高中数学北师大版必修5 第一章3.1第一课时 等比数列 作业 含解析

[学业水平训练]
1．给出下列命题：(1)若a －b
＝－b c ，则－a ，b ，－c 成等比数列(abc ≠0)；(2)若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；(3)若a n ＋1＝a n q (q 为常数)，则{a n }是等比数列．其中正确的命题有
( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选B.(1)显然正确；(2)中，abc ＝0时不成立；(3)中q ＝0时不成立．故选B.
2．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析：选B.由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，∴q ＞0，∴q ＝4.
3．在等比数列{a n }中，公比为q ，若a m ＝xa n ，则x 等于( )
A ．q
B ．q n －m
C ．q m －n
D ．1
解析：选C.∵a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，∴a 1q m －1＝xa 1q n －1，∴x ＝q m －n .
4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析：选C.在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝q
m －1，∴m －1＝10，
∴m ＝11.
5．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B.∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，
∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)或k ＝4.
6．等比数列12，－14，18
，…的第8项是________． 解析：等比数列12，－14，18…首项为12，公比为－12，则第8项为12×(－12)7＝－1256
. 答案：－1256
7．若k ，2k ＋2，3k ＋3是等比数列的前3项，则第4项为________．
解析：∵k ，2k ＋2，3k ＋3是等比数列的前3项，
∴有(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，
解得k ＝－1或－4.
∵2k ＋2为等比数列中的项，2k ＋2≠0，
∴k ＝－1(舍去)，∴k ＝－4.
则该数列前3项为－4，－6，－9，
∴第4项为－13.5.
答案：－13.5
8．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插
入的两个数是________．
解析：设插入的两数依次为a ，b ，∴a 2＝2b ，2b ＝a ＋30.
∴a 2－a －30＝0.∴a ＝6.∴b ＝18.
答案：6，18
9．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
解：设这三个数依次为x q
，x ，xq . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝27，x 2q 2＋x 2＋x 2q 2＝91， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，q ＝±
3或±13. 故这三个数分别为1，3，9或9，3，1或－1，3，－9或－9，3，－1.
10．在等比数列{a n }中，a n ＝3·(12
)n －1，且b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ，判断数列{b n }是否为等比数列．
解：数列{b n }为等比数列．理由如下：
∵数列{a n }为等比数列，且a n ＝3·(12)n －1，∴q ＝12
. 于是b n ＝a 3n －2(1＋q ＋q 2)＝a 3n －2·(1＋12＋14
)＝ 74a 3n －2，则b n ＋1＝74
a 3n ＋1. 因此
b n ＋1b n ＝74a 3n ＋174
a 3n －2＝q 3＝18.故数列{
b n }为等比数列． [高考水平训练]
1．首项为1，公比|q |≠1的等比数列{a n }的前n 项之积等于该数列的第11项，则n ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选D.由题意知，a 1a 2a 3…a n ＝a 11，
即q 10＝q 1·q 2·q 3·…·q
n －1＝q n （n －1）2， ∴n （n －1）2
＝10，解得n ＝5. 2．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．
解析：∵(c －a )2＝(b －c )(b －a )，c ＝a ＋x (b －a )，
∴x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，
整理得x 2＋x －1＝0.
解得x ＝－1＋52或x ＝－1－52
(舍去)． 答案：－1＋52
3．三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，则可成为等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．
解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (d ≠0)， ∴a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，
∴a ＝2，∴这三个数分别为2－d ，2，2＋d .
若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )．
解得，d ＝6或d ＝0(舍去)，
此时三个数为－4，2，8.
若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，
解得，d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8，2，－4.
若2为等比中项，则22＝(2＋d )(2－d )，
解得d ＝0(舍去)．
综上可知，这三个数是－4，2，8.
4．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，
B 两容器中农药的浓度差为20%(a ＞b )，再将A 中农药的14
倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.
b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15
(4a 0＋b 0)； b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15
(4a 1＋b 1)； …
b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15
(4a n －1＋b n －1)． ∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·(35)n －1＝(a 0－b 0)·(35
)n . ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·(35
)n . 依题意15·(35
)n ＜1%，n ∈N ＋，解得n ≥6. 因此至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.。