高中数学必修4作业本答案
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章平面向量2．1 平面向量的实质背景及基本观点练习（P77）1、略.uuur uuur这两个向量的长度相等，但它们不等 .2、AB，BA .uuur uuur uuur uuur3、 AB2， CD 2.5 ， EF3，GH 2 2.4、（ 1）它们的终点同样；（2）它们的终点不一样 .习题 A 组（P77）1、（ 2 ）B45°O30°CAD.CA Buuur uuur uuuruuur uuur uuur3、与 DE 相等的向量有：AF , FC ；与 EF 相等的向量有： BD , DA ；uuur uuur uuur与 FD 相等的向量有： CE , EB .r uuur uuur uurr uuuur uuur4、与 a 相等的向量有：CO , QP, SR；与 b 相等的向量有： PM , DO ；r uuur uuur uuur与 c 相等的向量有： DC , RQ, STuuur 3 36、（1）×；（2）√；（3）√；（4）× .5、 AD.2习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量 .uuuur2、相等的向量共有24 对.模为 1的向量有 18对 . 此中与 AM 同向的共有 6uuuur uuur uuur对，与 AM 反向的也有 6 对；与 AD 同向的共有 3 对，与 AD 反向的也有 6 对；模为 2 的向量共有 4 对；模为 2 的向量有 2 对2．2 平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略 .2、图略 .uuur uuur3、（1） DA ； （2） CB .r ururur 4、（ 1） c ； （ 2） f ； （3） f ；（ 4） g . 练习（P87） uuuruuur uuur1、图略 . uuur uuur3、图略 .2、DB ，CA ， AC ，AD ，BA.练习（P90）1、图略 .5 uuur uuur 2 uuuruuur2、 ACAB ，BCAB .7 7uuur说明：此题可先画一个表示图，依据图形简单得出正确答案. 值得注意的是BCuuur与 AB 反向.rrr7rr1rr8r3、（ 1） b2a ；（2） b4 a ；（3） ba ；（4） ba .294、（ 1）共线；（ 2）共线 .r r（ 2）11r1rr6、图略 .5、（ 1） 3a2b ；12 ab ；（ 3） 2 ya .习题 A 组（P91）31、（ 1）向东走 20 km ； （2）向东走 5 km ； （3）向东北走 10 2 km ；（ 4）向西南走 5 2 km ；（ 5）向西北走 10 2 km ；（6）向东南走 10 2 km.2、飞机飞翔的行程为 700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞翔 500 km.uuur uuur3、解：如右图所示： AB 表示船速， AD 表示河水的流速，以 AB 、 AD 为邻边作 □ ABCD ，则uuurAC 表示船实质航行的速度 .uuur uuur在 Rt △ABC 中， AB 8 ， AD 2 ，uuuruuur 2uuur 2222 17所以 ACAB AD82 因为 tan CAD4 ，由计算器得 CAD 76BCAD水流方向所以，实质航行的速度是 2 17 km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为 76°.r uuur uuur r r uuur4、（1） 0； （2） AB ； （3） BA ； （4）0 ； （5）0 ； （6）CB ； （7） r0 .5、略6、不必定组成三角形 . 说明：联合向量加法的三角形法例，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段必定能组成三角形 .7、略. 8、（1）略； r r r r r r（2）当 a b 时， a b a b9、（1） r r rr r ；r 1 r（ 4）2( xr2a2b ； （ 2）10a 22b 10c （3）3a b ； y)b .r r ur r rur uur r r uruur 210、 a b 4e 1 ， a be 1 4e 2 ， 3a 2b3e 1 10e 2 .uuurr uuur r 11、如下图， OCa ， ODb ，uuur r r uuur r rDCb a ， BCa b .（第 11 题）uuur1ruuurr r uuur 1 r r uuur 3 r12、 AEb ， BCb a ， DE (b a) ， DBa ，44 1 uuuur4uuur3ruuur1 r r uuur 1 r rEC b ， DN8 (b a) ， AN 4 AM (ab) .4813、证明：在ABC 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点，所以 EF //AC 且EF 1AC ，（第 12 题）Guuur 1 uuur2D即 EF 2 AC ；1 uuuruuur同理， HG AC ，H2 uuur uuur所以 EFHG .E习题 B 组（P92） A（第 13 题）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地 1400 km.乙2、不必定相等，能够考证在 r ra,b 不共线时它们不相等 .uuuur uuur uuuuruuur 1 uuur uuuur 1 uuur3、证明：因为 MN AN AM ，而 AN3 AC ， AMAB ，1 uuur1 uuur1 uuur 3uuuur1 uuur uuur所以 MN3 AC3 AB 3 ( AC AB) 3 BC .甲4、（ 1）四边形 ABCD 为平行四边形，证略（第 1 题）（ 2）四边形 ABCD 为梯形 .Cuuur 1 uuur证明：∵ AD BC ，3∴ AD//BC 且 AD BC∴四边形 ABCD 为梯形 .DCFB丙BA（ 3）四边形 ABCD 为菱形 .（第 4 题 (2)）uuur uuurB证明：∵ AB DC ，∴ AB/ /DC 且 AB DC C A∴四边形 ABCD 为平行四边形uuur uuurD又 AB AD（第 4题 (3)）∴四边形 ABCD 为菱形.M5、（ 1）经过作图能够发现四边形ABCD 为平行四边形.uuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：因为 OA OB BA，OD OC CDuuur uuur uuur uuur A D而OA OC OB ODuuur uuur uuur uuur B C 所以 OA OB OD OCuuur uuurO所以 BA CD ，即AB∥CD.所以，四边形 ABCD 为平行四边形.（第 5题）2．3 平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）r r r r r r r r1、（ 1） a b(3,6) ， a b(7,2) ；（ 2） a b(1,11)， a b(7,5)；r r r r(4,6) ；r r r r(3,4) .（ 3） a b(0,0) ， a b（4） a b(3, 4) ， a b r r r r(12,5) .2、 2a 4b( 6,8) ， 4a3buuur(3, 4)uuur( 3,4) ；uuur(9,1)uuur(9,1)3、（ 1） AB， BA（2） AB， BA；uuur(0, 2)uuur(0,2)uuur uuur(5,0)（3） AB， BA；（4） AB(5,0) ， BA4、AB∥CD .uuur uuur(1,uuur uuur证明： AB(1, 1) ， CD1) ，所以 ABCD.所以AB∥CD .5、（1）(3, 2)；（ 2） (1,4) ；（3）(4,5) .6、(10,1)或(14,1)33uuur3uuur uuur3 uuur7、解：设 P( x, y) ，由点P在线段AB的延伸线上，且AP2PB ，得 AP2PBuuur uuur( x, y) (2,3)( x(4,3)(x, y)(4x,3y) AP2, y 3) ， PB3x23(4x)∴ ( x2, y3)x, 3 y)∴2(43( 32y3y)2x 8 ∴，所以点 P 的坐标为 (8, 15) .y15习题A 组（P101）1、（ 1） ( 2,1) ；（ 2） (0,8) ；（ 3） (1,2) .说明：解题时可设 B(x, y) ，利用向量坐标的定义解题 .uur uur uur 2、 F 1 F 2 F 3(8,0)uuur ( 1, uuur (53,6 (1)) (2,7)3、解法一： OA 2)，BCuuuruuur uuur uuuruuur uuur uuur (1,5) .所以点 D 的坐而 ADBC ，ODOAADOA BC标为 (1,5) .uuur ( x( 1), y ( 2)) ( x 1, y2) ，解法二：设 D( x, y) ，则 AD uuur (5 3,6 ( 1)) (2,7)BCuuur uuur1 2，解得点 D 的坐标为 (1,5) .由 ADBC 可得， xy 2 7uuur uuur2,4) .4、解： OA (1,1)， AB (uuur 1 uuuruuuruuuruuur1 uuur(1, 2) .ACAB ( 1,2) ， AD2 AB( 4,8) ， AE2AB2uuur uuur uuur(0,3) ，所以，点 C 的坐标为 (0,3) ； OC OA ACuuur uuur uuur ( 3,9) ，所以，点 D 的坐标为 (3,9)OD OA AD；uuur uuur uuur(2, 1) ，所以，点 E 的坐标为 (2,1) .OE OA AE r r (2,3)(x,6)，所以23，解得 x 4 .5、由向量 a,b 共线得x 6uuur (4, 4) uuur ( 8,uuur uuur uuuruuur 6、 AB ， CD 8)，CD 2AB ，所以 AB 与CD 共线 .uuuruuur(2, 4) ，所以点 A 的坐标为 (2, 4) ；7、 OA2OAuuur uuur ( 3,9)B 的坐标为( 3,9)OB 3OB ，所以点；故uuuur( 3,9) (2, 4) ( 5,5)A B 习题B 组（P101）uuur (1,2)uuur (3,3) . 1、 OA ， AB当 tuuur uuur uuur uuur(4,5) ，所以 P(4,5) ； 1时， OP OA AB OB当 t1 uuur uuur1 uuur(1,2) 3 35 7 ) ，所以 5 , 7时， OPOAAB( , ) ( , P( ) ；222 2 2 2 2 2uuur uuuruuur( 5, 4) ，所以 P( 5, 4)；当 t2时， OP OA 2AB(1,2) (6,6) 当 tuuur uuur uuur (7,8) ，所以 P(7,8) .2时， OP OA 2 AB (1,2) (6,6)uuur ( 4, 6) uuur uuur uuur2、（1）因为 AB ， AC (1,1.5) ，所以 AB4AC ，所以 A 、B 、C 三 点共线；uuuruuuruuur uuur（ 2）因为 PQ(1.5,2)，PR(6, 8) ，所以 PR 4PQ ，所以 P 、Q 、R 三点共线；uuuruuur( 8,( 1, uuur uuur（ 3）因为 EF4) ，EG 0.5) ，所以 EF 8EG ，所以 E 、F 、G三点共线 .uruur r ur uur3、证明：假定10 ，则由 1 e 12 e 2 0 ，得 e 12e 2 .1ur uurur uur 是平面内的一组基底矛盾 ,所以 e 1 ,e 2 是共线向量，与已知 e 1,e 2 所以假定错误，10 .同理 2 0 .综上 120 .uuuruuur ur uur4、（1） OP19 .（ 2）关于随意愿量 OP xe 1 ye 2 ， x, y 都是独一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理 .2．4 平面向量的数目积 练习（P106）ur rur r ur r 8 6124 .1、 p q p q cos p, q2r rr rABC 为直角三角形 .2、当 a b 0 时，ABC 为钝角三角形；当 a b 0 时，3、投影分别为 3 2 ， 0， 3 2 . 图略 练习（P107）r( 3)2 42r 52 22r r35427 .1、 a 5 ， b29 ， a br rr r rrr r rr r49 .2、 a b8 ， (a b)(a b)7 ， a (b c) 0 ， (a b)2r r rr74，88 . 3、 a b 1， a13 ， b习题 A 组（P108）r r r rr 2 r r r 2r r25 12 3.1、 a b6 3 ， (a b)2 a2a b b25 12 3 ， a buuur uuuruuur uuur 20 .2、 BC 与 CA 的夹角为 120°， BC CAr rr 2 r r r 2r rr 2 r r r 2 35 .3、 a ba 2ab b23 ， a ba 2ab br r4、证法一：设 a 与 b 的夹角为 .（ 1）当 0 时，等式明显建立；（ 2）当r r rr时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，所以( r r r r r ra) b a b cosa b cos r rr r( a b)a b cosr r r r r r a ( b)ab cosa b cosr rr r r r所以 ( a) b(a b) a ( b) ；（ 3）当r r r r180时， a 与 b ， a 与 b 的夹角都为 ，则 (r r r r ) r r a) b a b cos(180 a b cosr r r r r r ( a b)a b cosa b cosr r r r )r r a ( b)ab cos(180a b cosr rr r r r 所以 ( a) b(a b) a ( b) ；综上所述，等式建立 .r r证法二：设 a (x 1, y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，r r那么 ( a) b ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1 x 2 y 1 y 2 r r( a b) ( x 1 , y 1 ) ( x 2, y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2r r a ( b) (x 1, y 1 ) ( x 2 , y 2 ) x 1x 2 y 1 y 2所以 (r rr r r ra) b (a b)a ( b) ；5、（ 1）直角三角形， B 为直角 .uuur( 1, 4)(5, 2) ( 6, 6)uuur(3, 4)(5, 2) ( 2, 2)证明：∵ BA ， BCuuur uuur 6 ( 2) ( 6)2 0∴ BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， （ 2）直角三角形， A 为直角uuur (19,4) ( 2, 3) (21,7)uuur ( 1, 6) ( 2,3) (1, 3)证明：∵ AB ， ACuuur uuur21 1 7 ( 3) 0∴ AB ACuuur uuur A 为直角，ABC 为直角三角形∴ ABAC ，（ 3）直角三角形， B 为直角uuuruuur证明：∵ BA (2,5) (5, 2)( 3,3) ， BC(10,7) (5, 2) (5,5)uuur uuur 3 5 3 5 0∴BA BCuuur uuur B 为直角，ABC 为直角三角形∴ BABC ， 6、 135 . 7、120 .r r r r r 2 r r r 2 r r 6 ，(2a 3b)(2 a b)4a 4a b 3b 61 ，于是可得 a br r 1cosa b，所以 120 .r r2a b8、 cos23 ， 55 .40uuuruuur9、证明：∵ AB(5, 2) (1,0) (4, 2) ， BC(8, 4)(5, 2) (3,6) ，uuur(8, 4) (4,6) (4, 2)DCuuur uuur uuur uuur 4 3 ( 2) 6 0∴ AB DC ，AB BC∴ A, B,C , D 为极点的四边形是矩形 .r( x, y) ，10、解：设 ax 2y 2 9x 3 5x 3 5则y ，解得6 5 ，或 5 .x2y5 y6 55 5rr 3 5 , 6 5).于是 a (3 5 , 6 5) 或 a (5 55 5r r11、解：设与 a 垂直的单位向量 e (x, y) ，则 x2y 21x5或 x5，解得 5 5 . 4x2 y 0 y2 5 2 55 y 5r 5 ,r 5,2 5). 于是 e (2 5) 或 e (5555习题 B 组（P108）r r r r r rr rr r rr r r 1、证法一： a b a ca b a ca (b c)a(b c)rr r证法二：设 a( x 1 , y 1) ， b (x 2 , y 2 ) ， c ( x 3 , y 3 ) .r r r rr r r 先证 a b a ca(b c)r rr ra b x 1 x 2y 1 y 2 ， a c x 1 x 3 y 1 y 3r r r r由a b a c得x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3，即x 1( x 2 x 3 ) y 1 ( y 2y 3 ) 0r rr r r而 b c ( x 2 x 3 , y 2y 3 ) ，所以 a (b c) 0rr r r r r r 再证 a(b c)a b a cr r r由 a (b c)0 得 x 1 (x 2x 3 ) y 1 ( y 2 y 3 )0 ，r rr r 即 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 3 y 1 y 3 ，所以 a ba cuuur uuur2、 cos AOBOA OB cos cos sinsin .uuur uuurOA OBr r (c, d) .3、证明：结构向量 u (a,b) ， vr r r r r r，所以 acbda 2b 2c 2d 2 cos r ru v u v cos u,vu, v∴ (ac bd )2 (a 2 b 2 )(c 2d 2 ) cos 2 r r ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )u, vuuur uuur 4、 AB AC 的值只与弦 AB 的长相关，与圆的半径没关 .C证明：取 AB 的中点 M ，连结 CM ，则 CMuuuur 1 uuurAB，AM AB2uuuuruuur uuur uuur uuurBAC AM又AB AC AB AC cos BAC ，而uuurAC uuur uuur uuur uuuur1uuur 2所以 AB AC AB AM2ABuuur uuur 2uuur 25、（ 1）勾股定理：Rt ABC中，C902，则 CA CB ABuuur uuur uuur证明：∵ AB CB CAuuur 2uuur uuur uuur 2uuur uuur uuur 2∴ AB(CB CA)2CB2CA CB CA .uuur uuur由 C 90 ，有 CA CB，于是CA CB 0uuur 2uuur2uuur2∴ CA CB AB（2）菱形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：∵ AC AB AD， DB AB AD ,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 2∴ AC DB (AB AD) (AB AD)AB AD .∵四边形 ABCD 为菱形，∴ ABuuur 2uuur 2 AD ，所以AB AD0uuur uuurBD∴ AC DB 0，所以AC（3）长方形ABCD中，求证：AC BDuuur uuur 证明：∵ 四边形 ABCD 为长方形，所以 AB0AD ，所以AB ADuuur 2uuur uuur uuur 2uuur 2uuur uuur uuur 2.∴ AB2AB AD AD AB2AB AD ADuuur uuur uuur uuur uuur2uuur2BD ∴ (AB AD )2 (AB AD )2，所以 AC BD，所以 AC （4）正方形的对角线垂直均分. 综合以上（ 2）（ 3）的证明即可 .2．5 平面向量应用举例习题 A 组（P113）1、解：设 P(x, y) ， R( x1 , y1)uuur uuur则 RA(1,0)(x1, y1 )(1x1,y1 ) ，AP(x, y)(1,0)( x1,0)uuur uuurx1,y1)2( x1, y) ，即x12x3由 RA2AP 得(1y12y代入直线 l 的方程得 y 2x . 所以，点 P 的轨迹方程为 y2x .A2、解：（1）易知， OFD ∽ OBC ， DF1BC ,2BF .2DF所以 BOuuur uuur 32 uuurr 2 1 r rr1rrOuuurAOBOBABF a3 ( ba)a(a b)uuurr323BCr E（2）因为 AE1(ab)2（第 2 题） uuur 2 uuurAO 所以 AOAE ，所以 A,O, E 三点共线，并且23OE同理可知：BO2,CO2 ，所以AOBO CO 2r uur uurOFODOEOFOD3、解：（1） v v B v A( 2,7) ；uurr uurrv v A 13 . （2） v 在 v A 方向上的投影为uurv A5（第 4题）uuruur ur ur uur4、解：设 F 1 ， F 2 的协力为 F ， F 与 F 1 的夹角为 ，ur uur uur uur则 F 3 1， 30 ； F 3 3 1 ， F 3 与 F 1 的夹角为 150°. 习题 B 组（P113）uuruuruur1、解：设 v 0 在水平方向的速度大小为v x ，竖直方向的速度的大小为v y ，uur uur uur uursin .则 v x v 0 cos ， v y v 0设 在 时 刻 t时 的 上 升 高 度 为 h ， 抛 掷 距 离 为 s， 则uur1gt,( g 为重力加快度 )hv 0 t sinuur2sv 0 t cosuur 2 uur 2v 0 sin2v 0 sin 2所以，最大高度为，最大扔掷距离为g.2guruur r uur r，行驶距离为 d .2、解：设 v 1 与 v 2 的夹角为 ，合速度为 v ， v 2 与 v 的夹角为 ur r则 sin v 1 sin 10sin ， d 0.5 v . d 1 .r r sin20sin ∴ r 20sinv v v所以当90 ，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短 .3、（ 1） (0, 1)uuur( x 1, y 2) . uuur2 2) .解：设 P( x, y) ，则 APAB(2,uuuruuur 7 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转到 AP ，相当于沿逆时针方向旋转到44uuur AP ，uuur7 2 7 7 2 7 (1,3)于是 AP( 2 cos2 sin, 2 sin2 cos )4444所以x1 1，解得 x0, y1y233（ 2） y2 xuuur后，点 P 的坐解：设曲线 C 上任一点 P 的坐标为 ( x, y) ， OP 绕 O 逆时针旋转4标为 (x , y )x x cosysin x2( x y)则44，即2yx siny cosy2y)4( x42又因为 x2y23，所以1( xy) 21( xy) 2 3 ，化简得 y32 22x第二章复习参照题 A 组（ P118）1、（ 1）√； （2）√；（3）×； （4）× .2、（1） D ；（2） B ；（3） D ；（4）C ；（5）D ；（6） B.uuur1rruuur 1 r r3、 AB(a b) ， AD 2( a b)2uuur uuur uuur uuur2 r 1r4、略解： DEBAMA MBab3 3uuur 2 r2 ruuur1 r1 rAD ab ， BC a b333 3uuur 1r1ruuuruuur 1 r 2rEFab ， FA DC ab3333uuur 1r2ruuur 2r1rCDab ， ABab33 3 3uuur r r CE abuuur (8, 8) uuur8 2 ；5、（ 1） AB ， AB（第 4题）uuur uuur( 8,8) ；uuur uuur（2） OC (2, 16) ， OD （3） OA OB 33.uuur uuur6、AB与CD共线.uuur uuur uuur uuur uuur uuur 证明：因为 AB(1, 1) ， CD(1, 1) ，所以 AB CD.所以 AB与CD 共线.7、D(2,0) .8、n 2 .9、1,0.30,cos C 410、cos A ,cos B55r ur ur r ur ur 21r ur ur11、证明：(2 n m) m2n m m 2cos600 ，所以 (2n m)m .12、 1 .r r r r1.14、cos5,cos19 13、a b13 ， a b820第二章复习参照题B组（P119）1、（1） A；（2）D；（3）B；（4）C；（5）C；（6）C；（7）D .r r r r r r2、证明：先证a b a b a b .r r r r r 2r 2r ra b(a b)2a b2a b，r r r r r2r2r ra b( a b)2a b2ab .r r r r r r r 2r 2r r因为 a b ，所以 a b0 ，于是 a b a b a b .r r r r r r再证 a b a b a b .r r r 2r r r 2r r r 2r r r 2因为 a b a2a b b， a b a2a b br r r r r r r r由 a b a b 可得 a b0 ，于是 a br r r r r r所以 a b a b a b .【几何意义是矩形的两条对角线相等】r r r ur3、证明：先证a b c dr ur r r r r r2r 2c d(a b) (a b)a br r r ur r ur又 a b，所以 c d0 ，所以 c dr ur r r再证 c d a b .r ur r ur r r r r r 2r 20（第 3题）由 c d 得 c d0，即 ( a b) (a b) a br r所以 a b【几何意义为菱形的对角线相互垂直，如图所示】uuur uuur uuuruuur 1rr uuur1r1r4、 AD AB BCCDa b ， AEa b P 3242uuur 3ruuuur 1 ruuuur uuuruuuur 1 r1 r1 r1 r r 而 EF4 a ， EM4 a ，所以 AM AEEMa b a (a b)4 2 4 25、证明：如下图，uuur uuur uuuuruuur uuuur uuur rOD OP OP ，因为 OP OPOP0 ，12 1 23 Ouuuruuuruuur所以 OP 3 OD ，OD 1uuuruuur uuurP 1P 2所以 ODOP PD11所以 OPP 1 2 30 ，同理可得OPP 1330D（第 5题）所以3 1 260 ，同理可得1 2360， 23 160 ，所以123为P PPPP PP P PPP P正三角形 .6、连结 AB.uuuur uuur r rN.由对称性可知， AB 是 SMN 的中位线， MN 2AB 2b 2a7、（ 1）实质行进速度大小为 42 (4 3) 2 8（千米／时），沿与水流方向成 60°的方向行进；（ 2）实质行进速度大小为 4 2 千米／时，MBA沿与水流方向成 90arccos 6的方向行进 .OSuuur uuuruuur uuur 3uuur uuur uuur uuur uuur （第 6题）8、解：因为 OA OBOB OC ，所以 OB (OA OC ) 0 ，所以 OB CA uuur uuur0 ， uuur uuur0 ，所以点 O 是 ABC 的垂心 .同理， OA BCOC AB9、（ 1） a 2 x a 1 y a 1 y 0 a 2 x 0 0 ； （2）垂直；（ 3）当 A 1B 2 A 2B 1 0时， l 1 ∥ l 2 ；当 A 1 A 2 B 1B 2 0时， l 1 l 2 ，夹角 的余弦 cosA 1A 2B 1B 2；A 1 2B 12A 22B 22Ax 0 By 0 C（ 4） dA 2B 2第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、 cos()coscossin sin0 cos1 sinsin .222cos(2) cos2 cossin2 sin 1 cos 0 sincos.2、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 cos()cos cossin sin 2 ( 3 ) 2 42 .4442 5 25 103、解：由 sin15 ， 是第二象限角，得 cos 1 sin 21(15 )28 ；171717所以 cos() cos cossin sin8 1 153 8 15 3 .33317 2 172344、解：由 sin2 , ( ,3) ，得 cos1 sin 21 (2 )25 ；3 23 3 又由 cos3 , (3,2 ) ，得 sin1 cos21 (3)27 .4244所以cos()cos cossin sin3 (5 ) ( 7) ( 2) 3 5 2 7 .43 4 312练习（P131）1、（ 1）6 2； （2）6 2； （3）62； （4）2 3.4442、解：由 cos3 , ( , ) ，得 sin 1 cos 21 ( 3)24 ；525 5所以 sin() sin coscos sin4 1 ( 3 ) 3 4 3 3 .3335 2 5 210 3、解：由 sin12 ， 是第三象限角，得 cos 1 sin 21( 12) 25 ；131313所以cos()cos cossinsin 3 ( 5 ) 1 (12) 5 3 12 .666213 2 1326tantan3 14、解： tan()4 2 .41 tantan 1 3 145、（ 1）1；（2）1；（3）1；（4）3 ；22（ 5）原式 = (cos34 cos26sin34 sin 26 )cos(3426 )cos601 ；2（6）原式= sin20cos70 cos20 sin70 (sin 20 cos70 cos20 sin70 ) sin901 .6、（ 1）原式 = cos cosx sinsin x cos( x) ；333（ 2）原式 = 2(3sin x1cosx)2(sin x coscosxsin) 2sin( x) ；22666（ 3）原式 = 2(2sin x2cos x) 2(sin x cos cos xsin 4) 2sin( x ) ；22 44（ 4）原式 = 2 2( 1cos x3sin x)2 2(cos3 cosx sin sin x)2 2 cos(x) .22337、解：由已知得 sin()cos cos()sin3 ，5即 sin[()]3， sin()355所以 sin3. 又 是第三象限角，5于是 cos1 sin 21 (3) 2 4 .55因此sin(5 ) sin cos 5cos sin 5( 3 )( 2 ) ( 4 )(2 ) 7 2 .444 52 5 210练习（P135）31、解：因为 812 ，所以82443sin 335 又由 cos，得 sin1 (2， tan85)5 84 4 885cos85所以 sinsin(2) 2sin cos2 (3) ( 4)24 488 85525 coscos(2) cos 2 sin 28( 4 )2 ( 3 )2 7 48 85 5 252tan82 3 3 16 24tantan(2)432 774821 (21 tan8 )42、解：由 sin()3，得 sin3，所以 cos 21 sin 21 ( 3)2 16555 25所以 cos2cos 2sin 216 ( 3) 2 725 5 253、解：由 sin2sin 且 sin0 可得 cos1 ，2又 由( 2 , )，得sin1 cos 21 ( 1 )23， 所以2 2tansin 3 ( 2) 3 .cos24、解：由tan21 ， 得 2tan1.所 以 tan 26tan1 0，所以3 1 tan 23tan3 105、（1）1sin30 1 ；（2）cos2sin2cos2 ；sin15 cos1582484 2（ 3）原式 = 1 2tan 22.51 tan45 1 ；（ 4）原式 = cos452 .2 1 tan 2 22.5 222习题A 组（P137）1、（ 1） cos(3)cos3cossin3sin0 cos( 1) sinsin；222（ 2） sin(3) sin3coscos3sin1 cos0 sincos ；222（ 3） cos() cos cos sin sin1 cos 0 sincos ；（ 4） sin( ) sin coscos sin0 cos( 1) sinsin .2、解：由 cos3,0，得 sin1 cos21 (3)24 ，55 5所以 cos() cos cos 6sinsin6 4 3 3 1 4 3 3 .65 25 2 103、解：由 sin2 , ( , ) ，得 cos1 sin 21( 2)25 ，3 233又由 cos3 , ( ,3) ，得 sin1 cos 21 ( 3) 27 ，4244所以cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 ) 3 5 2 7 .34 3 4 124、解：由 cos1 ， 是锐角，得 sin1 cos21 (1)24 3777因为 , 是锐角，所以 (0, ) ，又因 为sin( )1 cos2 ()1 (所以 coscos[( )( 11) 1 5 314 7 14 5、解：由 60150 ，得 90cos()11 ，所以1411)25 3 1414] cos()cossin()sin4 3 17230 180又由 sin(30)3，得 cos(30)1 sin 2(30)1 (3)2455 5所以 coscos[(30 ) 30 ] cos(30)cos30 sin(30)sin304 3 3 1 4 3 35 252106、（ 1）6 2 ；（2）24 6 ；（3） 2 3 .47、解：由 sin2 , (, ) ，得 cos 1 sin21 (2)25 .3233又由cos 3 ，是第三 象限角， 得4sin1cos 21 ( 3) 27 .4 4所以 cos() cos cossin sin5 ( 3 ) 2 ( 7 )3 4 3 4 3 52 712 sin() sincos cos sin2 ( 3) (5 ) ( 7 )3 4 3 46 35128、解：∵ sin A5 ,cos B3且 A, B 为 ABC 的内角13 5∴ 0 A,0 B， cos A12,sin B42135当 cos A12 时， sin( A B) sin AcosB cos Asin B 135 3 ( 12) 4 33 013 5 13565A B，不合题意，舍去∴ cos A12,sin B4135∴ cosCcos( A B)(cos AcosB sin Asin B)(123 5 4) 1613 5 13 5659、解：由 sin3 , ( , ) ，得 cos 1 sin21 (3)24 . 5255∴ tansin 3 ( 5 ) 3 . cos 5 44tantan 3 1 2∴ tan()43 21.1 tan tan1 ( )114 2tantan3 1tan()43 212 .1 tantan1 ( )4 210、解：∵ tan ,tan 是 2x 23x 7 0 的两个实数根 .∴ tantan3， tantan7 .22tantan3 1 ∴ tan( )21 tantan7.1 () 3211、解：∵ tan() 3,tan( ) 5∴ tan2tan[( )()]tan( ) tan()3 5 41 tan() tan( ) 1 3 57tan 2tan[()( )]tan() tan( ) 3511 tan() tan()1 3 5812、解：∵ BD : DC : AD2:3:6B∴ tanBD 1,tanDC 1AD3AD2D1 1tan tan∴ tan BAC tan(3 21)tantan1 111α3 2 AβC又∵ 0BAC180 ，∴ BAC45（第 12 题）13、（ 1）6 5 sin( x) ；（2） 3sin( x) ；（3） x) ；（4） 27 x) ；3 2sin(2sin(62612（5）2；（ 6） 1；（7）sin() ；（ 8） cos()；（9） 3 ； （10）22tan() .14、解：由 sin0.8,(0,) ，得 cos1 sin 21 0.820.62∴ sin22sin cos 2 0.8 0.6 0.96cos2 cos 2sin 20.620.820.2815、解：由 cos3,180270 ，得 sin1 cos 21( 3 ) 26333∴ sin 22sincos2 ( 6 ) ( 3)2 2333cos2cos 2sin 2(3 )2 ( 6 ) 2 13 3 3tan 2sin 2 2 2 (3)2 2cos2 316、解：设 sin Bsin C5，且0B 90 ，所以 cosB12 .1313∴ sin A sin(1802B) sin2 B 2sin Bcos B25 12 12013 13169cos A cos(1802B)cos2B(cos 2 Bsin 2 B)(( 12 )2 ( 5 )2 ) 11913 13169sin Atan Acos Atan 22tan 17、解： 1 tan 2120(169) 169 1192131 (1)2 3120 1193 ，tantan 21 3 7 41 . tan(2 )tan2141 tan 314718、解： cos()cossin()sin1cos[()]1，即 cos1333又( 3 ,2 ) ，所以 sin1 cos21 (1)22 2 233∴ sin 22sin cos2 ( 2 2 ) 14 23 39cos2cos 2sin 2( 1 )2( 2 2 ) 2733 9∴cos(2) cos2 cossin 2 sin7 2 4 2272 892(9 )184 44219、（1） 1 sin2；（2） cos2 ；（3） 1sin 4x ；（4） tan2 .4习题 B 组（P138）1、略.2、解：∵ tan A,tan B 是 x 的方程 x 2 p(x 1) 1 0 ，即 x 2px p 1 0 的两个实根∴ tan A tan B p ， tan A tan B p 1∴ tan C tan[(A B)]tan(A B)tan A tan B p 1 tan A tan B11 ( p 1)因为 0 C，所以 C3 .43、反响一般的规律的等式是（表述形式不独一）sin 2cos 2 (30 )sincos(30 )3 （证明略）4 此题是开放型问题，反应一般规律的等式的表述形式还能够是：sin 2 (30 ) cos 2sin(30 )cos34sin 2 (15 ) cos 2 (15 ) sin( 15 )cos(15 ) 34 sin2cos2sincos3，此中30 ，等等4思虑过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面找寻共同特色，进而作出概括 . 对认识三角函数式特色有帮助，证明过程也会促使推理能力、运算能力的提升 .4、因为 PAPP ，则 (cos() 1)2 sin 2 ()(coscos ) 2 (sinsin )21 2即 2 2cos() 2 2cos cos 2sin sin所以 cos() cos cossinsin3．2 简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略 .3、略 .4、（ 1） y1sin 4x . 最小正周期为，递加区间为 [8k , k ], k Z ，最222 82大值为 1；2（ 2） y cosx 2 . 最小正周期为 2 ，递加区间为 [2k ,22k ], k Z ，最大值为 3；（ 3） y 2sin(4 x) . 最小正周期 ， 增区 [5k , k ], k Z ，最32242 24 2大 2.A （ P143）1、（ 1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（ 3）略； （ 4）提示：用 sin 2 cos 2 取代 1，用 2sincos 取代 sin 2；（ 5）略；（ 6）提示：用 2cos 2 取代 1 cos2 ；（ 7）提示：用 2sin 2 取代 1 cos2 ，用 2cos 2 取代 1 cos2 ； （8）略.2、由已知可有 sincoscos sin1⋯⋯①， sincoscos sin1⋯⋯②23（1）②× 3－①× 2 可得 sin cos 5cos sin（2）把（ 1）所得的两 同除以 cos cos 得 tan5tan注意： 里 coscos0 含与①、②之中1. 于是 tan22tan2 (1) 4 3、由已知可解得tan221 tan 21 ( 1 ) 232tan tan1 11tan()42 141 tantan 1 ( ) 1 342∴ tan24tan()44、由已知可解得 x sin ， ycos ，于是 x 2 y 2 sin 2cos 21.5、 f ( x) 2sin(4 x) ，最小正周期是 ， 减区 [k , 7 k ], k Z .2 2423224B （P143）1、略.2、因为 76 2790 ，所以 sin76 sin(9014 ) cos14 m即 2cos 2 71 m ，得 cos7m 123、 存在 角,使22，所以23， tan(2)3 ，3tan tan又 tan tan23 ，又因 tan(2 ) 2，21 tan tan2所以 tantan tan()(1 tantan ) 33222由此可解得 tan1 ，4 ，所以.6经查验6 ，是切合题意的两锐角 .41(cos cos ), 1(sin sin)). 过M 作MM 1 垂4、线段 AB 的中点 M 的坐标为 (22直于 x 轴，交 x 轴于 M 1 ， MOM 1 1 ()1 () .y22B在 Rt OMA 中， OMOA cos2 cos2.CMA在 Rt OM 1 M 中， OM 1 OM cos MOM 1cos 2 cos ，2M 1 M OM sin MOM 1sincos .OM 1x22于是有1cos ) coscos，(cos2 221(sinsin ) sin2cos2（第 4题）25、当 x2 时， f ( ) sin 2 cos 2 1 ；当 x 4 时， f ( ) sin 4cos 4(sin 2cos 2 )2 2sin 2 cos 21 1 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；2 2当x 6时，f ( ) sin 6cos 6(sin 2 cos 2 )33sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 )1 3 sin 22 ，此时有 1≤ f ( )≤1；4 4 由此猜想，当 x2k,k N 时，k11 ≤ f ( ) ≤ 126、（ 1） y 5( 3sin x4cosx) 5sin( x) ，此中 cos3,sin45 555所以， y 的最大值为 5，最小值为﹣ 5；（ 2） ya 2b 2 sin( x) ，此中 cosa ,sin a 2ba 2b 2b 2所以， y 的最大值为a 2b 2 ，最小值为a 2b 2 ；第三章复习参照题 A 组（ P146）。
(完整word版)人教版高中数学必修4课后习题答案(截取自教师用书)
练习(第5页〉1.悦你是妬一象限你第•象限角不一定是1V0不赋『任何一•个欽触.不属y任何个叢限的角恭•定丛钝如足第•彖PM用.第二彖限角不一定址饨角.说期认识•悅角”• -H角“「钝的”和像限角”的区别号耽系.2.三.£•亿说列木斃的II的出将终边和同的"I的符右&示应川他周期性何题匕IMII取系实际•把教科书中的除« 360换成每个尽期的大数7・利Hir十滋"(这电命数肚3》来确足7冷尤爪7&犬啊也林足川期三.这禅的练习不难・BT以□答.3.(1)第一狡RH触<2)第丙獄限角：(3)第二線限*几(4)第滋限角.说朔能作出冷崔的角•并判眾址第儿彖附用.图略.4.(1) 305*12*. WkW^Wffh <2)35*R\ 第一盘欧角s (3) 2巾9°30‘・第^HUffl ・说明能任缢疋范眉内找出勺折定的用终边相同的加・并那£肚邹儿細"•5.(1> {filfi I ；如：门& M • 360\ 冷€却・一496*42* - 一136°4 沢223°1«#«(2)(010 225p I k• 360°. i-€Zh 585°. - 225\ 135°.说阴用集介农示法和符号ifh「仙9描定和终血机同的也的集合.并佑给定范国内挖I； 9指定的角终边HI同的也・练习(第9页)1.(1) JI (2):訂⑶说期能进廿度9弧度的换弄.2.(I) 15°8 (2> 210、(X) 51\说明能进行颅戍坤度的换？)•3< (I) {a\a kK. 46Z}：(2) {a |a=Y^JC> >€Z).说明川加阪JH&不终边分别碇#轴和，轴匕的血的妲介.4.(I) <w 0. 75*?><x» <>. 751 (2) tan I. 2*<^tan 1. 2.说明体会鬧数値何曲位的加对应的三角帧数値町能不同.并进「步认4R曲种/位期•注盘A：用计畑R iftirtittfrtZiW.愛先对汁厲器中用的模式进H^K・如求g”o・75•之個，雙将ffiWJXW 氏力DEGS度划卄求心0.75之讯娶将角模式设置为RAIX員度制).说明通过分圳运川如哎：W和弧贋制代的弧K公戌•体知;I人弧反制的必翌性.6・为1.2.说明迓•步认沢弧度数的绝对値公式."I. 1 (第9 贡〉A/11.(I)惦・・第二钦限:(2) «0\第一您鼬(3) 236*50'.窮三象职⑷300*.第闪象肚说用傩任给定他IH内找出対指定的加终边相同的角，并判定业第儿象腋角.2.S (a | a k• I8O\ k^Z}.说朋桁终边相同的仰用集介A斥.3.< I) {fllfi 60° + 4 •360J• — 30O\ 60°,⑵75・M・36(T・k^Z}.一75S 285•:(3){fl I ft -Kzrso^ + jt • a«0°t Jtez>. — l(M ft3o\ 255*30*1⑷\p\fl 475#>* • 360\ 心” -245% Il5e j⑸(0屮=90°+八360S tezn - 27O\ 90°：(<i)/I" 270，+及・3(XA jtGZJt - 90S 270*#⑺ S10= IM)•十点• 36(几A6Z}«一1SO\ Wj⑻ 少|" > 3G0\ A-GZH - 360\ 0\说啊川集合我〃讹和符u谄护础与猫定角终边徇同的仰的集合・幷任价疋他II*内找岀号折建的饬终边柚恫的角.5.<i> a临明IM 为<)•< a<90\ 所以 0°V 2aV 1«0\(2> I).说朗冈为360*<a<90a4-A • 360* •所以k• 1800<~<45#+> • 1W)\ y斗为命如|・号見笫•:彖限伽臥为偶数时.号是第i録限角.6.不I I ・这址丙为零于半花K的弧所対的閱心角为1风哎.浙等十半检K的效所对的弧比半枪长.说朗rw«度的槪念.7. ( I)害$ (2) 一皆$ (3)器& (4) 8昆说朋備逬行度y弧度的换祥・& (1) 21(>\ (2) 一600] (3> 8O.2fi <4) 3& 2：说明能进行处晦勺度的换算.9.6T・说明町以先运川如度制下的如氏公式求岀圈心仰的弧度数.I'ltt*度换n为度.也町以血按运川角度制卞的只长公式.10.I I cm说明町以先卷度换0为弧皮•再运川弧度制下的如氏公式.电町以“接运川血QIM卜的佩氏公式.B俎1. (1)(略)<2)ijtMr的阀心你为伏山可阳0=0・618(2兀一0).W0=0. 764x ~140：说明本1»址-•个数学实践活动.谢II对“荚观的囁子”并没冇给;|;标假II的址止学生先虫体仏然血运川所沖讥发现.大多数以子之所以“英观”硼为川本蹄足舟(>.«!«<«金分割比邢丿逍理. 押卜2. (I)时针转r 120\等于一簣瓠鲂分针转了一1440・・等于一板知亿⑵ 设经过J min分针针恥合•"为陶针乘合的次数.凶为分针縱转的如建度为lo = io Z/min）・时什統转的如速度为i^6d=^o <rad/min>-所以（30 36o）/aE2xw・Ml720f=TT n-■箒的图象(如下页图)或衣格.从屮吋谢魁地斤判时针9分针niiiwn或H算器作出甬效八甸次朮合所需的IIJK闪为UHItt 转的时何为24X60-1 4IO<min ）•所以440.底22・故分fl -天內只会®:介22次.说明 通过时什9分针的靛转何题进•步地认帜弧度的槪念・并将何闿;I 向探人•用甬敎思想进行 分析.在研究时£17分针一犬的乖合次数时.町利川iinaj 或il •件机・从模妝的图形、農格中的数 据.换效的解析式或图条等角度・不堆側到正确的结论.3. 86矿.151.2K cm5说明 通过比轮的软动何題进■步地认UI 弧度的槪念和孤长公式・十大齿轮转动 卅时•小齿轮转 动的力说帶 X 360*=864° =rad.山于大说轮的转逢为3r/s.所以小火轮周卜•一点毎1 N 转过的加长是 ^X3X2irX 10.5= 151. 2^(cm).塚习（療15 35）说明104定义求東个待殊角的三角新数lft ・sin 0 j ；・宀公 0 一;f • Ijm 0j ；.说明 eWfH 终边I ： 一点的坐标•山定义求和a 的 沟韻数肚说明4.半a 为饨*1时.<-os a 和tan 取负血・说明 认収9二角彤山角有关的""歯数伉的符号・5. (I) 1E1 (2)致i (3)零) (4)处 (5> lEi <6)iE.说明认位用的角对应的三角两数值的符U ・1440227x7n• mg6.(I)①③或(D(5)或QX5h (2)①④颯恤或④®,«3)②®必0◎戒(JXTM (O②③戍②©或GXSX说刖认讥不时象腋的饰村股的订"甬效備的符号，7.(!) 0.871 Gi (2> V3i (3) 0.5< <4) I.说囲求:曲数饥•丿剛•步地认训加闽数的定义及公式・・紡习(第175)1.终辺任杯同位懂的加对W的匚和卤散Vi的悄况・包祈三倫歯败值的符wa况.终边郴斓的fftlKJH •的値41雪・说明利川m位卿I啲•加用敎红认此加西数的性庞对来少件质的认倶不作址段求.2.(1)如图所品那2 <l> tt(2). (3). (I)略.说明作CU血的三你殖数线.3. 2257(1的il%・余歿.il沏线的氏分别为3.5 cm, 3. 5 cm- 5 cm： 330•角的il嫩.余找.il沏蜒的K分剧为2.5cm. 4.3 cm. 2.9 cm.施中5. 2.5楚祁"数・其余祁尼近似数《图略).sm 225B -：'f 0.7. <5 225・=一警=一0・7・ tan 225*- I；sin 33()9 T).5・ cos 330°*^二().86. inn 330°= ■警=—0・ 58.说明进•步认识哝位IMI屮的三角顒数线.I.5甬数线楚"0两数的儿何人示•它“观地刻滴厂三你圈数的慨念.f J •:的定义结合恳来.町以从ttfiUKW方面认识询函效的定义.并便咼对的怎义域.rtftfftwy的变化规卅.公式Y的理解容易匚说明反思小位时屮的Jdrntt线对认识三角隕数慨念的作用.练习(M20页)说明12知也。
高一数学必修四作业本答案：第二章
高一数学必修四作业本答案：第二章以下是为大家整理的关于《高一数学必修四作业本答案：第二章》的文章，供大家学习参考！第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1．1向量的物理背景与概念2．1．2向量的几何表示（第11题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）.10．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共12个）.11．（1）如图.（2）AD的大小是202m，方向是西偏北45°.2．1．3相等向量与共线向量1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.7．提示：由，AB∥为平行四边形（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形.10．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）.11．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=12BD,且FG∥BD，FG=12BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．2．2平面向量的线性运算2．2．1向量加法运算及其几何意义1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走20km.7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2.10．（1）5.（2）24.11．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h．2．2．2向量减法运算及其几何意义1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c.10．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．11．提示：以OA,OB为邻边作则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC为相反向量，∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.2．2．3向量数乘运算及其几何意义1．B.2．A.3．C.4．-18e1+17e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.7．AB=12a-12b，AD=12a+12b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出.10．AD=a+12b,AG=23a+13b,GC=13a+23b,GB=13a-13b.11．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-16a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1平面向量基本定理2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.8．16．提示：由已知得2x-3y=5，5y-3x=6，解得x=43,y=27.9．a=-1922b-911c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．10．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b 不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．11．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．2．3．3平面向量的坐标运算2．3．4平面向量共线的坐标表示1．C.2．D.3．D.4．(12,-7)，1,12.5．(-2,6)6．(20,-28)7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-19,12)，-13a+2b=233,-5．8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+12AC=92,-1.9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB.10．31313,-21313或-31313,21313．11．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t＜0，且2+3t＞0，得-23＜t＜-13.（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义1．C.2．C.3．C.4．-122；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)150°.6．①.7．±5.8．-55；217；122.9．120°.10．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC与CA的夹角为180°-∠C，CA与AB的夹角为180°-∠A，再用数量积公式计算得出．11．-1010．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-14b2，a2=58b2，则cosθ=a·b|a||b|=-1010．2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.8．x=-13；x=-32或x=3.9.1213,513或-1213,-513.10．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0.11．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=113;当B=90°时，k=3±132.2．5平面向量应用举例2．5．1平面几何中的向量方法1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.7．提示：只需证明DE=12BC即可.8．(7,-8).9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，∴AP=QA，故P,A,Q三点共线.10．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB⊥AC. 11．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=12a+b，BN=a+13b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.2．5．2向量在物理中的应用举例1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(10,-5).6．④⑤.7．示意图略,603N.8．102N.9．sinθ=v21-v22|v1|.（第11题）10．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开. 11．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.（第12(1)题）12．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝12m/s．(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-12或cosθ≥12，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．单元练习1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C.10．B.11．①②③④.12．-7.13．λ＞103.14．0,2.15.53.16.2-2.17.④.18.(1)-13.(2)19.19．（1）(4,2).（2）-41717．提示：可求得MA·MB=5(x-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值.20．（1）提示：证(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．21．提示：证明MN=13MC即可.22．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(x,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出x,y的值.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《平面向量基本定理》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《平面向量基本定理》一、选择题1.已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →2.已知向量a =e 1－2e 2，b =2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c =6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定3.如图，在矩形ABCD 中，若BC →=5e 1，DC →=3e 2，则OC →=( )A.12(5e 1＋3e 2)B.12(5e 1－3e 2)C.12(3e 2－5e 1)D.12(5e 2－3e 1)4.已知A ，B ，D 三点共线，且对任一点C ，有CD →=43CA →＋λCB →，则λ=( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 5.若OP 1→=a ，OP 2→=b ，P 1P →=λPP 2→(λ≠－1)，则OP →=( )A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋b D.11＋λa ＋λ1＋λb6.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2=0，则λ1=λ2=0B ．对空间任意向量a 都可以表示为a =λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意向量a ，使a =λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对7.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于点H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →=( )A ．－25a －45b B.25a －45b C ．－25a ＋45b D.25a ＋45b二、填空题8.如果3e 1＋4e 2=a,2e 1＋3e 2=b ，其中a ，b 为已知向量，则e 1=________，e 2=________.9.设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →=2a ＋k b ，CB →=a ＋b ，CD →=2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则k=________.10.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC →=mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．11.已知e 1与e 2不共线，a =e 1＋2e 2，b =λe 1＋e 2，且a 与b 可作为一组基底，则实数λ的取值范围是________．12.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →=mAM →，AC →=nAN →，则m ＋n 的值为________．三、解答题13.已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a =3e 1－2e 2，b =－2e 1＋e 2，c =7e 1－4e 2，试用向量a和b 表示c .14.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为DE 与BF 的交点，若AB →=a ，AD →=b ，试以a ，b 为基底表示DE →，BF →，CG →.15.已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB=AC ，D 是将OB →分成2∶1两部分的一个分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →=a ，OB →=b .(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →=λOA →，求实数λ的值．答案解析1.答案为：D.解析：由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．2.答案为：B.解析：∵a ＋b =3e 1－e 2，∴c =2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．3.答案为：A.解析：OC →=12AC →=12(BC →＋AB →)=12(BC →＋DC →)=12(5e 1＋3e 2)．4.答案为：C.解析：∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →=tAB →，则CD →－CA →=t(CB →－CA →)，即CD →=CA →＋t(CB →－CA →)=(1－t)CA →＋tCB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ=－13.5.答案为：D.解析：因为OP →=OP 1→＋P 1P →=OP 1→＋λPP 2→=OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)=OP 1→＋λOP 2→－λOP →，所以(1＋λ)OP →=OP 1→＋λOP 2→，所以OP →=11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→=11＋λa ＋λ1＋λb .6.答案为：A.解析：B 错，这样的a 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；C 错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．7.答案为：D.解析：AF →=b ＋12a ，DE →=a －12b ，设DH →=λDE →，则DH →=λa －12λb ，所以AH →=AD →＋DH →=λa ＋(1－12λ)b ，因为AH →与AF →共线且a ，b 不共线，所以λ12=1－12λ1，所以λ=25，所以AH →=25a ＋45b .8.答案为：3a －4b 3b －2a ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3e 1＋4e 2，b ＝2e 1＋3e 2，解得e 1=3a －4b ，e 2=3b －2a .9.答案为：－4；解析：∵CB →=a ＋b ，CD →=2a －b ，∴BD →=CD →－CB →=(2a －b )－(a ＋b )=a －2b .∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →=λBD →，∴2a ＋k b =λ(a －2b )=λa －2λb .又a ，b 是两个不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－2λ，∴k=－4.10.答案为：(－1,0)；解析：由点D 是圆O 外一点，可设BD →=λBA →(λ＞1)，则OD →=OB →＋λBA →=λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →=－μOC →(μ＞1)，则OC →=－λμ·OA →－1－λμOB →(λ＞1，μ＞1)，所以m=－λμ，n=－1－λμ，且m ＋n=－λμ－1－λμ=－1μ∈(－1,0)．11.答案为：(－∞，12)∪(12，＋∞)；解析：当a ∥b 时，设a =m b ，则有e 1＋2e 2=m(λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2=mλe 1＋m e 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ=12，即当λ=12时，a ∥b .又a 与b 可作为一组基底，∴a 与b 不共线，∴λ≠12.12.答案为：2；解析：设AB →=a ，AC →=b ，则AO →=12(AB →＋AC →)=12a ＋12b ，又AO →=AM →＋MO →=AM →＋λMN →=AM →＋λ(AN →－AM →)=(1－λ)AM →＋λAN →=1－λm a ＋λn b .根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1－λm ＝12，λn ＝12，消去λ整理得m ＋n=2.13.解：∵a ，b 不共线，∴可设c =x a ＋y b ，则x a ＋y b =x(3e 1－2e 2)＋y(－2e 1＋e 2)=(3x －2y)e 1＋(－2x ＋y)e 2=7e 1－4e 2.又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c =a －2b .14.解：连接AE ，AF ，(图略).DE →=AE →－AD →=AB →＋BE →－AD →=a ＋12b －b =a －12b ，BF →=AF →－AB →=AD →＋DF →－AB →=b ＋12a －a =b －12a .因为G 是△CBD 的重心，所以CG →=13CA →=－13AC →=－13(a ＋b )．15.解：(1)∵A 为BC 的中点，∴OA →=12(OB →＋OC →)，OC →=2a －b .DC →=OC →－OD →=OC →－23OB →=2a －b －23b =2a －53b .(2)∵OE →=λOA →，∴CE →=OE →－OC →=λOA →－OC →=λa －2a ＋b =(λ－2)a ＋b . ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →=mCD →，即(λ－2)a ＋b =m(－2a ＋53b )，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m)b =0.∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ=45.。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《向量数乘运算及其几何意义》一、选择题1.下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个2.已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a =2e 1－3e 2，b =λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A ．－9B ．－4C ．4D ．93.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2＋＋=0，则( )OA → OB → OC → A.=2 B.= C.=3 D ．2=AO → OD → AO → OD → AO → OD → AO → OD →4.在四边形ABCD 中，若=3a ，=－5a ，且||=||，则四边形ABCD 是( )AB → CD → AD → BC → A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形5.已知向量a 与b 不共线，且=λa ＋b (λ∈R )，=a ＋μb (μ∈R )，则点A ，B ，C 三点共线AB → AC → 应满足( )A ．λ＋μ=2B ．λ－μ=1C ．λμ=－1D ．λμ=16.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，=x ＋y ，且=2，则( )OP → OA → OB → BP → PA →A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=2313132314343414二、填空题7.若向量a =3i －4j ，b =5i ＋4j ，则(a －b )－3(a ＋b )＋(2b －a )=________.13238.若|a |=5，b 与a 的方向相反，且|b |=7，则a =________b .9.设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k=________.10.点C 在线段AB 上，且=，则=________.AC CB 12AC → AB → 11.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD=2DC ，若=m ＋n (m ，n ∈R )，AC → AB → AD → 则m －n=________.三、解答题12.已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1＋3e 2，=6e 1＋23e 2，=4e 1－8e 2，求证：AB → BC → CD → A ，B ，D 三点共线．13.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且=λ＋(1－λ)(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)．OM → OB → OA → (1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．14.已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a =2e 1－e 2，b =k e 1＋e 2.(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．15.在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且=，=，AD 与BE 交于R ，证明：=BD → 13BC → CE → 13CA → RD → 17.AD →答案解析1.答案为：D.解析：若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λb ”需在b ≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2.答案为：B.解析：由a ，b 共线知a =m b ，m ∈R ，于是2e 1－3e 2=m(λe 1＋6e 2)，即(2－mλ)e 1=(6m ＋3)e 2.由于e 1，e 2不共线，所以Error!∴λ=－4.故选B.3.答案为：B.解析：∵D 为BC 的中点，∴＋=2，∴2＋2=0，∴=－，∴=.OB → OC → OD → OA → OD → OA → OD → AO → OD → 4.答案为：C.解析：由∥且||≠||知，四边形ABCD 是梯形．又||=||，知梯形ABCD 是等AB → DC → AB → DC → AD → BC → 腰梯形．5.答案为：D.解析：若A ，B ，C 三点共线，则=k (k ∈R )，即λa ＋b =k(a ＋μb )，∴λa ＋b =k a ＋AB → AC → μk b ，∴Error!消去k 得，λμ=1，故选D.6.答案为：A.解析：由题意可知=＋，OP → OB → BP → 又=2，所以=＋=＋(－)=＋，所以x=，y=，故选A.BP → PA → OP → OB → 23BA → OB → 23OA → OB → 23OA → 13OB → 23137.答案为：－16i ＋j ；323解析：(a －b )－3(a ＋b )＋(2b －a )1323=a －b －3a －2b ＋2b －a =－a －b 13113=－(3i －4j )－(5i ＋4j )113=－11i ＋j －5i －4j 443=－16i ＋j .3238.答案为：－；57解析：因为|a |=5，|b |=7，所以=，又方向相反，所以a =－b .|a ||b |57579.答案为：－4；解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b =λ(8a ＋k b )⇒k=8λ，2=λk ⇒k=－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．10.答案为：；13解析：如图，因为=，且点C 在线段AB 上，AC CB 12则与同向，且||=||，故=.AC → CB → AC → 12CB → AC → 13AB → 11.答案为：－2；解析：直接利用共线定理，得=3，BC → DC → 则=＋=＋3=＋3(－)=＋3－3，=－＋，AC → AB → BC → AB → DC → AB → AC → AD → AB → AC → AD → AC → 12AB → 32AD → 则m=－，n=，那么m －n=－－=－2.1232123212.证明：∵=6e 1＋23e 2，=4e 1－8e 2，BC → CD → ∴=＋=(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)=10e 1＋15e 2.BD → BC → CD → 又∵=2e 1＋3e 2，∴=5，AB → BD → AB → ∴，共线，且有公共点B.AB → BD → ∴A ，B ，D 三点共线．13.解：(1)证明：因为=λ＋(1－λ)，OM → OB → OA → 所以=λ＋－λ，－=λ－λ，OM → OB → OA → OA → OM → OA → OB → OA → 即=λ，AM → AB → 又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且，有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．AM → AB → (2)由(1)知=λ，若点B 在线段AM 上，AM → AB → 则，同向且||＞||(如图所示)．AM → AB → AM → AB →所以λ＞1.14.解：(1)由a =λb ，得2e 1－e 2=λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以Error!⇒k=－2.(2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2=λe 1，有Error!因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ，所以a =b ，即a =b ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意．12－λ1k ＋λ2－λk ＋λ15.证明：连接CR(图略)．由A ，D ，R 三点共线，可得=λ＋(1－λ)=λ＋(1－λ).CR → CD → CA → 23CB → CA → 由B ，E ，R 三点共线，可得=μ＋(1－μ)=μ＋(1－μ).CR → CB → CE → CB → 13CA → 所以Error!解得Error!所以=＋.CR → 47CB → 17CA → 所以=－=－，AD → CD → CA → 23CB → CA → =－=－(＋)=－=(－)=.RD → CD → CR → 23CB → 47CB → 17CA → 221CB → 17CA → 1723CB → CA → 17AD →。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《向量减法运算及其几何意义》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《向量减法运算及其几何意义》一、选择题1.下列等式不正确的是( )A ．a －0a＝B ．a －b=－(b －a)C.＋≠0AB → BA → D.=＋＋AC → DC → AB → BD →2.在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则－等于( )AD → AC → A. B. C. D.CB → BC → CD → DC →3.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.＋=B.＋=C.＋=D.－=AB → BC → CA → BC → CD → BD → AB → AD → AC → AB → AD → BD →4.在边长为1的正三角形ABC 中，|－|的值为( )AB → BC → A ．1 B ．2 C. D.3235.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足＋=，则下列结论中正确的是PA → PB → PC → ( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的外部6.给出下列各式：①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④－＋＋.AB → CA → BC → AB → CD → BD → AC → AD → OD → OA → NQ → MP → QP → MN → 对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．17.平面内有三点A ，B ，C ，设m=＋，n=－，若|m|=|n|，则有( )AB → BC → AB → BC → A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC=90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形二、填空题8.化简(＋)＋(－)=________.AB → PC → BA → QC → 9.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则－－＋＋=________.BA → BC → OA → OD → DA →10.若菱形ABCD 的边长为2，则|－＋|=________.AB → CB → CD → 11.已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与－＋相等的向量有________．OA → OC → CD →①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.CF → AD → BE → DE → FE → CD → CE → BC → CA → CD → AB → AE → 12.已知||=6，||=9，则|－|的取值范围是________．AB → CD → AB → CD → 三、解答题13.如图，已知a ，b ，求作a －b.14.如图所示，已知=a ，=b ，=c ，=d ，=e ，=f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：OA → OB → OC → OD → OE → OF →(1)－；(2)＋；(3)－.AD → AB → AB → CF → EF → CF →15.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，=a ，=b ，=c ，试作出下列向量，并分别AB → BC → AC → 求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c.16.三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设=a ，=b ，=c ，试判断△ABC 的形状．PA → PB → PC →答案解析1.答案为：C.解析：根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为与是一对相反向量，相反AB → BA → 向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．2.答案为：C.解析：在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－=.AD → AC → CD → 3.答案为：B.解析：由向量加减法法则知＋=，＋=，－=.故选B.AB → BC → AC → BC → CD → BD → AB → AD → DB → 4.答案为：D.解析：作菱形ABCD ，则|－|=|－|=||=.AB → BC → AB → AD → DB → 35.答案为：D.解析：由＋=，可得=－=，所以四边形PBCA 为平行四边形．PA → PB → PC → PA → PC → PB → BC → 可知点P 在△ABC 的外部，故选D.6.答案为：A.解析：①＋＋=＋=0；AB → CA → BC → AC → CA → ②－＋－=＋－(＋)=－=0；AB → CD → BD → AC → AB → BD → AC → CD → AD → AD → ③－＋=＋＋=＋=0；AD → OD → OA → AD → DO → OA → AO → OA → ④－＋＋=＋＋－=＋=0.NQ → MP → QP → MN → NQ → QP → MN → MP → NP → PN → 7.答案为：C.解析：如图，作=，则ABCD 为平行四边形，从而m=＋=，n=－=－=.AD → BC → AB → BC → AC → AB → BC → AB → AD → DB → ∵|m|=|n|，∴||=||.∴四边形ABCD 是矩形，AC → DB → ∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC=90°.8.答案为：；PQ → 解析：(＋)＋(－)=(＋)＋(＋)=0=.AB → PC → BA → QC → AB → BA → PC → CQ → ＋PQ → PQ →9.答案为：；CA → 解析：－－＋＋=(－)－(－)＋=－＋=.BA → BC → OA → OD → DA → BA → BC → OA → OD → DA → CA → DA → DA → CA → 10.答案为：2；解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|－＋|=|＋＋|=|＋|=||=2.AB → CB → CD → AB → BC → CD → AC → CD → AD → 11.答案为：①④；解析：连接AC 、CF 、CE 、BD 、AE(图略)．因为四边形ACDF 是平形四边形，所以－＋=＋=，－＋=＋＋=，OA → OC → CD → CA → CD → CF → DE → FE → CD → CD → DE → EF → CF → ＋=＋=，－=.CE → BC → BC → CE → BE → CA → CD → DA → 因为四边形ABDE 是平行四边形，所以＋=，AB → AE → AD → 综上知与－＋相等的向量是①④.OA → OC → CD → 12.答案为：[3,15]；解析：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||=9，||=6，∴3≤|－AB → CD → AB → CD → AB → CD → CD → AB → AB → CD →|≤15.当与同向时，|－|=3；当与反向时，|－|=15.CD → AB → AB → CD → CD → AB → AB → CD → ∴|－|的取值范围为[3,15]．AB → CD → 13.解：14.解：(1)∵=b ，=d ，∴－==－=d －b.OB → OD → AD → AB → BD → OD → OB → (2)∵=a ，=b ，=c ，=f ，∴＋=(－)＋(－)=b ＋f －a －c.OA → OB → OC → OF → AB → CF → OB → OA → OF → OC → (3)－=＋==－=c －e.EF → CF → EF → FC → EC → OC → OE →15.解：(1)由已知得a ＋b=＋==c ，所以延长AC 到E ，使||=||，AB → BC → AC → CE → AC → 则a ＋b ＋c=，且||=2.所以|a ＋b ＋c|=2.AE → AE → 22(2)作=，连接CF ，则＋=，BF → AC → DB → BF → DF → 而=－=a －b ，所以a －b ＋c=＋=，DB → AB → AD → DB → BF → DF → 且||=2，所以|a －b ＋c|=2.DF → 16.解：由题意得：|a|=|b|=|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c=0.所以a ＋c=－b.如图，作平行四边形APCD 为菱形．=a ＋c=－b ，所以∠APC=120°，PD → 同理：∠APB=∠BPC=120°，又因为|a|=|b|=|c|，所以△ABC 为等边三角形．。
2020年高中数学 人教A版 必修4 同步作业本《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)
2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《向量数乘运算及其几何意义》一、选择题1.下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个2.已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a =2e 1－3e 2，b =λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A ．－9B ．－4C ．4D ．93.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →=0，则( )A.AO →=2OD →B.AO →=OD →C.AO →=3OD → D ．2AO →=OD →4.在四边形ABCD 中，若AB →=3a ，CD →=－5a ，且|AD →|=|BC →|，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰梯形5.已知向量a 与b 不共线，且AB →=λa ＋b (λ∈R )，AC →=a ＋μb (μ∈R )，则点A ，B ，C 三点共线应满足( )A ．λ＋μ=2B ．λ－μ=1C ．λμ=－1D ．λμ=16.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=xOA →＋yOB →，且BP →=2PA →，则( )A ．x=23，y=13B ．x=13，y=23C ．x=14，y=34D ．x=34，y=14二、填空题7.若向量a =3i －4j ，b =5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )=________.8.若|a |=5，b 与a 的方向相反，且|b |=7，则a =________b .9.设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k=________.10.点C 在线段AB 上，且AC CB =12，则AC →=________AB →.11.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD=2DC ，若AC →=mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n=________.三、解答题12.已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →=2e 1＋3e 2，BC →=6e 1＋23e 2，CD →=4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．13.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →=λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．14.已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a =2e 1－e 2，b =k e 1＋e 2.(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．15.在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且BD →=13BC →，CE →=13CA →，AD 与BE 交于R ，证明：RD →=17AD →.答案解析1.答案为：D.解析：若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a =λb ”需在b ≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2.答案为：B.解析：由a ，b 共线知a =m b ，m ∈R ，于是2e 1－3e 2=m(λe 1＋6e 2)，即(2－mλ)e 1=(6m ＋3)e 2.由于e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋3＝0，2－mλ＝0，∴λ=－4.故选B.3.答案为：B.解析：∵D 为BC 的中点，∴OB →＋OC →=2OD →，∴2OA →＋2OD →=0，∴OA →=－OD →，∴AO →=OD →.4.答案为：C.解析：由AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|知，四边形ABCD 是梯形．又|AD →|=|BC →|，知梯形ABCD 是等腰梯形．5.答案为：D.解析：若A ，B ，C 三点共线，则AB →=kAC →(k ∈R )，即λa ＋b =k(a ＋μb )，∴λa ＋b =k a ＋μk b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝k ，1＝μk，消去k 得，λμ=1，故选D.6.答案为：A.解析：由题意可知OP →=OB →＋BP →，又BP →=2PA →，所以OP →=OB →＋23BA →=OB →＋23(OA →－OB →)=23OA →＋13OB →，所以x=23，y=13，故选A.7.答案为：－16i ＋323j ； 解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a ) =13a －b －3a －2b ＋2b －a =－113a －b =－113(3i －4j )－(5i ＋4j ) =－11i ＋443j －5i －4j =－16i ＋323j .8.答案为：－57； 解析：因为|a |=5，|b |=7，所以|a ||b |=57，又方向相反，所以a =－57b .9.答案为：－4；解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b =λ(8a ＋k b )⇒k=8λ，2=λk ⇒k=－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．10.答案为：13； 解析：如图，因为AC CB =12，且点C 在线段AB 上，则AC →与CB →同向，且|AC →|=12|CB →|，故AC →=13AB →.11.答案为：－2；解析：直接利用共线定理，得BC →=3DC →，则AC →=AB →＋BC →=AB →＋3DC →=AB →＋3(AC →－AD →)=AB →＋3AC →－3AD →，AC →=－12AB →＋32AD →， 则m=－12，n=32，那么m －n=－12－32=－2.12.证明：∵BC →=6e 1＋23e 2，CD →=4e 1－8e 2，∴BD →=BC →＋CD →=(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)=10e 1＋15e 2.又∵AB →=2e 1＋3e 2，∴BD →=5AB →，∴AB →，BD →共线，且有公共点B.∴A ，B ，D 三点共线．13.解：(1)证明：因为OM →=λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →=λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →=λOB →－λOA →，即AM →=λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →=λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →，AB →同向且|AM →|＞|AB →|(如图所示)．所以λ＞1.14.解：(1)由a =λb ，得2e 1－e 2=λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λk＝2λ＝－1⇒k=－2. (2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2=λe 1， 有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－λe 1，b ＝k ＋λe 1，因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ，所以12－λa =1k ＋λb ，即a =2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意．15.证明：连接CR(图略)．由A ，D ，R 三点共线，可得CR →=λCD →＋(1－λ)CA →=23λCB →＋(1－λ)CA →. 由B ，E ，R 三点共线，可得CR →=μCB →＋(1－μ)CE →=μCB →＋13(1－μ)CA →.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ＝μ，1－λ＝131－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝67，μ＝47， 所以CR →=47CB →＋17CA →. 所以AD →=CD →－CA →=23CB →－CA →， RD →=CD →－CR →=23CB →－(47CB →＋17CA →)=221CB →－17CA →=17(23CB →－CA →)=17AD →.。
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高中数学必修4作业本答案第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1．B.2．C.3．C.4．-1485°=-5³360°+315°.5．{-240°,120°}.6．{α|α=k²360°-490°,k∈Z}；230°；-130°；三.7．2α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，α2的终边在第二、四象限．集合表示略.8.（1）M={α|α=k²360°-1840°,k∈Z}.(2)∵α∈M,且-360°≤α≤360°,∴-360°≤k²360°-1840°≤360°.∴1480°≤k²360°≤2200°,379≤k≤559.∵k∈Z,∴k=5,6,故α=-40°,或α=320°.9．与45°角的终边关于x轴对称的角的集合为{α|α=k²360°-45°,k∈Z}，关于y轴对称的角的集合为{α|α=k²360°+135°,k∈Z}，关于原点对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}，关于y=-x对称的角的集合为{α|α=k²360°+225°,k∈Z}.10.(1){α|30°+k²180°≤α≤90°+k²180°,k∈Z}.(2){α|k²360°-45°≤α≤k²360°+45°,k∈Z}．11．∵当大链轮转过一周时，转过了48个齿，这时小链轮也必须同步转过48个齿，为4820＝2.4（周），即小链轮转过2.4周.∴小链轮转过的角度为360°³2 4=864°.1．1．2弧度制1．B.2．D.3．D.4．αα=kπ+π4,k∈Z.5．-5π4.6．111km.7．π9,7π9,13π9．8．2π15,2π5,2π3,4π5．9．设扇形的圆心角是θrad，∵扇形的弧长是r θ，∴扇形的周长是2r+rθ，依题意，得2r+rθ=πr，∴θ=π-2，∴扇形的面积为S=12r2θ=12(π-2)r2.10.设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，由已知得l=π2R,R=2lπ．又∵2r+r=R，∴r=R2+1=(2-1)R=2(2-1)πl，∴内切圆的面积为S=πr2=4(3-22)πl2．11．设圆心为O，则R=5,d=3，OP=R2-d2=4，ω=5rad/s，l=|α|R,α=ωt=25rad,l=4³25=100（cm）．1．2任意角的三角函数1．2．1任意角的三角函数（一）1．B.2．B.3．C.4．k.5．π6,56π.6．x|x≠2kπ+32π,k∈Z.7．-25．8．2kπ+π2,2kπ+π，k∈Z.9．α为第二象限角．10．y=-3|x|=-3x(x≥0)，3x(x＜0)，若角α的终边为y=3x(x＜0)，即α是第三象限角，则sinα=-31010,tanα=3；若角α的终边为y=-3x(x≥0)，即α是第四象限角，则sinα=-31010,tanα=-3．11．f(x)=-(x-1)2+4(0≤x≤3)．当x=1时，f(x)max=f(1)=4，即m=4；当x=3时，f(x)min=f(3)=0，即n=0．∴角α的终边经过点P(4,-1)，r=17，sinα+cosα=-117+417=31717．1．2．1任意角的三角函数（二）1．B.2．C.3．B.4．334.5．2.6．1.7．0.8．x|2kπ+π≤x＜2kπ+32π,或x=2kπ,k∈Z.9．（1）sin100°²cos240°＜0.（2）tan-11π4-cos-11π4＞0.（3）sin5+tan5＜0.10．（1）sin25π6=sin4π+π6=sinπ6=12.（2）cos-15π4=cos-4π+π4=cosπ4=22.（3）tan13π3=tan4π+π3=tanπ3=3．11．（1）∵cosα＞0，∴α的终边在第一或第四象限，或在x轴的非负半轴上；∵tanα＜0，∴α的终边在第四象限．故角α的集合为α2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z.（2）∵2kπ-π2＜α＜2kπ,k∈Z，∴kπ-π4＜α2＜kπ,k∈Z ．当k=2n(n∈Z)时，2nπ-π4＜α2＜2nπ,n∈Z,sinα2＜0,cosα2＞0,tanα2＜0；当k=2n+1(n∈Z)时，2nπ+3π4＜α2＜2nπ+π,n∈Z,sinα2＞0,cosα2＜0,tanα2＜0.1．2．2同角三角函数的基本关系1．B.2．A.3．B.4．-22.5．43.6．232.7．4-22．8．α2kπ+π2＜α＜2kπ+3π2,或α=kπ,k∈Z．9．0.10．15.11．3+12．1．3三角函数的诱导公式（一）1．C.2．A.3．B.4．-1-a2a．5．12．6．-cos2α．7．-tanα．8．-2sinθ．9．32．10．-22+13.11.3．1．3三角函数的诱导公式（二）1．C.2．A.3．C.4．2+22．5．-33．6．13．7．-73．8．-35．9．1.10．1+a4.11．2+3.1．4三角函数的图象与性质1．4．1正弦函数、余弦函数的图象1．B.2．C.3．B.4．3;-3.5．2.6．关于x轴对称.7．（1）取(0,0),π2,1,(π,2),3π2,1,(2π,0)这五点作图.（2）取-π2,0，0,12，π2,0，π,-12，3π2,0这五点作图．8．五点法作出y=1+sinx的简图，在同一坐标系中画出直线y=32，交点有2个．9．（1）（2kπ,(2k+1)π）(k∈Z).(2)2kπ+π2,2kπ+32π(k∈Z).10．y=|sinx|=sinx(2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z)，-sinx(π+2kπ＜x＜2π+2kπ,k∈Z)，图象略．y=sin|x|=sinx(x≥0),-sinx(x＜0),图象略．11．当x＞0时，x＞sinx；当x=0时，x=sinx；当x＜0时，x＜sinx，∴sinx=x只有一解．1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（一）1．C.2．A.3．D.4．4π.5．12,±1.6．0或8．提示：先由sin2θ+cos2θ=1，解得m=0，或m=8．7．（1）4.（2）25π.8．（1）π.（2）π.9．32,2.10．（1）sin215π＜sin425π.(2)sin15＜cos5.11.342.1．4．2正弦函数、余弦函数的性质（二）1．B.2．B.3．C.4．＜.5．2π.6．3，4，5，6.7．函数的最大值为43，最小值为-2．8．-5．9．偶函数．10．f(x)=log21-sin2x=log2|cosx|．（1）定义域：xx≠kπ+π2,k∈Z.（2）值域：（-∞,0］. （3）增区间：kπ-π2,kπ（k∈Z），减区间：kπ,kπ+π2（k∈Z）.（4）偶函数.（5）π．11．当x＜0时，-x＞0,∴f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-x2-sinx.1．4．3正切函数的性质与图象1．D.2．C.3．A.4．5π.5．tan1＞tan3＞tan2.6．kπ2-π4,0(k∈Z).7．2kπ+6π5＜x＜2kπ+3π2,k∈Z .8．定义域为kπ2-π4,kπ2+π4，k∈Z,值域为R，周期是T=π2，图象略．9．（1）x=π4.（2）x=π4或54π.10.y|y≥34.11．T=2π，∴f99π5=f-π5+20π=f-π5，又f(x)-1是奇函数，∴f-π5-1=-fπ5-1 f-π5=2-fπ5=-5,∴原式=-5．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（一）1．A.2．A.3．B.4．3.5．-π2.6．向左平移π4个单位.7．y=sinx+2的图象可以看作是将y=sinx图象向上平移2个单位得到，y=sinx-1的图象可以看作是将y=sinx图象向下平移1个单位而得到.8．±5．9．∵y=sin3x-π3=sin3x-π9，∴可将y=sin3x的图象向右平移π9个单位得到.10.y=sin2x+π4的图象向左平移π2个单位，得到y=sin2x+π2+π4，故函数表达式为y=sin2x+5π4．11．y=-2sinx-π3，向左平移m(m>0)个单位，得y=-2sin(x+m)-π3，由于它关于y轴对称，则当x=0时，取得最值±2，此时m-π3=kπ±π2，k∈Z，∴m的最小正值是5π6．1．5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）1．D.2．A.3．C.4．y=sin4x.5．-2a；-310a+2ka(k∈Z)；-2a.6．y=3sin6x+116π.7．方法1y=sinx横坐标缩短到原来的12y=sin2x向左平移π6个单位y=sin2x+π6=y=sin2x+π3.方法2y=sinx向左平移π3个单位y=sinx+π3横坐标缩短到原来的12y=sin2x+π3．8．(1)略.(2)T=4π,A=3,φ=-π4.9．（1）ω=2,φ=π6.(2)x=12kπ+π6(k∈Z),12kπ-112π,0(k∈Z).10.（1）f(x)的单调递增区间是3kπ-5π4,3kπ+π4(k∈Z).(2)使f(x)取最小值的x的集合是x|x=7π4+3kπ,k∈Z.11．（1）M=1，m=-1，T=10|k|π.（2）由T≤2，即10|k|π≤2得|k|≥5π，∴最小正整数k 为16．1．6三角函数模型的简单应用（一）1．C.2．C.3．C.4．2sinα.5．1s.6．k²360°+212 5°(k∈Z).7．扇形圆心角为2rad时，扇形有最大面积m216．8．θ=4π7或5π7．9．（1）设振幅为A，则2A＝20cm，A=10cm．设周期为T,则T2=0.5,T=1s,f=1Hz.（2）振子在1T内通过的距离为4A，故在t=5s=5T内距离s=5³4A=20A=20³10=200cm=2(m).5s末物体处在点B，所以它相对平衡位置的位移为10cm.10.(1)T=2πs.(2)12π次.11．（1）d-710=sint-1.8517.5π.（2）约为5.6秒.1．6三角函数模型的简单应用（二）1．D.2．B.3．B.4．1-22.5．1124π.6．y=sin52πx+π4.7．95．8．12sin212，1sin12+2．9.设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b.由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A=2002=100,ω=2π12=π6,b=800,又7月1日种群数量达最高，∴π6³6+φ=π2.∴φ=-π2.∴种群数量关于时间t的函数解析式为y=800+100sinπ6(t-3).10.由已知数据，易知y=f(t)的周期T=12，所以ω=2πT=π6.由已知，振幅A=3,b=10，所以y=3sinπ6t+10.11.（1）图略.（2）y-12.47=cos2π(x-172)365，约为19.4h.单元练习1．C.2．B.3．C.4．D.5．C.6．C.7．B.8．C.9．D.10．C.11．5π12+2kπ,13π12+2kπ(k∈Z).12．4412.13．-3,-π2∪0,π2.14．1972π.15.原式=(1+sinα)21-sin2α-(1-sinα)21-sin2α=1+sinα|cosα|-1-sinα|cosα|=2sinα|cosα|.∵α为第三象限角，｜cosα｜=-cosα,∴原式＝-2tanα.16.1+sinα+cosα+2sinαcosα1+sinα+cosα=sin2α+cos2α+2sinαcosα+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)2+sinα+cosα1+sinα+cosα=(sinα+cosα)·(1+sinα+cosα)1+sinα+cosα=sinα+cosα.17.f(x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x2-2sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=1-sin2xcos2x2(1-sinxcosx)-12sinxcosx+14cos2x=12+12sinxcosx-12sinxcosx+14cos2x=12+14cos2x.∴T=2π2=π,而-1≤cos2x≤1,∴f(x)max=34,f(x)min=14.18.∵Aπ3,12在递减段上，∴2π3+φ∈2kπ+π2,2kπ+3π2.∴2π3+φ=5π6,φ=π6.19.(1)周期T=π,f(x)的最大值为2+2，此时x∈x|x=kπ+π8,k∈Z;f(x)的最小值为2-2，此时x ∈x|x=kπ-38π,k∈Z；函数的单调递增区间为kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z.（2）先将y=sinx（x∈R）的图象向左平移π4个单位，而后将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标扩大成原来的2倍，最后将所得图象向上平移2个单位.20.（1）1π.（2）5π或15.7s.(3)略.第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．1．1向量的物理背景与概念2．1．2向量的几何表示（第11题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）.10．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共12个）. 11．（1）如图.（2）AD的大小是202m，方向是西偏北45°.2．1．3相等向量与共线向量1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.7．提示：由AB=DC AB=DC，AB∥DC ABCD为平行四边形AD=BC.（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形.10．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）.11．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=12BD,且FG∥BD，FG=12BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．2．2平面向量的线性运算2．2．1向量加法运算及其几何意义1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走20km.7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到最大值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2.10．（1）5.（2）24.11．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h．2．2．2向量减法运算及其几何意义1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c.10．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．11．提示：以OA,OB为邻边作OADB,则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC为相反向量，∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.2．2．3向量数乘运算及其几何意义1．B.2．A.3．C.4．-18e1+17e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.7．AB=12a-12b，AD=12a+12b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出.10．AD=a+12b,AG=23a+13b,GC=13a+23b,GB=13a-13b.11．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-16a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3．1平面向量基本定理2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.8．16．提示：由已知得2x-3y=5，5y-3x=6，解得x=43,y=27.9．a=-1922b-911c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．10．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ²(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．11．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．2．3．3平面向量的坐标运算2．3．4平面向量共线的坐标表示1．C.2．D.3．D.4．(12,-7)，1,12.5．(-2,6)6．(20,-28)7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-19,12)，-13a+2b=233,-5．8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+12AC=92,-1.9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB.10．31313,-21313或-31313,21313．11．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t＜0，且2+3t ＞0，得-23＜t＜-13.（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义1．C.2．C.3．C.4．-122；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)150°.6．①.7．±5.8．-55；217；122.9．120°.10．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB²BC=0，BC与CA的夹角为180°-∠C，CA与AB的夹角为180°-∠A，再用数量积公式计算得出．11．-1010．提示：由已知：（a+b）²（2a-b）=0，且（a-2b）²（2a+b）=0，得到a²b=-14b2，a2=58b2，则cosθ=a²b|a||b|=-1010．2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB²AC=0,但｜AB｜≠|AC|.8．x=-13；x=-32或x=3.9.1213,513或-1213,-513.10．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB²AD=0.11．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=113;当B=90°时，k=3±132.2．5平面向量应用举例2．5．1平面几何中的向量方法1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.7．提示：只需证明DE=12BC即可.8．(7,-8).9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，∴AP=QA，故P,A,Q三点共线.10．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB²AC=a2-b2=0,∴AB ⊥AC.11．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=12a+b，BN=a+13b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.2．5．2向量在物理中的应用举例1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(10,-5).6．④⑤.7．示意图略,603N.8．102N.9．sinθ=v21-v22|v1|.（第11题）10．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开.11．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|²tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.（第12(1)题）12．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝12m/s．(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ²t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-12或cosθ≥12，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．单元练习1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C.10．B.11．①②③④.12．-7.13．λ＞103.14．0,2.15.53.16.2-2.17.④.18.(1)-13.(2)19.19．（1）(4,2).（2）-41717．提示：可求得MA²MB=5(x-2)2-8；利用cos∠AMB=MA²MB|MA|²|MB|，求出cos∠AMB的值.20．（1）提示：证(a-b)²c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．21．提示：证明MN=13MC即可.22．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(x,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出x,y的值.第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1．1两角差的余弦公式1．D.2．A.3．D.4．6+24.5.cosx-π6.6.cosx.7．-7210.8．121-m2+32m.9．-2732.10．cos(α-β)=1.提示：注意-1≤sinα≤1,-1≤sin β≤1，可得cosα=cosβ=0．11．AD=6013.提示：设∠DAB=α，∠CAB=β，则tanα=32，tanβ=23，AD=5cos(α-β)．3．1．2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．A.2．B.3．C.4．2cosx+π6.5．62.6．a2+b2,ba2+b2,aa2+b2.7．-32+36.8．725.9．22-36.10．sin2α=-5665.提示：2α=(α+β)+(α-β).11．tan∠APD=18.提示：设AB=1，BP=x，列方程求出x=23，再设∠APB=α，∠DPC=β，则tanα=32，tanβ=34，而∠APD=180°-(α+β)．3．1．3二倍角的正弦、余弦、正切公式1．C.2．C.3．D.4．sinθ2-cosθ2或2sinθ2-π4.5．-36.6.-2cosθ2.7．336625.8．18tan10°.提示：乘以8sin10°8sin10°.9．-12.10．α+2β=3π4.提示：tan2β=125，2β也为锐角.11．tan2α=-34.提示：3α=2α+α，并注意角的范围及方程思想的应用．3．2简单的三角恒等变换（一）1．B.2．A.3．C.4．sin2α.5．1.6．12.7．提示：利用余弦二倍角公式.8．2m4-3m2.9．提示：利用sin2θ2+cos2θ2=1.10．2-3.提示:7°=15°-8°.11．［-3,3］.提示：令cosα+cosβ=t，利用|cos(α-β)|≤1，求t的取值范围.3．2简单的三角恒等变换（二）1．C.2．A.3．C.4．π2.5．［-2,2］.6．-12.提示：y=12cos2x.7．周期为2π，最大值为2，最小值为-2.8．kπ+π8,kπ+5π8（k∈Z）.9．(1,2］.10.y=2sin2x-π6-1，最大值为1，最小值为-3，最小正周期为π.11．定义域为x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z，值域为［-2,2］.提示：y=2sin2xx≠kπ+π2(k∈Z).3．2简单的三角恒等变换（三）1．B.2．D.3．A.4．90°.5．102；π2.6．2.7．-7.8.5-22,5+22.9．1.提示：“切”化“弦”.10．Smax=4.提示：设∠AOB=θ.11．有效视角为45°.提示：∠CAD=α-β，tanα=2，tanβ=13.单元练习1．D.2．C.3．B.4．D.5．B.6．B.7．B.8．B.9．A.10．D.11．a1-b.12．725.13．1665.14．4.15．-6772.16．-2+308.17．0.18.-tanα.19.2125.20.1625.提示：α-2β=(α-β)-β,且0＜α-β＜π.21．提示：1-cos2θ=2sin2θ.22．（1）f(x)=3+4cos2x+π3，最小正周期为π.（2）［3-23,7］.综合练习(一)1．D.2．C.3．B.4．A.5．A.6．D.7．A.8．D.9．C.10．C11．12.12.0.13.（3，5）.14.2sin1.15．41.16．2π.17．②③.18．提示：AB=a+3b,AC=13a+b.19．（1）-13.（2）-83.20．（1）θ=45°.（2）λ=-1.21.6365或-3365.提示：cosα=±45.22．sin2α=-2425；cosβ=-3+4310．提示：β=2kπ+α+π3（k∈Z）.综合练习(二)1．A.2．D.3．D.4．A.5．C.6．D.7．D.8．B.9．C.10．C.11．2kπ-5π6,2kπ+π6（k∈Z）.12．102.13．(1,-1).14．1.15.5∶1.16.锐角.17.π6或2π3.18．33-410.19．∠ABC=45°.提示：利用向量.20．（1）-1225.（2）-75.21．OD=(11,6).提示：设OD=(x,y)，列方程组.22.（1）单调递增区间：23kπ+π6,23kπ+π2(k∈Z)，单调递减区间：23kπ+π2,23kπ+5π6(k∈Z).（2）-22,1.。