第十章 双样本假设检验及区间估计社会统计学

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(3)
和
未知，但不能假定它们相等
如果不能假定σ 1＝σ 2 ，那么就不能引进共同的σ 简
化
，也不能计算σ 的无偏估计量
估计 ，用
。现在简单的做法是用
估计 ，于是有
[例] 用上式重新求解前例题。
[解] 用上式，检验统计量的计算为
可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的结果差别不大。
后测控制组―前测控制组＝前测后测差控制组 实验效应di
＝前测后测差实验组―前测后测差控制组
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[例] 假定实施一种新教学法有助于提高儿童的学习 成绩，现将20名儿童两两匹配成对，分成一实验组与一 控制组，然后对实验组实施新教学法两年，下表列示了 控制组与实验组前测后测的所有10组数据，试在0.05显 著性水平上检验实验无效的零假设。
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和
的两个总体。当n1和n2逐渐变大
的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
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1．大样本均值差检验
（1）零假设：
（2）备择假设： 单侧 或 双侧
（3）否定域：单侧
（4）检验统计量
双侧
（5）比较判定
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对均值差异进行比较，如果是大样本 就是Z检验法，小样本就是t检验法。二 者都同时要求：①样本是随机样本②每 个总体都是正态分布的③数据是定距及 以上层次的变量。 如果所研究的只有两个样本，也可以 用方差分析法（analysis of variance，简 称ANOVA，也称为F检验法）来检验两 个样本均值的差异，不一定要按照Z或t 检验法。
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(n + n ―2)。 于是有
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这样，对小样本正态总体， 其均值差的检验步骤如下: （1）零假设： （2）备择假设： 单侧 或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
和
未知，但σ1＝σ2 ，
双侧
双侧
（5）比较判定
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[例]为研究某地民族间家庭规模是否有 所不同，各做如下独立随机抽样： 民族A：12户，平均人口6.8人，标准 差1.5人 民族B：12户，平均人口5.3人，标准 差0.9人 问：能否认为A民族的家庭平均人口 高于B民族的家庭平均人口（ α=0.05）？ （假定家庭平均人口服从正态分布，且 方差相等）t=2.97
确定否定域 因为α＝0.01，因而有 Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66
因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类学生在
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第二节 两总体小样本假设检验
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两 总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情 况。 1. 小样本均值差假设检验 (1) 当 和 已知时，小样本均值差 检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全 相同，这里不再赘述。
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2．小样本方差比检验
在实际研究中，除了要比较两总体的均值外，有时还需要比较两 总体的方差。例如对农村家庭和城镇家庭进行比较，除了平均收入的 比较外，还要用方差比较收入的不平均情况。此外，刚刚在小样本均 值差的检验中曾谈到，当方差未知时，往往还假设两总体方差相等。 因此，在总体方差未知的情况下，先进行方差比检验，对于均值差检 检验也是具有一定意义的。 设两总体分别满足正态分布 ， 和 。现从这两
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2．大样本成数差检验
（1）零假设： （2）备择假设： 单侧 或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量 双侧
其中:
为总体1的 样本成数 为总体2的 样本成数。
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双侧
当p1和p2未知，须用样本成数 种情况讨论：
和
进行估算时，分以下两 ，这时两总体可看作成数
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这样一来，小样本正态总体方差比检验的步骤有 (1) 零 假 设H0 ： 备择假设H1 ： 单侧 双侧 H1 ： H1 ： H1 ： (2) 检验统计量
（
单 侧 （
）
双 侧 ） （ ）
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(3)否定域(参见下图) 单侧 Fα （n1―1，n2―1），双侧Fα /2（n1―1，n2―1）
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在一实验组与一控制组的实验设计之中，对前测后 测之间的变化，消除额外变量影响的基本做法如下： (1)前测：对实验组与控制组分别度量； (2)实验刺激：只对实验组实行实验刺激； (3)后测：对实验组与控制组分别度量； (4)求算消除了额外变量影响之后的 d i 后测实验组―前测实验组＝前测后测差实验组
个总体中分别独立地各抽取一个随机样本，并具有容量n1，n2和方差 。根据第八章(8.22)式，对两总体样本方差的抽样分布分别有
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根据本书第八章第四节F分布中的(8.25)式有
由于
，
所以简化后，检验方差比所 用统计量为 当零假设H0： σ1＝σ2时， 上式中的统计量又简化为
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不满意组
500
9.2
2.8
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[解] 据题意， “不满意”组的抽样结果为： ＝9.2年， S1＝2.8年， n1＝500；
“满意”组的抽样结果为：
H0：μ1―μ2＝D0＝0 H1： μ1―μ2 ≠0 计算检验统计量
＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。
确定否定域，
因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚 后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝4.47 远大 于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
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(2)
和 的算式。
未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
现又因为σ未知，所以要用它的 无偏估计量 替代它。由于两个样 本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计
量，得 注意，上式的分母上减2，是因为
根据
和
计算S1和S2时，分别损
失了一个自由度，一共损失了两个自由 度，所以全部自由度的数目就成为
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[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为 “满
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在 0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？ 样本 人数 均值 标准差 600 8.5 2.3 满意组
对，它实际上只能算作一个样本，也称关联样
本。因此对它的检验，用均值差检验显然是不行
的。因为2 n个样本单位(每个样本n个)不是全部 独立抽取的。而如果把每一配对当作一个单位， 在符合其他必要的假定条件下，统计检验与单样 本检验相差无几。
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1．单一实验组的假设检验 对于单一实验组这种“前—后”对比型配对样 本的假设检验，我们的做法是，不用均值差检验， 而是求出每一对观察数据的差，直接进行一对一的 比较。如果采用“前测”“后测”两个总体无差异 的零 假设，也就是等于假定实验刺激无效。于是，问题 就转化为每对观察数据差的均值μd ＝0的单样本假 设检验了。求每一对观察值的差，直接进行一对一 的比较。
方差比检验，比起前面所介绍的检验有一个不同点，那就是无 论是单侧检验还是双侧检验，F 的临界值都只在右侧。其原因是我 们总是把和中的较大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有 ≥1
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或者
≥1
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[例]
为了研究男性青年和女性青年两身高总
体的方差是否相等，分别作了独立随机抽样。对
男性青年样本有n1＝10， ＝30.8(厘米2)；对
若为小样本则需用 t 分布，即对配对(小)样本而言，其 均值差的抽样分布将服从于自由度为(n—1)的 t 分布。所以 对单一实验组实验的假设检验，其检验统计量为
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[例] 随机地选择13个单位，放映一部描述吸烟有害 于身体健康的影片，下表中的数字是各单位认为吸烟有 害身体健康的职工的百分比，试在0.05显著性水平上检 检验实验无效的零假设。
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[解] 零 假 设H0：μd＝0 备择假设H1：μ1＞μ0 根据前三式，并参照上表有
计算检验统计量
确定否定域，因为α＝0.05，并为单侧检验，因而 有 t 0.05(12)＝1.782＜2.76 所以否定零假设，即说明该实验刺激有效。
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练习 以下是经济体制改革后，某厂8个车间竞 争性测量的比较。问改革后，竞争性有无 增加？（ 取α=0.05）t=3.176
四年级 58%（117）
一年级 73%（171）
42%
27%
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[解] 据题意 新生组的抽样结果为： 四年级学生组的抽样结果为: H0：p1―p2＝D0＝0 H1：p1―p2＝D0≠0 计算检验统计量 ＝0.73， ＝0.58， ＝0.27，n1＝171 ＝0.42，n2＝117
确定否定域，因为α ＝0.05， Fα /2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08
因而不能否定零假设，即在0.05水平上，我们不能说男性青年身
高的方差和女性青年身高的方差有显著性差异。 2018/10/21
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第三节 配对样本的假设检验
配对样本，是两个样本的单位两两匹配成
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设配对样本的样本单位前测与后测的观察数据分别 是X 0i与X 1i，其差记作di
d i＝ X 1i―X 0i 如果假设两总体前测与后测无显著性差别，即μ1 ＝μ0 或者 个总体的配对大样本有 。那么对取自这两
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对于大样本，当二总体的方差未知时，可以用样本标 准差来近似。
第十章 双样本假设检验及区间估计
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理 之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样 本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不
同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指 双样本是在两个 总体中相互独立 地抽取的 。
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配对样本，指只有一 个总体，双样本是由于样 本中的个体两两匹配成对 而产生的。配对样本相互 之间不独立。
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第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须
再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重 要定理：如果从 和 两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差
布就是
的抽样分
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具 有均值μ1和μ2以及方差 时，
女性青年样本有
n 2＝8 ，
＝27.8(厘米2)，
试问在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性 青年身高的方差有无显著性差异?
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[ 解]
据题意，
＝30.8(厘米2) ＝27.8(厘米2)
对男性青年样本有n1 ＝10， 对女性青年样本有n2 ＝8，
H0 ：
H1 ：
计算检验统计量
① 若零假设中两总体成数的关系为 P 相同的总体，它 们的点估计值为 此时上式中检验 统计量 Z 可简化为
② 若零假设中两总体成数
，那么它们的点估计值有
此时上式中 检验统计量Z为
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（5）判定
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[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和
“内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％ 属 于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。 样本 中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 外向 内向 上，两类学生有无显著性差异？
改革后 86 87 56 93 84 93 75 改革前 80 79 58 91 77 82 74 79 66
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2．一实验组与一控制组的假设检验 单一实验组实验的逻辑，是把实验对象前测 后测之间的变化全部归因于实验刺激。在社会现 实生活进行的实际实验中，对象前测后测之间的 变化，有时除了受到实验刺激外，还受到其他社 会因素的作用。因而，配对样本的一实验组与一 控制组之假设检验，要设法把实验变量的作用和 额外变量的作用区分开来，然后就像对待单一实 验组实验一样，把问题转化为零假设μd＝0的单 样本检验来处理。