《概率论与数理统计》第一章作业解答

=
C52 · 63 75
=
0.1285
P (B)
=
C75 · 5! 75
=
0.1499
6、有一个随机数发生器，每一次等可能地产生 0，1，2，3，... ，9 十个数字，由这些数字随
机编成的 n 位数码（各数字允许重复），从全部 n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过 k
（k ≤ 9）的概率.
解：基本事件的总数 10n，全部 n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过 k 的方法有：kn，
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.92 + 0.93 − 0.988 = 0.862 （2）两个系统中仅有一个有效的概率:
P (AB ∪ AB) = (P (A) − P (AB)) + (P (B) − P (AB)) = 0.92 − 0.862 + 0.93 − 0.862 = 0.126
because therefore
0 ≤ P (A2) − P (A1 ∪ A2) ≤ 1
P (A) ≥ P (A1A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∪ A2) ≥ P (A1) + P (A2) − 1
17、掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正 面的概率是多少？ 解：设 A={第五次出现正面}，B={第六次停止}，则
P (A) = (10 − 4 + 1)P44P66 = 1
10!
30
P (B) = (10 − 4 + 1)P66 = 1
10!
720
5、一辆公共汽车出发前载有 5 名乘客，每一位乘客独立地在七个站中的任一个站离开，试求
下列事件的概率：
（1）第七站恰有两位乘客离去；
（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去。
P (A ∪ B)
=
P (A) + P (B)
=
C140 C244
+
C144 C244
=
0.1140
15、设将 5 个球随意地放入 3 个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率.
解：5 个球随意地放入 3 个盒子中事件总数 n =35 ,3 个盒子中一个盒子有球方法数 m1 = 3 3 个盒子中 2 个盒子有球方法数 m2 = C51P33 + C52P33 所以，每个盒子内至少有一个球的概率：
试求：
（1）最小的号码为 5 的概率；
（2）最大的号码为 5 的概率.
解：从 1 号到 10 号，拿 3 个随机号码，基本事件的总数是：C130；
已知其中有个是 5, 其余两个大于 5 的组合共有 C11C52
（1）最小的号码为 5 的概率；
P1
=
C11C52 C130
=
1 12
=
0.083
（2）最大的号码为 5 的概率：
1
（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度； （5）从分别标有号码 1，2，3，... ，10 的十个球中任意取两球，记录球的号码. 解：（1）Ω1 = {3, 4, 5, · · · , 18}
（2）Ω2 = {HHH, HHT, HT H, HT T, T HH, T HT, T T H, T T T } （3）Ω3 = {5, 6, 7, · · · } （4）Ω4 = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} （5）Ω5 = {(m, m) : 1 ≤ m ≤ 10, 1 ≤ n ≤ 10, m ̸= n} 3、将 12 个球随机地放入 20 个盒子，试求每个盒子中的球不多于 1 个的概率. 解：设 A={任意的 12 个盒子放 1 个球} , 显然基本事件的总数为 2012 种放法，任意的 12 个盒子 放 1 个球，有 P2102 种放法，故：
1、设 A，B，C 为随机试验的三个随机事件，试将下列各事件用 A，B，C 表示出来. （1）仅仅 A 发生； （2）所有三个事件都发生； （3）A 与 B 均发生，C 不发生； （4）至少有一个事件发生； （5）至少有两个事件发生； （6）恰有一个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）没有一个事件发生； （9）不多于两个事件发生. 解：（1）A · B · C
P (A
|
B)
=
P (AB) P (B)
=
0.56 0.56
× ×
C41 C52
=
0.4
18、证明：P (A | B) > P (A) > 0，则 P (B | A) > P (B)
证明：
P (AB) P (AB)
P (B | A) =
P (A)
>
= P (B)
P (A | B)
证毕
19、设事件
A，B
P (AB) = P (A(1 − B)) = P (A) − P (AB) = p − (p + q − r) = r − q
P (A · B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − r
10、一批产品共 100 件，其中 5 件不合格。若抽检的 5 件产品中有产品不合格，则认为整批产 品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？ 解：从中任意抽取 5 件, 抽到 5 件全是合格的概率是:
《概率论与数理统计》第一章作业解答
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2017 年 10 月 1 日
《概率论与数理统计》电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编 第一章《概率论的基本概念》 样本空间与随机事件：习题 1-2 古典概率：习题 3-9 条件概率：习题 10-21 全概率公式：习题 22-26 贝叶斯公式：习题 27-30 事件的独立性：习题 31-36
13、10 把钥匙上有 3 把能打开门，今任取 2 把，求能打开门的概率.
解一：两把打不开的概率为：
76 7 10 × 9 = 15
所以,
能打开门的概率为：P
=
1−
7 15
=
8 15
解二：从 10 把钥匙中取 2 把的所有种数为 C120 ，取出的两把都不能开门的种数为 C72 所以取出两
把打不开门的概率为
P2
=
C11C42 C130
=
1 20
=
0.05
9、设事件 A，B 及 A ∪ B 的概率分别为 p，q 和 r，试求：P (AB), P (AB), P (AB), P (A · B)
解：
P (AB) = P (A) + P (B) − A ∪ B = p + q − r
P (AB) = P ((1 − A)B) = P (B) − P (AB) = q − (p + q − r) = r − p
的点数之和是奇数}，则
P (B)
=
18 36
,P
(AB)
=
12 36
,
于是,
P (AB) 2
P (A | B) =
P (B)
= 3
21、设 10 件产品中有 4 件次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后， 另一件也是次品的概率. 解：设 A={取出的产品中至少一件是次品};B ={取出的产品中两件都是次品}； 因为 B ⊂ A, 所以，AB = B ，
故：
kn P (A) = 10n
2
7、一元件盒中有 50 个元件，其中 25 件一等品，15 件二等品，10 件次品，从中任取 10 件， 求： （1）恰有两件一等品，两件二等品的概率； （2）恰有两件一等品的概率： （3）没有次品的概率. 解：设 Ai={取出的 10 块中恰有 i 块一等品};Bi={取出的 10 块中恰有 i 块二等品};i=0,1,2,· · · ,10； 11 个事件互不相容，故： （1）恰有两件一等品，两件二等品的概率:
（2）ABC （3）ABC （4）A ∪ B ∪ C （5）AB ∪ BC ∪ CA （6）AB · C ∪ ABC ∪ A · BC （7）ABC ∪ ABC ∪ ABC （8）A · B · C （9）ABC 2、写出下列随机试验的样本空间. （1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和； （2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果； （3）对一目标进行射击，且到击中 5 次为止，记录射击的次数；
P
=
1−
3 + C51P33 + C52P33 35
=
50 81
4
16、已知 A1 和 A2 同时发生，则 A 必发生，证明：P (A) ≥ P (A1) + P (A2) − 1 证明：由已知，A1A2 ⊂ A，再由单调性，P (A1A2) ≤ P (A)，则
P (A) ≥ P (A1A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∪ P (A2))
P (A)
=
1−
P (A)
=
1−
C62 C120
=
2 3
P (B)
=
C42 C120
=
2 15
5
所求发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率为：
P (AB) P (B) 1
P (B | A) =
P (A)
=
=
P (A) 5
22、10 件产品有,6 件是正品，4 件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？ （1）最先两次抽到的都是正品； （2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品； （3）在第五次检查时发现最后一个次品. 解：设 Ai={第 i 次抽到的是正品}，i=1,2,3,4,5,6, 设 B={第五次检查时发现最后一个次品}, 则;