多面体外接球的修改版

两招搞定简单多面体外接球问题

两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐．简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题，解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心与球半径，下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法，供参考．一、深入理解球的定义，转化为常见结论，准确定位球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．由上面的性质，可以得到下列简单多面体外接球的球心的如下结论．结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，具体的位置通过计算后准确找到．结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上、下底面多边形的外接圆的圆心的连线的直线上，具体位置可通过计算准确找到．结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上、下底面多边形的外接圆的圆心的连线的中点．（特别地，正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线中点．）例1 一个几何体的三视图如图 1 所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为．解：由三视图作出原几何体是三棱锥 A － BCD，如图 2 所示，平面 ABD ⊥ 平面 BCD，取 BD 的中点为 O1 ，连结 AO1 ， CO1 ，因 △ABD 边长为 4 的正三角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ，形，且 BC = CD = 2 槡有 AO1 ⊥ 平面 BCD，则球心 O 在线段 AO1 上，连结 BO．设外接球的半径为Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ，，则k = 令的最大值，整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y）在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上，因此点 M（ x，同时又在单

多面体的外接球和内切球(解析版)

多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。

专题09 多面体的外接球和内切球(解析版)

1 / 5高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020版】结论九：多面体的外接球和内切球结论 1.长方体的体对角线长d 与共顶点的三条棱的长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=√612a,外接球半径R=√64a.解读通过选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究典例已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（） A ．26B ．36C ．23D ．22解析根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=，∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．反思本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三2 / 5角形斜边中点到三顶点距离相等等等．针对训练*举一反三1．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（） A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=， 1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+= 球的表面积：2452S R ππ==.故选：C2．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为( )A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π【答案】C【解析】根据题意,点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点,点M 为11B C 的中点,设1BB 中点为N ,1AB 中点为K ,如下图所示:3 / 5在平面11BB C C 中,CN BM ⊥ 由题意可知DP BM ⊥,CN 为DP 在平面11BB C C 内的射影,所以直线DP 在过点D 且与BM 垂直的平面内又因为P 在正方体内切球的球面上所以点P 的轨迹为正方体的内切球与过D 且与BM 垂直的平面相交得到的小圆,即P 的轨迹为过,,D C N 的平面即为平面CDKN 与内切球的交线因为,,D O N 位于平面11DD B B 内, 设O 到平面CDKN 的距离为h 所以由C DON O DCN V V --=,可得1111111322232ON DD AC CD CN h ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入可得1111212253232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯,解得55h = 正方体的内切球半径为1R =由圆的几何性质可得所截小圆的半径为2525155r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭所以小圆的周长为4525C r ππ==即动点P 的轨迹的长度为455π，故选:C 3．长方体1111ABCD A B C D -各顶点都在球O 面上，1::1:1:2AB AD AA =，,A B 两点球面距离m ，A 、4 / 51D 两点球面距离n ，则mn值（） A ．33B ．3C ．12D ．2【答案】C【解析】如图所示：设AB a ，则AD a =，12AA a =⇒球的直径222222R a a a a =++=，即R a =，则OAB 是等边三角形11263m a a ππ⇒=⋅=，在1AOD 中，1OA OD a ==，13AD a =，1112023AOD n a π∠︒⇒=⋅= 故12m n =，故选：C . 4．已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为（） A ．239π B ．318π C ．2327π D ．354π 【答案】C【解析】因为球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切所以球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则球O 的半径1r =球心O 到A 的距离为22222232OA ++==底面1ACB 为等边三角形，所以球心O 到平面1ACB 的距离为()22233633d ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭5 / 5所以平面1ACB 截球O 所得的截面圆的半径为2236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以圆锥的体积为21632333327V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以选C 5．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条互为异面直线的AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（） A ．22B ．12C ．24D ．21-【答案】A【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,所以球心111,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭,111,,0,,0,122P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,62PQ =,22OP OQ ==,故O 到直线PQ 的距离为22262244⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,而球的半径为12,所以在球内的线段长度为221222242⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A .。

简单多面体的外接球问题解析版

为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
课堂跟踪检测
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的

数学-一个公式搞定外接球问题10种题型(解析版)

外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。

(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高考数学多面体的外接球专题模型总结终极版(七大模型)

多面体的外接球专题模型总结终极版题型一、长方体的外接球1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c22a2.正方体外接球半径R=√323.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）（4）对棱相等的三棱锥专题练习例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（）A ．6πB ．26πC ．36πD ．46π例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于．例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A −外接球的表面积为（）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200变式练习1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P −的外接球的表面积为（）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π242.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π43.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P −为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（） A ．π8 B ．π12 C ．π20 D ．π244．已知三棱锥ABC S −的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π35．已知三棱锥ABC P −的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（） A ．π5 B ．π8 C ．π16 D ．π206．三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（） A ．π36 B ．π9C ．29π D ．49π7．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．π328B ．π24C ．π34题型二、上下对称几何体外接球（直棱柱）直棱柱外接球半径R=√r 2+h 24,其中r 是底面外接圆半径，h 是直棱柱的高 r =a 2sinA(正弦定理)例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.πa 2B.73.πa 2 C. 113πa 2 D. 5πa 2例2.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．例3.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为．例4. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（） A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π例5. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．π27 B ．π48 C ．π64D ．π81变式练习1.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（） A ．π332 B ．π48 C ．π24 D ．π162.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（） A ．π36B ．π28C ．π16D ．π43.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．π20B ．π17C ．π16D ．π8题型三、正N 棱锥外接球正N 棱锥外接球半径R=l 22ℎ,其中l 是侧棱长度，h 是正棱锥的高例1. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4题型四、等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A −−二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛−==+=α．例1在四面体ABC S −中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S −−的余弦值为33−，则四面体ABC S −的外接球表面积为．CB图3图4图5作二面角剖面⇒例2.在四面体ABCD 中，AB=AD=2,∠BAD =60。

高中数学立体几何 3.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=，补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(6)题图图2-1(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 . （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R .例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 . （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-31．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π B.3π C. 4π D.43π （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直图5径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD．以上都不对侧视图正视图第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . （2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，ο90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为．第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；图8-1A第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法之欧阳法创编

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得C DA B S O 1图3222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径CA O DB 图452R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB径。

人教A版高中数学必修二高三专题复习《多面体的外接球问题》教学设计

高三专题复习—多面体的外接球问题【教学分析】有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.【考情分析】近年来高考题常把球与其它几何体相结合，对内切、外接问题进行考查.多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问方式多种多样，对空间想象能力的要求较高.【教学目标】知识与技能：学生掌握多面体外接球半径的常用方法，进而解决多面体的外接球的问题。

过程与方法：培养空间想象能力和感性认识，体会转化的数学思想方法。

教学重点：多面体外接球的半径的求法教学难点：利用空间想象能力分析图形，明确接点及球心的位置，求出多面体的外接球半径。

【教学过程】知识回顾：性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

性质2：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离与球的半径R 及截面的半径的关系：新授课：一、直接法——构造直角三角形例1 求棱长为1的正四面体外接球的体积。

小结：本例是直接构造直角三角形，运用公式222R r d =+来求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.秒杀公式1：222h r R h+=. 限制条件：各顶点都在球面上，顶点到底面的距离为h ，且顶点在底面的射影为底面外接圆圆心.典型222r d R +=例子为：正三棱锥，正四棱锥。

秒杀训练1.正四棱锥S ABCD-的底面边长和各侧棱长，点S A B C D、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .二、补形法——构造长（正）方体引例：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .例 2.已知球O的面上四点ABCD，DA⊥平面ABC，,AB BC DA AB BC⊥===O的体积等于小结：本例可先补成长(正)方体，再运用“长(正)方体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解.训练1（2012辽宁，16）已知正三棱锥P ABC-，点,,,P A B C的球面上，若,,PA PB PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有:2R =训练2：（2013.辽宁理，10）已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（）13.2A B C D训练3：已知直三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在同一球面上，若012,120,AB AC AA BAC ===∠=则此球的表面积为训练4:已知在三棱锥A BCD -中，,AD ABC ⊥面120,BAC ︒∠= 2,AB AD AC ===则该棱锥的外接球半径为秒杀公式2：=R 限制条件：各顶点都在球面上，且有条棱垂直于底面，且垂点是顶点。

多面体的外接球问题(word文档良心出品)

多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．答案 8解析由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=，故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6，则三棱锥ABC S -的体积（）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4π题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=．故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形，设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=．故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。

多面休的外接球求法

多面体的外接球问题若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球．关键是确定外接球的球心和半径 3.多面体的外接球的常用结论：1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径．2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心'O 与球心O 的连线垂直于这个面．3.外接圆圆心'O 到球心O 的距离d 、圆'O 的半径r 与球半径R 的关系：222d r R +=．题型一长（正）方体外接球1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；2、正方体的外接球半径：a R 23=（a 为正方体棱长）； 3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为c b a ,,，外接球的半径：2222c b a R ++=例1 若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为________解析长方体外接球半径：2292432222=++=R ，所以外接球面积：ππ2942==R S题型二：墙角型（三条线两两垂直）突破方法：找三条两两垂直的线段，长度分别为c b a ,,,利用2222c b a R ++=，求出R 例2 在正三棱锥S ﹣ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，若侧棱长SA ，则正三棱锥S ﹣ABC 的外接球的体积为．解：∵M ，N 为中点，∴MN ∥BS ，∵MN ⊥AM ，∴BS ⊥AM ，又在正三棱锥中，BS ⊥AC ，∴BS ⊥面SAC ，故知SA ，SB ，SC 两两垂直，可考虑为正方体一角，则正方体棱长为SA ，其体对角线即外接球直径为3，半径为，体积为9，故答案为：．题型三等腰四面体的外接球突破方法：补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱设等腰四面体的对棱长分别为z y x ,,，则外接球的半径为2222c b a R ++=例3 在三棱锥A BCD -中，6,5AB CD AC BD AD BC ======，则该三棱锥的外接球的表面积为____________A ．B ．C ．D ．43π把三棱锥A BCD -补成长方体，三棱锥的相对棱为长方体相对面的对角线，三棱锥与长方体有相同的外接球，转化成求长方体的外接的表面积。

多面体的外接球问题(word文档良心出品)

多面体的外接球问题题型一直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．答案 8解析由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二等腰四面体的外接球补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=，故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6，则三棱锥ABC S -的体积（）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4π题型四侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=．故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形，设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=．故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ，平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。

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