浙江省东阳市南马高中2010届高三上学期期中考试(数学理)

（C） ( , 1] [4 2, )
2 2
（D） ( , 2] [4, )
9．双曲线
x y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 e ，过 F2 的直线与双曲线的 2 a b 2 右支交于 A, B 两点，若 F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e
是 。
三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分。 ）
18． （本题满分 14 分） 已知 f ( x) 2sin x （I）求 tan 的值；


2 2 x tan cos , 且 f ( ) 3 2 。 6 2 2 （Ⅱ）当 x , 时，求函数 f ( x) 的值域。 2
4．在等比数列 an 中， an 0 ， a2 1 a1 ， a4 9 a3 ，则 a4 a5 （A）16 （B）27
2
l // ， m ， m
（C）36
（D）81
2
5．已知 a，， b c 均为实数，则“ b 4ac 0 ”是“关于 x 一元二次不等式 ax bx c 0 的解集为 ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6．已知钝角三角形 ABC 的最大边长为 2，其余两边长为 x, y ，则以 ( x, y ) 为坐标的点 所表示平面区域的面积是 （A） （B） 2 （C） 4 （D） 4 2 7．等比数列 {an } 中， a1 317, q 值为 （A）7 （B）8
1 e
（B） a ( , ), x R, f ( x) a （D） x R, a ( , ), f ( x) a
1 e
1 e
1 e
二、填空题（本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分。 ）
1
11．若复数
1 2i (a R, i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 a 1
（B） 3 2 2
x
（A） 1 2 2
（C） 4 2 2
（D） 5 2 2
10．若函数 f ( x) x e , 则下列命题正确的是 （A） a ( , ), x R, f ( x) a （C） x R, a ( , ), f ( x) a
e 2.71828 ． （Ⅰ）若 p 0 ，求证： f x 1 x ；
p p e 2 2e ln x ， g x ln x 1 ，其中无理数 x x p2
（Ⅱ）若 f x 在其定义域内是单调函数，求 p 的取值范围； （Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数 p ，是否存在 x0 0 使 f x0 g x0 成立？ 若存在，求出符合条件的一个 x0 ；否则，说明理由．
浙江省东阳市南马高中 2010 届高三上学期期中考试（数学理）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
1．若集合 P y y 0 ， P Q Q ，则集合 Q 不可能是 （A） y y x 2 2．在 ( 3 x 2 合题目要求的。 ）
19． （本题满分 14 分） 如图，在 ABC 中， BD 为 AC 边上的高， BD 1, BC AD 2 ，沿 BD 将 ABD 翻折，使得 ADC 30 ， 得几何体 B ACD （I）求证： AC 平面BCD ； （Ⅱ）求二面角 D AB C 的大小的余弦值。
AB (1, 3,1), DB (0, 0,1), AC (1, 0, 0), 设平面 ABD 的法向量为 n1 ( x, y, z ) ， 则 n1 AB 0, n1 DB 0
所以
则 n1 ( 3, 3, 0)

x 3y z 0 ，取 x 3, y 3, z 0 ， z 0
（11 分）
4
又设平面 ABC 的法向量为 n 2 ( x, y, z ) ， 则 n 2 AB 0.n 2 AC 0



x 3y z 0 ，取 x 0, y 3, z 3 ，则 n 2 (0, 3,3) （13 分） x 0 n1 n 2 3 1 所以， cos n1 , n 2 | n1 | | n 2 | 2 3 2 3 4 1 因此，所求二面角 D AB C 的大小余弦值为 。 4
14．已知 a, b 均为单位向量，且它们的夹角为 60°， 当 | a b | ( R ) 取最小值时，



。
15．若 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0 x 1 时， f x 2 1 ．则函数 y f x x 的零点有 2
由
y kx m 由 x2 y 2 ，消去 y 得： (3 4k 2 ) x 2 8kmx 4m 2 12 0 1 3 4 8km 4m 2 12 则 x1 x2 ．…………………9 分 , x x 1 2 3 4k 2 3 4k 2 3m 2 12k 2 ． y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k 2 x1 x2 km( x1 x2 ) m 2 3 4k 2 由 OA OB ，知 x1 x2 y1 y2 0 ．
1 , 记 f (n) a1 a2 … an , 则当 f (n) 最大时， n 的 2
（C）9 （D）10
x ,x 0 8．已知 f ( x) 2 ，则 f [ f ( x)] 1 的解集是 2 x , x 0 （A） ( , 2] （B） [4 2, )
21． （本小题满分 15 分） 1 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 2 1 (a b 0) 的离心率为 ，椭圆上的点到焦点的最小距离为 1． 2 a b （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且 OA OB （ O 为坐标原点） ， OH AB 于 H 点．试求点 H 的轨迹方程． 22． （本小题满分 15 分） 已知函数 f x px
19． （I）因为 BD AD, BD CD, AD CD D ，所以 BD 平面 ACD 。 （3 分） 又因为 AC 平面 ACD, 所以 AC BD

2 2 2

①（5 分）
在 ACD 中， ADC 30 , AD 2, CD
（Ⅱ）方法一； 在 BCD 中，过 D 作 DO BC 于 O ，则 AC DO ，所以 DO 平面 ABC 在 ABC 中，过 O 作 OE AB 于 E ，连 DE ，则 AB 平面 ODE ， 所以 DEO 为二面角 D AB C 的平面角 （11 分） 在 RtΔABD 中，求得 AB 在 RtBCD 中，求得 DO

20． （本题满分 14 分） 已知 a 为实数， f ( x) ( x 4)( x a ).
2
2
（1）若 f ( 1) 0 ， 求 f ( x) 在[—4，4]上的最大值和最小值；
（2）若 f ( x) 在 ,2 和 2, 上都是递增的，求 a 的取值范围。


（B） y y 2 x


（C） y y lg x
（D）
1 8 ) 的展开式中，常数项为 x2 （A）－28 （B）－70 （C）70 （D）28 3．已知两条不同的直线 m ， l 与三个不同的平面 ， ， ，满足 l ， ，那么必有 （A） ， m l （B） ， m // （C） m // ， m l （D） // ，
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 ）
3
题号 答案
1 C
2 D
3 A
4 B
5 B
6 B
7 C
8 D
9 D
10 A
11．2
12．45
13．
18． （Ⅰ）因为 f ( ) 2sin(

3 2 a 2
14．

2 所以 tan 2
1 ) tan 2 cos 2 3 tan 2 3 2 （4 分） 2 6 4 2
3 ，由余弦定理， 得 AC AD CD 2 AD CD cos ADC 1 2 2 2 因为 AD CD AC ，所以 ACD 90 ，即 AC CD 。② （7 分） 由①，②及 BD CD D ，可得 AC 平面 BCD （8 分）
5, DE
（1）若 l x 轴，可设 H x0 ,0 ，因 OA OB ，则 A x0 , x0 ．
12 x0 2 x0 2 12 2 ，即 H 1 ，得 x0 7 ,0 ． 7 4 3 12 若 l y 轴，可设 H 0, y0 ，同理可得 H 0, ．………7 分 7 （2）当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l : y kx m ，
20． （1）最大值为 42，最小值为—54. （2） 2 a 2 。 21． （Ⅰ）解：由题意知： e
c 1 ， a c 1 ， a 2 b 2 c 2 ，解得 a 2, b 2 3 ． a 2 x2 y 2 故椭圆的方程为 1 ．…………………………5 分 4 3 （Ⅱ）解：设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，
。 。
12．设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a3 a5 a7 15 ，则 S9 13．如图，测量河对岸的旗杆高 AB 时，选与旗杆底 B 在 同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得 BCD 75 ，