第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛一试试题
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
华罗庚数学六年级第四、五节工程问题
工程问题的基本类型一条公路甲独修需24天完成，乙独修需要30天完成，甲乙两队先合修若干天后乙停工休息，甲队继续修了6天，完成乙队修了多少天？修一条公路，甲队单独修20天，可以完成，乙队单独修30天可以完成，现在两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完，乙队休息了几天？搬运一个仓库的货物甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库a和b，甲在a仓库，乙在b仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物，丙帮助甲搬运了几个小时？一项工程，如果单独做，甲需10天完工，乙需15天完工，丙需20天完工，现在三人合作，中途甲先休息一天，乙休息三天，而丙一直工作到完工为止，这样一共用了几天？某市举办花展，创建了一个喷水池。
单开甲水管一小时，可将喷水池注满，单开乙水管40分钟，可以将喷水池注满，两管同时开10又2/5分钟后，注入水4又1/3吨，喷水池能装多少吨？加工一批零件，单独做需要3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个？练习题一条公路甲独修需24天完成，乙独修需30天完成，甲乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，甲队修了多少天？两队挖一条水渠甲独挖需8天完成，乙独挖需12天完成，现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成，乙队挖了多少天？一项工程甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，中途甲请假2天，乙请假若干天，从开工到完成工程共用了16天，以请假了多少天？一项工程，甲乙合作6天完成了5/6，单独做，甲完成1/3与乙完成1/2所需的时间相等，乙的工作效率是多少？用几分之几表示两列火车同时从两地相对开出，快车行完全程，需要20小时慢车行完全程需要30小时开出15小时后两车相遇，已知快车中途停留4小时，慢车中途停留多少小时？某工程队预计30天修完一条水渠，现有18人修12天后完成工程的1/3，如果要提前6天完工，还要再增加多少人？修一条公路，甲队独做要用40天，乙队单独做要用24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇，这条公路长多少米？轮船以相同的速度航行，从a城到b城需要三天，从b城到a城需要四天，小木筏从a城漂流到b城，需要多少天？加工一批零件，甲独做需3天完成，乙独做需4天完成，两人同时加工完成任务时，甲比乙多做24个，这批零件共有多少个？加工一批零件，甲乙合作24天可以完成，由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成，已知甲每天比乙多加工三个零件，这批零件共有多少个？两车同时从AB两地出发，相向而行，经过四小时相遇后，甲车继续行驶三小时到达b地，乙车每小时行24千米，AB两地全长多少千米？第五节，工程问题典型题例甲乙两队合作工程24天完成，如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5两队单独完成工程，各需要多少天？一项工程甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全部工程的一半，已知甲乙工作效率的比是2:3，如果由乙单独做，需要多少天才能完成？一项工程甲独做需12小时完成，乙独做需15小时完成，丙独做需18小时完成，如果先由甲工作一小时，然后再由乙接替甲工作一小时，再由丙接替乙工作一小时，再由甲接替饼工作一小时........三人这样交替工作，那么完成这项工程，一共需要多少小时？一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入的水量是固定的，打开甲管8小时可以将满池水放空，打开丙管，12小时，可将满池水放空，如果打开甲乙两根水管，4小时可以将水放空，如果打开乙丙两根水管要几个小时方能将满池水放空？客车从甲站开往乙站，需要八小时，货车从乙站开往甲站需要12小时，两辆车同时从两站相对开出，据中心点39千米处相遇甲乙两站相距多少千米？两只粗细长短都不同的蜡烛，长的一支可以点四小时，短的可以点六小时，将它们同时点燃，两小时后，两只支蜡烛，所余下的长度正好相等，原来短蜡烛的长度是长蜡烛的几分之几？一项工程，两队合作，每天能完成全部工程的9/40，甲队单独做3天，乙队再单独做5天后，可以完成全部工程的7/8，如果全改成乙队，独做多少天可以完成？某项工程由甲先单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，如果两人合作需48天完成，现在甲先单独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？一项工程甲队单独做30天完成，乙队单独做40天完成，甲队先做若干天后，再由乙队接着做共用35天，可以完成甲队做了多少天？一辆客车和一辆货车同时从甲乙两站相对开出，经过6小时相遇，相遇后两车以原速度继续前进，客车又用4小时才到达乙地，货车还要行多少小时才能到达甲地？一项工程，如果单独做，按规定时间可提前2天完成，乙要超过规定时间3天才能完成，现在合作2天后，剩余的由乙继续单独做，刚好在规定的时间完成，若合作完成，这项工程需要多少天？甲乙两队合作一项工程，20天可以完成，现在甲队做6天，乙队做8天后完成这项工程的11/30，甲乙两队单独做完全工程，各需要多少天？一项工程甲独做12小时，乙独做18小时，如果甲先做一小时，然后乙再做一小时，再由甲接替做一小时，两人如此交替，工作完成任务时，共需多少小时？一项工程由甲队单独做6天，可以完成甲队3天的工作量，乙队要4天完成，两队合作了2天后，由乙队独做，乙队还需要多少天才能完成？甲乙、丙合修一段围墙。
华罗庚少年数学试题及答案
第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题一、填空（每题10分）：1、2、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长和宽的比是a：b=2：1，其中图形乙的长和宽的比是（）：（）。
3、乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30％，1999年第二次提速25％，2000年第三次提速20％。
经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（）小时。
4、埃及著名的胡夫金字塔高146.7米，正方形底座边长为230.4米。
假定建筑金字塔所用材料全部是石灰石，每立方米重2700千克，那么胡夫金字塔的总量是（）千克。
（结果保留一位小数）5、甲乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一的路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。
已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。
6、有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（）。
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）：7、能否找到自然数a和b，使8、AB两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。
问有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？（保留一位小数）9、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人。
然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如右图所示。
问亮出数11的人原来心中想的数是多少？10、2001个球平均分给若干人，恰好分完。
若有一人不参加分球，则每人可以多分2个，而且球还有剩余；若每人多分3个，则球的个数不足。
问原来每人平均分到多少个球？三、解答（要求写出解答过程）（每题10分）11、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。
华罗庚少年数学试题及答案
第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试题一、填空（每题10分）：1、2、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长和宽的比是a：b=2：1，其中图形乙的长和宽的比是（）：（）。
3、乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30％，1999年第二次提速25％，2000年第三次提速20％。
经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（）小时。
4、埃及著名的胡夫金字塔高146.7米，正方形底座边长为230.4米。
假定建筑金字塔所用材料全部是石灰石，每立方米重2700千克，那么胡夫金字塔的总量是（）千克。
（结果保留一位小数）5、甲乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/小时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一的路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。
已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。
6、有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是（）。
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分）：7、能否找到自然数a和b，使8、AB两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人。
问有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时？（保留一位小数）9、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人。
然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如右图所示。
问亮出数11的人原来心中想的数是多少？10、2001个球平均分给若干人，恰好分完。
若有一人不参加分球，则每人可以多分2个，而且球还有剩余；若每人多分3个，则球的个数不足。
问原来每人平均分到多少个球？三、解答（要求写出解答过程）（每题10分）11、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。
历届华杯赛初赛、复赛真题及答案
华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念我国杰出数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动，由中国少年报社（现为中国少年儿童新闻出版社）、中国优选法、统筹法与经济数学研究会、中央电视台青少中心等单位联合发起主办的。
华杯赛堪称国内小学阶段规模最大、最正式也是难度最高的比赛。
对一个对于学校课堂内容学有余力的学生来讲，适当学习小学奥数能够有以下方面的好处
1、促进在校成绩的全面提高，培养良好的思维习惯；
2、使学生获得心理上的优势，培养自信；
3、有利于学生智力的开发；
4、数学是理科的基础，学习奥数对于这个学生进入初中后的学习物理化学都非常有好处（很多重点中学就是因为这个原因招奥数好的学生）。
5、很多重点中学招生要看学生的奥数成绩是否优秀。
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第10～21届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题
第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题1、2005年是中国伟大航海家郑和首次下西洋600周年，西班牙伟大航海家歌伦布首次远洋航行是在1492年。
问这两次远洋航行相差多少年？2、从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九，2004年的冬至为12月21日，2005年的立春是2月4日。
问立春之日是几九的第几天？3、右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。
问这个直三棱柱的体积是多少？4、爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。
若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？5、在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的4倍，游泳的距离是自行车的，长跑与游泳的距离之差为8.5千米。
求三项的总距离。
6、如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21，……问这列数中的第9个是多少？7、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。
若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？8、100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。
问：高、低年级学生各多少人？9、小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。
如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。
问：零售价每本多少元？10、不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。
问最多有多少名同学？11、输液100毫升，每分钟输2.5毫升。
请你观察第12分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？12、两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。
现平面上有若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是30°，60°或90°。
第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体赛口试试题
数学竞赛第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体赛口试试题及答案
1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？
2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？
4.有一路公共汽车，包括起点站与终点站共有15个站。
如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客到以后每一站下车。
为了使乘客都有座位，问这辆公共汽车至少要有多少个座位？
5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？
6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？
参考答案1. 面积为50平方厘米
2.5 8
3. 因为任何两个不同的两位数相乘的积总是大于100，所以根据题中条件，两个两位数不允许相邻，也就是说两个两位数之间应该插入一个一位数。
题目要求“最多能挑选出多少个孩子”，所以两个1位数之间要设法插入一个两位数。
现在将九个一位数1—9排成圆圈，它们之间有9个间隔可以插入两位数。
所以能挑选的孩子最多不能超过18个。
4. 最少要有56个座位
5. 小明一共走了2000米
6. 拐第二十个弯的地方是111。
“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届
华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。
问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。
初一几何勾股定理
初一平面几何基础讲座之七勾股定理及其应用首都师范大学数学科学学院 周春荔2001年3月10日由中央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”初赛第一道试题是：“2002年将在北京召开国际数学家 大会.如图1所示，这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3，求大正方形的面积.”显见，大正方形面积等于四个直角三角形与中间小 （图1） 正方形面积之和.每个直角三角形面积是3，四个直角三角形面积是12，中间小正方形的边长为3 – 2 = 1，面积是1.所以大正方形的面积是3 × 4 + 1 = 13.这道试题向广大青少年传播了2002年将在北京召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案. 其中还蕴涵着勾股定理及其具有中华特色的“弦图”证明.（一）勾股定理及其逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的度量关系.其内容是：如图2，△ABC 中，90,,,,C CB a AC b AB c ∠====则有222.a b c +=勾股定理的证明记载于欧几里得（公元前三世纪）的 （图2）《几何原本》第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和.”国外称勾股定理为毕达哥拉斯定理.它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”.勾股定理及其证明的内涵十分丰富.要深入研究、反复体会，对学习会大有益处.《几何原本》中对勾股定理的证明，采用的是面积割补与等积变形.如图3，连接BJ ，FC.过C 作CD FE ⊥于D ，交AB 于K.则CD//AF//BE ，易证AJB ACF ∆≅∆.又 12ACF AKDF S S ∆=，12AJB ACIJ S S ∆= 所以 ACIJ AKDF S S =.同法可证 BCHG BKDE S S =故 ABEF AKDF BKDE ACIJ BCHG S S S S S =+=+.大家知道，中华民族是擅长数学的民族， （图3）我国也是最早发现勾股定理的国家之一．我国古代三国时期的数学家赵爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的.图4就是中国古算书中的“弦图”.“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股 之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实.”其意思是： （图2）设直角三角形的勾为a ，股为b ，弦为c ，ab 为两个红色直角三角形的面积，2ab 为四个红色直角三角形的面积.中黄实的面积为2)(b a -，大正方形的面积为c 2. （图4）所以 c 2 = 2ab + 2)(b a -= 2ab + a 2 -2ab + b 2 = a 2 + b 2.从而巧妙地证明了勾股定理.勾股定理的证法很多,其中文艺复兴时期的达·芬奇的证法也是很有特色的.如图,在直角三角形ABC 的三边上分别向 外作正方形ABDE ，AGFC ，BCMN .求证：.AGFC BCMN ABDE S S S +=证明：连接FM , 作直角三角形DEP 与 角三角形ABC 全等.（AC=DP ，BC=EP 90.DPE ACB ∠=∠=)连接 NG , PC.则 NG 是六边形AGFMNB 的对称轴,所以 1.2AGNB AGFMNB S S =又六边形ACBDPE 是中心对称图形, 所以 1.2ACPE ACBDPE S S = 因为以A 为旋转中心, 将四边形AGNB 顺时针旋转90与四边形ACPE 重合 所以 四边形AGNB 的面积 = 四边形ACPE 的面积.因此 六边形AGFMNB 的面积 = 六边形ACBDPE 的面积.即 AGFC BCMN Rt ABC Rt FMC ABDE Rt ABC Rt DEP S S S S S S S ∆∆∆∆+++=++注意到 Rt FMC Rt ABC Rt DEP S S S ∆∆∆==, 从上式两端消去两对面积相等的直角三角形 得到 .AGFC BCMN ABDE S S S += 因此得证 222.AC BC AB +=勾股定理的逆定理也是成立的，非常有用.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角.已知： △ABC 中，222BC AC AB +=.求证：90BCA ∠=.（图5）证明：如图6，作一个直角三角形A B C '''， （图6）使90B C A '''∠=，,.B C BC A C AC ''''==根据勾股定理，就有 222B C A C A B ''''''+=.与已知等式222BC AC AB +=比较可知，有A B AB ''=.所以.A B C ABC '''∆≅∆因此有90.BCA B C A '''∠=∠=（二）勾股定理的初步应用例1. 智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走：由O 向东走12cm 到A 1，由A 1向北走24cm 到A 2，由A 2向西走36cm到A 3，由A 3向南走48cm 到A 4，由A 4向东 （图9）走60cm 到A 5，……问：智能机器猫到达的A 6点与O 点的距离是多少厘米？（第九届华杯赛团体决赛口试题9） （图7）解：依规律第六次由A 5向北走72cm 到A 6.OP =12 -36 + 60 = 36，A 6P = 24 – 48 + 72 = 48，由勾股定理得22222663648OA OP PA =+=+=122×32 +122×42 =122（32+42）=122·52=602. 所以OA 6 =60（cm ）.即A 6点与O 点的距离是60厘米.例2. 华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科. 请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题： “今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”白话译文：如图8，有圆柱形木棍直立地面，高20尺， 圆柱底面周长3尺. 葛藤生于圆柱底部A 点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B 点. 则葛藤的长度是 尺.解：设想将葛的根处A 剪断，顶处B不动，将葛解开缠绕拉直，A 点变为地面上的C 点. 如图9所示. 则葛长为Rt BAC ∆的斜边BC . 由AB =20，AC =21，由勾股定理得：2222021BC =+400441=+= 841=222230601302301(301)29-+=-⨯+=-=. 所以BC =29（尺）.答：葛长29尺.例3： 如果梯形的两条对角线互相垂直.求证：对角线的平方和等于两底和的平方.证明 如图10，已知AD//BC ，AC 与BD 相交于O ,90BOC ∠=.过D 作AC 的平行线交BC 延长线于E.则ADEC为平行四边形，CE=AD ，DE=AC ， 90.BDE BOC ∠=∠=在Rt BDE ∆中，由勾股定理得 （图10） 222DE BD BE +=，即()222AC BD AD BC +=+.例4. 在ABC ∆中，90C ∠=，O 为三角形内一点，若,,OAB OBC OAC ∆∆∆的 面积相等，求证： 2225.OA OB OC +=（图9） （图8）证明：如图11，作OM AC ⊥于M ，ON BC ⊥于N .由勾股定理得 222222,OA OM MA OB ON NB =+=+所以 222222OA OB OM ON MA MB +=+++ （图11） 由,,OAB OBC OAC ∆∆∆的面积相等，知13OAC OBC ABC S S S H ∆∆==，推知 1,3ON AC = 又OMNC 是长方形，ON=CM ，OM=CN. 因而2MA AC CM ON =-=，同理推得 NB=2OM.于是 222222OA OB OM ON MA MB +=+++=2222222(2)(2)5()5.OM ON ON OM OM ON OC +++=+=例5．P 为矩形ABCD 内一点，已知 PA =5，PB =10，PC =14. 求PD =？解：如图12， 由勾股定理得 22211PA x y =+，22212PB x y =+；22222PC x y =+，22221PD x y =+. 相加得 2222PA PC PB PD +=+.所以 2222PD PA PC PB =+- （图12） =25 + 196 -100 =121. 所以PD =11. 例6. 长方形的纸片ABCD ，AD = 4，AB = 3，将它折叠压平，使C 点与A 点重合.求折痕的长度.（第7届华杯赛初一组第一试决赛试题4）解：设折痕是EF ，如图13所示，EF 必过长方形ABCD 的两条对角线的交点O ，且与AC 垂直. 连接AE ，CF ，则AECF 是个菱形.由勾股定理，可得（图13）长方形ABCD 的每条对角线的长度5.=设BE =x , 则4,AE EC x ==- 在直角三角形ABE 中应用勾股定理，得2223(4),x x +=- 解得7.8x = 所以7254.88AE EC ==-= 易知，三角形FEC 的面积等于125753=2816⨯⨯，因此菱形AECF 的面积为758. 所以1755,28EF ⨯⨯= 因此15 3.754EF ==. 答：折痕EF 的长度=3.75.例7. 一段笔直的铁路线两侧有C ，D 两厂，C 厂到铁路线距离CA =2km ，D 厂到铁路线距离DB =3km.又AB =12km.现要在铁路上设一站台P ，使得C ，D 两厂到P 站的距离之和为最小.问C ，D 两厂到P 站的距离之和的最小值是多少？解： 如图14，CA =2，DB =3，AB =12. （图14）设P 为AB 上任一点，连接PC ，PD ，设CD 交AB 于M ，根据三角形不等式，PC PD CD +≥，所以当P 与M 重合时PC + PD 取得最小值为CD . P 站应设在CD 与AB 的交点M 处. 过D 作CA 的垂线交CA 的延长线于E ，则CE =2+3=5，EB = AB =12.在Rt ECD中，根据勾股定理，13CD ==（km ） 答：C ，D 两厂到P 站的距离之和的最小值是13km.例8. P 为正方形ABCD 内一点,PA=PB=10,并且P 点到CD 边距离也等于10. 求正方形ABCD 的面积.解：设CD 中点为M ，则.PM CD ⊥ 所以 PM = 10.延长MP 交AB 于N ，则AN = NB..MN AB ⊥（图15）设正方形边长为2x ，则AN = BN = x ，PN = 2x – 10.在Rt APN 中，由勾股定理得22210(210)x x =+-化简得 25400x x -= 即 5(8)0x x -=因为 0,x >解得x = 8. 所以正方形的边长为16，面积为256.例9. 正方形纸片ABCD 中, E 为BC 中点, 折叠正方形, 使点A 与点E 重合, 压平后,得折痕MN , 如右图. 设梯形ADMN 的面积为S 1, 梯形BCMN 的面积为S 2.求12S S 的值. 解：如图，设AB = 2，则BE = 1. AN = NE = x. 在Rt NBE 中，由勾股定理列得方程222(2)1x x =-+，解得5.4x = 所以AN = NE =5.4x = BN =532.44-= 作MP AB ⊥于P .由MPN ABE ∆≅∆知PN = BE = 1.511.44DM AP AN PN ∴==-=-= 1152644,24S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==27321044.24S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭== 12634.1054S S ∴== 例10. 如图，某风景区的沿湖公路AB =3千米， BC =4千米，CD =12千米，AD =13千米，其中BC AB ⊥ 图中阴影是草地，其余部分是水面.（图16） （图17） （图18）那么乘游艇由点C 出发，行进速度为每小时13711千米，到达对岸AD 最少要用 小时. 答：0.4小时.解：连接AC ，有勾股定理容易求得AC =5千米.又因为2225+1213,= 所以三角形ACD 是直角三角形，90.ACD ∠=要乘游艇由点C 出发，行进速度为每小时71113千米，到 达对岸AD 所用时间最少，游艇行进路线必须最短，即为点C 到AD 的距离，也就是直角三角形ACD 中斜边AD 上的高线CH ，这个高线 CH 512601313AC CD AD ⨯⨯===千米. 所以游艇行进最少时间为60760132110.41313131505÷=⨯==小时.（三）勾股定理的综合应用在图形的变换中运用勾股定理，使得几何证题活泼而生动、简洁且优美.例11．凸五边形ABCDE 中，∠BAE +∠AED =270º，∠BCD =90º，AB =3，BC =12，CD =5，DE =4，AE =8．则五边形ABCDE 的面积等于 ．解：作 ABPE ，连接PD ，则BP =8，PE =3． ∵∠BAE +∠AED =270º，∴∠PED =270º-180º=90º． 在直角△PED 中，根据勾股定理求得PD = 5．连接BD ，在直角△BCD 中，根据勾股定理求得BD =13．由于BP +PD =8+5=13=BD ，所以点P 在BD 上，此时AE//BD ，ABDE 是个梯形，其高等于点E 到BD 的距离34 2.45⨯=， （图21）（图19）（图20）所以S ABCDE = S ABDE +S△BCD= (813) 2.451222+⨯⨯+= 25.2+30=55.2.例12. P为等边ABC∆内一点，已知PA = 3，PB = 4，PC = 5，求APB∠的度数，简述你的理由.证明：将ABP∆绕点B顺时针旋转60，到BCQ∆的位置.则,,ABP BCQ APB BQC∆≅∆∠=∠QC = 3.连接PQ. 则PBQ∆是正三角形，60,BQP∠=PQ = 4.在PQC∆中，QC = 3，PQ = 4，PC = 5，所以90.PQC∠=因此6090150.APB BQC BQP PQC∠=∠=∠+∠=+=例13. 如图23，30.POQ∠=A为OQ上一点，B为OP上一点，且OA =5，OB =12，在OB上取点A1，在AQ上取点A2.设l= AA1 + A1A2+ A2B.求l的最小值. （图23）分析：要求l= AA1 + A1A2+ A2B的最小值，设法将AA1 ，A1A2，A2B变位后与一条固定的线段相比较，利用“两点之间直线段最短”的原理来求解.再由30角为90的13，可以设想沿OP，OQ分别使POQ∠向角的外侧对折，造成一个90的特殊角，为问题的解答创设条件.解：以OP所在直线为对称轴，作POQ∠的轴对称图形;POQ∠以OQ所在直线为对称轴，作（图24）QOP∠的轴对称图形.QOP∠这时，A点关于OP 的对称点为OQ0上的A0点，B点关于OQ的对称点为OP0上的B0点. OA0=5，OB0=12，（图22）0090.A OB ∠= 由对称性知 011022,.A A AA B A BA == 所以l = AA 1 + A 1A 2 + A 2B = A 0A 1 + A 1A 2 + A 2B 000.A B ≥因此 l 的最小值为00A B 的长.问题归结为：“在00A OB ∆中，OA 0=5，OB 0=12，0090A OB ∠=，求00A B .”依据勾股定理得 222220*********A B OA OB =+=+=，因此0013A B ==.所以，l 的最小值为00A B 的长为13.例14. 如图，直角三角形CEF 内接于正方形ABCD ，E 为AD 边中点，且EF 与EC 垂直．如果AB ＝1，那么CF 的长度是 ．（第二届两岸四地少年精英数学邀请赛笔试1试题）解：设BF x =，则1AF x =-，于是由勾股定理，可得：()22222222111,1,122CF x EF x CE ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 利用CEF 为直角三角形，可由勾股定理222CF CE EF =+列出方程：()222221111122x x ⎛⎫⎛⎫+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得34x =，因此2225116CF x =+=，于是CF =54． 例15. 如图，设ABCD 是正方形，P 是CD 边的中点，点Q 在BC 边上，且∠APQ =90°，AQ 与BP相交于点T ，則TPBT 的值为多少？ 答案：6：5解：令AB =1，则DP=CP =21. 设CQ =x ，BQ =1-x （图26）（图25）由于三角形ADP 、CQP 、ABQ 、APQ 都是直角三角形，则222222222111,,22AP AD DP PQ CQ CP x ⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221(1).AQ AB BQ x =+=+- 在Rt APQ ∆中，由222,AQ AP PQ =+得2222111(1)1,22x x ⎛⎫⎛⎫+-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得x =41. 所以，三角形ADP 的面积为41；三角形CQP 的面积为161； 三角形ABQ 的面积为83；三角形APQ 的面积为16516141831=---； 根据三角形面积公式，則TP BT 的值为6：5. 例16．如图所示，在以AB 为直径的半圆上取一点C ，分别以AC 和BC 为直径在∆ABC 外作半圆AEC 和BFC .当C 点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC 和BFC 的面积和最大.解：弯月型AEC 的面积 + 弯月型BFC 的面积＝半圆AEC 的面积 + 半圆BFC 的面积 + ∆ABC 的面积 - 半圆ABC 的面积 ＝22112222AC BC ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ∆ABC 的面积 -2122AB π⎛⎫ ⎪⎝⎭ =()2228AC BC AB π+- + ∆ABC 的面积在ACB ∆中，由勾股定理得222,AC BC AB +=即2220.AC BC AB +-=所以，弯月型AEC 的面积 + 弯月型BFC 的面积 = ∆ABC 的面积.因为∆ABC 的底AB 固定，所以当高CD 最大时，∆ABC 的面积最大.因此，当C 点在通过圆心，且与直径AB 垂直的直线与半圆AB的交点处时，（图27）两弯月型的面积最大例17.自△ABC 内一点P ，分别向BC ，CA ，AB 边引垂线，垂足依次为D ，E ，F 。
历届华罗庚金杯赛试题与答案(初中)
图4
8．0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成有
一位数和两位数的整数算式．问填在方格里的数是几?
○×○ = □ = ○÷○
9．甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了 4 盘， 乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 l 盘．问小强赛了几盘? 10．有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样
6、6 7、29 8、8 点 11 分 9、19 10、0 16、40 17、 2.718281 18、10 19、108
复赛简略答案 1、85 2、392 3、37.5 4、5000 5、5 11、8/9 12、8 点 32 分 13、162 14、84
6、2.5
7、0.2
பைடு நூலகம்
8、12
9、2
10、4/9
25 20
4．在一条公路上，每隔一百千米有一个仓库，共有五个仓库．一号仓库存有 10 吨货物，
二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所
30
有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要 0.5 元的运费，那么最少
图3
要花多少运费才行?
5．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1，问这个数除以 12 的余数是几?
图6
棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下．小明回来仔细察看了一番，没有发现
有人动过这些盒子和棋子．问共有多少个盒子? 12．如图，把 1.2、3.7、6.5、2.9、4.6 分别填在五个○内．再在每个□中填上和
它相连的三个○种的数的平均值，再把三个□中的数的平均数填在△中，找一个
全国“华罗庚金杯”决赛试卷（五年级组）
全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（五年级组）（时间：（时间： 10：00~11：30 ）一、填空题（每题10分，共80分）1、计算：)195167248(66.698.19)75.4285412375.2247816(-´´´´+´= 2、一次数学竞赛满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95.5分，排名第六的同学的得分是89分，每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学至少得至少得 分。
分。
3、在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcd －dcba =□997，那么，那么 □ 中 应填应填 。
4、在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=D BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是的面积是平方厘米。
平方厘米。
5、已知：10△3=14， 8△7=2， 43△141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果85△x =1，那么x = . 6、右图中共有、右图中共有 个三角形。
个三角形。
7、有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是，则这个数最小是 。
8、A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。
那么A 、B 两数之差的最大值是两数之差的最大值是 。
装订线全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（五年级组）一、填空题（每题10分，共80分）分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3 96 2 45 8124 59 1781 1~8题答案提示：题答案提示：1、3 解：原式=÷øöçèæ-´´úûùêëé´÷øöçèæ++´÷øöçèæ+1951679666.698.19419285412819247816 =19528953419285441912819247881916´÷øöçèæ´+´+´+´=195289531515713138´÷øöçèæ+++=195289531952895´÷øöçèæ+=3 2、96 解：要想排名第三的同学得分尽量低，则其它几人的得分就要尽量的高，故第一名应为100分，第二名应为99分，因此第三、四、五名的总分为：分，因此第三、四、五名的总分为： 95.5×95.5×66－100－99－89=285(分) 故第三、四、五名的平均分为故第三、四、五名的平均分为 285÷3=95（分），因此第三名至少要得96分。
华杯赛历届试题
第一届华杯赛决赛一试试题1. 计算：2．975×935×972×〔〕,要使这个连乘积的最后四个数字都是“0〞，在括号内最小应填什么数？3．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，长方形中的数是几？9○13○7=100 14○2○5=□4．一条1米长的纸条，在间隔一端0.618米的地方有一个红点，把纸条对折起来，在对准红点的地方涂上一个黄点然后翻开纸条从红点的地方把纸条剪断，再把有黄点的一段对折起来，在对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一段长度是多少米？5．从一个正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米，问锯下的木条面积是多少平方米？6．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？7．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？8．蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，如今池内有池水，假如按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水管，每天每管开一小时，问多少时间后水清苦始溢出水池？9．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？10．如以下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。
假如在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。
问这六个质数的积是多少？11．假设干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子，问共有多少个盒子？12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？13．如以下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的间隔相等。
初中华杯赛总决赛6~8届数学题及答案
11 8 第六届 “ 华杯赛” 初一组第一试决赛试题1 ．解方程x - x - 3.1415926 +y + - 2 y - 7.13 = 0 2.n 是自然数， N=［ n + l , n + 2 ，… ， 3n ］ 是 n + l , n + 2 ，… ， 3n 的最小公倍数， 如果 N 可以表示成N = 210 ⨯ 奇数请回答 n 的可能值共有多少个？3 ．一段跑道长 100 米，甲、乙分别从 A 、B 端点同时相向出发， 各以每秒 6 米和每秒 4.5 米的速度在跑道上来回往返练习跑步． 问：在 10分钟内（ 包括第 10 分钟 ），① 甲和乙在途中迎面相遇多少次？ ② 甲在途中追上乙多少次？ ③ 甲和乙在 A ,B 两端点共相遇多少次：4 .一堆球 ，如果 是偶数个 ，就平均 分成两堆并拿走一堆 ，如果是 奇数个，就添加一个， 再平均分成两堆， 也拿走一堆， 这个过程称为一次“ 均分”．若只有 1 个球， 就不做“ 均分”． 当最初一堆球， 奇数个， 约七百多个，经 10 次均分和共添加了 8 个球后，仅余下 1 个球．请计算一下最初这堆球是多少个？5.一批大小略有不同的长方体盒子， 它们的高都等于 6 厘米，长和宽都 大于 5 厘米，且长宽比不小于 2 ． 若在任一盒子中放一层边长为 5 厘米的小立方体， 无论怎样放， 放完后被小立方体所覆盖的底面积都不超过原底面积的 40 % ， 现往盒子中注水， 问： ① 要使得最小的盒子不往外溢，最多能 注多少立方厘米水？ ② 要使得最大的盒子开始往外溢， 最少要注进去多少立方厘米的水？6 ． 若干台计算机联网， 要求： ① 任意两台之间最多用一条电缆连接； ② 任意三台之间最多用两条电缆连接； ③ 两台计算机之间如果没有连接电缆， 则必须有另一台计算机和它们都连接电缆． 若按此要求最多可以连 1600 条，问：① 参加联网的计算机有多少台？ ②这些计算机按要求联网， 最少需要连多少条电缆？第 6 届小学组决赛 1 试答案1.N 等于 10 个 2 与某个奇数的积。
3-2-9接送问题_题库学生版
1、准确画出接送问题的过程图——标准：每个量在相同时间所走的路程要分清2、理解运动过程，抓住变化规律3、运用行程中的比例关系进行解题一、 校车问题——行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。
二、常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个 （4）车速变-班速不变-班数2个 三、标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
模块一、汽车接送问题——接一个人【例 1】 某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。
一天，张工程师早上7点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车知识精讲教学目标接送问题行完了剩下的路程，到厂时提前20分钟。
这天，张工程师还是早上7点出门，但15分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前分钟到厂。
模块二、汽车接送问题——接两个人或多人（一）、车速不变、人速不变【例2】（难度级别※※※）A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？【巩固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行距离是多少？【例3】（难度级别※※）甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.【例 4】 海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地．决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度是每小时55千米．请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?1份【例 5】 甲、乙两班学生到离校39千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的10倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆？A B C D【例 6】 （难度级别 ※※※※）甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?【例7】(2008年“迎春杯”六年级初赛)A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有__________千米．（二）车速不变、人速变【例8】（难度级别※※）甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。
2011-2016年第16-22届华罗庚杯少年数学邀请赛几何试题(小学高年级组)全解析
B
2011年第16届华罗庚杯少年数学邀请赛决赛C几何试题 长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。
E A D
G
B
F
C
长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。 解1：连接DF， E A D S△ADF= G
������ ������
利用蝴蝶模型，在梯形AFGE中， S□ AFGE
利用蝴蝶模型，在长方形ABCD中， S△ADF=
������ ������
S□ ABCD
B
F
C
故： S□ AFGE= S□ ABCD=70
长方形ABCD的面积为70，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是EG的中点，则梯形AFGE的 的面积是（）。
一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中0 ˂a ≤60，现将棱长尾10的长方体铁块放在容器底面，问放入铁块后水深是（）。
1
2
3
分析：无盖长方体容器盛有水情况有三种： 1、水很满；放入铁块后，水溢出； 2、水深很浅，放入铁块后，铁块一部分在水中，另一部分露出水面，水面也有升高。
A
由三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等，得： S△AEC=S△BCD,则：������������ × ������������ = ������������ × ������������ 由于BD:AB=DM:AN=1：3，则：EC:BC=1：3
E
A
O C D
B
如图所示，AB∥CE，AC ∥ DE,且AB=AC=5，CE=DE=10。若
历届华杯赛初赛小高真题
初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2016年12月10日10:00—11:00）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛这句话里有（ ）个数大于1，有（ ）个数大于2，有（ ）个数大于3，有（ ）个数大于4． 罗华庚金 杯决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y 为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1: MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）.（A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五再加入50克含糖率20%的糖水.再加入20克糖和30克水.再加入100克糖与水的比是2:3的糖水.次方, 那么γβα++ 的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）315. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）126. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.① 其中必有两个数互质;② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数. （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)7. 有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书. .8. 每天, 小明上学都要经过一段平路AB 、一段上坡路BC和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB :BC :CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是 .9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式个个2016201699999999⨯的结果中含有（ ）个数字0． （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）．（A ）84 （B ）80 （C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）． （A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。
华杯赛1-15届的真题和答案
＝11111111110000000000－1111111111＝111111111088888888889 于是有 10 个数字是奇数。 12．【解】10 根筷子，可能 8 根黑，1 根白，1 根黄，其中没有颜色不同的两双筷子。 如果取 11 根，那么由于 11＞3，其中必有两根同色组成一双，不妨设这一双是黑色的，去掉 这两根，余下 9 根，其中黑色的至多 6(＝8－2)根，因而白、黄两色的筷子至少有 3(＝9－6) 根，3 根中必有 2 根同色组成一双。这样就得到颜色不同的两双筷子。所以至少要取 11 根。 13．【解】菜地的 3 倍和麦地的 2 倍是 13× 6 公顷。菜地的 2 倍和麦地的 3 倍是 12× 6 公顷， 因此菜地与麦地共：(13× 6＋12× 6)÷ (3＋2)＝30(公顷)， 菜地是 13× 6－30× 2＝18(公顷)。 14． 【解】71427 被 7 除，余数是 6，19 被 7 除，余数是 5，所以 71427× 19 被 7 除，余数就 是 6× 5 被 7 除所得的余数 2。 15．【解】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共 5× 11＝55(小时)。时针转一圈是 12 小时，55 除以 12 余数是 7，9－7＝2 答：时针指向 2。 16．【解】因为电车每隔 5 分钟发出一辆，15 分钟走完全程。骑车人在乙站看到的电车是 15 分钟以前发出的，可以推算出，他从乙站出发的时候，第四辆电车正从甲站出发骑车人从乙 站到甲站的这段时间里，甲站发出的电车是从第 4 辆到第 12 辆。电车共发出 9 辆，共有 8 个 间隔。于是：5× 8＝40(分) 。 17．【解】小数点后第 7 位应尽可能大，因此应将圈点点在 8 上，新的循环小数是 。
18．【解】三个背包分别装 8.5 千克、6 千克与 4 千克，4 千克、3 千克与 2 千克，这时最重 的背包装了 lO 千克。 另一方面最重的包放重量不少于 10 千克：8.5 千克必须单放(否则这一包的重量超过 10)6 千 克如果与 2 千克放在一起， 剩下的重量超过 10， 如果与 3 千克放在一起， 剩下的重量等于 10。 所以最重的背包装 10 千克。 19．【解】从第一排与第二排看，五个小纸片的长等于三个小纸片的长加三个小纸片的宽， 也就是说，二个小纸片的长等于三个小纸片的宽。 已知小纸片的宽是 12 厘米，于是小纸片的长是：12× 3÷ 2＝18(厘米)， 阴影部分是三个正方形，边长正好是小纸片的长与宽的差：18－12＝6 于是，阴影部分的面积是：6× 6× 3＝108(平方厘米)。
第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题
第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1.2002年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示。
它是由四个相同的直角三角形拼成的(直角边长为2和3)。
问：大正方形的面积是多少?2.从北京到G城的特别快车在2000年10月前需用l2.6小时后提速20％.问；提速后，北京到G城的特别快车需要多少小时？3.右式中不同的汉字代表l一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?4.两个同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心。
A的直径为7、重量为22，B的直径为10.6、重量为33.3。
问：哪个球是实心球?5.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。
问：该油罐车的容积是多少立方米?(π=3.1416)6.将左下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。
问：你能分出几对这样的牌，两张牌上的数的乘积除以l0的余数是l?(将A看成l)7.右上图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为l0厘米的正五边形。
求五边形内阴影部分的面积。
(π=3.l4)8.世界上最早的灯塔于公元270年，塔分三层，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。
上部的体积是底座的体积的____.(A) (B) (C)9.将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
□□□□10.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？11.自行车轮胎安装在前轮上行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。
为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米?12.将一边长为l的正方形二等分，再将其中的一半二等分，又将这一半的一半二等分，这样继续下去……展开想象的翅膀，从这个过程中你能得到什么?。
第10～16届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题详细解释答案
第十届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空（每题10分，共80分）1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：第1小题：2．计算：① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。
答案：10.695；13.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。
一个字节由8个“位”组成，记为B。
常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。
现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。
如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。
（精确到分钟）答案：174．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。
如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。
答案：1025.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。
答案：6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。
答案：13：37．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。
现在将这列自然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。
答案：20；458．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG 的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。
图2答案：60二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。
第21届华罗庚金杯少年数学邀请赛初二组初赛试卷(含答案)
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初二组）一、选择题（每小题10 分，共60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）2 2 2 2 21．已知a +ba-a b +b + ab+ab 等于（）。
a +ab +bB.【答案】A【解析】2 C.2D.a2 -a2b2 +b2 + 2ab a2 +b2 + 2ab +a2b +ab2+ab =a +ab +b a +ab +b=(a + b)(a + a b + b)=a +b =a +ab +b2．如右图，已知AE =DE =5, AB =CD, BC =4，∠E =60o ， B CA D∠A =∠D =90o ，那么五边形ABCDE 的面积是（）EA. B. C. D.【答案】D【解析】连接BE 、EC ，延长BC 交EA 延长线和ED 于F,G。
过E 作EH ⊥BC 于H 。
由题意得∆ABE ≅∆DCE ，所以EH 平分∠FEG ，所以∆FEG 是等腰三角形，又因为∠AED =60，所以∆FEG 为等边三角形。
所以AF =DG 。
设AF =DG =x ，则FB =GC =2x，此时有 4 + 4x =5+x 得到x =13。
代入可得面积为(5 +1)(5 +12⋅13 3=F6 ⎧[ x ] + 2y = 1 3．已知方程组：⎨⎩ [ y ] + x = 2，其中[x ],[ y ] 分别表示不大于 x , y 的最大整数，则该方程组的解有（ ）个。
A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】由第二个式子可知 x 是整数，由第一个式子可知 y 的小数部分y - [ y ] 为 0 或者 1。
2两式相减化简得到 y + ( y - [ y ]) = -1 ，所以 y = -1, - 3 代入验证后均符合题意，故此2方程组有 2 组解4．某超市以每件 10 元的进价购进 200 件玩具，销售人员预期最近的促销活动：单价是 19 元时只能卖出 100 件，而单价每降低 1 元则可以多卖出 20 件。
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第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛一试试题
1．计算：
2．李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分钟。
问李经理什么时间遇上汽车?汽车速度是步行速度的几倍?
3.如右图，p—ABC是一个四面体，各棱互不相等。
现用红、黄两种颜色将四面染色，规则如下：
1)首先将p，A，B，C染成红、黄二色之一；
2)在一个面的三角形中，若两个或三个顶点同色，则将这个面染成这种颜色。
问有多少种不同的染法?(两个染好了的四面体，四个对应面的颜色相同，则认为是同—种染法，不计四个顶点的颜色是否相同)
4．如下图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米。
求三角形ADE的面积。
5.求l—2001的所有自然数中，有多少个整数x使与被7除余数
相同?
6．12个小朋友每人一件编号为1，2，3…12的行李包，各自用号牌取行李。
行李按编号顺序排成一列，小朋友随意排成一列，但只有当未取走行李中编号最小的行李才能被取走，否则取行李的小朋友要排到队尾去(取到行李的小朋友不再排队)，而验—个号需要一分钟，四点开始验号牌，3号行李在4：33被取走，8号行李在4：40被取走。
问拿1，2，3和8号牌的小朋友最初的排队次序各是第几名?。