函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。
最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。
求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。
本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。
一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。
局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。
为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。
假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。
当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。
可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。
因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。
然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。
因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。
二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。
1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。
它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。
假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。
首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。
接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。
可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。
2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。
具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
函数最大值的求法
函数最大值的求法
---------------------------------------------------------------------- 函数最值分为函数最小值与函数最大值。
简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，下面是求最大值和最小值的方法。
一、求函数的最大值和最小值：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。
一般而言，可以把函数化简，化简成为:
f(x)=k (ax+b)2+c的形式，在x的定义域内取值。
当k>0时，k(ax+b)2≥0，f(x)有极小值c。
当k<0时，k(ax+b)2≤0，f(x)有最大值c。
二、常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值，此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性﹒首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及，注意正,定,等的应用条件，即: a，b均为正数，是定值,a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
函数的最大值最小值
最小值．
x 1
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,
则
f (x1)
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
2(x2 x1) (x2 1)(x1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
结论：闭区间上的单调函数的最值在区间 的端点处取得。
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函 数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值 f(b如) 果；函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
例3、“菊花”烟花是最壮 观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时 间t s之间的
关系为:
h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的最大值和最小值
(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素。
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果
存在x0∈D，f(x0)＝N，使得对于任
意x∈D，都有f(x) ≥M，那么称M是 函数y＝f(x)的最小值，既当x= x0 时 ， f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记 作
ymin f x0
函数最大值、最小值的几何
意义是什么？
函数最大值或最小值是函数的 整体性质，从图象上看，函数的 最大值或最小值是图象最高点或 最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8．
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
二次函数图象
一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为D，如
果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于 任意x∈D，都有f(x)≤M，那么称M
是函数y＝f(x)的最大值，既当x= x0
时， f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，
函数性质2最大值-和最小值
函数性质2：最大值与最小值一、函数最大（小）值定义1、最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数 的性质（配方法 ）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象 求函数的最大（小）值（数形结合）○3 换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值． 例1、求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．例2、求函数1y x x =+-的最大值．例4、将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？例5、求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞例题7、已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值。
练习：已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在闭区间[]0,2上有最小值3，求实数a 的值单调性拓展：复合函数单调性判断设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
函数的极值,最大值与最小值
m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
最大值函数和最小值函数
最大值函数和最小值函数首先，我们来介绍最大值函数。
最大值函数是指输入一组数或一个函数集合，输出它们中的最大值。
在数学上，最大值函数可以用如下形式表示：f(x₁, x₂, ..., xₙ) = max{x₁, x₂, ..., xₙ}其中，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最大值函数的输出是输入数列或函数集合中的最大值。
举个例子，假设有一组数{x₁,x₂,...,xₙ}，其中x₁=1,x₂=4,x₃=6,x₄=2，那么最大值函数可以表示为：f(x₁, x₂, x₃, x₄) = max{1, 4, 6, 2} = 6这个函数的输出是数列中的最大值6接下来，我们来介绍最小值函数。
最小值函数类似于最大值函数，不同之处在于它输出的是数列或函数集合中的最小值。
在数学上，最小值函数可以用如下形式表示：g(x₁, x₂, ..., xₙ) = min{x₁, x₂, ..., xₙ}同样，x₁,x₂,...,xₙ是一组实数。
最小值函数的输出是输入数列或函数集合中的最小值。
继续以上面的例子，我们可以得到最小值函数：g(x₁, x₂, x₃, x₄) = min{1, 4, 6, 2} = 1这个函数的输出是数列中的最小值1最大值函数和最小值函数在数学中的应用十分广泛。
在数列分析中，我们经常需要找到数列中的最大值或最小值，以此来描述数列的特性。
例如，在股票市场中，我们可能需要找到只股票在一段时间内的最高价格和最低价格，这样可以帮助我们判断该股票的波动情况和投资风险。
在优化问题中，最大值函数和最小值函数也起到了关键作用。
例如，在线性规划中，我们需要定义目标函数并找到使其最大化或最小化的变量取值，从而求解最优解。
最大值函数和最小值函数可以帮助我们准确定义目标函数，并找到最优解。
在数据分析中，最大值函数和最小值函数常常用于寻找极端值。
通过求解数据集的最大值和最小值，我们可以获得数据集中的异常值或重要特征。
例如，在气象学中，我们可以通过求解气象数据中的最高温度和最低温度，推测地的气候情况和季节变化。
函数的最大(小)值课件
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
函数的最大值、最小值
2x 2
3
2x 2
1
5 2x1
5
）＜0,
所以f(x1)＜f(x2),
所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为 f（ 3） 1 .
22
方法二：f(x)有意义，则满足
2x 2x
3 5
00，, 得x
3. 2
则f(x)的定义域为[ 3 ,+∞).
2
由于y=2x+3是递增的，所以y= 2x 3 也是递增的；而y=2x+5在
min
24
max
【延伸探究】
题2(2)改为求f(x)在［0,m］(m＞0)上的最小值. 【解题指南】注意分对称轴 x 1 在区间［0,m］内、外两种情
2
况讨论.
【解析】当m≥ 1 时，对称轴x= 1 ∈［0,m］，
2
2
此时函数f(x)的最小值为f( 1 )= 3；
24
当m＜ 1 时，f(x)在区间［0,m］上单调递减，此时函数f(x)
3.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则函
数的最小值为
;最大值为
.
【解析】观察图象,由图知最低点的纵坐标为
-1,最高点的纵坐标为2.
答案:-1 2
4.函数f(x)= 2 ,x∈［2,4］，则f(x)的最大值为______；最
x
小值为______.
【解析】由函数f(x)= 2 (x∈［2,4］)的图象可知，函数f(x)
3a .某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份
0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不出的报纸以每份0.05元的
价格退回报社.一个月按30天算,其中有18天每天可以卖出400
函数的最大值与最小值
1 1 2 2 思考:证明不等式: 思考 证明不等式 ln x + − ( x − 1) ≥ 1 + (1 − x)3 ( x > 0). x 2 3 1 1 2 2 f ( x) = ln x + − ( x − 1) + ( x − 1)3 ( x > 0). 证:设 设 x 2 3 1 1 2x + 1 ′( x) = − 2 − ( x − 1) + 2( x − 1)2 = ( x − 1)3 ⋅ 2 , 则f x x x
如图,在二次函数 在二次函数f(x)= 思考: 如图 在二次函数 的图象与x轴所 4x-x2的图象与 轴所
y
围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 内接矩形 求这 个矩形的最大面积. 个矩形的最大面积 x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 设 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 故矩形ABCD的面积 从而 故矩形 的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
令 f ′( x) = 0 ,结合 结合x>0得x=1. 得 结合 而0<x<1时, f ′( x) < 0;x>1时, f ′( x) > 0 ,所以 所以x=1是f(x)的 时 时 所以 是 的 极小值点. 极小值点 所以当x=1时,f(x)取最小值 时 取最小值f(1)=1. 所以当 取最小值
复习
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时 判别 0)是极大 小)值的 判别f(x 是极大 是极大(小 值的 当函数 在 处连续时,判别 方法是: 方法是 右侧f ①如果左侧f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 , 如果左侧 ） 右侧 那么,f(x0)是极大值 那么 是极大值; 是极大值 ②如果左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 , 右侧f 那么,f(x0) 是极小值 是极小值. 那么
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函数的最大值与最小值
年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____
总分 一 二
一、填空题(共1题，题分合计4分)
1.设函数y = a ( x 3- x )的递减区间为
，则a 的取值范围是
.
)
33,33(-
二、解答题(共6题，题分合计70分)
1.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 当x =-1时取得极大值7,当x =3时取得极小值,求此极小值及f (x ).
2.要制造一个容积为50cm 3的圆柱形锅炉,怎样的尺寸最省料(即表面积最小)?
3.已知x 、y ∈(0，+∞).x 2－2x +4y
2=0.求xy 的最大值.
4.已知函数f(x)=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，求a、b的值，并求出f(x)的单调区间.
5.某物体一天中温度T(℃)是时间t(小时)的函数:T(t)=at3+bt2+ct+D.(a≠0)当t=0时,表示正午12点的温度T(O),12点以后的时间为正,12点以前的时间为负.现测得该物体在上午8时的温度为8℃,12时的温度为60℃,13时的温度为58℃,且上午8时和下午16时的温度变比率相同.
(1)写出T(t)的函数解析式;
(2)求10~12时(包含10时和12时)的最高温度
6.如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
函数的最大值与最小值答案
一、填空题(共1题，合计4分)
1.7491答案： a ＞0
二、解答题(共6题，合计70分)
1.7434答案：极小值f (3)=－25.f (x )=x 3－3x 2－9x +2
2.7435答案：S 有极小值
+
=(cm 2) .
23
π625π2⋅
π25
100
3
3π5303.7436答案： 3834.7440答案： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==2131b a f (x )在(-∞,-]及[1,+∞)单调增,在[-,1]单调递减.
3131
5.7447答案：(1)T (t )=x 3-3x +60.
(2)11时温度最高为62℃.
6.7464答案：当小正方形的边长为1cm 时，盒子的容积最大.。