椭圆及其标准方程的教学设计与反思

《椭圆及其标准方程》的教学设计与反思
一、教学内容与内容分析
1、教材地位分析：《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是利用坐标法研究几何问题的又一次实践运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用．
2、重点、难点分析：本节课的重点是椭圆的定义及其标准方程；标准方程的推导是本节课的难点，要突破这一难点，就要引导学生学会化简带有根号的式子。

3、学情分析：在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．
二、教学目标与目标分析
1、知识与技能目标：掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．
2、过程与方法目标：经历动手画椭圆，观察分析、分组讨论探究椭圆定义，推导椭圆标准方程的过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力；体会坐标法思想。

3、情感、态度、价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，逐步培养学生勇于探索、敢于创新的精神．
三、教学问题诊断分析
1．教学的第一个问题：椭圆是怎样画出的。

教学中通过椭圆与圆的关系，让学
生观察与操作，利用水杯及细绳建立直观的概念，要鼓励学生大胆操作。

问题解决方案一：学生可能提出将圆柱形水杯换成圆锥。

（解释方法一致）问题解决方案二：两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义。

2．教学的第二个问题：椭圆标准方程的推导过程中含有两个根式的等式化简。

问题解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导。

3．教学的第三个问题：焦点在y轴上的椭圆方程的得出。

问题解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程。

四、教学支持条件分析
1、学生通过对圆的学习，已经初步体会了用代数方法研究几何图形的方法，了解了求点的轨迹的一般方法，并初步感受了数形结合极坐标法思想，为本节的探究分析奠定了基础。

2、椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识。

3、使用多媒体辅助教学与实体教具相结合的设计方案，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．
五、教学过程设计
（一）设置情境、问题诱导
复习提问：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？求曲线的轨迹方程的两种方法，提问：方法一是基本法，其求动点轨迹的一般步骤是什么？；方法二是待定系数法，其解题步骤是。

学生回答后，再提出问题诱导学生思考以下问题，引发认知冲突：
1、椭圆是怎么画出来的？
2、椭圆的定义是什么？
3、椭圆的标准方程又是什么形式？从而激起学生强烈的求知欲望．
（二）探索研究、掌握新知
Ⅰ、请学生拿出事先准备好的自制教具：细绳、铅笔，同桌一起合作画椭圆．我在学生的绘图纸上精心设计了三个问题：
1、在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
2、改变两图钉之间的距离2c ，使其与绳长2a 相等，画出的图形还是椭圆吗？
3、绳长能小于两图钉之间的距离吗？
结合用多媒体演示画椭圆
这样，学生边作图、边思考、边讨论，每组学生都可对上述三个问题进行研究比较，我在投影仪上展示学生画出的不同图形，然后参与学生的讨论，引导学生全员参与，积极发言，相互补充，从而探究出三个结论并归纳出椭圆的定义（强调(2a >2c ) ），要强调满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F 1 F 2 |.
图片展示生活中的椭圆，引发学生的注意与兴趣，体会椭圆的普遍存在性。

Ⅱ、接着学生思考两个问题：
1、求曲线方程的一般步骤是什么？
2、圆心在原点的圆的方程与不在原点的方程哪
个形式更简单？为什么？那么我们如何建系，才
能使所得方程更简洁呢？
对于同学们的意见，要给予充分肯定．为了突破难点，在学生推导过程中进
学生思考尝试讨论后，经过整理后再平方过程较简单；
以两焦点连线中点为原点建系所得方程形式较简单，但仍不
是很简洁、 针对这一结果，我直接指出：令222(0),
a c
b b -=>再两边同除以22a b ，可使方程体现数学的对称美和简约美；
不同建系方案得到的方程都叫做椭圆的方程，但这两种形式
的方程叫做椭圆的标准方程。

12222=+b
y a x （0>>b a ） 122
22=+b x a y （0>>b a ） 2a =
得到标准方程之后，对方程进行细致的结构分析。

（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。

（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

（见练习）
（4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。

（5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定，即只要知道三个参数a、b、c的值，就可以写出椭圆的标准方程。

因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法（其步骤是：先设方程、再求参数、最后写出方程），其关键是求a、b的值。

（三）变式演练、加深理解
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）4,1,
a b
==焦点在x轴上；
（2）y
焦点在轴上；
（3）10,
+==
a b c
例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
例1补充说明：注意椭圆的标准方程的形式书写，大家应熟练掌握两种形式的标准方程。

例2补充说明：
1、我们是把焦点建立在x轴上从而解决了问题，问可不可以把焦点建立在y轴上呢？
2、把焦点建立在x轴上或y轴上，这是问题的两种不同的解法，而不是两种情况，我们在解题时只需选择其中之一即可。

3、理解椭圆的定义，熟练地掌握椭圆方程的推导方法（尤其是建立坐标系的方法）是解决本题的关键。

例3补充说明：
(1)合理地建立坐标系并充分利用椭圆的定义使本题的解法巧妙，计算简单。

否则若设动点坐标再求轨迹方程时，则方法会比较复杂。

(2)注意三个参数a 、b 、c 应满足关系式：a 2=b 2+c 2
(3)注意曲线方程的完备性。

1、形成性练习(投影)
（1）指出下列椭圆中a 、b 、c 的值，并说出焦点所在的坐标轴()11625122=+y x ()164
100222=+x y ().
________,11
2322的范围是则轴上的椭圆表示焦点在若方程k y k x k y =-+- 2、巩固性练习(投影)
（1） 已知椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是（）A 2 B 3 C 5 D 7
（2） 椭圆14
2
2=+y m x 的焦距为2，则m 的值为（ ） A 5 B 3 C 3或5 D 6
（3）已知∆ABC 的周长为36，AB 边长为10，求∆ABC 顶点C 的轨迹方程
例题先引导学生如何做，在尝试练习。

例题围绕椭圆定义及其标准方程这两个重要知识点设计选题，使学生能够根据定义和所给条件写出椭圆的标准方程；再进行变式练习，采取学生思考，分组交流的方式．而变式练习则更多的体现能力立意，使学生能够灵活的运用知识，提高解决问题的能力．变式练习采用的多少还要根据学生具体情况予以取舍．
（四）反思总结、提高素质
采用同学们积极发言，填写表格的形式对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的．
（五）布置作业，强化落实
围绕巩固知识、发展能力的目标选择布置书面作业和思考题
板书设计：（略）
六、目标检测设计
通过不同层次的练习题的设置，检查学生对知识点的把握程度，同时多层次性也能够尽量满足不同学生的学习需求。

作业设计以基础为主，保持对大部分学生的有效性，同时设置思考选做题，给予学有余力的同学更多的学习和发展空间。

七、反思预期效果
目标整体上得到了实现，在实现的过程中，对问题思考的引导欠缺，使得学生没有在第一时间就想到结论或方法。

在探究的过程中，主要以小组合作操作、观察、讨论的方式，从而有效的得到结论，同时也增强了学生间的合作探究意识与能力，想法很好，但是有效性有所欠缺。

在平时的学习过程中还要进一步的加强合作意识的应用，从而更好的达到预期效果。

在对练习的处理上，针对简单的问题，采用上接受能力较差的学生回答，充分调动学生的积极性，建立自信心；针对相对较难的问题，采取学生讨论交流的方式，并让学生自愿回答，发挥学生的主动性，给予部分同学充分的学习空间。

作业部分梯度性设置，能够有效地调动学生学习解决问题的积极性，同时达到检测学习效果的目的。

此部分我认为效果能够达到预期。