2
ya2
3
y13
y23
y33
yi3
ya3
…
…
…
…
…
…
j
y1j
y2j
y3j
yij
yaj
…
…
…
…
…
…
n
y1n
y2n
y3n
yin
yan
平均数 y1
y 2
y 3
y i
ya
n
yi yij,
j1
yi

1 n
yi
i 1,2,,a
a n
1
y
yij,
i1 j1
3．在同一处理组内虽然每个受试对象接受的处理相同,但
观测值仍各不相同，这是由随机因素（误差）引起的。
误差平方和(error sum of squares, SSe)或称处理内平方和(sum of squares within treatment)：各处理内部观测值与相应处理平均数离差的平方和,SSe反映了各处理组内观测值的变异程度。计算公式为：
2、①固定效应：由固定因素所引起的效应。 ②固定因素：所研究因素各个水平是经过
特意选择的，这样的因素称为固定因素。
固定因素的水平可以严格地人为控制，在水平固定之后，它的效应值也是固定的。
③固定模型：处理固定因素所用的模型。
在固定模型中，方差分析所得到的结论
只适合于选定的那几个水平，不
能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。
水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。
【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，
称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的动物出生重是否存在显著性差异。

医学统计学-8-方差分析

第二节单因素方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的不同水平间效应的差别。
处理因素
水平1 水平2 水平1 水平2 水平c
单因素方差分析
例1、某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者，A方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml， B方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁0.5ml，C方案为每公斤体重每天口服3g 鸡肝粉，治疗一月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
A、B、C三种方案治疗婴幼儿贫血的疗效观察表
治疗方案 A n=20
血红蛋白增加量（g） 1.8 1.4 0.5 1.2 2.3 2.3 3.7 0.7 2.4 0.5 2.0 1.4 1.5 1.7 2.7 3.0 1.1 3.2 0.9 2.5
B
n=19
0.2
0.0 2.1 -0.7
0.5
1.6 1.9 1.3
q XA XB

MSe 1 1 2 nA nB
ν=νe
一、q检验
例、在前面对某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的例题（完全随机设计方差分析例1）进行了方差分析，我们得出三组总体不等的结论。究竟哪些总体均数之间存在着差别，我们需要在前方差分析基础之上，再对该资料作两两比较的q检验。
随机因素是无法避免的，而实质性差异是我们需要得到的。如何排除随机因素的干扰，利用样本信息对总体均数间是否存在差异作出推断？
方差分析的基本思想
按照设计类型将总变异分解为处理因素引起的变异和随机因素造成的变异；以处理因素变异与随机因素变异之比来构造检验统计量F。

生物统计-8第八章单因素方差分析

01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量）和因子水平（因子的不同类别或条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析模型。模型通常包括组间差异和组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件，包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变异，如果存在多个因素引起的变异，单因素方差分析可能无法准确反映实际情况。此时需要考虑使用其他统计方法，如多元方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析的结果。
输出结果，并进行解释和解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。

卫生统计学-第八章方差分析(一)

上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同
。
• 作一个电脑实验，该实验是从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了K=10个样本，每组样本的样本含量n=20,可以算出各组的均数和标准差，如表2
表2 从已知正态总体随机抽取10个样本的结果
样本 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
编号
均数 12.61 10.85 9.23 9.11 10.90 9.24 9.55 10.28 9.12 8.75
-1.20 2.76 1.40 .98 1.34 1.65 2.34 2.20 2.20 3.50
基本思想到变异分解
要解决的问题是：
具有一个处理因素的多个样本（多组）是否来自同一总体？即，多样本的总体均数是否相等？
试验设计的方法是：
完全随机分组设计(simple randomization design):同质的观察对象，不加任何条件限制，随机的分配到各处理组中去。2组时用t检验，大于等于2组时用单因素方差分析。
方差分析（analysis of variance）简写为ANOVA
又称变异数（variance）分析。
也称为 F 检验。
它是英国统计学家R. A. Fisher首先提出的一种统计方法。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Born: 17 Feb 1890 in London, England Died: 29 July 1962 in Adelaide, Australia
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71

统计学方差分析

统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。

它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。

通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。

方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。

在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。

每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。

而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。

方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。

对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。

方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。

方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。

均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。

通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。

F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。

在统计学中，F值与显著性水平相关。

当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。

否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。

方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。

多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。

统计学原理——假设检验与方差分析

双侧检验是指检验统计量的取值位于其抽样分布的任何一侧范围内时拒绝原假设，也就是说抽样分布的左右两侧共同构成了拒绝域。
二、假设检验中的两类错误**
第Ⅰ类错误/弃真错误 (type Ⅰ error)
当原假设为真时拒绝原假设。犯第Ⅰ类错误的概率
通常记为。
第Ⅱ类错误/取伪错误(type Ⅱ error)
n1 P 40010.2 320 f 5
所以为大样本分布，检验统计量 Z 近似服从正态分布。样本数据显示：
p 100 0.25 400
Z p P0 0.25 0.20 0.05 2.5
P 1 P 0.21 0.2 0.02
n
400
在显著性水平 0.05 情况下，查表可知，
比RMB 245.95小或者比RMB 274.05大。所以，在双侧检验(见下图8-1)中有两个拒绝域。
拒绝域
接受域
拒绝域
245.95
260.00
274.05
图8-1 双边检验的拒绝域与接受域
[例8-2] 在例8-1的假设检验中，如果样本的均值
为 X 240.00 ，当显著性水平为0.05时，原假设是否被拒绝。
重点是三种不同情况下的假设检验方法，总体方差已知时正态总体均值和总体比例的假设检验。
难点是总体方差未知时正态总体均值的假设检验和方差分析。
第一节假设检验
一、假设检验的概念
一、假设检验的概念
假设(hypothesis)，又称统计假设，是对总体参数的具体数值所作的陈述。
假设检验(hypothesis test) 是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。
(3) H0：μ = μ0 H1：μ＜μ

第八章方差分析 SPSS基础教程

据。选取12个病人分为4组，给以不同的治疗：第一组使用一般疗法；第二组使用一般疗法外加药物A；第三组使用一般疗法外加药物B；第四组在一般疗法外加药物A和B。一个月后观察红细胞增加量。
Data09-04 p171 本例主要说明均值对比的选择项与结果可转化成单因素方差分析
协方差分析实例
H 0 :1 2K
FF 0.05(dfb05接受原假设
方差分析中的术语
1、因素 2、水平 3、单元 4、因素的主效应和因素间的交互效应 5、均值比较 6、单元均值、边际均值 7、协方差分析 8、重复测量
方差分析过程
概念：利用线形回归方法消除混杂因素的影
响后进行的方差分析，这是实际工作中经常要考虑的问题。数据背景： p176 数据文件：Data09-06
多维交互效应方差分析实例
数据背景： p179 数据文件：Data09-07
1、One-way过程 2、GLM过程
（1）Univariate过程（2）Multivariate过程（3）Repeated Measue （4）Variance Component
第二节单因素方差分析
单因素方差分析的思想单因素方差分析的操作应用举例
1、data09-01 p151 2、data09-02 p159
第三节简单方差分析
1、基本思想 2、操作步骤 3、应用举例
系统默认方差分析实例
数据背景：四个种系未成年雌性大白鼠个三只，
每只按一种剂量注射雌激素，一段时间后，解剖称子宫重量。 Data09-03 p168
2*2析因试验方差分析实例
数据背景：使用两种药物A和B治疗缺铁性贫血病人的数
第八章方差分析
第一节方差分析的基本原理第二节单因素方差分析第三节简单方差分析

第八章方差分析

根据各变异部分的平方和和自由度，可求得
处理间方差（ st2 ）和处理内方差（ se2 ）： st2
SSt = dft
se2 =
SSe dfe
平方和处理间
自由度
方差
1 2 SSt Ti C n
dft k 1
dfe k (n 1)
st
2
2
SSt dft
处理内
4. 方差的同质性检验
二、数学模型
假定有k组观测数据，每组有n个观测值，则共有nk个观测值
处理重复
1 2 … j … n
1
2
…
i
…
k
x11 x12 … x1j … x1n
T1 x1
x21 x22 … x2j … x2n
T2 x2
… xi1 … … xi2 … … … xij … … … xin
… Ti xi
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A .
Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个
均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。
方差分析的
基本功能
对多组样本平均数差异的显著性进行检验
t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著
＝0。就是说除去随机误差以后每个处理所产生
的效应是固定的。实验因素的各水平是根据试验目的事先主观选定的而不是随机选定的。
二、数学模型
固定模型
不同离子对木聚糖酶活性的影响(mg/ml)
Na+
K+
Mn2+
Cu2+
0.00
0.25 0.50 0.75 1.00

应用统计学8-方差分析(1)

Yi = µi + ε i
（ 8-1）
其中， μi 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为在 Ai条件下Yi的理论平均). εi 是试验误差(也称为随机误差)。
2 ε ~ N ( 0 , σ ) 且相互独立，则 Yi ~ N ( µ i , σ 2 ) 假定 i
且也是相互独立的
第八章
第八章
方差分析
8. 2 单因素试验的方差分析
数学模型和数据结构参数点估计分解定理自由度显著性检验多重分布与区间估计
第八章
方差分析
8. 2. 1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1， A2， …， Ak对Y的影响(如k 种型号对维修时间的影响)，设想在固定的条件Ai下作试验。所有可能的试验结果组成一个总体Yi (i=1， 2， …， k)，它是一个随机变量，可以把它分解为两部分
第八章
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
2 , , , , µ α α α σ 估计参数 1 2 k 和
估计方法：最小二乘法
最小偏差平方和原则：使观测值与真值的偏差平方和达到最小
第八章
偏差平方和
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
2 S ε = ∑∑ ε ij = ∑∑ (Yij − µ i ) 2 = ∑∑ (Yij − µ − α i ) 2 i =1 j =1 k m
eij = Yij − Y i
第八章
最小二乘估计量
方差分析
8. 2. 2 参数点估计
ˆ =Y µ ˆ i = Yi − Y α µ ˆ i = Yi
可以证明，这三个估计量均为参数μ、 αi和μi的无偏估计量

第八章协方差分析

3、根据线性回归关系计算各肥料的矫正平均单株产量矫正平均单株产量计算公式如下：
yi yi be ( xi x) 其中：yi 为第i处理矫正单株平均产量；
yi 为第i处理实际单株平均产量；
xi 为第i处理实际平均起始干周； x 为全试验的平均数；
be 为误差回归系数。
产量将平均改变0.7359 kg。
对be进行显著性检验如下：
无效假设 H 0 : e 0, 回归平方和
备择假设 H A : e 0
SSeR
SPe 2 646.82 475.993 SSex 878.9
回归自由度
df eR 1
离回归平方和
SSer SSey SSeR 1951.000 475.993 1475.007
dft dfT dfe =k-1=4-1=3
2、对矫正单株产量进行方差分析表9-4 矫正单株产量的方差分析表
变异来源 df SS MS F值
肥料间
肥料内（误差）总变异
3
35 38
2507.777
1475.007 3982.784
835.926
42.143
19.835**
F=19.835＞F0.01(3,35)，p＜0.01，不同肥料的矫正单株产量间存在极显著的差异，须进一步进行多重比较。
如果那些不能很好地进行试验控制的因素是可量测的，且又和试验结果之间存在直线回归关系，就可利用这种直线回归关系将各处理的观测值都矫正到初始条件相同时的结果，使得处理间的比较能在相同基础上进行，而得出正确结论。这一做法在统计上称为统计控制。这时所进行的协方差分析是将回归分析和方差分析结合起来的一种统计分析方法，这种协方差分析称为回归模型的协方差分析。

统计学第八章单因素方差分析(1)

称为处理平方处理平方和，记为 SSA
总平方和SST＝处理平方和SSA＋误差平方和SSe
即， ( y ij − y •• ) = n∑ ( y i • − y •• ) + ∑∑ ( y ij − y i• ) 2 ∑∑
2 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 a n 2 a a n
i =1 j =1
a
n
= n∑ ( y i• − y •• ) + 2∑ [( y i• − y •• )∑ ( y ij − y i• )] + ∑∑ ( y ij − y i • )
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
a
n
a
n
j =1
∑ ( y ij − y i • ) = 0
换句话说，采用两两t检验法，要进行45次t检验，程序太繁琐。
原因（2）：检验的I 型错误增大，从而检验的可靠性低
a = 2 时， H 0 只有一个，即
µ 1＝ µ 2
a = 3 时， H 0 有 3 个，即 µ 1＝ µ 2， µ 2＝ µ 3， µ 1＝ µ 3
a = 5时，H 0 有10个，即µ1＝µ 2，µ 2＝µ3， , µ 4＝µ5 L
二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性的一种统计方法。 2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。 3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。 4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。

单向方差分析

1 10, 2 10
F 分布曲线
17
F 界值表
5
附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度 υ2
•
分子旳自由度，υ1
1
2
3
4
5
6
161 200 216 225 230 234 1
4052 4999 5403 5625 5764 5859
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 2
t Yi Yh Se
Yi Yh
,
MS组内（
1 n1
1 n2
）
N a 组内
29
例四个均值旳Bonferroni法比较
设α＝α’/c＝0.1/6=0.0167,由此t旳临界值为t（0.0167/2,20）=2.6117
18.5 28.0
t(A: B)
3.48 2.6117, 24 4 20
以F命名，故方差分析又称 F 检验（F
test）。用于推断两个或多种总体均数有无差别。
3
方差分析旳优点：不受比较组数旳限制，可比较多组均数可同步分析多种原因旳作用可分析原因间旳交互作用
4
完全随机设计资料（单原因）方差分析 One-way analysis of variance 第一节方差分析旳基本思想
deviations from mean，SS)反应变异旳大小
10
1. 总变异: 全部测量值之间总
旳变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N

应用统计学-第八章：方差分析

医学统计学 -第08章 方差分析