九年级数学下册 2.5.3 切线长定理课件 (新版)湘教版
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湘教版2.5.3-切线长定理PPT
做一做
A
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. E O C D
P
（2）写出图中所有相等的角(直角除外)
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC；
B
∠AOC=∠BOC=∠CAP=∠CBP； ∠AOE=∠BOE.
（3）写出图中所有相等的边(半径除外)AC=BC, AP=BP,
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
结论
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示: ∵PA、PB分别切⊙O于
A、B两点. ∴PA = PB
∠OPA=∠OPB
注意：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD
的长为____２______。
3.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ Ｃ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
4.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，
2.5.3 切线长定理
湘教版 九年级下册
探究 A
O
B
经过圆外一点作圆的切线，这 点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆的切线长。
P
如图，P是⊙O外一点， PA，PB是⊙O的两条切线，
我们把线段PA，PB叫做点
P到⊙O的切线长。
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
（4）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AO︵C≌︵△BO︵C，︵△AC︵P≌ △︵BCP
2020湘教版九年级数学下册 2.5.3 切线长定理
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？ 它们有什么区别与联系呢？
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以 度量。
A
1
O
2
P
B
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点， 把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
）
二填空选择
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50 连结PO，
则 APO 25 度。
A
O
P
B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，
F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
C E
D
A
O
B
证明（1）：连接OE 在RT△AOD和RT△EOD中 OE=OA，同为半径 OD为公共边 ∴由HL可得两个三角形全等 ∴∠AOD=∠EOD 同理可得 ∠COB=∠COE ∴∠COE+∠DOE=90 ∴OD⊥OC
（2）由题可得△AOD∽△BCO
∴ AO AD BC BO
∴AO2 =AD BC=36 ∴AO=6
要证CO∥BD,只要证CO⊥AB即可.
证明 连接AB.
∵CA和CB是⊙O的切线,点A,B为切点，
∴CA=CB,∠ACO=∠BCO.
∴CO⊥AB.
∵AD是⊙O的直径.
∴∠ABD=90°，即BD⊥AB.
∴CO∥BD.
2.5.3-切线长定理
B
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 又∴ PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
第10页，共18页。
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A
典例赏析 、B为切点，直线OP交于⊙O于点D
、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
第6页，共18页。
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A PA = PB
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、 角相等提 供了新的方法
C E
D
F
A
·O
B
C E
D
A
·O
B
第15页，共18页。
课堂小结
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
。
E
O CD
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等
A
，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须 掌握并能灵活应用。
第8页，共18页。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
。
CA=CB
。
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA = PB ∠OPA=∠OPB 又∴ PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
第10页，共18页。
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A
典例赏析 、B为切点，直线OP交于⊙O于点D
、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
第6页，共18页。
试用文字语 言叙述你所 发现的结论
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。
B
。
P
O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
A PA = PB
∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、 角相等提 供了新的方法
C E
D
F
A
·O
B
C E
D
A
·O
B
第15页，共18页。
课堂小结
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
。
E
O CD
P
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等
A
，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须 掌握并能灵活应用。
第8页，共18页。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB
。
第2章 2.5.3 切线长定理 课件 2024-2025学年湘教版九年级数学下册
2．切线是一条与圆相切的直线，不能度量．( √)
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.
【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作
3．切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度
量．( √ )
【小题快练】
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,若PA=5,则PB= ( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60°,则AB= ( B )
· ×
(3)∵AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,∴OF⊥BC,∴OF=
= =4.8.
【一题多变】
1.已知正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点,P不与M
和C重合,以AB为直径作☉O,过点P作☉O的切线交AD于点F,切点为E.求四边形
CDFP的周长.
【解析】见全解全析
2.已知:AB为☉O的直径,∠BAD=∠B=90°,DE与☉O相切于E,☉O的半径为 5,AD=2.
求BC的长.
【解析】见全解全析
【技法点拨】
利用切线长求线段长的一般途径
切线长定理经常用来证明线段相等,通过连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
重点2
利用切线长定理求角度
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,CD切☉O于点E,△PCD的周长为12,∠APB=60°.
P(4,2)是☉O外一点,连接AP,直线PB与☉O相切于点B,交x轴于点C,求BC的长.
【解析】见全解全析
＝90°，即PB⊥OB，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，可以得到
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
4．归纳总结：
(1)切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作
湘教版九年级数学下册第二章2.5.3切线长定理
XJ版九年级下
第2章 圆
*2.5.3 切线长定理
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1B 2C 3C 4D
5D 6C 7A 8D
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9 4π
10 见习题
11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题
夯实基础
1．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切 圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
(1)求∠BAC的度数； 解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°. ∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形． ∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
夯实基础
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT， ∴△DOC≌△DOT(SSS)． ∴∠DOC＝∠DOT. ∵ OA ＝ OB ， OT ⊥ AB ， ∠ AOB ＝ 90° ， ∴∠AOT＝∠BOT＝45°. ∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
夯实基础
∴∠BOD＝67.5°. ∴∠BOD＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°. ∴∠BOD＝∠ODB. ∴BD＝BO，故C正确．故选D. 【答案】D
整合方法
∵tan E＝OBEB＝CDDE，∴12.5＝C4D. 解得 CD＝3.∴BC＝CD＝3. 在 Rt△ ABC 中 ， AC ＝ AB2＋BC2 ＝
32＋32＝3 2.
整合方法
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点 A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
整合方法
AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于 E，F，G 三点，过点
第2章 圆
*2.5.3 切线长定理
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夯实基础
1．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切 圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长是( B ) A．2 B．3 C．4 D．5
(1)求∠BAC的度数； 解：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°. ∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形． ∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.
夯实基础
∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT， ∴△DOC≌△DOT(SSS)． ∴∠DOC＝∠DOT. ∵ OA ＝ OB ， OT ⊥ AB ， ∠ AOB ＝ 90° ， ∴∠AOT＝∠BOT＝45°. ∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°.
夯实基础
∴∠BOD＝67.5°. ∴∠BOD＝180°－∠B－∠BOD＝67.5°. ∴∠BOD＝∠ODB. ∴BD＝BO，故C正确．故选D. 【答案】D
整合方法
∵tan E＝OBEB＝CDDE，∴12.5＝C4D. 解得 CD＝3.∴BC＝CD＝3. 在 Rt△ ABC 中 ， AC ＝ AB2＋BC2 ＝
32＋32＝3 2.
整合方法
11．【中考·资阳】如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点 A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
整合方法
AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于 E，F，G 三点，过点
2022年湘教版数学九下《切线长定理》立体课件(公开课版)
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
2
同理可得∠COE= 1 ∠COB.
P
2
∠DOE=∠DOC+∠COE=
1 2
（∠AOC+
∠COB）=70°.
简单地说，
两点之间线段最短。
走进生活
你能举出利用“两点之间线段最短”的例子吗？
勤于巩固2
村庄A
两点之间线段最短
大桥P
河流
村庄B
如图，村庄A, B之间有一条河流，要在河 流上建造一座大桥P, 为了使村庄A, B之间 的距离最短，请问：这座大桥P应建造在 哪里。为什么？请画出图形。
问题征答
下列说法正确的是( D )
A
O
P
B
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
5.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B, ∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则
∠ACB= 65 °或115 °.
A
P O
B 第3题
⑴ △PDE的周长是
；
DA
⑵ ∠DOE= ____ .
P
C
O
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. E
B
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.