高中数学必修公开课教案2 指数函数及其性质
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的性质。
2. 培养学生运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的探究和运用能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的单调性3. 指数函数的奇偶性4. 指数函数的图像与性质5. 实际问题中的指数函数应用三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义、性质及其应用。
2. 难点：指数函数图像的特点，以及如何运用指数函数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探究指数函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解指数函数的图像与性质。
3. 通过实际问题的引入，培养学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的指数知识，引发学生对指数函数的好奇心。
2. 新课讲解：介绍指数函数的定义、表达式，分析指数函数的单调性和奇偶性。
3. 案例分析：分析实际问题中的指数函数应用，让学生体会数学与生活的联系。
4. 课堂练习：设计相关练习题，巩固学生对指数函数的理解。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对指数函数定义、性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价其运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作交流和探究能力。
七、教学资源1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解指数函数的性质。
3. 练习题：设计具有梯度的练习题，巩固学生对指数函数的理解。
4. 实际问题：收集与生活相关的指数问题，激发学生的学习兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解指数函数的定义与表达式，分析单调性和奇偶性。
2. 第3课时：探讨指数函数的图像与性质。
3. 第4课时：分析实际问题中的指数函数应用。
九、课后作业1. 复习指数函数的定义、性质及其图像。
人教版高中数学必修第一册指数函数及其性质教案
指数函数及其性质（二）三维目标一、知识与技能1.加深对指数函数性质的理解与掌握.2.掌握对指数函数性质的灵活应用.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生的协作精神.2.通过探索函数性质的应用，培养学生的科学探索精神.3.通过探究、思考，把生活实际问题转化为数学问题，从而培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力.三、情感态度与价值观1.通过指数函数性质的应用，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生间的相互交流，确立具体函数模型，解决生活中的实际问题，增强学生数学交流能力，使学生明确指数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模型，进一步认识数学在生活中的巨大作用.教学重点指数函数的性质的理解与应用.教学难点指数函数的性质的具体应用.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，引入新课师：我们上节课学习了指数函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.二、讲解新课例题讲解【例1】已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，π），求f（0），f（1），f（3）的值.师：要求f（0），f（1），f（3）的值，我们先要知道指数函数f（x）=a x的解析式，也就是先要求出a 的值，如何求?生：通过指数函数f（x）=a x的图象经过点（3，π），求出a的值.解：因为f （x ）=a x 的图象经过点（3，π），所以f （3）=π， 即a 3=π.解得a =π31，于是f （x ）=π3x ，所以f （0）=π0=1，f （1）=π31=3π，f （3）=π－1=π1. 方法引导：这是渗透了函数与方程的思想方法. 【例2】 将下列各数从小到大排列起来：（32）31，（53）21，332，（52）21，（23）32，（65）0，（－2）3，（35）31-. 师：在很多数比较大小的时候，应该先将他们分类，按什么进行分类呢? 生：按一些特殊的中间值.师：指数式中特殊的中间值有哪些? 生：0，1等.师：分完之后呢，要通过什么来比较? 生：函数的单调性.解：（65）0=1，将其余的数分成三类：（1）负数：（－2）3；（2）大于0小于1的数：（53）21，（52）21，（35）31-=（53）31；（3）大于1的数：（32）31-=（23）31，332，（23）32.然后将各类中的数比较大小：在（2）中（53）21＞（52）21，（53）21＜（53）31；在（3）中（32）31-=（23）31＜（23）32，（23）32＜332.由此可得（－2）3＜（52）21＜（53）21＜（35）31-＜（65）0＜（32）31-＜（23）32＜332.方法引导：比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小.【例3】 解不等式：（1）9x ＞3x －2；（2）3×4x －2×6x ＞0.师：你觉得要解决以上问题需要哪些知识？该题的本质是考查哪些知识？ （生讨论，师总结）解：（1）∵9x ＞3x －2，∴32x ＞3x －2.又∵y =3x 在定义域R 上是增函数， ∴原不等式等价于2x ＞x －2， 解之得x ＞－2.∴原不等式的解集为{x |x ＞－2}.（2）3×4x －2×6x ＞0可以整理为3×4x ＞2×6x ， ∵4x ＞0，6x ＞0，∴x x 64＞32，即（32）x ＞（32）1.又∵y =（32）x 在定义域R 上是减函数，∴x ＜1.故原不等式的解集为{x |x ＜1}.方法引导：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围.首先要根据题中的具体要求，确定相应的目标函数，进而利用函数的单调性得出自变量之间的关系.（2）式形式比较复杂，可先根据幂的运算法则进行化简，为能找到一个目标函数作好准备.【例4】 求下列函数的定义域和值域：（1）y =xa -1；（2）y =（21）31+x .（生讨论，师总结）解：（1）要使函数有意义，必须1－a x ≥0，即a x ≤1. 当a ＞1时，x ≤0；当0＜a ＜1时，x ≥0.∴当a ＞1时，函数的定义域为{x |x ≤0}；当0＜a ＜1时，函数的定义域为{x |x ≥0}. ∵a x ＞0，∴0≤a x －1＜1. ∴值域为{y |0≤y ＜1}.（2）要使函数有意义，必须x +3≠0，即x ≠－3. ∴函数的定义域为{x |x ≠－3}. ∵31+x ≠0， ∴y =（21）31+x ≠（21）0=1.又∵y ＞0，∴值域为{y |y ＞0，且y ≠1}.方法引导：结合第一章中函数的定义域与值域来求解指数函数的复合函数的定义域与值域.（1）中还涉及了分类讨论的思想方法.在解决值域的过程中可采用数形结合的思想方法.【例5】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）（师生共同讨论，假设、找关系，明确自变量的取值范围） 解：先求出函数关系式：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿. 经过1年，人口数y =13×（1+1%）（亿）； 经过2年，人口数y =13×（1+1%）2（亿）； ……经过x 年，人口数y =13×（1+1%）x =13×1.01x （亿）. 当x =20时，y =13×1.0120≈16（亿）.所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.方法引导：在解决实际应用问题时，首先要根据题目要求进行恰当假设，通过恰当假设，进而求得结论.为了更有助于学生理解关系式，在推导关系式时可以从自变量许可的范围内多取几个数值，运用归纳法得出所求关系式.在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量可以用y =N （1+p ）x 表示.我们把形如y =ka x （k ∈R ，a ＞0，且a ≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型.合作探究：你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么?说明：本例中函数的定义域是时间，故只能取非负实数；而且在解决实际问题时往往用到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值.知识拓展：在解决应用问题时，其关键是能正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域.三、巩固练习1.函数y =a x +2－1（a ＞0，a ≠1）的图象过定点________.2.函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （222x x ）的定义域为________. 3.求y =4x －2x －1+1的最小值以及取得最小值时的x 的值.4.一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x 、y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m 3.（结果保留一个有效数字）解答：1.（－2，0） 2.（－∞，0）∪（2，+∞） 3.当x =－2时，y 的最小值为1615. 4.函数关系式为y =30000（1+5%）x （x ≥0）.当y =40000时，得34=（1+5%）x =1.05x ，∴画出y =1.05x （x ≥0）的图象，从图象上找到与y =4≈1.33对应的x 值即可.列出下表：描点作出图象（如下图所示）.由图象可知，与y =34≈1.33对应的x 值约为6. 答：约经过6年，木材可以增加到40000 m 3. 四、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.五、布置作业 板书设计2.1.2 指数函数及其性质（2）一、函数性质的复习 二、例题解析与学生训练 三、课堂小结 四、布置作业。
指数函数及其性质 优秀教案
指数函数及其性质（第一课时）一、概述·指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，它既是函数概念及性质在高中数学的第一次应用，也是今后学习对数函数及其他初等函数的基础，当然指数函数在生活及生产实际中也有着广泛的应用．指数函数及其性质应重点研究.二、教学目标分析1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和指数函数的图象所过的特殊点．3．在学习的过程中，要体会研究具体函数及其性质的知识展示过程和思考方法，如从具体到抽象、由特殊到一般的思维过程，特别是运用数形结合的思想研究函数的方法等．4．通过对指数函数的研究，认识到数学的应用价值，激发学习兴趣，善于在现实生活中从数学的角度发现问题，解决问题．三、学习者特征分析1．在上一小节，学生学过了有关实数指数幂及其运算性质等知识，将指数幂由整数集推广到了实数集，这为本节学习指数函数的概念打下了学习的基础．2．学生在前面已经学过了有关函数的概念及其性质的知识，并运用函数图象理解和研究函数的性质.在研究指数函数及其性质时，学生可以类比前面讨论函数性质的思路来研究，由于正在形成运用数形结合的思想方法来研究问题，所以利用指数函数的图象获取指数函数的性质还可能会感到有所困难．四、教学策略选择与设计1．把研究抽象函数概念及性质的方法，类比地应用到研究指数函数的概念及性质．23．教学过程中要注意发挥信息技术对学生理解知识的支撑，尽量利用计算器或计算机等创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供数学实验模型．4．注意渗透和运用一些数学思想方法，如数形结合的数学思想．利用指数函数图象获取指数函数的性质是重点，充分利用函数的图象，让学生发现、概括、记忆函数的性质，提高学生数形结合的能力．五、教学资源与工具设计1．教学环境：网络教室2．教具：课件，动画，投影仪，木三角板，粉笔．3．学具：计算器，铅笔，三角板，直尺．4．课件资料：从或/搜索“指数函数”材料．六、教学过程教学情景设计七、教学评价设计课后练习：1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）．（A）511个（B）512个（C）1023个（D）1024个2．在同一平面直角坐标系中，函数axxf=)(与x axg=)(的图象可能是（）．3．指数函数①xmxf=)(②x nxg=)(满足不等式01>>>mn,则它们的图象是( ).4．曲线4321,,,CCCC分别是指数函数xx byay==,,x cy=和x dy=的图象,则dcba,,,与1的大小关系是( ).)(A d c b a <<<<1 )(B c d b a <<<<1 )(C d c a b <<<<1 ()D c d a b <<<<15．若01<<-x ，那么下列各不等式成立的是（ ）． （A ）x x x2.022<<- （B ）x x x -<<22.02（C ）x xx222.0<<- （D ）x x x 2.022<<-6．已知)(x f 是指数函数，且25523=⎪⎭⎫⎝⎛-f ，则____)3(=f ． 7．求下列函数的定义域(1)122-=xy ； (2)xy -=3)31( ；(3)12+=x y ； (4))1,0(1)(≠>-=a a a x f x .8．请判断下列哪些函数为指数函数：xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31，x y 3-=，x y -=π，3x y =，x y 32⋅=，14+=x y ，x y 22=，)3()2(>-=a a y x ，)1,0(≠>=x x x y x ，x y )21(-=，22x y =．9．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年这种物质的剩余量是原来的84％，请用计算器或计算机探究，经过多少年后，这种物质的剩余量是原来的一半（结果保留1个有效数字）．参考答案：1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．D ． 6．125；7．(1)R x ∈；(2) }3|{≤x x ；(3)R x ∈；(4)由01≥-xa 得1≤xa ,当1>a 时,}0|{≤x x ;当10<<a 时,}0|{≥x x .8．解：是指数函数的有：)3()2(,2,,312>-===⎪⎭⎫⎝⎛=-a a y y y y x x x xπ；不是指数函数的有：22,)21(),1,0(,4,32,,313x xxx xxy y x x x y y y x y y =-=≠>==⋅==-=+．9．解：设这种物质最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ． 经过1年，剩留量184.0%841=⨯=y ； 经过2年，剩留量284.0%841=⨯=y ； ……一般地，经过x 年，剩留量x y 84.0=．由上表，我们可得到：约经过4年，这种物质的剩留量是原来的一半． 另解：我们也可以用计算机画出函数xy 84.0=的图象如下：从图上看出5.0=y ，只需4≈x ． 所以，约经过4年，剩留量是原来的一半．。
高中数学必修1第2章第一节指数函数教案：指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质教学设计（第1课时）一．教学目标：1、知识与技能：了解指数函数的定义，掌握指数函数的性质，并会用性质解决简单问题。
2、过程与方法：通过绘出函数图象、总结函数性质等教学过程，培养观察、总结，并综合运用数形结合思想解决问题的能力，并逐步形成善于与他人合作探究的团队意识。
3、情感、态度与价值观：通过观察、探究、讨论等思维活动，激发学习数学的兴趣，形成学数学、爱数学、用数学的良好习惯二．重、难点.教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：利用探究方式得出函数性质 三．学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.[教学设想]1. 情境设计师：同学们先看两个问题（用幻灯分两屏放映）问题1、在2000年，专家预测，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？ 如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______倍。
2年后呢？，……，x 年后呢？问题2、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年，剩留的质量约是原来的84%，求出这种物质的剩留量y 随时间x （单位：年）变化的函数关系。
师：请同学们朗读例题，并给出答案。
生1：经过x 年后，GDP 可望为2000年的x %)3.71(+倍。
生2：物质的剩留量y 随时间x 变化的函数关系是：x y 84.0=师：我们看到，例题中的两个函数是一种新的函数，函数的形式是指数幂的形式，它的底数是常数，而未知数x 却出现在指数位置，我们称这样的函数为指数函数。
从今天开始，我们来研究指数函数（板书：指数函数） 师：那么，指数函数是怎样定义的呢？（板书指数函数定义：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标：1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的表达式和基本的运算规则。
2. 让学生理解指数函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等，并能运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生解决数学问题的能力。
二、教学内容：1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的运算规则3. 指数函数的单调性4. 指数函数的奇偶性5. 指数函数的周期性三、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的定义、表达式、运算规则、单调性、奇偶性和周期性。
2. 教学难点：指数函数的单调性和周期性的证明及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究指数函数的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示指数函数的图像，帮助学生理解指数函数的性质。
3. 运用例题讲解，让学生在实践中掌握指数函数的性质及应用。
4. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神和沟通能力。
五、教学过程：1. 导入：通过回顾幂函数的知识，引导学生思考指数函数的定义和表达式。
2. 新课讲解：讲解指数函数的定义、表达式和运算规则，通过示例让学生掌握基本的运算方法。
3. 性质探究：引导学生自主探究指数函数的单调性、奇偶性和周期性，并提供相应的证明。
4. 应用练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生运用指数函数的性质解决问题。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数的性质及其应用。
6. 课后作业：布置一些巩固知识的作业，让学生进一步掌握指数函数的性质。
六、教学目标：1. 让学生理解指数函数的图像特征，包括增长速度和渐近行为。
2. 培养学生运用指数函数模型解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的应用能力和创新思维。
七、教学内容：1. 指数函数的图像特征2. 指数函数的增长速度3. 指数函数的渐近行为4. 实际问题中的指数函数模型八、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数的图像特征、增长速度和渐近行为。
高中数学课时教案2.1.2指数函数及其性质(第一课时)
云南省昆明市第三中学课时教案§2.1.2指数函数及其性质（第一课时）一．教学设想： 1. 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)xy x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）xy π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xy a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2xy =的图象.x从图中我们看出12()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.x5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：（P 66 例6）已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2xf x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32xx f x ∈-=-时函数的值域是多少? 解（1）,0x R y ∈> （2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域： （1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)xy a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .3．归纳小结作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题1、理解指数函数(0),101xy a a a a =>><<注意与两种情况。
高中数学指数函数及其性质优秀教案设计
高中数学指数函数及其性质优秀教案设计教案：指数函数及其性质教学目标：1.理解指数函数的定义和性质。
2.掌握指数函数的图像特征和变化规律。
3.能够应用指数函数解决实际问题。
教学重点：1.指数函数的定义和性质。
2.指数函数图像的特征和变化规律。
教学难点：1.理解指数函数的定义和性质。
2.熟练掌握指数函数图像的特征和变化规律。
教学准备：1.教师：电脑、投影仪、教学PPT。
2.学生：教科书、笔记本。
教学过程：Step 1：导入新知1.教师利用PPT展示指数函数的定义和性质，引导学生思考指数函数与幂函数的关系，并提出问题：“指数函数与幂函数有什么区别？它们的图像有何特点？”2.学生回答问题并进行讨论。
Step 2：学习指数函数的定义和性质1.教师通过展示幂函数的特征和图像，引导学生理解指数函数的概念和定义。
2.教师讲解指数函数的性质，如：a.正指数函数和负指数函数的性质；b.指数函数的单调性和奇偶性；c.指数函数在x轴和y轴上的截距。
Step 3：探究指数函数图像的特征和变化规律1.教师通过PPT展示指数函数的图像，并引导学生观察和总结图像的特点。
2.教师指导学生探究指数函数图像的变化规律，如正指数函数图像的增长趋势和负指数函数图像的衰减趋势。
3.学生在笔记本上完成练习，绘制两个指数函数的图像，并分析它们之间的关系。
Step 4：应用指数函数解决实际问题1.教师通过实际问题展示指数函数的应用，如人口增长问题、放射性衰变问题等。
2.教师提供一些实际问题，并引导学生运用指数函数解决。
Step 5：归纳总结1.教师带领学生归纳总结指数函数的定义、性质和图像特征。
2.学生进行小组讨论，共同总结归纳。
Step 6：作业布置1.学生独立完成教科书上的习题，巩固所学的知识。
2.学生还可以选择一个实际问题，利用指数函数解决，并写出解题过程和思路。
教学反思：此教学设计能够帮助学生深入理解指数函数的定义和性质，通过观察和探究图像特征和变化规律，提高数学建模和解决实际问题的能力。
指数函数优秀公开课教案(比赛课)
指数函数优秀公开课教案(比赛课)指数函数优秀公开课教案（比赛课）一、教学目标1. 学会定义指数函数，并了解其特征和性质。
2. 掌握指数函数的图像、定义域、值域等基本概念。
3. 能够运用指数函数解决实际问题。
4. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义和性质：指数函数的定义，特殊指数函数的性质等。
2. 指数函数的图像与性质：指数函数的基本图像，对称轴、单调性、零点等。
3. 指数函数的定义域与值域：通过图像讨论指数函数的定义域和值域。
4. 指数函数与实际问题：运用指数函数解决实际问题的例子。
三、教学过程1. 导入：通过一个有趣的问题引入指数函数的概念。
2. 理论讲解：逐步介绍指数函数的定义、性质和图像等内容，提醒学生注意重点。
3. 实例分析：通过一些简单实例分析，引导学生理解指数函数的定义域、值域等概念。
4. 练演练：组织学生进行课堂练，加深对指数函数的理解和运用能力。
5. 拓展活动：提供一些更高级的实际问题，激发学生思维，培养解决问题的能力。
6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，强化学生对指数函数的理解。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性等。
2. 课后作业：布置适当数量的作业，以检验学生对指数函数的掌握情况。
3. 测验考核：进行小测验，测试学生对指数函数知识的掌握程度。
4. 互动讨论：鼓励学生参与讨论，促进学生之间的互相研究和思想碰撞。
五、教学资源1. PowerPoint课件：包含指数函数的定义、性质和图像等内容。
2. 实例分析练题：提供一些简单实例用于学生练。
3. 拓展问题手册：包含更高级的实际问题，用于激发学生的思维。
六、教学反思本节课注重在培养学生对指数函数的理解和应用能力上。
通过生动的实例和练，能够帮助学生掌握指数函数的相关知识，并应用于解决实际问题。
在教学过程中，适时鼓励学生的互动和讨论，促进学生之间的研究和思想碰撞。
人教版高中数学必修一：2.1.2 指数函数及其性质教案
2.1.2指数函数及其性质教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念和意义，画出具体指数函数的图象，探索并理解支书函数的单调性和特殊性。
过程与方法：通过观察指数函数的图象，归纳出指数函数的性质。
领会具体到一般，数形结合的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过对指数函数的学习，体现数学的应用价值，培养学生自主探索的精神。
二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
三、教学基本流程：（一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出x 与y 之间的函数关系式吗？学生回答: y 与x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式？学生回答:设计意图：引导学生通过上面两个式子对指数函数的概念进行概括。
（二）自主学习 1．指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .思考：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？(1)若a<0会有什么问题？（如21,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） )()21(*N x y x ∈=(2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,xa 无意义）(3)若a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 由以上，同学们对指数函数有一定的了解。
练：指出下列函数那些是指数函数：设计意图：通过练习1，进一步对指数函数有一个清晰的了解，能够区分出指数函数。
2．指数函数的图像及性质在同一平面直角坐标系内画出指数函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。
人教版高中数学教案 2.1.2指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识与技能：（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义一般地，函数xy a（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图象生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.形成概念图象特征a＞1 0＜a＜1向x轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在x轴上方函数图象都过定点（0，1）自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.生：从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征.师：帮助学生完善.通过分析图象，得到图象特征，为进一步得到指数函数的性质作准备.概念深化函数性质a＞1 0＜a＜1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+a=1增函数减函数x＞0，x a＞1 x＞0，x a＜1生：从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质.师：帮助学生完善.获得指数函数的性质.x ＜0，xa ＜1x ＜0，xa ＞1问题：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.师：画出几个提出问题.生：画出几个底数不同的指数函数图象，得到指数函数xy a=（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，在第一象限的函数图象越高.（底大图高）明确底数是确定指数函数的要素.应用 举例例1 求下列函数的定义域、值域 （1）110.3x y -= （2）513x y -=课堂练习（P 64 2）例2（P 62例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73例1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.解：（1）由10x -≠得1x ≠ 所以函数定义域为{|1}x x ≠.由101x ≠-得1y ≠， 所以函数值域为{|01}y y y >≠且.（2）由510x -≥得15x ≥ 所以函数定义域为1{|}5x x ≥.由510x -≥得1y ≥， 所以函数值域为{|1}y y ≥.例2解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出掌握指数函数的应用.(x K R∈备选例题例1 求下列函数的定义域与值域 （1）412-=x y ；（2）||2()3x y =； （3）1241++=+x xy ；[分析]由于指数函数0(>=a a y x且)1≠a 的定义域是R ，所以函数)(x f a y =（0>a 且1≠a ）与函数)(x f 的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.[解析]（1）令,04≠-x 得4≠x∴定义域为,|{R x x ∈且}4≠x .12,04141≠∴≠--x x Θ，∴412-=x y 的值域为,0|{>y y 且}1≠y .（2）定义域为R x ∈.||x Θ≥0，||||23()()32x x y ∴==≥1)23(0=故||2()3x y =的值域为y y |{≥}1.（3）定义域为R x ∈.1421x x y +=++Q22(2)221(21),x x x =+⋅+=+且1,02>∴>y x. 故1241++=+x xy 的值域为}1|{>y y .[小结]求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.例2用函数单调性定义证明a ＞1时，y = a x 是增函数. [解析]设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R )， 则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴1,01>>h x a a ， ∴012>-x x a a ，即21x x a a < 故y = a x (a ＞1)为R 上的增函数，同理可证0＜a ＜1时，y = a x 是R 上的减函数.。
高中数学2.1.2指数函数及其性质教案第2课时新人教A版必修1
人教A版必修1第2章第1节指数函数及其性质（第2课时）教学设计一、教学过程（一）复习回顾发问：1、指数函数的定义教师活动：引导先生回顾上节课知识，在幻灯片上显示出成绩，留些许工夫让先生回顾考虑，然后发问。
发问先生后，对先生回答做出评价。
若回答正确，则适时进行表扬，加强先生的自决心，使其获得学习的满足感与成就感。
进步学习数学的兴味。
若回答错误，则引导其他先生对该生的答案进行纠正或补充，引导时尽量运用鼓励性言语，如“某某同学的回答很不错，如果再补充上甚么甚么就更完美了”，或“置信下次发问时，某某同学必然能答对”。
发问完成后，再将正确答案呈如今幻灯片上。
先生活动：努力考虑上节课所学知识，积极回答老师发问的成绩。
设计意图：温故而知新，经过发问的方式回顾上节课知识，有助于引出本节课知识，和在本节课中如需用到上节课知识时先生能很好的回顾起来，并使其讲上节课知识与本节课知识联系起来。
考查先生上节课的掌握情况。
工夫预设：2分钟2、指数函数的影象与性质图象定义域 R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减教师活动：先让先生本人画出指数函数的图象，然后针对每个成绩，逐一发问先生。
对每个成绩，都要引导先生经过观察图象得出正确结论。
先生活动：本人画出图象，然后经过图象，考虑表格中的成绩。
设计意图：经过先生本人画图，回顾上节课的知识，加深对指数函数图象的理解。
后面的几个成绩都是以图象为基准，设置的成绩，目的是进一步加深先生对指数函数图象的理解，并能够纯熟掌握其性质。
不利于对上节课所学知识的巩固。
工夫预设：5分钟（二）新课讲授例1、已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,8),求f(6)解：由于f(x)的图象经过点（3,8）所以 f(3)=8即解得a=2所以 f(6)= 64教师活动：先展现成绩，让先生经过分组讨论、合作交流的方式，找出解题思绪，然后教师发问几个组，经过几个组的讨论交流，完成生生互动。
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
指数函数及其性质 精品公开课教案
《指数函数的图象及其性质》教学设计一、教学内容分析本节课是《高中数学必修1》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。
指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、学生学习况情分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。
教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。
本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、教学目标（一）知识目标1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；2、在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；（二）能力目标1、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力。
（三）情感目标1、同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
2、让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，培养学生的创新意识四、教学重点与难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
五、教法学法1、教法分析采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受2、学法分析学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。
高中数学《指数函数及其性质》公开课优秀教学设计二.docx
2.1.2指数函数及其性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教 A 版）第二章第一节的第三课时《指数函数及其性质》.一、教学背景分析1.教学内容分析指数函数是高中生在学习了函数的概念及性质后学习的第一个具体的函数.指数函数的学习，一方面可以进一步深化对函数概念的理解，另一方面也为研究对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数打下基础.本节课的教学内容是指数函数及其性质.通过实际情境的设置，学生体验从实际问题中抽象概括出指数函数的概念；学生经历自主探究，从中感悟指数函数的图象与性质，这是本节课的一条明线；在探索指数函数性质的过程中，学生体验研究函数的基本方法，是本节课的一条暗线，也是今后研究函数的主线.2.学生学情分析在初中，学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数，能借助列表、描点的方法作图，通过观察图象，获得对函数基本性质的直观认识.到高中，学生学习了用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系——函数的概念，在此基础上讨论了研究函数性质的一般方法 .到了第二章的学习中，学生完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力 .为本节课的学习奠定了基础 .二、教学目标设置基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：（1）知识与技能①了解指数函数的实际背景，体会建立一个函数的基本过程和方法；②体会研究一个函数的基本方法；③理解指数函数的概念、图象与性质.（2）过程与方法①在实际问题中，抽象出指数函数的概念，认识数学与现实生活及其它学科的联系 .②能借助计算器画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会研究具体函数的过程和方法，如从具体到抽象的研究过程，数形结合的方法 .（3）情感态度与价值观在探究活动中，通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习能力 .教学重点：指数函数的概念和性质.教学难点：建立指数函数的概念，探究指数函数的性质.三、教学策略分析为了更好的突出教学重点，一方面，我引导学生讨论底数的取值范围，关键在于帮助学生认识底数取值范围的合理性 .这样指数函数概念的形成经历了由特殊到一般，由具体到抽象的渐进过程，更加符合学生的认知规律 .另一方面，引导学生先明确研究函数的内容与方法，从整体上把握研究函数的方向，在此基础上，给予学生充分的时间，让学生经历独立思考、同学讨论的探究过程，归纳出指数函数的性质 .为了突破难点，我采取了以下措施：首先，我让学生在一个自己认为可以的范围内任取底数 a 的值，然后作出图象，用形的直观引导学生主动的分析 a 的范围，再结合上节课指数的运算来帮助学生分析 a 的范围，这不仅为概念的形成做好准备，其分析过程中形数互助的方法也为接下来探究指数函数的性质做好了铺垫 .而对于指数函数性质的探究，借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况，为归纳、概况指数函数的性质及不同函数之间的联系做好准备，进而突破难点 .另外，整个教学过程中，教师都可以通过“截取班级”及时看到学生在图形计算器上的操作，有利于及时了解学生的想法和困难 .四、教学过程的设计与实施（一）建立指数函数概念问题 1请你想一想，这两个函数的结构有什么共同特征？①设 x 年后我国的 GDP 为 2000 年的y倍，那么：y 1.073x*(x N , x 2 0 )②生物体内碳 14含量 P 与死亡年数t之间的关系：1tP() 5730(t 0)2追问如果用字母来代替数，那么这样的函数可以更一般地表示为什么？【设计意图】考虑到知识间的联系，以本章开篇的两个例子为出发点，找出两个函数表达形式上的共同特征——底数是常数而指数是自变量，进而提炼出指数函数模型 y a x .对于这类函数来说，自变量是x 且自变量出现在指数位置上，底数是 a .为了使 y a x更具有代表性，应用更广泛，自变量x 可以取全体实数 .这时，以上两个例子的不同之处就在于底数不同，那么你认为底数 a 可以取哪些值呢？画几个图象看看！活动 1通过画几个具体函数图象，看 a 的取值情况 .【设计意图】结合上一节课指数与指数幂的运算，引导学生分析 y a x的底数 a 的范围 .底数不能为负数对于学生自己发现是困难的，因此借助图形计算器，让学生画出几个图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因.引入课题：这就是我们今天要研究的 2.1.2 指数函数及其性质 .引出课题并板书指数函数的概念：一般地，函数 y a x（a 0 且 a1）叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域为R .（二）探究指数函数性质建立了一个函数，接下来就要来探究这个函数的性质.问题 2你打算怎样研究指数函数的性质呢？问题 3我们一般要研究哪些性质呢？下面大家开始探究指数函数的性质.活动 2探究指数函数的性质.【设计意图】1.引导学生讨论研究指数函数性质的方法，思考需要研究函数的哪些性质，强调形数互助 .进而突出函数图象在研究性质中所起到的直观的作用 .2.指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体.借助图形计算器的画图功能，可以非常直观的观察、归纳指数函数的性质.问题 4几个具体函数所具有的特征能代表这类函数的共同特征吗？（视学生情况，教师提示：为了探究这类函数的共同特征，借助计算器的游标功能让a取遍大于 0 且不等于 1 的所有实数 .）活动 3 借助计算器的游标功能，画出以a为底指数函数图象，进一步探究指数函数的性质 .【设计意图】1.经历从具体到一般地研究函数性质的方法，通过独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养学生的表达能力.2.借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况 .这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利 .利用图形计算器便于探究指数函数的性质，如果不用图形计算器等多媒体工具怎么办？活动 4动笔画出两个指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质.y yO xOx【设计意图】会用描点法画指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质 .（三）应用指数函数知识例1已知指数函数 f ( x) a x（a0且a1）的图象经过点 (3,) ，求 f (0)，f (1) ， f ( 3) .【设计意图】利用待定系数法求指数函数的解析式，通过求函数值，再次体会指数函数中的对应关系 .例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1 .【设计意图】例 2 通过构造指数函数回到指数函数的性质中，体会利用指数函数的单调性可以判断相应函数值的大小关系，加深对指数函数性质的理解.（四）课堂小结与布置作业1.课堂小结（视时间对以下三个问题，请学生自由发言进行总结或教师总结）①本节课你学习了哪些知识？②回顾一节课的研究过程，我们是怎么研究的？③你还有什么问题吗？2.布置作业【设计意图】从以上两个方面让学生回顾这堂课的探究过程，总结提升.“指数函数”点评1.总体评价众所周知，指数函数是高一学生学习了函数的概念、图象与性质后学习的第一个新的初等函数，它是用来刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，同时，对我们研究函数的一般方法、建构数学概念的“基本套路”提供了又一次的教学实践 .本节课按照“情景引入，归纳共同特征，得出定义→探究指数函数性质→指数函数简单应用” ，通过图形计算器的加入，学生在问题的引导下开展自主探究，学生的参与度很广，学习的积极性很高，本节课无论是概念的得出，还是函数性质的探究、以及知识的应用，每一个环节都显得大气而平实，连贯而自然 .2.图形计算器的加入，使得概念的教学生动翔实概念的教学最突出的特点是先讨论如何构建研究思路，然后放手让学生自主探索并归纳概括，在学生充分交流的基础上教师再适时介入 .本节课，谷老师正是按照这个理念进行的，教学过程中，始终围绕概念的核心展开，尤其是图形计算器的加入，让学生作出一些图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因，学生有了充分的活动空间和时间，对以往缠绕在我们心中是否对底数的限制进行探讨的问题，就可以迎刃而解了 .3.图形计算器的加入，更加放手让学生去探究指数函数的性质借助图形计算器的作图和游标功能，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生更加方便地观察函数的整体变化情况 . 这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利 . 教师先提出两个问题，即“ 问题2你打算怎样研究指数函数的性质呢？”和“问题 3 我们一般要研究哪些性质呢？” 在问题的引领下，学生利用图形计算器就开始了对指数函数性质的研究 . 整个课堂紧张而有序，活泼而不乱，经历了从具体到一般地研究函数性质的方法，通过学生独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养了学生的表达能力.当然，本节课如果再放开一些让学生去探究，可能会让学生觉得更有成就感.。
必修1教案2.1.2指数函数及其性质(一)
2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的 1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y +=（2）(2)xy =- （3）2xy =-（4）xy π=（5）2y x = （6）24y x=（7）xy x =（8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导．由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数,如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 .深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象， 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50-2x y =18-141.00- 0.00 0.50 1.00 1.502.00 121 2 4再研究先来研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.001()2x y =141211.00 1.502.00 2.50学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.2 4所以0(0)1f π==，133(0)f ππ==，11(3)f ππ--==.归纳 总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 指出下列函数哪些是指数函数： （1）x y 4=； （2）4x y =； （3）x y 4-=； （4）xy )4(-=； （5）xy π=； （6）24x y =；（7）x x y =； （8）,21()12(>-=a a y x且)1≠a . 【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数； （2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）； （3）是1-与指数函数x 4的乘积；（4）底数04<-，∴不是指数函数； （6）指数不是自变量x ，而底数是x 的函数； （7）底数x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例 2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y =m x -2的图象；当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =2x m +的图象。
高中数学《指数函数及其性质》教案
一、教学目标1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的表达形式；2. 引导学生探究指数函数的性质，如单调性、奇偶性、过定点等；3. 培养学生的数学思维能力，提高学生运用指数函数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达形式；2. 指数函数的单调性；3. 指数函数的奇偶性；4. 指数函数过定点的性质；5. 实际问题中的指数函数应用。
三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义、表达形式及其性质；2. 难点：指数函数性质的证明及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究指数函数的性质；2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示指数函数的图像；3. 结合典型例题，讲解指数函数在实际问题中的应用；4. 开展小组讨论，促进学生间的交流与合作。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如细胞分裂、放射性衰变等，引导学生感受指数函数的增长速度；2. 讲解：介绍指数函数的定义与表达形式，引导学生探究指数函数的单调性、奇偶性及过定点的性质；3. 练习：让学生独立完成典型例题，巩固所学知识；4. 应用：结合实际问题，让学生运用指数函数解决问题；教案部分（由于篇幅原因，这里仅提供部分内容）：一、指数函数的定义与表达形式1. 定义：一般地，形如y=ax（a＞0，a≠1）的函数叫做指数函数。
2. 表达形式：指数函数可以写成y=a^x的形式，其中a为底数，x为指数。
二、指数函数的单调性1. 当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是单调递减的；2. 当a＞1时，指数函数y=a^x是单调递增的。
三、指数函数的奇偶性1. 指数函数y=a^x既不是奇函数也不是偶函数。
四、指数函数过定点的性质1. 指数函数y=a^x恒过定点（0,1），即当x=0时，y=1。
五、实际问题中的指数函数应用1. 细胞分裂：假设细胞每分裂一次，数量增加为原来的两倍，求经过n次分裂后，细胞的总数。
2. 放射性衰变：某种放射性物质每过一个half-life 期，剩余质量减少到原来的一半，求经过n个half-life 期后，剩余质量是多少。
高必修1第二章《指数函数及其性质》特色班教案
2.1.2 指数函数及其性质【课题】：指数函数及其性质（特色班）【设计与执教者】：广州市十七中王合章【教学时间】：2006年10月【学情分析】：（适用于平行）指数函数是在学生系统的学了函数概念、性质、幂的运算的基础上进行研究的.指数函数又是完全陌生的一类函数，它是把数值书范围扩充到实数的基础上引入的。
【教学目标】：（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；（2）能借助计算机或计算器画指数函数的图象；（3）能由指数函数的图象探索并理解指数函数的性质；（4）培养学生多角度地思考，进一步发展合情推理.【教学重点】：指数函数的概念和性质.【教学难点】：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【课前准备】：课件一、基本训练1．比较下列各题中两个数的大小：（1）1.03- 2.03 （2）4.0583.0______83.0-(3) 1.27.1______e e (4)1.526.0_____6.0 2．已知下列不等式，比较m 、n 的大小：（1）n m 22<； （2） n m 4.04.0<； （3）)1,0(≠><a a a a n m 3．求不等式1472-->x x a a （a>0,且a ≠1）中的x 的取值范围4．当死亡物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了。
（1）死亡生物组织内的碳14经九个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？（2）大约经过多少万年后，用一般的探测器就测不到碳14了（精确到万年）？ 二、变式训练 5．确定函数3225++-=x xy 的单调递增区间。
6．设1,0≠>a a ，如果函数122-+=x x a a y 在[－1，1]上的最大值为14，求实数a 的值。
参考答案1.(1) < ; (2) < ; (3) < ; (4) > .2. (1) < ; (2) > ; (3),当0<a<1时,m> n;当a>1时,m < n3.解: 当0<a<1时,x ∈(－∞,3); 当a>1时,x ∈(3,+∞)4.解：设死亡物组织内的碳14的初始含量为a （a>0）,经过x 的“半衰期”后, 死亡物组织内的碳14的含量为y,则:x a y )21(=(1) 当x= 9时,a a a y 100015121)21(9>== ∴一般的放射性探测器能测到碳14 (2)5．X ∈（－∞，1） 6．a = 3或a = 1/3。
指数函数及其性质 精品公开课教案
引导学生从具体问 题、实际问题中抽象 出数学模型。学生对 比已经学过一次函 数、反比例函数、二
次函数，发现 y 2 x
， y 1.073x 是一个新
的函数模型，再让学 生给这个新的函数命 名，由此激发学生的 学习兴趣。
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否 根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
②若学生只给出 y a x ，教师可以引导学生通过 类比一次函数（ y kx b, k 0 ）、反比例函数
y k ,k 0
（x
）、二次函数（
y ax2 bx c, a 0 ）中的限制条件， 思考指 数函数中底数的限制条件。
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的 定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑 板上写出一些解析式让学生判断，如 y 2 3x
， y 32x ， y 2 x 。 学情预设：学生可能只是关注指数是否是变 量，而不考虑其它的。
加深学生对指数函数 定义和呈现形式的理 解。
2．指数函数性质 （1）提出两个问题（约 3 分钟） ①目前研究函数一般可以包括哪些方面；
让学生在研究指数函 数时有明确的目标： 函数三个要素（对应 法则、定义域、值 域、）和函数的基本 性质（单调性、奇偶 性）。
教学重点：指数函数的概念、图对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数 函数的性质。 教学方法：同伴合作、自主探究，讲练结合 课 时：2 课时（第一课时：探究图象及其性质，第二 课时：指数函数及其性质的应用）
【教学过程】
教学 环节
一、 创设 情
教学过程
设计意图
总是 1，对它没有研究的必要。） 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定
且
。
高中数学必修公开课教案2指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教课剖析有了前方的知识贮备,我们就能够理所应当地学习指数函数的观点,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质 .教材为了让学生在学习以外就感觉到指数函数的实质背景,先给出两个详细例子:GDP的增长问题和碳 14 的衰减问题 .前一个问题 ,既让学生回首了初中学过的整数指数幂,也让学生感遇到此中的函数模型,而且还有思想教育价值.后一个问题让学生领会此中的函数模型的同时,激发学生研究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲念,为新知识的学习作了铺垫 .本节安排的内容蕴涵了很多重要的数学思想方法,如推行的思想 (指数幂运算律的推行 )、类比的思想、迫近的思想 (有理数指数幂迫近无理数指数幂)、数形联合的思想 (用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时 ,编写时充足关注与实质问题的联合,表现数学的应用价值 .依据本节内容的特色,教课中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创建教课情况 ,为学生的数学研究与数学思想供给支持.三维目标1.经过实质问题认识指数函数的实质背景,理解指数函数的观点和意义,依据图象理解和掌握指数函数的性质,领会详细到一般数学议论方式及数形联合的思想.2.让学生认识数学来自生活,数学又服务于生活的真理.培育学生察看问题、剖析问题的能力,培育学生谨慎的思想和科学正确的计算能力.3.经过训练评论,让学生更能娴熟指数幂运算性质.展现函数图象,让学生经过察看,从而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简短美和一致美.要点难点教课要点：指数函数的观点和性质及其应用.教课难点：指数函数性质的归纳、归纳及其应用.课时安排3课时教课过程第 1 课时指数函数及其性质(1)导入新课思路 1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的3,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的关系式 ,它是41函数关系式吗？假如 ,请计算若要使存留的污垢不超出原有的,则起码要漂洗几次？教师164指引学生剖析 ,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位4置上 ,这样的函数叫指数函数,引出本节课题 .121思路 2.教师复习发问指数幂的运算性质,并要修业生计算 23,20,2-2,16 4 ,27 3 ,492 .再发问如何画函数的图象 ,学生思虑 ,分组沟通11,再,写出自己的答案 8,1,,2,9, ,先成立平面直角坐标系47描点 ,最后连线 .点出本节课题 .1思路 3.在本章的开头 ,问题（ 2）中时间t 和碳 14 含量 P 的对应关系P=［ ( 1) 5730 ］ t ,假如我2们用 x 表示时间 ,y 表示碳 14 的含量 ,则上述关系可表示为y= ［ ( 12 1) 5730 ］ x ,这是我们习惯上的函数形式 ,像这种自变量在指数的地点上的函数 , 我们称为指数函数 ,下边我们给出指数函数确实切观点 ,从而引出课题 . 推动新课 新知研究 提出问题1.一种放射性物质不停衰减为其余物质,每经过一年剩留量约是本来的 84%,求出这种物质经过 x 年后的剩留量 y 与 x 的关系式是 _________.(y=0.84 x )2.某种细胞分裂时 , 由一个分裂成两个 ,两个分裂成四个 ,四个分裂成十六个 ,挨次类推 ,一个这 样的细胞分裂 x 次后 ,获得的细胞个数 y 与 x 的关系式是 _________.(y=2 x ) 提出问题(1) 你能说出函数 y=0.84 x 与函数 y=2x 的共同特色吗 ?(2) 你能否能依据上边两个函数关系式给出一个一般性的观点?(3) 为何指数函数的观点中明确规定 a>0,a ≠ 1? (4) 为何指数函数的定义域是实数集?(5) 如何依据指数函数的定义判断一个函数是不是一个指数函数？请你说出它的步骤 .活动：先让学生认真察看 ,沟通议论 ,而后回答 ,教师提示点拨 ,实时鼓舞夸奖给出正确结论的学 生 ,指引学生在不停研究中提高自己的应用知识的能力 ,教师巡视 ,个别指导 ,针对学生共性的问题集中解决 .问题 (1) 看这两个函数的共同特色 ,主假如看底数和自变量以及函数值.问题 (2) 一般性的观点是指用字母表示不变化的量即常量.问题 (3) 为了使运算存心义 ,同时也为了问题研究的必需性 .问题 (4) 在(3) 的规定下 ,我们能够把 a x 当作一个幂值 ,一个正数的任何次幂都存心义 .问题 (5) 使学生回想指数函数的定义 ,依据指数函数的定义判断一个函数是不是一个指数函数,紧扣指数函数的形式 .议论结果： (1)对于两个分析式我们看到每给自变量 x 一个值 ,y 都有独一确立的值和它对应 ,再就是它们的自变量 x 都在指数的地点上 ,它们的底数都大于0,但一个大于 1,一个小于与 2 固然不一样 ,但它们是两个函数关系中的常量 ,因为变量只有 x 和 y.(2) 对于两个分析式 y=0.84 x 和 y=2 x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示 ,这样我们获得指数函数的定义:一般地 ,函数 y=a x (a>0,a ≠叫1)做指数函数 ,此中 x 叫自变量 ,函数的定义域是实数集 R. (3)a=0 时,x>0 时 ,a x 总为 0;x ≤0时,a x 没存心义 .1a<0 时 ,如 a=-2,x= 1,a x =(-2) 2 =- 2 明显是没存心义的 .2a=1 时 ,a x 恒等于 1,没有研究的必需 .所以规定 a>0,a ≠1此.解说只需能说明即可 ,不要深入 .(4) 因为 a>0,x 能够取随意的实数 ,所以指数函数的定义域是实数集R.(5) 判断一个函数是不是一个指数函数,一是看底数是不是一个常数,再就是看自变量是不是一个 x 且在指数地点上 ,知足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1) 前方我们学习函数的时候 ,依据什么思路研究函数的性质 ,对指数函数呢 ?(2) 前方我们学习函数的时候 ,如何作函数的图象 ?说明它的步骤 .(3) 利用上边的步骤 ,作函数 y=2x 的图象 .1 (4) 利用上边的步骤 ,作函数 y=(2)x 的图象 .(5) 察看上边两个函数的图象各有什么特色 ,再画几个近似的函数图象,看能否也有近似的特点?(6) 依据上述几个函数图象的特色,你能归纳出指数函数的性质吗?(7) 把 y=2x和 y=(1 )x 的图象 ,放在同一坐标系中 ,你能发现这两个图象的关系吗 ?2(8) 你能证明上述结论吗 ?(9) 可否用 y=2 x的图象画 y=( 12)x 的图象 ?请说明画法的原因 .活动： 教师指引学生回首需要研究的函数的那些性质 ,共同议论研究指数函数的性质的方法 , 重申数形联合 ,重申函数图象在研究函数性质中的作用 ,注意从详细到一般的思想方法的运用,浸透归纳能力的培育,进行讲堂巡视 ,个别指导 ,投影展现画得好的部分学生的图象,同时投影展现课本表 21,22 及图 2.12,2.13 及 2.14,实时评论学生 ,增补学生回答中的不足 .学生独立思虑 ,提出研究指数函数性质的思路 ,独立绘图 ,察看图象及表格,表述自己的发现 ,同学们互相沟通 , 形成对指数函数性质的认识 ,介绍代表发布本组的集体的认识.议论结果： (1)我们研究函数时 ,依据图象研究函数的性质,由详细到一般 ,一般要考虑函数的定义域、值域、单一性、奇偶性,有时也经过画函数图象 ,从图象的变化状况来看函数的性质.(2) 一般是列表 ,描点 ,连线 ,借助多媒体手段画出图象 ,用计算机作函数的图象 .(3) 列表 .x -3.00-1.50 -1.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00y=2 x1 1 1 1248 4 2作图如图 2-1-2-1图 2-1-2-1(4) 列表 .x-2.50-2.00 -1.50 -1.00 0.001.00 1.502.00 2.501 x 1 1 24y=()4122作图如图 2-1-2-2图 2-1-2-2(5)经过察看图2121,可知图象左右延长,无止境说明定义域是实数 .图象自左至右是上涨的,说明是增函数 ,图象位于 x 轴上方 ,说明值域大于 0.图象经过点（ 0,1）,且 y 值散布有以下特色 ,x<0时 0<y<1,x>0 时 y>1. 图象不对于 x 轴对称 ,也不对于 y 轴对称 ,说明函数既不是奇函数也不是偶函数 .经过察看图2122,可知图象左右延长,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是降落的,说明是减函数 ,图象位于x 轴上方 ,说明值域大于0.图象经过点（ 0,1） ,x<0 时 y>1,x>0 时 0<y<1.图象不对于x 轴对称 ,也不对于y 轴对称 ,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.能够再画以下函数的图象以作比较,y=3x,y=6 x,y=(13)x,y=(1) x.从头察看函数图象的特色,推6广到一般的情况.（6）一般地 ,指数函数y=a x在 a>1 和 0<a<1 的状况下 ,它的图象特色和函数性质以下表所示.图象特色函数性质a＞ 10＜ a＜ 1a＞ 10＜ a＜1向 x 轴正负方向无穷延长函数的定义域为 R图象对于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x 轴上方函数的值域为 R +函数图象都过定点（ 0,1）a0=1自左向右 ,图象渐渐上涨自左向右 ,图象渐渐降落增函数减函数在第一象限内的图象纵坐在第一象限内的图象纵坐1x ＞ 0,a x＞ 1x＞ 0,a x＜1标都大于 1标都小于在第二象限内的图象纵坐在第二象限内的图象纵坐x＜ 0,a x＜1x＜ 0,a x＞1标都小于 1标都大于 1一般地 ,指数函数 y=a x在底数 a＞ 1 及 0＜ a＜ 1 这两种状况下的图象和性质以下表所示：a＞10＜ a＜ 1图象①定义域： R②值域：（ 0,+ ∞）性质③过点（ 0,1） ,即 x=0 时 y=1④在 R 上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当 x＞ 0 时 ,y＞ 1当x＞0时,0＜y＜1（7）在同一坐标系中作出y=2x和 y=( 1)x两个函数的图象,如图 2-1-2-3.经过认真研究发现, 2它们的图象对于y 轴对称 .图 2-1-2-3(8) 证明 :设点 p(x 1,y 1) 是 y=2x 上的随意一点 ,它对于 y 轴的对称点是 p 1(-x 1,y 1), 它知足方程 y=( 1) x =2-x,即点 p 1(-x 1,y 1)在 y=(122)x的图象上 ,反之亦然 ,所以 y=2x和 y=( 1)x 两个函数的图2象对于 y 轴对称 .(9) 因为 y=2 x 和 y=(1 )x 两个函数的图象对于 y 轴对称 ,所以能够先画此中一个函数的图象,利2,同学们必定要掌握这种作图的方法,对此后的学用轴对称的性质能够获得另一个函数的图象 习特别有利处 . 应用示例思路 1例 1 判断以下函数是不是一个指数函数？2xxx(a>y=x ,y=8 ,y=2 4·,y=(2a-1) 12,a ≠ 1),y=(-4) xxx3,y= π,y=6 +2.活动：学生察看, 小组议论 , 试试 解决以上 题目 ,学生 紧扣指数 函数的定义解题 ,因为2xx3x的形式 ,教师重申 x的形式的重要性 ,即 a 前方的系数为y=x ,y=2 ·4,y=6 +2 都不切合 y=a y=a 1,a 是一个正常数（也但是一个表示正常数的代数式） ,指数一定是 x 的形式或经过转变后能化为 x 的形式 .解： y=8x,y=(2a-1) x(a>变式训练12,a ≠ 1),y=(-4) x x 是指数函数 ;y=x 2 x x3 不是指数函数 .,y= π ,y=2 ·4,y=6 +2函数 y=2 3xx-x,y=a +k,y=a ,y=(2a-2) x(a>0,a ≠中1)是指数函数的有哪些?答案： y=2 3x =(2 3) x ,y=a -x =( 1 )x ,y=(2 )-2 x= ［ ( 2 )-2 ］ x 是指数函数 .aa :a例 2 比较以下各题中的两个值的大小（ 1） 1.72.5 与 1.73;(2)0.8 -0.1 与 0.8-0.2 ;(3)1.7 0.3 与 0.93.1.活动：学生自己思虑或议论,回想比较数的大小的方法 ,联合题目实质 ,选择合理的 ,再写出（最好用实物投影仪展现写得正确的答案） ,比较数的大小 ,一是作差 ,看两个数差的符号 ,若为正 , 则前方的数大 ; 二是作商 ,但一定是同号数 ,看商与 1 的大小 ,再决定两个数的大小 ;三是计算出每个数的值 ,再比较大小 ; 四是利用图象 ;五是利用函数的单一性 .教师在学生中巡视其余学生的解答 ,发现问题实时纠正并实时评论 .解法一：用数形联合的方法 ,如第（ 1）小题 ,用图形计算器或计算机画出y=1.7 x 的图象 ,如图2-1-2-4.图 2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为 2.5、3 的点 ,明显 ,图象上横坐标为 3 的点在横坐标为2.5 的点的上方 ,所以 1.72.5<1.73,同理 0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.解法二：用计算器直接计算： 1.7 2.5 3≈ 3.77,1.7≈ 4.91,所以 1.72.5<1.73.同理 0.8-0.1<0.8-0.2 ,1.70.3>0.93.1.解法三：利用函数单一性 ,①1.72.5 与 1.73 的底数是 1.7,它们能够当作函数y=1.7x ,当 x=2.5 和 3 时的函数值； 因为 1.7>1, 所以函数 y=1.7 x在 R 上是增函数 ,而 2.5<3,所以1.72.53 ；<1.7②0.8-0.1 与 0.8-0.2 的底数是 0.8,它们能够当作函数y=0.8 x ,当 x=-0.1 和 -0.2 时的函数值；因为0<0.8<1, 所以函数 y=0.8 x 在 R 上是减函数 ,而 -0.1>-0.2, 所以 0.8-0.1<0.8-0.2；③因为 1.7 0.33.10.3 3.1>1,0.9 <1, 所以 1.7 >0.9 . ,但解法三不合适 .因为 1.70.3 与 0.93.1 不评论： 在第（ 3）小题中 ,能够用解法一、解法二解决 能直接当作某个函数的两个值,所以 ,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1 比较大小 ,从而比较 1.70.3与 0.93.1的大小 ,这里的 1 是中间值 . 思虑在上边的解法中你以为哪一种方法更适用 ?活动：学生对上边的三种解法作比较 ,解题有法但无定法,我们要采纳多种解法,在多种解法中选择最优解法 ,这要经过频频练习 ,加强来实现 .变式训练1.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.2 0.8,按大小次序摆列 a,b,c.答案： b<a<c(a 、 b 可利用指数函数的性质比较 ,而 c 是大于 1 的 ).11 2.比较 a 3 与 a2 的大小（ a ＞ 0 且 a ≠0） .1111答案： 分 a ＞ 1 和 0<a<1 两种状况议论 .当 0<a<1 时 ,a 3 >a 2 ;当 a>1 时 ,a 3 <a 2 . 例 3 求以下函数的定义域和值域:12 | x|2 x 1(1)y=2 x 4 ;(2)y=(x 1 .3);(3)y=10活动： 学生先思虑 ,再回答 ,因为指数函数 y=a x ,(a ＞ 0 且 a ≠ 1)的定义域是 R, 所以这种近似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师合时点拨和提示,求定义域 ,只需使指数存心义即可 ,转变为解不等式 .1解： (1) 令 x-4≠0,则 x ≠4,所以函数 y=2 x 4 的定义域是｛ x ∈ R ∣x ≠4｝,111又因为4 ≠ 1,即函数 y=2 x 4 的值域是｛ y|y>0 且 y ≠1｝ .≠ 0,所以 2xx 4(2) 因为 -|x| ≥所0,以只有 x=0. 所以函数 y=( 2)|x|的定义域是｛ x ∣ x=0 ｝ .而 y=(2322)|x|=( )0=1, 即函数 y=( )|x|的值域是｛ y ∣ y=1｝ .33 32x≥ 0,得 2x(3) 令≥ 0,x 1 x 1即x1≥ 0,解得 x<-1 或 x≥ 1, x12 x1所以函数y=10x 1的定义域是｛ x∣ x<-1 或 x≥1｝ .因为2x-1≥ 0,且2x≠ 2,所以2x1≥0且 2 x1≠1.x1x1x 1x 12x1故函数 y=10x 1的值域是｛ y∣ y≥1,y ≠10｝.评论：求与指数函数相关的定义域和值域时,要注意到充足考虑并利用指数函数自己的要求,并利用好指数函数的单一性,特别是第 (1)题千万不可以遗漏y>0.变式训练求以下函数的定义域和值域:(1)y=(1)2 x x2;(2)y=32 x 11;(3)y=a x-1(a>0,a≠ 1).29答案： (1)函数 y=( 1)2 x x2的定义域是R ,值域是［1,+ ∞）;(2)函数 y= 32x 11的定义域229是［1,+ ∞）,值域是［ 0,+ ∞）;(3) 当 a>1 时 ,定义域是 {x|x ≥ 0},当 0<a<1 时 ,定义域是 {x|x ≤ 0}, 2值域是［ 0,+ ∞）.思路 2例 1 一种放射性物质不停衰减为其余物质,每经过一年剩留量约是本来的84%, 求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象 ,并从图象上求出经过多少年剩留量是本来的一半？（结果保存一个有效数字）活动：师生共同剖析,先求出分析式 ,列出数值对应表,再描点 ,画出图象后 ,利用图象求解,由学生回答 ,学生有困难 ,教师能够提示,认真审题 ,利用代数式分别表示出经过 1 年 ,2 年,3 年 ,的剩留量 ,归纳出关系式,取几个要点点 ,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5 的点 ,作纵轴的垂线交图象于一点 ,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数.解：设最先的质量为1,时间用变量x 表示 ,剩留量用y 表示 ,则经过 1 年 ,y=1 ×84%=0.84 1；经过 2 年 ,y=1 ×0.84 ×0.84=0.84 2; 这样 ,可归纳出 ,经过 x 年,y=0.84 x,x∈N * .x0123456y10.840.710.590.500.420.35画出指数函数y=0.84 x的图象 ,如图 2-1-2-5.从图上能够看出y=0.5 时 ,只需 x=4.图 2-1-2-5答：约经过 4 年 ,剩留量是本来的一半.评论：实质问题中要注意自变量的取值范围.例 2 比较以下两个数的大小:1 23 (1)30.8,30.7;(2)0.75 -0.1,0.750.1 ;(3)1.8 0.6,0.81.6;(4)( ) 3,25 .3活动： 教师提示学生指数函数的性质,依据学生的解题状况实时评论学生.解法一： 直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较 :对(1) 因为 30.8=2.408225,3 0.7=2.157669, 所以 30.8>30.7; 对(2) 因为 0.75 -0.10.1所以 0.75-0.10.1=1.029186,0.75 =0.971642, >0.75 ;对(3) 因为 1.80.6=1.422864,0.8 1.6=0.699752, 所以 1.80.6>0.81.6 ;对(4) 因为 (12 3)3=2.080084,2 5 2 3=0.659754, 所以 ( 1) 3 >2 5.33解法二： 利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较 :对(1) 因为函数 y=3x 在 R 上是增函数 ,0.8＞0.7,所以 30.8>30.7 ;对(2) 因为函数 y=0.75 x 在 R 上是减函数 ,0.1＞ -0.1,所以 0.75-0.1 >0.750.1;对(3) 由指数函数的性质知 1.80.6>1.80=1=0.8 0>0.81.6 ,所以 1.80.6>0.81.6;对(4) 由指数函数的性质知 (121 ) 3>( 3331 235 ,所以 (3>2 5 .) =1=2 >2 )3解法三 :利用图象法来解 ,详细解法略 .评论： 在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时 ,第一把这两个数看作指数函数的两个函数值 ,利用指数函数的单一性比较 .若两个数不是同一函数的两个函数值 ,则追求一此中间量 ,两个数都与这此中间量进行比较 ,这是常用的比较数的大小的方法,而后得两个数的大小,数学上称这种方法为 “中间量法 ”. 变式训练比较 n 1 a n 与 n a n 1 (a>0,a ≠ 1,n ∈N * ,n>2)的大小关系 .nn解： 因为 n 1a n=a n 1 , n a n 1 =a n 1 ,而 n ∈N * ， n>2,所以nn 1=1>0,即n n 1n1n1)n 1n.n(nnnnn所以：当 a>1 时 an 1>a n1 ，即 n 1a n> nan 1；当 0<a<1 时 an 1<an 1,即n 1a n< n a n 1 .知能训练课本 P 58 练习1、 2.【增补练习】1.以下关系中正确的选项是()A.( 1 )32<( 1 ) 2 <( 1 ) 13B.( 1 )31<(1 ) 32<(1 ) 3225 12225121 1 1212121 1 C.() 3 <( ) 33D.(3 <() 3 <() 35 2<())2 225答案： D2.函数 y=a x(a>0,a ≠对1)随意的实数x,y 都有 ()A.f(xy)=f(x)f(y)·B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)·D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案： C3.函数 y=a x+5+1(a>0,a≠恒1)过定点 ________.答案：（ -5,2）拓展提高研究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3 x,y=10 x的图象 ,比较这三个函数增添的快慢 .活动：学生深刻回首作函数图象的方法, 沟通作图的领会. 列表、描点、连线, 作出函数y=2x,y=3 x,y=10 x的图象 ,如图 2-1-2-6.x-2-1012310y=2x0.250.512481024 xy=30.110.331392759049y=10 x0.010.111010010001010图 2-1-2-6从表格或图象能够看出:(1)x<0 时,有 2x>3x>10 x;(2)x>0 时,有 2x<3x<10 x;x x(3) 当 x 从 0 增添到 10,函数 y=2 的值从 1 增添到 1 024, 而函数 y=3 的值从 1 增添到 59 049.x x x x这说明 x>0 时 y=3 比 y=2的函数值增添得快.同理 y=10 比 y=3的函数值增添得快.所以得：一般地,a>b>1 时 ,(1)x<0 时 ,有 a x<b x<1;(2)x=0 时,有 a x=b x=1;(3)x>0 时,有 a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大 ,x>0 时其函数值增添就越快 .研究二：分别画出底数为 0.2、 0.3、 0.5 的指数函数的图象 (图 2-1-2-7), 比较底数为 2、 3、5 的指数函数的图象 ,研究指数函数 y=a x(0<a<1) 中 a 对函数的图象变化的影响 .图 2-1-2-7由此得：一般地 ,0<a<b<1 时 ,(1)x>0 时,有 a x<b x<1;(2)x=0时 ,有 a x=b x=1;(3)x<0时 ,有 a x>b x>1;(4)指数函数的底数越小 ,x>0 时 ,其函数值减少就越快 .讲堂小结1.指数函数的定义 .2.指数函数的图象和性质 .3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形联合的思想(方法 ), 它是一种特别重要的数学思想和研究方法 .4.利用指数函数的单一性比较几个数的大小,特别是中间变量法 .作业课本 P59习题 2.1A 组 5、 6、 8、 10.设计感想本节课是在前方研究了函数性质的基础上,研究详细的初等函数 ,它是重要的初等函数 ,它有着丰富的内涵 ,且和我们的实质生活联系亲密,也是此后学习对数函数的基础,在指数函数的观点解说过程中 ,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为何规定底数 a 是大于0 而不等于 1 的 ,本节内容讲堂容量大,要提高讲堂的效率和节奏 ,多运用信息化的教课手段 ,顺利达成本堂课的任务 .(设计者：韩双影 )。
高中数学《指数函数及其性质》精品公开课教案
指数函数及其性质（教师叙述：指数函数是高中函数部分的一大内容，初中我们学习的哈数为一次函数，二次函数，反比例函数，那么高中我们要学习的是指数函数、对数函数，以及幂函数.这一部分在高考中占的比重是比较大的，希望同学们能集中注意力，争取能完全透彻的理解这节课，学会这节课）一、【学习目标】（自学引导：这节课的容量比较大，希望同学们在课下做好预习，关键是要学会两点：第一点，能通过指数函数的定义来判断出哪些函数是指数函数，哪些是指数类函数；第二点，要会熟练的画出指数函数的图像，并且能通过指数函数的图像归纳出指数函数的性质，特别要注意的是要学会运用指数函数的单调性解决题目）1、理解指数函数的定义，会判断哪些函数是指数函数、哪些函数是指数类函数；2、根据图形观察指数函数的性质，进一步的强化数形结合和从特殊到一般的归纳的思想；会利用函数的单调性解决一些比较大小的问题.【教学效果】：这一节容量比较大，教学目标的出示给学生学习指明了方向.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读下列材料，结合教材第54页内容，完成下列问题材料一：一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,请求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________【答案：y=0.84x】材料二：某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.【答案：y=2x】（自学引导：这部分内容关键是要理解什么样的函数我们才能把它称为指数函数，也即是指数函数和指数类函数的区别，当然也要深刻理解指数函数的含义）<1>你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?<2>你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念吗?为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?为什么指数函数的定义域是实数集?（教师注意：对于为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a ≠1?为什么指数函数的定义域是实数集?这两个问题教师点到即可，不能深入挖掘，因为这个不是考点）<3>如何根据指数函数定义判断一个函数是否是一个指数函数？结论：<1>对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y ；<2>对于两个解析式y=0.84x 和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y=a x (a>0,a ≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R ；因为a=0时,x>0时,a x 总为0；x ≤0时,a x 没有意义.a<0时,如a=-2,x=21,a x =(-2)21=2-显然没有意义.a=1时,a x 恒等于1,没有研究的必要.因此规定a>0,a ≠1.因为a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.<3>判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 思考：下列函数是指数函数吗？y=x 2,y=8x ,y=2·4x ,y=(2a-1)x (a>21,a ≠1),y=(-4)x ,y=πx 【教学效果】：这一部分关键是渗透从特殊到一般的数学归纳思想，要学习的主要内容是要让学生明确哪些函数是指数函数，哪些函数是指数类函数.阅读教材第55页到第56页内容，然后回答下列问题（自学引导：关键是要会通过函数的图像归纳出函数的性质）（教师注意：这一部分的内容是非常重要的，希望老师们能在学生自学的同时精讲细讲，争取做到每一个学生课堂上能听懂）<1>前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数我们应该怎样研究呢?前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤；<2>利用上面的步骤,作函数y=2x 和y=(21)x 的图象； <3>根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?结论：<1>我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质；作图时一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象；642-2-4-6-10-5510g x () = 0.5x f x () = 2x<3>一般地,指数函数y=a x在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：思考：把y=2x和y=(21)x 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?你能证明你的结论吗?能否用y=2x 的图象画y=(21)x 的图象?请说明画法的理由； 结论：在同一坐标系中作出y=2x 和y=(21)x 两个函数的图象,如图<1>(几何画板作图），经过仔细研究发现,它们的图象关于y 轴对称.你能证明这个结论吗？证明:设点p(x 1,y 1)是y=2x 上的任意一点,它关于y 轴的对称点是p 1(-x 1,y 1),它满足方程y=(21)x =2-x ,即点p 1(-x 1,y 1)在y=(21)x 的图象上,反之亦然,所以y=2x 和y=(21)x 两个函数的图象关于y 轴对称；因为y=2x 和y=(21)x 两个函数的图象关于y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处.（教师注意：其实第二部分自学的内容是一个有特殊到一般的归纳总结的过程，老师们在教学的过程中要注意渗透这个思想,讲课时注意作图的规范性，只有老师作图规范了，学生才有可能作图规范.）【教学效果】：关键是渗透从一般的数学归纳思想和数形结合的思想.通过讲解，学生都能理解明确指数函数的性质.三、【练习与巩固】（约18分钟）浏览教材第56页例6，例7，完成练习（约15分钟）练习一：<1>自学例6并谈谈你的感受；<2>自学例7并谈谈你的感受；【教学效果】：运用一题多解的思路，渗透数形结合的思想，达到了很好的 效果，特别是对于例7，结合函数的单调性和图形，学生都能很好的完成学习目标.根据今天所学的知识完成练习（约3分钟）练习二：指出函数y=23x ,y=a x +k,y=a -x ,y=(a2)-2x(a>0,a ≠1)中哪一些是指数函数 四、【课堂作业】1、必做题：教材第58页练习1、22、选做题：教材第59页习题2.1A 组第7题（任选一个小题）、第8题（任选一个小题）.五、【小结】这节课主要学习了指数函数、指数函数的图像、指数函数的性质，要向学生渗透从特殊到一般的数学归纳思想和属性结合的思想，要让学生能认识什么是指数函数，什么是指数类函数.学生需要理解会解决例7类型的问题，也即用函数的单调性和数形结合的思想解决比较大小的问题，这是一个重点.要注意的是我们研究函数主要从：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等六个方面来研究，这是我们研究函数的六个基本工具，老师要向学生点明.六、【反思】这节课基本内容学生们都接受了，但是由于这节课容量比较大，所以讲完之后心中不免有一点点的担心，学生到底会不会？下课后挨个儿的问了学生的感受，回答大半都是懂了，当然也有不太懂的，占少数，但是自己还是觉得很不踏实，觉得这节课讲的还是不是很合自己的理想.只有等作业情况交上来之后才能判断了.。
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2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP 的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美. 重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用. 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 指数函数及其性质(1)导入新课思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的43,写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的641,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=(41)x ,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,1641,2732,4921.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, 41,2,9,71,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t 和碳14含量P 的对应关系P=［(21)57301］t ,如果我们用x 表示时间,y 表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［(21)57301］x ,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是_________.(y=0.84x )2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的关系式是_________.(y=2x ) 提出问题(1)你能说出函数y=0.84x 与函数y=2x 的共同特征吗?(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念? (3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1? (4)为什么指数函数的定义域是实数集?(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤. 活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值. 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量. 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把a x 看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x 都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x 和y.(2)对于两个解析式y=0.84x 和y=2x ,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示,这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数y=a x (a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R. (3)a=0时,x>0时,a x 总为0;x≤0时,a x 没有意义.a<0时,如a=-2,x=21,a x =(-2)21=2-显然是没有意义的.a=1时,a x 恒等于1,没有研究的必要.因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.(4)因为a>0,x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数. 提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢? (2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤. (3)利用上面的步骤,作函数y=2x 的图象. (4)利用上面的步骤,作函数y=(21)x的图象. (5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗? (7)把y=2x 和y=(21)x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? (8)你能证明上述结论吗? (9)能否用y=2x 的图象画y=(21)x的图象?请说明画法的理由. 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识. 讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质. (2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象. (3)列表. x -3.00-2.50 -2.00-1.50 -1.000.00 0.50 1.00 1.50 2.00 y=2x814121 124作图如图2-1-2-1图2-1-2-1(4)列表. x -2.50 -2.00-1.50 -1.000.00 1.00 1.50 2.00 2.50 y=(21)x4121 124作图如图2-1-2-2图2-1-2-2(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y 值分布有以下特点,x<0时0<y<1,x>0时y>1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x 轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0<y<1.图象不关于x 轴对称,也不关于y 轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数. 可以再画下列函数的图象以作比较,y=3x ,y=6x ,y=(31)x ,y=(61)x .重新观察函数图象的特点,推广到一般的情形.（6）一般地,指数函数y=a x 在a>1和0<a<1的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示.图象特征函数性质 a ＞10＜a ＜1a ＞10＜a ＜1向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0,1）a 0=1自左向右,图象逐渐上升 自左向右,图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1x ＞0,a x ＞1 x ＞0,a x ＜1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x ＜0,a x ＜1x ＜0,a x ＞1 一般地,指数函数y=a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0,+∞）③过点（0,1）,即x=0时y=1④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1;当x ＞0时,y ＞1④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;当x ＞0时,0＜y ＜1（7）在同一坐标系中作出y=2x 和y=(21)x两个函数的图象,如图2-1-2-3.经过仔细研究发现,它们的图象关于y 轴对称.图2-1-2-3(8)证明:设点p(x 1,y 1)是y=2x 上的任意一点,它关于y 轴的对称点是p 1(-x 1,y 1),它满足方程y=(21)x =2-x ,即点p 1(-x 1,y 1)在y=(21)x 的图象上,反之亦然,所以y=2x 和y=(21)x 两个函数的图象关于y 轴对称. (9)因为y=2x 和y=(21)x两个函数的图象关于y 轴对称,所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法,对以后的学习非常有好处. 应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？ y=x 2,y=8x ,y=2·4x ,y=(2a-1)x (a>21,a≠1),y=(-4)x ,y=πx ,y=6x 3+2. 活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3+2都不符合y=a x 的形式,教师强调y=a x 的形式的重要性,即a 前面的系数为1,a 是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x 的形式或通过转化后能化为x 的形式. 解：y=8x ,y=(2a-1)x (a>21,a≠1),y=(-4)x ,y=πx 是指数函数;y=x 2,y=2·4x ,y=6x 3+2不是指数函数. 变式训练函数y=23x ,y=a x +k,y=a -x ,y=(a 2)-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些? 答案：y=23x =(23)x ,y=a -x =(a 1)x ,y=(a 2)-2x=［(a2)-2］x 是指数函数.例2比较下列各题中的两个值的大小:（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1. 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x 的图象,如图2-1-2-4.图2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91, 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1. 解法三：利用函数单调性,①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x ,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x 在R 上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x ,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x 在R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2； ③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值. 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用? 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现. 变式训练1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.答案：b<a<c(a 、b 可利用指数函数的性质比较,而c 是大于1的). 2.比较a 31与a 21的大小（a ＞0且a≠0）.答案：分a ＞1和0<a<1两种情况讨论.当0<a<1时,a 31>a 21;当a>1时,a 31<a 21. 例3求下列函数的定义域和值域: (1)y=241-x ;(2)y=(32)||x -;(3)y=10112-+x x .活动：学生先思考,再回答,由于指数函数y=a x ,(a ＞0且a≠1)的定义域是R,所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求,教师适时点拨和提示,求定义域,只需使指数有意义即可,转化为解不等式. 解：(1)令x-4≠0,则x≠4,所以函数y=241-x 的定义域是｛x ∈R ∣x≠4｝,又因为41-x ≠0,所以241-x ≠1,即函数y=241-x 的值域是｛y|y>0且y≠1｝.(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0. 因此函数y=(32)||x -的定义域是｛x ∣x=0｝.而y=(32)||x -=(32)0=1,即函数y=(32)||x -的值域是｛y ∣y=1｝.(3)令12+x x ≥0,得12+x x ≥0,即11+-x x ≥0,解得x<-1或x≥1, 因此函数y=10112-+x x 的定义域是｛x ∣x<-1或x≥1｝.由于12+x x -1≥0,且12+x x≠2,所以112-+x x ≥0且112-+x x ≠1. 故函数y=10112-+x x的值域是｛y ∣y≥1,y≠10｝.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0. 变式训练求下列函数的定义域和值域: (1)y=(21)22x x -;(2)y=91312--x ;(3)y=a x -1(a>0,a≠1). 答案：(1)函数y=(21)22x x -的定义域是R ,值域是［21,+∞）;(2)函数y=91312--x 的定义域是［21-,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当0<a<1时,定义域是{x|x≤0},值域是［0,+∞）.思路2例1一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式,作出它的图象,并从图象上求出经过多少年剩留量是原来的一半？（结果保留一个有效数字）活动：师生共同分析,先求出解析式,列出数值对应表,再描点,画出图象后,利用图象求解,由学生回答,学生有困难,教师可以提示,仔细审题,利用代数式分别表示出经过1年,2年,3年…,的剩留量,归纳出关系式,取几个关键点,作出函数图象,在纵轴上取表示0.5的点,作纵轴的垂线交图象于一点,过这一点作横轴的垂线,横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年数. 解：设最初的质量为1,时间用变量x 表示,剩留量用y 表示,则经过1年,y=1×84%=0.841；经过2年,y=1×0.84×0.84=0.842;……这样,可归纳出,经过x 年,y=0.84x ,x ∈N *. x 0 1 2 3 4 5 6 y10.840.710.590.500.420.35画出指数函数y=0.84x 的图象,如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时,只需x=4.图2-1-2-5答：约经过4年,剩留量是原来的一半.点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.例2比较下列两个数的大小:(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.80.6,0.81.6;(4)(31)32-,253-.活动：教师提示学生指数函数的性质,根据学生的解题情况及时评价学生. 解法一：直接用科学计算器计算各数的值,再对两个数进行大小的比较: 对(1)因为30.8=2.408225,30.7=2.157669,所以30.8>30.7;对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;对(4)因为(31)32-=2.080084,253-=0.659754,所以(31)32->253-.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:对(1)因为函数y=3x 在R 上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;对(2)因为函数y=0.75x 在R 上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1; 对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;对(4)由指数函数的性质知(31)32->(31)0=1=20>253-,所以(31)32->253-.解法三:利用图象法来解,具体解法略.点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”. 变式训练比较1-n n a 与n n a 1+(a>0,a≠1,n ∈N *,n>2)的大小关系. 解：因为1-n n a =a 1-n n ,n n a 1+=a1+n n ,而n ∈N *，n>2,所以n n n n 11+--=)1(1-n n >0,即nn n n 11+>-. 因此：当a>1时a 1-n n >a1+n n ，即1-n n a >n n a1+；当0<a<1时a1-n n <a1+n n ,即1-n n a <n n a 1+.知能训练课本P 58练习 1、2. 【补充练习】1.下列关系中正确的是( )A.(21)32<(51)12<(21)31B.(21)31<(21)32<(51)32C.(51)32<(21)31<(21)32D.(51)32<(21)32<(21)31答案：D2.函数y=a x(a>0,a≠1)对任意的实数x,y都有( )A.f(xy)=f(x)·f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)·f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3.函数y=a x+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.答案：（-5,2）拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.x -2 -1 0 1 2 3 10y=2x0.25 0.5 1 2 4 8 1024y=3x0.11 0.33 1 3 9 27 59049y=10x0.01 0.1 1 10 100 1000 1010图2-1-2-6从表格或图象可以看出:(1)x<0时,有2x>3x>10x;(2)x>0时,有2x<3x<10x;(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x>0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=a x(0<a<1)中a对函数的图象变化的影响.图2-1-2-7由此得：一般地,0<a<b<1时,(1)x>0时,有a x<b x<1;(2)x=0时,有a x=b x=1;(3)x<0时,有a x>b x>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.课堂小结1.指数函数的定义.2.指数函数的图象和性质.3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.作业课本P59习题2.1A组5、6、8、10.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.(设计者：韩双影)。