高三数学期末试卷答题纸(1)
高三数学答题卡(必做题)(A3)
二、解答题
17．
准
姓 名
考
证
号
15．
!
班 级
条 形 码 区 域
学 校
缺考考生，由监考 员粘贴条形码，并 用 2B 铅笔填涂下 面的缺考违纪标 记。 缺考涂 1， 违纪 涂 2。考生禁涂。
注 意 事 项
!
1
2
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真贴 好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂， 解答题必须使用黑色的签字笔 书写，不得用铅笔或圆珠笔做解答题，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答题无效，在草稿纸、试题纸上答题无效。 4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破。
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!
1
!!Βιβλιοθήκη !18． 19． 20．y B M
N
A
O
F
x
第 18 题
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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!
2
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一、填空题
1．
2．
16．
P E
3．
4．
D C F A
第 16 题
5．
6．
B
7．
8．
9．
10.
11． 11．
12. 12.
13． 13．
14. 14.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧2．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．123．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x4．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 9895607388748677799497 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或627．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B 2C 3D ．011．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．312．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学(理科)试卷答题纸1
浦东新区2013年高考预测 数学(理科) 答题纸
姓 名 学 校 准考证号 缺考
贴条形码区
填涂样例 正确填涂 ▅ 错误填涂
注
意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目。
2.选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色
字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
21（1）
（2）
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、选择题 15. 16. 17.
18.
三、解答题. 19.（1）
请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 （2）
20（1）
（2）
M
N
C
C1D1
B1
A1
A
B
D。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2023届天津市南开中学滨海名校高三年级上册学期期末数学试题【含答案】
天津市南开中学滨海名校高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．第Ⅰ卷选择题（45分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()UA B ⋂=A. B. {}1-{}0,1C.D.{}1,2,3-{}1,0,1,3-2. 设，则“”是“”的x ∈R 11||22x -<31x <A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 已知，则（）2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.C. D. 17251725-4. 函数的图象大致是（ ）()x xf x ee -=+A. B.C. D.5. 已知等比数列满足，，则的值为（）{}n a 12a =23564a a a ⋅=3a A B. C. 1 D. 214126. 设，则大小关系为（）0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b a c<<b<c<a7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说π()sin()(R,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><法正确的是（）A. 直线是图象的一条对称轴πx =()f x B. 图象的对称中心为，()f x π(π,0)12k -+Zk ∈C. 在区间上单调递增()f x ,36-⎢⎥⎣⎦D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象()f x π128. 已知定义在上的函数满足，，则关于的()0,+∞()f x ()()22+<0xf x xf x '()324f =x 不等式的解集为（）()23f x x >A.B.C.D.()0,4()2,+∞()4,+∞()0,29. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()g x f x mx =+点，则实数m 的取值范围为（）A.B.(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. D. {}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（105分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10._______2212lg5lg 2log 54++=11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.3i12i a ++a 12. 已知函数，若正数a 、b 满足，则()3223x x f x x x-=-++()()2110f a f b -+-=______，的最小值为______.2a b +=22211a b a b +++13. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．14. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的()5cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω取值范围为______.15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a 的值为()21,0,0e x x x f x xx -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-______，若关于x 的方程恰有4个不同实数根，则实数m 的()()22210f x f x m -+-=取值范围为______.三、解答题（共75分）16. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且.ABC 22cos b c a C =+（1）求A ；（2）若的值；cos B =()sin 2B A +（3）若的，，求的周长.ABC 3a =ABC 17. 如图,正三棱柱中,是中点．111ABC A B C -E AC （1）求证:平面;1AB 1BEC （2）若,,求点到平面的距离;2AB =1AA =A 1BEC （3）当为何值时,二面角1A A AB 1E BC C --18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：，xOy C 22221x y ab +=(0)a b >>短轴长是2．（1）求椭圆的方程；C （2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C D D 1l 2l的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当C M N 1l k 0k ≠DMN S ，求的取值范围．169S k >k 19. 已知数列是等差数列，其前n 项和为，，；数列的前n 项{}n a n S 715a =763S={}n b 和为，.n T ()233n nT b n *=-∈N （1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前n 项和；2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n Q （3）求证；.12nii i a T =<∑20. 已知函数，.()e ln x f x a x=-R a ∈（1）当时，若曲线与直线相切，求k 的值；0a =()y f x =y kx =（2）当时，证明：；e a =()ef x ≥（3）若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围.()0,x ∈+∞()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅天津市南开中学滨海名校高三年级2022—2023第一学期质量反馈数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．第Ⅰ卷选择题（45分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集，集合，，则{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()UA B ⋂=A. B. {}1-{}0,1C.D.{}1,2,3-{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则={1,3}U C A -(){1}U C A B =- 故选：A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2. 设，则“”是“”的x ∈R 11||22x -<31x <A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，则（）2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.C. D. 17251725-【答案】D 【解析】【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解2π221052ππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭【详解】因为，2sin 55πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以，25s c i 2n 2π17o 5s 1252παα⎛⎫+⎛⎫⎝+= ⎪⎝⎭=- ⎪⎭所以，2π2πsin 2sin 2cos 210525ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1725=-故选：D4. 函数的图象大致是（ ）()3sin x xx xf x e e -+=+A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C ，D ；然后利用特殊值，取，可排除B.x π=【详解】定义域为，定义域关于原点对称，R ，()()()33sin sin x x x xx x x xf x e e e e ---+-+-==-++是奇函数，排除C ，D ；()f x 当时，，排除B ；x π=()33sin 0f x e e e e πππππππ--+==>++故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.5. 已知等比数列满足，，则的值为（）{}n a 12a =23564a a a ⋅=3a A. B. C. 1 D. 21412【答案】C 【解析】【分析】根据，利用等比数列的性质求得，再利用通项公式求解.23564a a a ⋅=2q 【详解】在等比数列中，，，{}n a 12a =23564a a a ⋅=所以，46224a a =所以，4211,42q q ==所以，2311a a q ==6. 设，则大小关系为（）0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a c b <<a b c <<C. D. b a c <<b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比大小.【详解】因为，，在定义域上单调递减，()13log f x x =()12log g x x =()0.312h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故，，，1133log 2log 10a =<=112211log log 132b =>=0.3110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.a c b <<故选：A7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说π()sin()(R,0,0,2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><法正确的是（）A. 直线是图象的一条对称轴πx =()f x B. 图象的对称中心为，()f x π(π,0)12k -+Zk ∈C. 在区间上单调递增()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象()f x π12【答案】C【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的πx =对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2[,]622x +∈-根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.【详解】由函数图象可知，,最小正周期为，2A =5ππ4()π126T =-=所以，2π2πω==将点代入函数解析式中，得：，结合，π(,2)6π22sin()3ϕ=+π2ϕ<所以，故，π6ϕ=π()2sin(2)6f x x =+对于A ，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，πx =π(π)2sin(2π16f =+=πx =()f x A 错误;对于B ，令，则，π()2sin(2)06f x x =+=πππ2π,Z,,Z6122k x k k x k +=∈∴=-+∈即图象的对称中心为，，故B 错误；()f x ππ(,0)122k -+Z k ∈对于C ，当时，，由于正弦函数在上递增，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πππ2[,]622x +∈-sin y x =ππ[,22-故在区间上单调递增，故C 正确；()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将的图象向左平移个单位长度后，得到()f x π12的图象，该函数不是奇函数，故D 错误；πππ()2sin[2()]2sin(2)1263g x x x =++=+故选：C8. 已知定义在上的函数满足，，则关于的()0,+∞()f x ()()22+<0xf x xf x '()324f =x不等式的解集为（）()23f x x >A.B.C.D.()0,4()2,+∞()4,+∞()0,2【答案】D 【解析】【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可.()()2h x x f x =()h x 【详解】令，则，所以在单()()2h x x f x =()()()220h x xf x x f x ''=+<()h x ()0,+∞调递减，不等式可以转化为，即，所以()23f x x >()()2234224x f x f >⨯=()()2h x h >.02x <<故选：D.9. 已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()g x f x mx =+点，则实数m 的取值范围为（）A.B.(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. D. {}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ {}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利()()g x f x mx=+()y f x =y mx =-用图像法解.【详解】因为函数恰有2个零点，()()g x f x mx=+所以和有两个交点.()y f x =y mx =-作出函数的图像如图所示：()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩因为时，和相交，所以只需和再有一个交点.0x =()y f x =y mx =-()y f x =y mx =-.()22ln , 1.,01,,0x x f x x x x x x x >⎧⎪=-+<≤⎨⎪-≤⎩当时，若与相切，则有的判别式0x ≤()2f x x x=-y mx =-2x x mx -=-，此时.()2100m ∆=--=1m =当时，若与相切，则有的判别式01x <≤()2f x x x=-+y mx =-2x x mx -+=-，此时.()2100m ∆=+-=1m =当时，若与相切，设切点为.1x >()ln f x x=y mx =-(),a b 则有，解得：.ln 1b ma b a m a ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩e 11e a b m ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩所以要使函数恰有2个零点，()()g x f x mx=+只需或或，解得：1m -<-11e m <-<0m -=或或.11e m -<<-0m =1m >故选：D【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．第Ⅱ卷（105分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10._______2212lg5lg 2log 54++=【答案】3-【解析】【分析】根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】,221222lg 5lg 2log lg 25lg 4lg 254lg1041435455++=+-=⨯-=-=-=-故答案为：.3-11. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.3i12i a ++a 【答案】6-【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解.00【详解】因为是纯虚数，()()()()()3i 12i 632i 3i 632i 12i 12i 12i 555a a a a a a+-++-++-===+++-所以，解得，6053205a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩6a =-故答案为：.6-12. 已知函数，若正数a 、b 满足，则()3223x x f x x x-=-++()()2110f a f b -+-=______，的最小值为______.2a b +=22211a b a b +++【答案】 ①. ②. 294【解析】【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，()f x R 22a b +=将所求不等式变形得出，然后再利用基本不等式可求得结果.22212111a b a b a b ++=+++【详解】函数的定义域为，()3223x x f x x x-=-++R ，故函数为奇函数，()()()33223223x x x x f x x x x x f x ---=-+--=---=-()f x 因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上12x y =22x y -=-33y x =3y x =R ()f x R 的增函数，由可得，，()()2110f a f b -+-=()()()2111f a f b f b -=--=-211a b∴-=-可得，则，22a b +=()214a b ++=所以，()()22221121121214111a a b b a b a b a b a b+-⎡⎤+⎣⎦+=++=++-+++++.()()2121121121921551414144a b a b a b a b b a ⎡+⎡⎤⎛⎫=+=+++=++≥+=⎡⎤⎢⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎢⎣⎦⎣当且仅当，时，等号成立，13a =43b =所以，的最小值为.22211a b a b +++94故答案为:；.29413. 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，已知取得的是合格品的条件下，则它是一等品的概率为_______．【答案】1419【解析】【分析】方法1：由条件概率公式计算可得结果.()(|)()P AB P B A P A =方法2：由条件概率公式计算可得结果.()(|)()n AB P B A n A =【详解】设事件A 表示“取得合格品”，事件B 表示“取得一等品”，由已知得：，∴，BA ⊆AB B =方法1：∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：70()14100(|)95()19100P AB P B A P A ===方法2： ∴取得的是合格品，它是一等品的概率为：()7014(|)()9519n AB P B A n A ===故答案为：.141914. 已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的()5cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ω取值范围为______.【答案】1628,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】令，解得，然后根据在上有且只有()0f x =()43k x k ππωω=+∈Z ()f x 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭2个零点列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，解得，()0f x =()562x k k ππωπ-=+∈Z ()43k x k ππωω=+∈Z 因为在上有且只有2个零点，所以，解得.()f x 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭434734ππωππω⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩162833ω<≤故答案为：.1628,33⎛⎤ ⎥⎝⎦15. 已知函数，若恰有2个零点，则实数a 的值为()21,0,0e x x x f x xx -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-______，若关于x 的方程恰有4个不同实数根，则实数m 的()()22210f x f x m -+-=取值范围为______.【答案】 ①. ； ②. 1112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】先利用导数研的的图象，再作出的图象,恰有0x >()f x ()f x ()()g x f x a=-2个零点，则与有2个交点，数形结合即可得实数a 的值;若关于x 的方程()y f x =y a =恰有4个不同实数根，令，通过分析可得()()22210f x f x m -+-=()t f x =有2个不等根,且，，再数形结合即()22210h t t t m =-+-=12,t t ()11,t ∈+∞()20,1∈t 可建立的不等式组，即可求解m 【详解】当时，则，，0x >()1e x x f x -=()11e x xf x --'=()11f =令，解得，()0f x '=1x =所以当时，,单调递增，时，,单调递()0,1x ∈()0f x ¢>()f x ()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 减,再根据题意可作出的图象如下:()fx 若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;()()g x f x a=-()y f x =y a =1a =若关于x 的方程恰有4个不同实数根，()()22210f x f x m -+-=令，则有两个不等实数根，()t f x =()22210h t t t m =-+-=12,t t 故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与1y t =2y t =()f x 1y t =()f x 2y t =有3个交点；()f x 当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；1y t =2y t =()f x 121t t ==12t t ≠当与仅1个交点，与有3个交点，则，1y t =()f x 2y t =()f x {}()101,t ∈⋃+∞，()20,1∈t 当时，，解得，故，解得或，10t =210m -=12m =()220h t t t =-=10t =()220,1t =∉舍去；故两个实数根的范围为，()()222211220h t t t m t m =-+-=-+-=()11,t ∈+∞，()20,1∈t 所以解得，()()12200210h m h m ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩112m <<所以实数m 的取值范围为，112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故答案为：；1112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到与仅1个交点，与有3个交点，并通过分析得到，1y t =()f x 2y t =()f x ()11,t ∈+∞()20,1∈t 三、解答题（共75分）16. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且.ABC 22cos b c a C =+（1）求A ；（2）若的值；cos B =()sin 2B A +（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 【答案】（1）；3π（2；（3）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，1cos 2A =即可得到；A （2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到sin 2B =1cos 23B =-，最后代入即可；()sin 2sin 2cos cos 2sin B A B A B A+=+（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得163bc =229b c bc +-=，然后求周长即可.5b c +=【小问1详解】根据正弦定理得，()2sin sin 2sin cos 2sin sin 2sin cos B C A C A C C A C=+⇒+=+，2sin cos 2sin cos sin 2sin cos A C C A C A C ⇒+=+2sin cos sin C A C ⇒=∵，∴，则，()0,C π∈sin 0C ≠1cos 2A =∵，∴.()0,A π∈3Aπ=【小问2详解】∵cos B =∴，，，0,2B π⎛⎫∈⎪⎝⎭sin B ==sin 22sin cos B B B ==，21cos 22cos 13B B =-=-∴()sin 2sin 2cos cos 2sin B A B A B A+=+1123=-.=【小问3详解】∵，ABC 3a=∴，整理得①，1sin 2bc A ==163bc =根据余弦定理可得，②，222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=联立①②，可得，所以周长为8.5b c +=17. 如图,正三棱柱中,是中点．111ABC A B C -E AC （1）求证:平面;1AB 1BEC （2）若,,求点到平面的距离;2AB =1AA =A 1BEC （3）当为何值时,二面角1A A AB 1E BC C --【答案】（1）证明见解析（2（3）1【解析】【分析】(1) 连接交于点,连接,根据中位线即可证明,再利用线面1CB 1BC F EF 1EF AB ∥平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及,再用等体积法即可求得;1,BEC ABES S (3)建立合适空间直角坐标系,设出长度,找到平面及平面的法向量,建1,AB A A 1EBC 1BC C 立等式,求出长度之间的关系即可证明.1,AB A A 【小问1详解】证明:连接交于点,连接如图所示:1CB 1BC F EF因为三棱柱,111ABC A B C -所以四边形为平行四边形,11BB C C 所以为中点,F 1CB 因为是中点,E AC 所以,1EF AB ∥因为平面,平面,EF ⊂1BEC 1AB ⊄1BEC 所以平面;1AB 1BEC 【小问2详解】由题知,因为正三棱柱,111ABC A B C -所以平面,1CC ⊥ABC 且为正三角形,ABC因为,2AB =1AA =所以,,BE=1EC =1BC =所以为直角三角形,1BEC △,11322BEC S ==112ABE S =⨯=△记点到平面的距离为,A 1BEC h 则有,11A BEC C ABEV V --=即,111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即,131323h ⨯⨯=解得h =故到平面;A 1BEC 【小问3详解】由题,取中点为,可知,11A C H 1EH CC ∥所以平面,EH ⊥ABC 因为为正三角形,是中点,ABC E AC 所以,BEAC ⊥故以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立如图所示空间直角坐标E EC x EH y EB z 系,不妨记,1AB a,A A b ==所以,()10000000022a a E ,,,B ,,,b,,,,C C ææöçç÷ç÷çæöç÷ç÷èèøøè,()11,,,0,,02,a b EB b BC CC æç-==çæçè=çè记平面的法向量为,1EBC ()111,,x n y z =则有,100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即,1111020a x by z z ⎧+-=⎪⎪=取,可得;12x b=()2,,0b a n =-记平面的法向量为,1BC C ()222,,m x y z =则有,1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即,2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩取,可得;2x=)m =因为二面角1E BC C --所以cos,m nm nm n⋅===,=解得: ,a b=即当时,二面角.11A AAB=1E BC C--18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：，xOyC22221x ya b+=(0)a b>>短轴长是2．（1）求椭圆的方程；C（2）设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C D D1l2l的另一个交点分别为，．设的斜率为（），的面积为，当C M N1l k0k≠DMNS ，求的取值范围．169Sk>k【答案】（1）2214xy+=（2）或<<k0k<<【解析】【分析】（1）根据离心率和短轴长求出，可得椭圆的方程；,a b C （2）写出直线和的方程，并与椭圆方程联立求出的坐标，求出和，1l 2l,M N ||DM ||DN 求出直角三角形的面积，代入，解不等式可得结果.S 169S k >【小问1详解】设椭圆的半焦距为，C c 根据题意可得，解得，22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.C 2214x y +=【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为，，C 2214x y +=(0,1)D -所以直线，，1:1l y kx =-(0)k ≠21:1l y x k =--设，，11(,)M x y 22(,)N x y 联立，消去并整理得，22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y 221408()k x kx -+=所以，所以，12814k x k =+2128114k y k =-+所以，||DM ===联立，消去并整理得，221411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩y 22(4)80k x kx ++=所以，所以，2284k x k -=+22814y k =-+所以,||DN ===所以，1||||2S DM DN =⋅=1222232||(1)(14)(4)k k k k +=++由，得，169S k >22232(1)16(14)(4)9k k k +>++整理得，得，424140--<k k 2724-<<k 又，所以，20k >202<<k 所以或.0<<k 0k <<19. 已知数列是等差数列，其前n 项和为，，；数列的前n 项{}n a n S 715a =763S ={}n b 和为，.n T ()233n nT b n *=-∈N （1）求数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前n 项和；2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n Q （3）求证；.12nii i a T =<∑【答案】（1），；21n a n =+3nn b =（2）；()()323212n n n +-++（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得，即可得到，123d a =⎧⎨=⎩n a 利用时，，得到数列为等比数列，然后求即可；2n ≥1n n n T T b --={}n b n b（2）根据（1）得到，然后利用裂项相消的方法求和即可；2112n S n n =-+（3）利用放缩的方法得到，然后用错位相减的方法求和，得到213n n na n T +≤，即可证明.2223n n n B +=-<12ni i i a T =<∑【小问1详解】设数列的公差为，则，解得，∴，{}n a d 1161572163a d a d +=⎧⎨+=⎩123d a =⎧⎨=⎩21na n =+由①可得，当时，，则，233n n T b =-1n =1112233T b b ==-13b =当时，②，2n ≥11233n n T b --=-①②相减得，，整理得，所以数列为等比数列，.1233n n n b b b -=-13n n b b -={}n b 3nn b =【小问2详解】由（1）可得，，()()22211122322nn n S n n n n n ===--+++⨯所以111111111132435112n Q n n n n =-+-+-++-+--++ 1111212n n =+--++.()()323212n n n +=-++【小问3详解】由（1）可得，，又，()()()2212133133131n n n n n a n T ++==---11131233123n n n n ----=⨯+-≥⨯∴，()1221213233n n nnn a n T -++≤=⨯⨯设，则，123521333n n n B +=+++ 231135213333n n n B ++=+++两式相减得，2312111211233333n nn n B ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 2111112133121313n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--，142433n n ++=-∴，2223n n n B +=-<∴.12nin i i a B T =≤<∑20. 已知函数，.()e ln x f x a x=-R a ∈（1）当时，若曲线与直线相切，求k 的值；0a =()y f x =y kx =（2）当时，证明：；e a =()ef x ≥（3）若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围.()0,x ∈+∞()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅【答案】（1）；e （2）证明见解析；（3）.e 02⎛⎫⎪⎝⎭,【解析】【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到()0,e x x ；k （2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明()ef x ≥()min f x ≥e；()ef x ≥（3）将不等式转化为，然()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x-+->+e e 后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即()e x g x x =+()g x ()ln 2ln x a x->，构造函数，根据的单调性得到，然()()min ln ln 2x x a ->()ln t x x x =-()t x ()min 1t x =后代入解不等式即可.【小问1详解】当时，，则，0a =()e x f x =()xf x '=e 设切点坐标为，则，解得，()0,e x x 000e e xx k kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩01e x k =⎧⎨=⎩所以.e =k 【小问2详解】当时，，定义域为，，e a =()e eln x f x x =-()0,∞+()xxx f x x x '=-=e e -e e 令，则，当时，，则在上单调()e xh x x =()()1e xh x x '=+0x >()0h x '>()h x ()0,∞+递增，又，所以当时，，时，，所以在()10f '=1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<()f x 上单调递减，上单调递增，()0,1()1,+∞所以，则.()()min 1ef x f ==()ef x ≥【小问3详解】由题可知，，则不等式恒成立，0a >()ln ln 2ln 2x a x a x a a -->⋅e 即，()2ln 2ln 2x a x a a ->⋅e 即，()()ln 2ln ln 2x a x a -->e 即，()()ln 2ln 2ln x a x a x x-+->+e 即在上恒成立，()()ln 2ln ln 2ln x a x x a x-+->+e e ()0,∞+令，易知在上单调递增，()e x g x x=+()g x ()0,∞+所以在上恒成立，即，()ln 2ln x a x->()0,∞+()()min ln ln 2x x a ->令，则，当时，，当时，()ln t x x x=-()111x t x x x -'=-=1x >()0t x '>01x <<，所以在上单调递减，上单调递增，()0t x '<()t x ()0,1()1,+∞则，所以，解得，()()min 11t x t ==()1ln 2a >e 2a <所以的取值范围为.a e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；()a f x ≥()max a f x ≥（2）恒成立⇔.()a f x ≤()mina f x ≥。
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届北京市清华大学附属中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)2．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=3．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为A ．16B ．23 C ．53D ．567．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1608．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确D ．①②都错误9．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212D ．31210．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A 23B 3C ．223D ．2311．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-12．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题含解析
江西省吉安县第三中学、安福二中2024年高三数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π3．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)43z i =，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．165．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A 5B 5C ．102D ．10510．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种11．已知函数()sin 3f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024届北京市北方交大附中高三数学第一学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >2．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．183．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6x π= B ．3x π= C ．12x π= D ．512x π= 4．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π6．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13 B ．23 C ．33 D ．237．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 8．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．R C P ⊆QD ．Q ⊆R C P9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=- B ．12x π= C ．3x π=- D ．3x π=12．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
河南省濮阳市范县一中2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．3．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-4．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40405．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 6．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李7．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．（0，1）9．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <11．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷-答题纸
16． 18．
[A] [A]
[B] [C] [D] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题
19．解： 21．解：
P
D A B
C
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
不 许 折 叠
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
23．解：
请 在 黑 色 矩 形 边 框 内 答 题 ， 超 出 黑 色 矩 形 边 框 的 答 题 一 律 无 效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
杨浦区数学测试答题纸
正确填涂
2011.12.
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
1． 答题前， 考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚姓名及科目．
填 涂 样 例
错误填涂 √ ×
注 意 事 项
2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分使用蓝、黑色 字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持纸面清洁，不折叠、不破损． 5．文科考生将 涂黑； 理科考生将 涂黑．
20．解：
题号 得分
一、、解答题 19 20 21 22 23
2024学年江西省赣州市崇义中学高三下期末试卷数学试题试卷
2024学年江西省赣州市崇义中学高三下期末试卷数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．42．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．183．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．1e4．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．225． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋π(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋ (k ∈Z)6．已知函数3ln ()3ln x a xf x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞7．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数8．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．369．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．11．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a12．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届上海市宝山区高三数学上学期期末试题卷附答案解析
2024届上海市宝山区高三数学上学期期末试题卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．函数()lg(1)f x x =-的定义域是.2．已知向量()2,1a m =，()1,3b m =-，若a b ⊥ ，则实数m =3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =4．设x ∈R ，则方程211x x x -=+-的解集为5．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第70百分位数是6．设a b 、为常数，若1,1a b ><-，则函数xy a b =+的图象必定不经过第象限7．设函数()()11010(2)x x x x f x ⎧⎪-=≥⎨<⎪⎪⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为．8．若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为；9．如图，在圆锥S O -中，AC 为底面圆O 的直径，1SO OC ==，点B 在底面圆周上，且AB BC =.若E 为线段AB 上的动点，则SEC的周长最小值为10．随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（60分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为x y z 、、，则自然数数组(),,x y z =时，振华被录取的可能性最大.科目周数12345678910思政2040556572788082838485外语3045535862656870727475专业课507085909395969696969611．已知函数()()311f x x =++，正项等比数列{}n a 满足1012110a =，则()20231lg k k f a =∑12．设点P 在直线:250l x y --=上，点Q 在曲线Γln y x x =+：上，线段PQ 的中点为M ，O 为坐标原点，则OM的最小值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13．“1x >”是“1x >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．下列说法中错误的是（）A ．一组数据的平均数、中位数可能相同B ．一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多C ．平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D ．极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量15．已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A ．22z z=B ．若1z =，则1iz --1C ．若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D ．若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-16．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠.现有如下两个命题:①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+∈⊆.则下列选项中正确的是（）A ．①是真命题，②是真命题；B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题；D ．①是假命题，②是假命题.三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．(1)若一次抽取3张卡片，事件A 表示“3张卡片上数字之和大于7”，求()P A ；(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B 表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”，求()P B ；(3)若一次抽取2张卡片，事件C 表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件D 表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”.验证C 、D 是独立的．18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .(1)若2sin a B =，求角A 的大小；(2)若BC 边上的高等于2a ，求c bb c +的最大值.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12AC AA ==，且D E 、分别是11AC A C 、的中点.(1)证明：AC ⊥BE ；(2)求三棱锥D ABE -的体积；(3)求直线BD 与平面ABE 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）20．以坐标原点为对称中心，焦点在x 轴上的椭圆Γ过点()2,0A -，且离心率为2.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若点()10B ,，动点M 满足2MA MB=，求动点M 的轨迹所围成的图形的面积；(3)过圆224x y +=上一点P （不在坐标轴上）作椭圆Γ的两条切线12l l 、.记OP 、12l l 、的斜率分别为012k k k 、、，求证：()0122k k k +=-.21．已知函数()e x f x x=-，()e x g x x-=+，其中e 为自然对数的底数.(1)求函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()()F x af x g x =-，①若e a =，求函数()y F x =的单调区间，并写出函数()y F x m=-有三个零点时实数m 的取值范围；②当01a <<时，12x x 、分别为函数()y F x =的极大值点和极小值点，且不等式()()120F x tF x +>对任意()0,1a ∈恒成立，求实数t 的取值范围.1．()1,+∞【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.【详解】要使函数()lg(1)f x x =-有意义，则10x ->，解得1x >，即函数()lg(1)f x x =-的定义域是()1,+∞，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题.2．1【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可.【详解】因为向量()2,1a m = ，()1,3b m =- ，a b ⊥，所以()()2,11,3230a b m m m m ⋅=⋅-=+-=，解得1m =.故答案为：1.3．8【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()1161616116822a a S +⨯⨯===，故答案为：8.4．(][)01∞∞-⋃+，，【分析】分区间讨论，去掉绝对值号即可得解.【详解】当0x ≤时，原方程可得121x x x -=-+-，解得x ∈R ，又0x ≤，故方程的解为0x ≤；当102x <≤时，原方程可得121x x x -=+-，解得0x =，故无解；当112x <≤时，原方程可得211x x x -=+-，解得1x =；当1x <时，原方程可得211x x x -=+-，解得x ∈R ，所以1x >.综上，方程的解集为][(),01,∞∞-⋃+.故答案为：][(),01,∞∞-⋃+5．48【分析】求解30个数据的第70百分位数即第21项与第22项数据的平均数.【详解】3070%21⨯=，由茎叶图知从小到大排列第21项数据为47，第22项数据为49，则该样本的第70百分位数是47与49的平均数，即48，故答案为：48.6．二【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.【详解】已知1,1a b ><-,则指数函数x y a =单调递增，过定点(0,1)，且1b >，函数x y a b =+的图象是由函数函数x y a =向下平移b个单位，作出函数xy a b =+的图象，可知图象必定不经过第二象限.故答案为：二.7．1-【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由题意知，()f a a=；当0a ≥时，有112a a-=，解得2a =-(舍去)；当a<0时，有1aa =，解得1a =(舍去)或1a =-．所以实数a 的值是：1a =-．故答案为：1-.8．-8【分析】把44[2(2)]x x =-++展开求得3(2)x +的系数，再结合已知条件求得3a 的值．【详解】44044[2(2)](2)x x C =-++=- 01312244(2)(2)(2)(2)x C x C ++-++-233444(2)(2)(2)x C x C ⋅++-++04(2)(2)x -+，且有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，334(2)8a C ∴=-=-，故答案为：8-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．91【分析】将三角形SAB 和三角形ABC 展开在同一个平面，然后利用余弦定理求得正确答案.【详解】连接OB ，依题意SO ⊥平面ABC ，而,,OA OB OC ⊂平面ABC ，所以,,SO OA SO OB SO OC ⊥⊥⊥，AB BC =，O 是AC 的中点，则OB AC ⊥，由于1SO OC ==，所以SA SC SB AB ===则三角形SAB 是等边三角形，三角形ABC 是等腰直角三角形，将三角形SAB 和三角形ABC 展开在同一个平面，如下图所示，连接SC ，交AB 于E ，在三角形SAC 中，由余弦定理得()24222cos 6045SC =+-⨯⨯⨯︒+︒()642cos 60cos 45sin 60sin 45=-︒︒-︒︒()24233131=+++，所以SEC 321++.32110．()5,4,2【分析】根据题意，分别保证各科及格，再由得分效益最大求解.【详解】首先保证各学科均及格，则思政、外语、专业课分别需要3周，4周，2周，还有剩余复习时间3周，剩余时间复习一周思政可提高7分，复习外语可提高3分，复习专业课可提高15分，故先安排一周复习专业课，剩余2周，若再复习专业课一周可提高5分，从得分效益来看，先安排一周复习思政，剩一周再复习思政可提高6分，故安排复习思政，综上，安排5周思政复习，4周外语复习，2周专业课复习，总分最高，故答案为：()5,4,211．2023【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案.【详解】函数()()311f x x =++，可看成3y x =向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,因为3y x =的对称中心为()0,0，所以()()311f x x =++的对称中心为()1,1-，所以()()22f x f x +--=，因为正项等比数列{}n a 满足1012110a =，所以2120232************a a a a a ⋅=⋅===，所以12023220221012lg lg lg lg 2lg 2a a a a a +=+===- ，所以()()()()1202322022lg lg lg lg 2f a f a f a f a +=+== ，()()()()()202312320231lg lg lg l lg g kk f a f a f a f a f a==++++∑ L ①，()()()()()202320232022202111lg lg lg lg lg kk f a f a f a f f a a ==++++∑ L ②，则①②相加得：()()()()()()()202312023220222023112lg lg lg lg lg lg g ,l k k f a f a f a f f f a a f a a =⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦∑ 即()20231lg 220232k k f a ==⨯∑，所以()20231lg 2023kk f a ==∑.故答案为：2023.12．【分析】通过转化可得24||OM 的最小值为()222 ,ln Q x x x +到()1125 ,N x x --+距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得．【详解】由题可设()1125,P x x -，()222 ,ln Q x x x +，则1212225ln ,22x x x x x M +-++⎛⎫⎪⎝⎭则2221212225ln ||22x x x x x OM +-++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()()222212214||ln 25OM x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--++--+⎣⎦⎣⎦，即24||OM 的最小值为()222,ln Q x x x +到()1125,N x x --+距离平方的最小值，其中点Q 在曲线ln y x x =+上，N 在直线25y x =+上，||QN 的最小值为在曲线ln y x x =+上与直线25y x =+平行的切线的切点到直线25y x =+的距离，设切点为()000,ln x x x +，因为曲线ln y x x =+导数11y x =+，则0112x +=，解得01x =，所以切点为(1,1)，所以min 5QN ===，所以minOM =.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化()222 ,ln Q x x x +到()1125 ,N x x --+距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解.13．A【分析】根据不等式利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可得出结论.【详解】1x >可得1x >，则充分性成立，1x >得出1x >或1x <-，则必要性不成立，则“1x >”是“1x >”的充分非必要条件，故选：A.14．B【分析】A 选项，可举出实例；B 选项，可举出反例；CD 选项，根据平均数、众数和中位数，极差、方差、标准差的定义进行判断.【详解】A 选项，例如1,2,3，这组数据的平均数、中位数相同，均为2，A 正确；B 选项，例如1,1,2,2,5，中位数为2，这组数据中比中位数大的数只有1个，比中位数小的数有2个，两者不一样多，B 错误；C 选项，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，C 正确；D 选项，极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，D 正确.故选：B 15．B【分析】设出复数的代数形式计算判断A ；利用复数的几何意义判断B ；求出复数z 判断C ；利用复数相等求出q判断D.【详解】对于A ，设i(,R)z a b a b =+∈，则()2222222||,i 2iz a b z a b a b ab =+=+=-+，22z z≠，A 错误；对于B ，由1z =知，在复平面内表示复数z 的点在以原点为圆心的单位圆上，1iz --可看作该单位圆上的点到点()1,1的距离，因为圆心到()1,1则该单位圆上的点到点()1,11，B 正确；对于C ，()212i 34i,34iz z =-=--=-+，则复平面内z 对应的点位于第二象限，C 错误；对于D ，依题意，2(13i)(13i)0p q -+-+=，整理得(8)(36)i 0p q p +-+--=，而,R p q ∈，因此80360p q p +-=⎧⎨--=⎩，解得2,10p q =-=，D 错误．故选：B.16．C【分析】根据集合S 的定义即可判断①是假命题，根据集合S 的定义先判断5S ∈，3n S ∈，再由x A ∀∈，有35x n =+，3n S ∈，5S ∈且35n ≠，所以x S ∈，可判断②是真命题.【详解】因为若a S ∈，则当且仅当(a m n =+其中,m n S ∈且)m n ≠，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠，且集合S 是由某些正整数组成的集合，所以1S ∉，2S ∉，因为312=+，满足(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ∉∈且)p q ≠，所以3S ∈，因为413=+，且1S ∉，3S ∈，所以4S ∉，故①是假命题；记{}35,N A x x n n ==+∈，当0n =时，5A ∈，因为514=+，1S ∉，4S ∉，所以5S ∈；下面讨论元素()31n n ≥与集合S 的关系，当1n =时，3S ∈，当2n =时，624=+，2S ∉，4S ∉，所以6S ∈，当3n =时，936=+，3S ∈，6S ∈，所以9S ∈，当4n =时，1239=+，3S ∈，9S ∈，所以12S ∈，依次类推，当3n ≥时，()3331n n =+-，3S ∈，()31n S-∈，所以3n S ∈，下面讨论1n ≥时，集合A 中元素与集合S 的关系，因为x A ∀∈，有35x n =+，3n S ∈，5S ∈且35n ≠，所以x S ∈，综上所述，x A ∀∈，有x S ∈，即{}35,N x x n n S =+∈⊆，故②是真命题.故选：C.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断1S ∉，2S ∉，3S ∈，4S ∉，再根据集合S 的定义求解.17．(1)12(2)316(3)事件C 与事件D 是独立【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解；（3）利用古典概型的概率分别求得()P C ，()P D ，()P C D 判断.【详解】（1）解：若一次抽取3张卡片，共包含()123，，、()124，，、()134，，、()234，，共4个基本事件.其中事件()(){}134,234A =，，，，包含2个基本事件所以()2142P A ==；（2）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含4416⨯=个基本事件，其中事件()()(){}3,44,44,3B =、、包含3个基本事件所以()316P B =（3）一次抽取2张卡片,共包含24C 6=个基本事件，事件()(){}1,22,4C =，，所以()2163P C ==事件()()(){}1,42,43,4D =、、，所以()3162P D ==当C D 、同时发生，即2张卡片上数字之和是3的倍数同时积是4的倍数，只有一种取法()2,4，所以()16P C D = 因为()()()P C D P C P D = ，所以事件C 与事件D 是独立的．18．(1)π3或2π3(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到()222sin cos b c bc A A +=+，从而将c b b c +转化为关于角A 的表达式，进而得解.【详解】（1）因为2sin a B =，由正弦定理得2sin sin A B B ，又0πB <<，则sin 0B ≠，所以3sin 2A =，因为0πA <<，所以π3A =或2π3A =.（2）由三角形面积公式得111sin 222a a bc A ⋅=，即22sin a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222sin 2cos b c c A b bc A =+-，从而有()222sin cos b c bc A A +=+，所以()22π2sin cos 4c b b c A A A b cbc +⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭.当ππ42A +=，即π4A =时，c b b c +有最大值即c b b c +的最大值为19．(1)证明见解析(2)13(3)2arcsin 3【分析】（1）结合题意先通过线线垂直得到AC ⊥面BDE ,进而得到AC ⊥BE ；（2）利用等体积法，转化为求E ABD -的体积即可;（3）利用上问求出点D 到面ABE 的距离为d ，借助线面角的定义即可求出线面角.【详解】（1）证明：在直三棱柱中111ABC A B C -中，因为D E 、分别是11AC A C 、的中点,所以1//DE AA ,由直三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥面ABC ,所以DE ⊥面ABC ，因为AC 在面ABC 内，所以DE AC ⊥,因为在ABC 中，AB BC ==D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥,因为DE BD D ⋂=,且DE BD 、在面BDE 内，所以AC ⊥面BDE ,因为BE 在面BDE 内,所以AC BE ⊥.（2）等腰ABC 中，AB BC ==2AC =，从而1BD =，所以111122ABD S =⨯⨯= ，由DE ⊥面ABC ，且12DE AA ==，所以111123323E ABD ABD V S DE -=⋅=⨯⨯= ，又因为D ABE E ABD V V --=，所以三棱锥D ABE -的体积为13.（3）由（2）13D ABE E ABD V V --==，令点D 到面ABE 的距离为d ，则有1133D ABE ABE V S d -=⋅= ，ABE中，AB =，AE BE ==,从而1322ABES = .所以23d =，设直线BD 与平面ABE 所成角为α，则2sin 3d BD α==,所以直线BD 与平面ABE 所成角的大小为2arcsin 3.20．(1)2214x y +=(2)面积为4π.(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件列方程组，结合222a b c =+，解出a 和b ，即可得椭圆的方程；（2）设(),M x y ，由2MA MB =可得轨迹方程，再求面积即可；（3）过点P 的直线y kx m =+与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出()012k k k +为定值2-.【详解】（1）由题设知椭圆Γ中，2,c a e a ===得c =由222a b c =+得1b =所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）设(),M x y ，由2MA MB =得()()2222241x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦化简得()2224x y -+=.表示的是以()2,0为圆心，2为半径的圆，其面积为4π.（3）设()0000,,(,0)P x y x y ≠，且22004x y +=设过点P 的直线y kx m =+与椭圆相切，联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩化简得()()222148410k x kmx m +++-=由()()2222Δ64161410k m m k =--+=得2241m k =+点()00,P x y 在直线y kx m =+上，得00m y kx =-代入上式()220041y kx k -=+化简得()22200004210x k x y k y -++-=因为12l l 、是椭圆的两条切线，所以12k k 、是上面方程的两根由韦达定理得00122024x y k k x +=-.由22004x y +=得22004x y -=-所以0001220022x y x k k y y +==--又000y k x =所以()000120022x y k k k y x +=⋅=--.21．(1)()e 1y x =-；(2)①单调区间见解析，()e 1,2-，②(],1-∞-.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）①把e a =代入，求出()F x 的导数()F x '，确定()0,()0F x F x ''><的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出m 的范围；②由导数求出12,x x ，构造函数12())()(F x tF a x ϕ+=并借助导数探讨不等式恒成立即可.【详解】（1）函数()e x f x x =-，求导得()e 1x f x '=-，得(1)e 1f '=-，而(1)e 1f =-，所以切线方程为()()(e 1)e 11y x --=--，即()e 1y x =-.（2）函数()(e )e x x F x a x x -=---的定义域为R ，求导得(e 1)(e 1)()(e 1)+e 1e x x x x x a F x a ---'=--=，①当e a =时，1()e e e x x F x x x +-=---，1(e 1)(e 1)()e x x x F x +--'=，由()0F x '=，得=1x -或0x =，当1x <-或0x >时，()0F x '>，当10x -<<时，()0F x '<，因此函数()F x 的单调增区间为(),1-∞-和()0,∞+，单调减区间为()1,0-；极大值()12F -=，极小值()0e 1F =-，又211311(1)e e 1e(e 1)1e 1412e e 2e e F =---=--->-->-->，1212(2)e 2e e 2(e 1)(e e 3e )e 1F ---=+-+=-+++-<-，所以函数()y F x m =-有三个零点时m 的取值范围为()e 1,2-.②令()0F x '=，得e 1x =或1e 1x a =>，解得0x =或1ln ln 0x a a ==->，当0x <或ln x a >-时，()0F x '>，当0ln x a <<-时，()0F x '<，即函数()F x 在(,0)-∞，(ln ,)a -+∞上单调递增，在(0,ln )a -上单调递减，因此当0x =时，()F x 取得极大值，当ln x a =-时，()F x 取得极小值，即有120,ln x x a ==-，而1()(0)10F x F a ==-<，211()(ln )(ln )ln (1)ln 1()0F x F a a a a a a a a F x a =-=+-+=++-<<，又不等式12(0)()F x tF x +>对任意()0,1a ∈恒成立，于是0t <，设12())()1[(1)ln 1],(0,1)(a a t F a a a F x t x a ϕ++==-++-∈，显然(1)0ϕ=，11()1(ln 1)1(ln ),(0,1)a a t a t a a a a ϕ+'=++-=++∈，令1()ln ,(0,1)m a a a a =+∈，求导得22111()0a m a a a a -'=-=<，则函数()m a 在(0,1)上严格递减，有()(1)1m a m >=，当1t ≤-时，1()1(ln )0a a a ϕ'≤-+<，则有函数()a ϕ在(0,1)上严格递减，()(1)0a ϕϕ>=，符合题意；当10t -<<时，存在0(0,1)a ∈，使得0()0a ϕ'=，当00a a <<时，()0a ϕ'<，当01a a <<时，()0a ϕ'>，因此函数()a ϕ在0(,1)a 上严格递增，有()(1)0a ϕϕ<=，不符合题意，所以实数t 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。
安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷
安阳市第一中学2024届直高三期末测试数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能2．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．1523．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．22B ．4C ．5D ．324．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( ) A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±6．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =±的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=7．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．38．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．63πB ．83πC ．3πD ．3π10．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 12e 11．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为3Γ的离心率为（ ）A ．2B 23C ．73D ．21312．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n nn a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学试卷答题纸2011.1
正确填涂
填 错误填涂
涂 样
√×
例
1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚姓名及科目．
注 2．选择题部分必须用 2B 铅笔填涂；非选择题部分使用蓝、黑色 意 字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 事 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书 项 写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持纸面清洁，不折叠、不破损．
5．文科考生将 涂黑； 理科考生将
涂黑．
一、填空题 二、选择题
三、解答题
题号
1-14
15-18
19 20 21 22 23
得分
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 20．解：
一、填空题
1.
2.
4.
5.
7.
8.
10.
11.
13.
14.
二、选择题
15． [ A ] 17． [ A ]
[B] [C] [D] [B] [C] [D]
3. 6. 9. 12.
16． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题
19．解：
21．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 22．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效