华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题

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第23届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·练习用)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学高年级组·练习用）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如图，一个4 ⨯ 4 方形点阵，每个点与其相邻的上、下、左、右点的距离都相等. 以这些点为端点的、不同长度的线段共有条. 2. a , b , c , d 四个数，每次去掉 2 个数，将其余 2 个数求平均数，这样计算了 6 次，得到 6 个数是: 23，26，29，32，24，31，则四个数a , b , c , d 的平均数是 . 3. 甲、乙两车从同一地点出发沿同一高速公路从 A 地到 B 地。

甲车先出发 2 小时，乙车出发后经 5 小时与甲车同时到达 B 地。

如果乙车时速增加 8 千米，那么，出发后 4 小时可追上甲车。

A 地与 B 地的距离是千米. 4. 如图, 一个6⨯9 方格网. 先将其中的任意几个方格染黑, 然后按照以下规则继续染色: 如果某个方格至少与2 个黑格都有公共边, 那么就将这个方格染黑. 要按照这个规则将整个棋盘都染成黑色, 所需要的最少初始染黑方格是个。

5. 有五张标有 A ，B ，C ，D ，E 的卡片，从左到右排成一行，已知：（1）C 和 E 都不和 B 相邻；（2）C 和 E 都不和 D 相邻；（3）B 和 E 都不和 A 相邻；（4）A 的右边是 D 。

请问：这个五张卡片的从左到右排列顺序是。

6. 如图，由 6 个正方形与 12 个等边三角形构成的图形，整个图形的面积是 2018，阴影部分的面积是 .7. 圆周有 101 个格子，从某格 A 开始，沿着逆时针方向，第一次移动1格，第二次移动2 格，，每次比前次多移动1格，移动到的格子中放一枚棋子，最多有个格子放有棋子.总分学校姓名参赛证号密封线内请勿答题第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组)8. 从 1 到 2018 这 2018 个数中，任取 2 个数 x , y ，使得9| x 3 + y 3 ，这样的数对(x , y ) 有对.二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 求 22 + 3 + 32 + 3 + 42 + 3 + 52 + 3 + 22 -1 32 -1 42 -1 52 -1 + 20172 + 3 的整数部分。

华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案

2 (2) x y xy x . 由后一等式同样得到, y 1或 y 1, 同样, y 1是不可能
y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
2 评分参考: 1) (1)之前给 2 分; 2) (1)和(2)各给 4 分.
三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）

1 k

4k 2 9

4k
2
9
,
其中,
对于有理数
x,
x= x x.
所以有1 k2

,
9
1

1

k

4k 9
2
0.
当 k 取不同整数时, 1 k 4k 2 的情况如下表: 9
k
2
1
0
=1
=2
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008 年 4 月 19 日 10:00～11:30）
一、填空（每题 10 分，共 80 分）
1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1℃，2 月 22 日至 29 日的平
枚围棋
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）

数学竞赛第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案

数学竞赛第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案1．公园只售两种门票：个人票每张5元，元，l0l0人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票者可优惠l0l0％。

％。

(1) (1)甲单位甲单位45人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?(2) (2)乙单位乙单位208人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?2．用无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图如图))，大正方体内的对角线，，，所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了40l 个。

问：无色透明小正方体用了多少个个。

问：无色透明小正方体用了多少个? ?3．a 是自然数，且17a=，求a 的最小值。

的最小值。

4．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l 。

如此进行直到为l 时操作停止。

问：经过9次操作变为1的数有多少个的数有多少个? ?5．已知m ，n ，k 为自然数，m≥n≥k，是100的倍数，求m ＋n －k 的最小值。

的最小值。

6．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从l 报到6464，再依次从，再依次从l 报到6464，一，一直报下去，直到每人报过l0次为止。

问：次为止。

问：(1) (1)有没有报过有没有报过5，又报过l0的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；(2) (2)有没有报过有没有报过5，又报过ll 的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；参考答案1.1.【解】【解】【解】(1)45(1)45个人，应当买4张团体票张团体票((每张10人)，5张个人票，共用：30×4＋5×5＝张个人票，共用：30×4＋5×5＝145145元(比5张团体票省张团体票省))。

(2)208个人，可以买21张团体票张团体票((每张10人)，共用：30×21×(1－，共用：30×21×(1－101010％％)＝3×21×9＝＝3×21×9＝567567元，元，如果买20张团体票，张团体票，88张个人票，共用：30×20×(1－张个人票，共用：30×20×(1－10%)10%)10%)＋5×8＝＋5×8＝＋5×8＝580580元由于购买10张以上团体票的可以优惠1010％，所以％，所以208人买21张团体票反而省钱。

第十五届华杯赛决赛试题A(小学组)、答案及详细分析解答

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。

2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。

一个礼品配一个包装盒，共有种不同价格。

3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。

已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km，那么甲乙两站的路程是km。

4．将和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第位。

5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是。

6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为。

7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有张是卡片“3”。

8．若将算式的值化为小数，则小数点后第1个数字是。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。

问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。

若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。

华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(含答案)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）2019 2 2 1009 2 20181.计算1 2 2018.2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的最小面积是平方米．3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数p,q( p q) ，构成函数y px 2 和y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线x 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有个．4. 设p 为质数，如果二次方程x2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么p 可能取的值有个.5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的个数是.6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 6 3 平方厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小为．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 2千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且 A队与 B 队的速度比是 2 ，求A，B 两队最近时的距离．10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y2 z) z(z xy) ，y(z2 x) x(x yz) ，z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．11. 如图，在四边形ABCD 中， ABC BCD 120 ，AB BC ．对角线AC ，BD 相交于点E ．若AE 3CE ，求证：AB 2CD ．12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是p ，求p 的值．三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB AE 1 ， CAD 45 ， E DE EAB B 90 ，求点A到直线CD 的距离． CA B14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 9 网格．先将其中的任意n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中二年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案2018 1 24π 36 3 5 2 83 322304 14二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）16 1059. 【答案】A ，B 两队最近时的距离是千米．【解答】如图，以B 队初始位置为原点，正东、正北方向为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，B(0,0) ，A( 8,8)．不妨y设B 队的速度为 1，那么A队的速度为 2 ，经过时间t A A1x后，B 队所在位置是 2 2B ( t, t) ，A队所在位置是12 2B1BA1( 8 2t,8) ，于是此时两队的距离d 满足2 2 2 2 2 28 2d ( 8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d取到最2 2 5小值512 16 10千米．5 510. 【答案】x, y,z 一定都相等．【证明】将原关系式变形，得xy(y z) z(z x) ①，yz(z x) x(x y) ②，zx(x y) y(y z) ③．（1）当(x y()y z ()zx) 0 时，不妨设x y ，由③得y 0 或者y z ．若y z ，则x y z ；若y 0 ，有x 0 ，代入①，得z 0 或者z x 0 ，即x y z 0 ．（2）当(x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得xyz(xyz 1) 0，即xyz 0 或xyz ．如果xyz 0 ，不妨设y 0 ，由（1）知z 0或者z x ，矛盾！如果xyz 1，1- 1 -不妨设x≥y≥z ，显然x 0 ．假设x y ，考虑②式，有x(x y) 0 ，又1yz 0，xz x ，所以yz(z x) 0 ．矛盾！所以x y z ．证毕！11. 【证明】作BM AC于M.因为△ABC 中，AB BC ， ABC=120 ，所以AM CM, CAB ACB 30 ．因此AB 2BM ．由于 ACB 30 ，所以 ACD 90 ．又由AE 3CE 和AM CM 得：AM ME 3CE ，即CM ME 3CE ．即(ME CE) ME 3CE 所以2ME 2CE ，故ME CE ．在 Rt△BME 与 Rt△DCE 中，因为ME CE ， BEM DEC ，所以Rt△BME ≌Rt△DCE ．因此BM CD ．由于AB 2BM （已证），所以AB 2CD ．12. 【答案】p 的值为 1，2，19，38．【解答 1】p 的值是 1，2，19，38．做抽屉，每个抽屉内有差为p 的两个数，或仅有一个数：当p≥39 时, 有两类抽屉，第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是p ：{76,76 p}，{75, 75 p}，…，{p 2,2}，{p 1,1}，个数是76 p ；第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于p 的非零自然数，但与p 的和大于76：{77 p}，{78 p}，…，{p}个数是76 2 (76 p) 2p 76 ．此时，抽屉总数是p 个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39 ，这些数中不存在差是p 的两个数．当p≤38时，做抽屉：{1, p 1},{2, p 2},{3, p 3} ,{4, p 4}…{p,2 p} ,{2p 1,3p 1},{2p 2,3p 2},{2p 3,3p 3} ,…{3p,4p} ,……,- 2 -76 76 76 762p 1 1, 2p 1 p 1 , 2p 1 2, 2p 1 p 2 ,2p 2p 2p2p76 76．2p p,2p2p2p①若76 762p 2p，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必有2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是p ．所以，p 1, 2,19, 38 ．②若76 762p 2p，则还有抽屉：76 762p 1 , 2p 2 ,{76}，2p 2p76个数是76 2p2p．得到抽屉的个数是：76 76 76 76 76 76p p p p p76 2 76 76 38p p p p p p2 2 2 2 2 276 76 76其中，2p 2p2p ，此时，p76≥1，抽屉的个数≥39．从其中 392p个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是p ．所以，p 的值是 1, 2, 19, 38．【解答 2】记76 kp r ，0 r p ，把 1 到 76 按照下面排成p 行，1 2r p 1 p2 pr 2p2p1 (k1)2rp(k1) p(k1) pkp1kp2kprkpk 为偶数时，记k 2l （注,当k 为偶数时，由于 76 是偶数，r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行可以取l 个数，这lp 个数任意两个数的差不等于p ．kp 76 r rr r r 382 2 2k 为奇数时，记k 2l 1（注,当k 为奇数时，由于 76 是偶数，p r 也是偶数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行也可以取l 1个数，这2(l 1) p (2l 1) p p kp p 76 r p p r(l 1) p 38 个数任意两个数2 2 2 2 2的差不等于p ．r 当r 0时， 02p r与 0，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差2- 3 -。

第十届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛试卷与解答

第十届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题:初一组一. 填空(每题10分,共80分)1.①计算: 22111134413(12)(0.5)(2)22412433⎡⎤-⨯-÷-÷⨯-⨯--=⎣⎦ . ②已知: 0abc ≠且0a b c ++=,则a b b c c a a b b c c a++= . 2.m 和n 均不为零, 233x y 和2235m nx y ++-是同类项,则322332233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ . 3.由于浮力的作用,金放在水里秤量和它的重量比较,在水中的”重量”会减少119;银放在水里秤量和它的重量相比较,在水中的”重量”会减少110.某个只含有金银成分的古文物,重量是150克,在水中秤量,”重量”是141克,则古文物中金占 %.(精确到1%)4.图1是几何学中非常著名的美丽的轴对称的图形,它有条对称轴.5.甲加工一种零件,乙加工另一种零件.甲用A 型机器需要6小时才能完成任务,用B 型机器效率降低60%;乙用B 型机器需要10小时才能完成任务,用A 型机器效率提高20%.如果甲用A 型机器,乙用B 型机器同时开始工作,中途某一时刻交换使用机器,甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时间是小时.6.一个直角三角形三条边的长度是3,4,5.如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体,那么三个立体中最大的体积和最小的体积的比是 .7.一列自然数0,1,2,3……，2005，……，2024.第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2004.现在将这列自然数排成以下数表:3 8 15 (1)2 7 14 (4)5 6 13 …… 9 10 11 12 ………… …… …… …… ……规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第行和第列。

8。

(31)635m x x -=-是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大值。

第十九届“华杯赛”决赛小学中年级组试题与答案

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8. 将 1~6 这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是________.
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二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 如下图, 将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）, 再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）. 这样继续操作下去, 完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板. 甲和乙在这些小三角形纸板上涂色, 每人每次可以在 1 至 10 个小三角形纸板上涂色, 谁最后涂完谁赢. 在甲先涂的情况下, 请设置一个方案使得甲赢.
10. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成 , 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米?
11. 从一块正方形土地上, 划出一块宽为 10 米的长方形土地（如右图）, 剩下的长方形土地面积是 1575 平方米. 那么, 划出的长方形土地的面积是多少？
12. 三位数190 19 (1 9 0) , 请写出所有这样的三位数.
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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题参考答案（小学中年级组）一、填空（每题 10 分, 共 80 分）
题号答案 1 56 2 132 3 60 4 36 5 15 6 16 7 114 8 110
3. 将学生分成 35 组, 每组 3 人. 其中只有 1 个男生的有 10 组, 不少于 2 个男生的有 19 组 , 有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍 . 则男生有 ________人. 4. 从 1~8 这八个自然数中取三个数, 其中有连续自然数的取法有________种. 5. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 0～6 分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是________. 6. 若干自然数的乘积为 324, 则这些自然数的和最小为________. 7. 在嫦娥三号着月过程中, 从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为接近段. 下面左图和右图分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时, 录像画面截图. 则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是________秒（录像时间的表示方法：30 : 28 / 2 : 10 : 48 表示整个录像时间长为 2 小时 10 分钟 48 秒, 当前恰好播放到第 30 分钟 28 秒处）.

第十六届华赛杯小学组决赛试题及答案

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区小学组）（时间: 2011年4月16日）一、填空（每题 10 分, 共80分）1．11122181819 .2320320192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.甲车从A 出发驶向B,往返来回；乙车从B 同时出发驶向A,往返来回.两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B ，乙车继续行驶1小时到达A. 若A,B 两地相距100千米，那么当甲车第一次到达B 时,乙车的位置距离A 千米。

3.每个铅字上刻有一个数码.如果印刷十二页书，所用的页码铅字要以下15个：1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2。

现要印刷一本新书，从库房领出页码铅字共2011个，排版完成后有剩余.那么，这本书最多有页.最少剩余个铅字.4. 一列数:8,3,1,4,.….., 从第三个开始,每个数都是最靠近它前两个数的和的个位数.那么第2011个数是 .5.编号从1到50的50个球排成一行,现在按照如下方法涂色:1)涂2个球；２）被涂色的２个球的编号之差大于2.如果一种涂法被涂色的两个球与另一种涂法被涂色的两个球至少有一个是不同号的,这两种涂法就称为”不同的”.那么不同的涂色方法有种.6. A，B两地相距100千米。

甲车从A到B要走m个小时，乙车从A 到B要走n个小时，m ,n是整数.现在甲车从A,乙车从B同时出发，相向而行，经过5小时在途中C点相遇。

若甲车已经走过路程的一半，那么C到A路程是千米。

7. 自然数b与175的最大公约数记为d. 如果176(111)51⨯-⨯+=⨯+，b d d则b = .8. 如右图. ABCD为平行四边形.AE=2EB.若三角形CEF的面积=1.那么，平行四边形ABCD的面积= .二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9．三位数的十位数字与个位数字的和等于百位数字的数,称为”好数”.共有多少个好数？10．在下列2n 个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中任意两个数的比都不是2或12?2345213, 32, 32, 32, 32, 32,, 32.n -⨯⨯⨯⨯⨯⨯11 .一个四位数abcd 和它的反序数dcba 都是65 的倍数.求这个数.12. 用写有+1和-1的长方块放在10n方格中，使得每一列和每一行的数的乘积都是正的，n的最小值是多少？三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 十五个盒子，每个盒子装一个白球或一个黑球.，且白球不多于 12个.你可以任选三个盒子来提问：“这三个盒子中的球是否有白球？”并得到真实的回答. 那么你最少要问多少次，就能找出一个或更多的白球？14. 求与2001互质，且小于2001的所有自然数的和。

第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷(小学组)

1、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））计算：164014940162134014360244⨯+⨯+⨯+⨯+解答：11640149401664014332200822113401436024340143602444⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+12340143602442134014360244⎛⎫⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭==⨯+⨯+难度★★★2、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））请将四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于5，6，7，8，9。

解答：()44445⨯+÷=()44446+÷+=44447+-÷= 44448⨯--=44449++÷=难度★★★★3、有一个算式： 1.372511++≈，算式左边的方框里全是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值，则算式□中的数依次分别是______．解答：首先，2和5都无法影响小数点后两位以后的数位，所以1.37中的7肯定是11带来的，那么，11上的方框中应该填上3，30.2711≈，剩下来1.125+≈，不难得到13 1.125+≈，所以依次为1、3、3。

难度★★★★4、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交与H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积。

解答：连接AC ，FG ，可以发现新连接的这两条线是这两个正方形的对角线，互相平行，所以ACGF 是梯形，H 是其对角线的交点，而1C H C F 3=，所以C H 1H F2=，所以梯形中的4个小三角形的面积比为1：2：2：4，而已知的CHG 就是2份，所以我们有：2A H C S 3cm ∆=，2AH F S 6cm ∆=，2H FG S 12cm ∆=，所以大正方形的一半2FC G S 18cm ∆=，大正方形面积就是36cm 2，边长就为6cm ，所以CH=2cm ，又因为2A H C S 3cm ∆=，所以CH上的高，即AD=3cm ，小正方形边长为3cm ，总面积为()22213636349.5cm 2++⨯⨯-=难度★★★★5、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米，和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图GH FED CBA案，图中阴影部分的总面积为_______平方厘米。

奥数竞赛第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷及答案

第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷及答案一、填空（每题10分，共80分）1．“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是。

2．计算；=÷÷-+75.41]25239)21274.3(75.20[ 。

图13．如图书1所示，两个正方形ABCD 和DEFG 的边长都是整数厘米，点E 在线段CD 上，且CE<DE ，线段CF=5厘米，则五边形ABCFG 的面积等于平方厘米。

4．将52.0523.0523.0....,,4021,250131 ，从小到大排列，第三个数是。

5．图2a 是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱关，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如图2b ，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于立方厘米。

（取π=3.14，水瓶壁厚不计）6．一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于，从这列数的第个数开始，第个都大于2007。

7．一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是。

8.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图3 ，从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是。

二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．如图5，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC=∠ACB，∠ADC=∠DAC，∠DAB=21°，求∠ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。

图510．李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒，已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？11．图6是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字，小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都要不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由。

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛含详解(树人学校)

a
b
c 题图13
d
e
利用对称的性质，如图 2 和图 3 所示，蓝边等边三角形的面积是：是 7 的等边三角形有 2×4×2=16 个；利用对称性的性质，如图 4，黄色等边三角形的面积是示，灰色难道正三角形的面积为
1 ×4×3+1=7,面积 2
1 ×24=12 的有 2 个。如图 5 所 2
1 ×6×3+4=13，面积为 13 的正三角形共有 4 个。 2
11．已知 a，b，c 是三个自然数，且 a 与 b 的最小公倍数是 60，a 与 c 的最小公倍数是 270。求ｂ与ｃ的最小公倍数。 12．在 51 个连续的奇数 1，3，5，„，101 中选取 k 个数，使得他们的和为 1949，那么 k 的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细解答过程）
8．已知 1＋2＋3＋„„＋n(n﹥2)的和的个位数为 3，十位数为 0，则 n 的最小值为__________。
二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）
1 1 1 1 1 1 9．六个分数，，，，，的和在哪两个连续自然数之间？ 2 3 5 7 11 13
10．2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有 5 个星期日？
a，b 一定是 2
2
的倍数，但是 a,2
的倍数，所以 b 是 2
2
的倍数，
同理可得 c 是 3 的倍数，所以 b, c 应被 2 2 .3 整除。
3
3
因为 a , b =60， a , c =270,所以 60 是 b 的倍数，270 是 c 的倍数，

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案

第十七屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽筆試試題A 參考答案（小學高年級組）一、填空（每題 10 分, 共120分）二、解答下列各題（每題 10 分, 共40分, 要求寫出簡要過程）13. 答案：是. 解答. 連接AC . 則ECKB CEB BCK S S S ∆∆=+CEB BCA S S ∆∆=+ACE S ∆=EAD S ∆=所以ECKB OBE EAD OBE S S S S ∆∆∆-=-.因此.ECKO ABOD S S = 即四邊形ABOD 的面積=四邊形ECKO 的面積.14. 答案：能解答. 首先構造45⨯的長方形如下:然後用50個45⨯的即可拼成2005⨯的長方形. 15. 答案：2025, 3025, 9801.解答. 設一個四位卡布列克怪數為 100x y +, 其中1099,09x y ≤≤≤≤. 則由題意知2100()x y x y +=+, 兩邊模99得2()(mod99)x y x y +=+,因此 99|()(1)x y x y ++-, 故x y +與1x y +-中有一個能被9整除, 也有一個能被11整除（可能是同一個數）, 且有22210()100100x y x y ≤+=+<，即10100x y ≤+<. （*）若x y +能被99整除，由（*）知x y +只能是99，滿足條件的四位數是9801；若x y +－1能被99整除，由（*）, 顯然沒有滿足條件的四位數；此外，可設x y +＝9m ，x y +－1＝11n ，則有9m -11n =1, 由（*）, m 和n 均為小於12的正整數，故得到m ＝5，n ＝4， x y +只能是45，滿足條件的四位數是2025；反之，可設x y +－1＝9m ，x y +＝11n ，滿足條件的四位數是3025.故四位數中有三個卡布列克怪數, 它們分別為2025, 3025和9801. 16. 答案：1或2解答. 對於質數3, 23 被3整除. 其餘的質數, 要麼是31k +型的數, 要麼是32k +型的數. 由於22(31)9613(32)1,k k k k k +=++=++被3除餘1, 且222(32)91243(341)1k k k k k +=++=+++,被3除也餘1. 因此有（1）若這98個質數包含3時, N 被3除的餘數等於97被3除的餘數, 等於1. （2）若這98個質數不包含3時, N 被3除的餘數等於98被3除的餘數, 等於2.三、解答下列各題（每題 15 分, 共30分, 要求寫出詳細過程）17. 答案：18,11,9,3解答. 設起跑時間為0秒時刻, 則小李和小張在劃定區間跑的時間段分別為]9,0[, ]972,972[+-k k , ,3,2,1=k ,和]10,0[, ]1080,1080[+-m m , ,3,2,1=m .其中 [a , b ] 表示第a 秒時刻至第b 秒時刻. 顯然 ]9,0[ 即前9秒裡兩類時間段的公共部分. 此外, 考慮]972,972[+-k k 和]1080,1080[+-m m 的公共區間, m k ,為正整數, 分兩種情況:1) m k 8072=, 即小李和小張分別跑了k 圈和m 圈同時回到起點, 他們二人同時在劃定區域跑了18秒.2) m k 8072≠, 例如10809721080972+≤+≤-≤-m k m k ⇔1972801≤-≤k m ①.兩人同時在劃定區域內跑了)1080(972--+m k )7280(19k m --=. 由①知87280=-k m , 16. 於是兩人同時在劃定區域內跑持續時間為11秒或3秒. 其它情況類似可得同樣結果.綜上, 答案為18,11,9,3. 18. 答案: 150解答. 設立方體的長, 寬, 高分別為x y z ,,, 其中z y x ≤≤, 且為整數. 注意, 兩面有紅色的小立方塊只能在長方體的棱上出現.如果1,1==y x , 則沒有兩面為紅色的立方塊, 不符合題意. 如果1,1>=y x , 則沒有只有一面為紅色的立方塊, 不符合題意.因此2≥x . 此時兩面出現紅色的方塊只能與長方體的棱共棱. 一面出現紅色的方塊只與立方體的面共面. 有下面的式子成立40)]2()2()2[(4=-+-+-⨯z y x , （1）66)]2)(2()2)(2()2)(2[(2=--+--+--⨯z y z x y x . （2）由（1）得到16=++z y x , （3）由（2）得到85=++yz xz xy . （4）由（3）和（4）可得，86222=++z y x ，這樣 9,,1≤≤z y x . 由（4）得到285))((x z x y x +=++. （5）若2=x , 則由（5）得到89189485)2)(2(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能滿足（3）. 若3=x , 則由（5）得到47294985)3)(3(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能滿足（3）. 若4=x , 則由（5）得到10111011685)4)(4(⨯==+=++z y , z y ,的取值不能滿足（3）.當5x時, 由（5）得到11=+==+,5=y滿足條件.=z=y, 此時6+z2511025⨯855(⨯))(5如果6x, 則18≥x, 與（3）矛盾.y+≥+z綜上, 6yx是問題的解, 這是長方體的體積為150.=z=,5=,5。

全国“华罗庚金杯”决赛试卷（五年级组）

全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（五年级组）（时间：（时间： 10：00~11：30 ）一、填空题（每题10分，共80分）1、计算：)195167248(66.698.19)75.4285412375.2247816(-´´´´+´= 2、一次数学竞赛满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95.5分，排名第六的同学的得分是89分，每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学至少得至少得分。

分。

3、在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若abcd －dcba =□997，那么，那么 □ 中应填应填。

4、在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=D BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是的面积是平方厘米。

平方厘米。

5、已知：10△3=14， 8△7=2， 43△141=，根据这几个算式找规律，如果，根据这几个算式找规律，如果85△x =1，那么x = . 6、右图中共有、右图中共有个三角形。

个三角形。

7、有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是，则这个数最小是。

8、A 是乘积为2007的5个自然数之和，B 是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A 、B 两数之差的最大值是两数之差的最大值是。

装订线全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（五年级组）一、填空题（每题10分，共80分）分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 3 96 2 45 8124 59 1781 1~8题答案提示：题答案提示：1、3 解：原式=÷øöçèæ-´´úûùêëé´÷øöçèæ++´÷øöçèæ+1951679666.698.19419285412819247816 =19528953419285441912819247881916´÷øöçèæ´+´+´+´=195289531515713138´÷øöçèæ+++=195289531952895´÷øöçèæ+=3 2、96 解：要想排名第三的同学得分尽量低，则其它几人的得分就要尽量的高，故第一名应为100分，第二名应为99分，因此第三、四、五名的总分为：分，因此第三、四、五名的总分为： 95.5×95.5×66－100－99－89=285(分) 故第三、四、五名的平均分为故第三、四、五名的平均分为 285÷3=95（分），因此第三名至少要得96分。

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题及答案解析

第十五屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題A 參考答案參考答案（（小學組小學組））一、填空題（每小題 10分，共120分）二、解答下列各題 (每題10分，共40分, 要求寫出簡要過程)13.13. 答案答案：：不能！理由如下理由如下：：假設能拼成4×5的長方形，如圖A 小方格黑白相間染色。

其中黑格、白格各10個。

將五塊紙板編號，如圖B 所示，除紙板④之外，其餘4張硬紙板每一張都蓋住2個黑格，而④蓋住3個黑格或一個黑格。

這樣一來，由4個1×1的小正方格組成的不同形狀的5個硬紙板，只能蓋住9或11個黑格，與10個黑格不符！ 14. 答案答案：：28，72L解：（1）易知紅線與藍線重合的條數是 31)12,8(=−；紅線與黑線重合的條數是 1121)18,8(=−=−；藍線與黑線重合的條數是 51)18,12(=−；紅線、藍線、黑線都重合的條數是 1121)18,12,8(=−=−；由紅線7條，藍線11條，黑線17條確定的位置的個數是（圖A ）①②③④ ⑤（圖B ）271)513(17117=+++−++. 因此，依不同位置的線條鋸開一共得到 28127=+（段）.（2）最小公倍數 72362]9,3,4[2]18,12,8[=×=×=.因此，將木棍等分成72段時，至少有一段是在上述紅、藍、黑線的某兩條之間，並且再短（段數更多）時就做不到了.所以鋸得的木棍最短的一段的長度是72L . 15. 答案答案：：5，7.解：設A ，B ，C ，D ，E 五隊的總分分別是a ，b ，c ，d ，e ，五隊的總分為S ，則e e d c b a S +=++++=20.五隊單迴圈共比賽10場，則30≤S . 如果有一場踢平，則總分S 減少1分. 因為00011+++==a ，001311114+++=+++==b ， 01337+++==c ， 11338+++==d ，所以比賽至少有3場平局，至多有5場平局. 所以330530−≤≤−S ，即272025≤+≤e . 故75≤≤e .事實上，E 隊勝A ，B ，負於C 隊，與D 踢平時，7=e ； E 隊勝A ，負於C ，但與B 、D 踢平時，5=e .所以E 隊至少得5分，至多得7分. 16. 答案：1163是質數.解：1163是質數,理由如下:（1）顯然16424是大於2的偶數,是合數.（2）如果1163是合數,但不是完全平方數,則至少有2個不同的質因數,因為31113311163=>,所以,如果1163有3個以上不同的質因數,必有一個小於11.但是顯然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163僅有2個不同的大於11的質因數.大於11的質數是:13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101. 既然237116337311147<<×=,1163的兩個不同的質因數一定有一個小於37,另一個大於11.計算97131261116311578913×=<<=×； 73171241116311566817×=<<=×； 67191273116311596119×=<<=×； 53231219116310814723×=<<=×； 41291189116310733729×=<<=×.所以1163是質數. 三、解答下列各題（每小題 15分，共30分，要求寫出詳細過程）17. 答案：670.解：如圖，已知△ABC ，△BCD ，△CDE ，△DEF ，△EF A ，△F AB 的面積都等於335平方釐米，它們面積之和為33562010×=平方釐米=六邊形ABCDEF 的面積。

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(全套) 新人教版

第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛部分复赛部分决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛试题与解答（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。

问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。

但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。

[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。

光速=30万千米／秒=1800万千米／分，距离=1亿5千万千米=15000万千米，时间=距离÷速度=15000÷1800[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．光速=30万千米／秒，距离=15000万千米，时间=15000÷30=500（秒），答：光从太阳到地球约需8.3分钟。

（2）计算[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。

同学们可以比较一下后面的两种解法。

[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。

30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。

原式通分，有〔解法2〕[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。

这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。

问：其中最轻的箱子重多少公斤？[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：83=中+小，85=大+小，86=大+中．这样分析后，便很容易想到简单的解法。

[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×答：最轻的箱子重41公斤。

第11～14届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题

第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空。

1．计算：2．图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图1b），那么这个长方形的面积是（）。

3．有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。

现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。

4．图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是（）。

5．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（）。

6．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。

老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（）人。

7．如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之和为10500，则线段AB的长度是（）。

8．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（）。

二、解答下列各题，要求写出简要过程。

（每题10分，共40分）9．如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB＝10厘米。

以C为圆心，CA为半径画弧AEB。

求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积？10．甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。

问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。

11．如图5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线。

第22届华罗庚金杯少年数学邀请赛小高组决赛(A)卷

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔A〕卷【小高组】一、填空题〔每题10分,共80分〕I .用［x］表示不超过x的最大整数,例如［3.14］ 3,那么2021 3 2021 4 2021 5 2021 6 2021 7 2021 8 /------ ------ ---------- --------- ---------- --------- 的值为.II 11 11 11 11 112.从4个整数中任意选出3个,求出它们的平均值,然后再求这个平均值和余下1个数的和,这样2 1可以得到4个数：8, 12, 10』和91,那么原来给定的4个整数的和为^3 33 .在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共有种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕4 .甲从A地出发去找乙,走了80千米后到达B地,此时,乙已于半小时前离开B地去了C地,甲已离开A地2小时,于是,甲以原来速度的2倍去C地,又经过了2小时后,甲乙两人同时到达C 地,那么乙的速度是千米/小时.5 .某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组,两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的2 ,是只参加朗诵小组人数的1 ,那么书法小组与朗诵小组的人数比是 .7 56 .右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.MMHB 90o .AB=20厘米.那么MH的长度为厘米.为CD边的中点,7 .一列数a i,a2, ,a n,,记S(a i)为a i的所有数字之和,如S(22) 2 2 4.假设a l 2021, a2 22,a n S(a n i) S(a n 2 ) ,那么a2021 等于.8 .如右图,六边形的六个顶点分别标志为A, B, C, D, E, F.开始的时候华罗庚金杯赛〞六个汉字分别位于A, B, C, D, E, F顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放,最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有二、解答以下各题〔每题10分,共40分,要求写出简要过程〕9 .平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成n个交点,那么n有多少个不同的数值?庚金10 .某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果,用作课间加餐.每名学生至少选择一种,也可以多项选择统计结果显示：70%的学生选择苹果,40%的学生选了香蕉,30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几 .11..箱子里面有两种珠子,一种每个19克,另一种每个17克,所有珠子的重量为2021克,求两种珠子的数量和所有可能的值.12 .使3^二不为最简分数的三位数n之和等于多少5n 1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .班上共有60位同学,生日记为某月某号.问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同〔比方生日为1月12日与12月12日的号数是相同的〕结果发现,在所得到的答复中包含了由0到14的所有整数,那么,该班至少有多少个同学生日相同14 .将1至9填入右图的网格中,要求每个格子填一个整数, 不同格子填的数字不同, 且每个格子周围的格子〔即与该格子有公共边的格子〕所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍.左右格子已经填有数字4和5,问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛(A)卷参考答案【小高组】一、填空题(每题10分,共80分)I .解析：【知识点】计算原式(2021 4) 3 (2021 4) 4 (2021 4) 5 (2021 4) 6 (2021 4) 7 (2021 4) 8 II 11 11 11 11 114 3 4 4 45 46 47 4 8183 (3 4 5 6 7 8)11 11 11 11 11 11183 33 1 1 1 2 2 26039 960482.解析：【知识点】平均数设这四个整数分别是a、b、c、d,根据题意,可以得到：1-(a b c) d 81-(a b d) c 1231 2(a c d) b 103 31 1(b c d) a 93 31 ............四个式子相加得到一(3a 3b 3c 3d) a b c d 40,化间得到a b c d 20, 3那么原来给定的4个整数的和为20.3 .解析：【知识点】如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有7个位置可以选择,故有7种摆放方法；图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有3个位置可以选择,其余均与图1重复,故有3种摆放方法；图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复；所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.4 .解析：【知识点】行程问题假定A 、B 、C 三地在同一条直线上,从A 至ij B, 80千米,甲用了两小时,那么甲的速度为40千米/小时;设乙的速度为化,乙离开B 地半小时,距B 地的距离为0.5v 乙；乙再用2小时到达C 地,那么B 、C 两地的距离为2.5v 乙； 2V 甲80千米/小时,甲用两小时从 B 地到达C 地,那么80 2 2.5v 乙 v 乙64千米/小时5 .解析：【知识点】容斥如图,a 表示只参加书法兴趣小组的人数, c 表示只参加朗诵兴趣小组的人数,b 表示既参加书法兴趣小组又参加朗诵兴趣小组的人数;6 .解析：【知识点】平面几何过 D 点作 DE BC ,过 C 点作 CF BC , BC 20cm , S ABC那么 DE 7.2 cm , DE//MH //CF , M 为 CD 的中点,那么 MH 为梯形 CDEF 的中位线,1MH (i (10 7.2) 8.6cm,根据题意,可以得到b -ab 1c 57a -b 那么(a b) 3.5b b 4.5 32 '、(b c) 5bb 6 4c 5b那么书法小组与朗诵小组的人数比 3:4.2 2100cm ,贝U CF 10cm, S ABD 72 cm ,那么MH的长度为8.6厘米.7 .解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;a12021a1111a2111a222a126a225a314a138a237a49a1414a2412a514a1513a2510a614a169a264a710a1713a275a86a1813a289a97a198a2914a1013a2012a3014最小周期为24,(20213)24 83 22,那么a2021等于108 .解析：【知识点】计数,逻辑推理每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论；假设重新摆放后,“华〞在B位置,“罗〞在A位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在C位置, “杯〞在F位置,“赛〞在E位置,这是一种情况,假设“金〞在E位置,不符合条件；“华〞在B位置,“罗〞在C位置,那么“庚〞只能在D位置,“金〞可在E位置,“杯〞在F位置, “赛〞在A位置,这是另一种种情况；同样的,“华〞如果在F位置,同样也有两种情况,所以总共有4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9 .解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值.10 .解析：【知识点】容斥设学生总数为100人,那么70人选择苹果,40人选择香蕉,30人选择梨;只选择苹果的人数为70 (a b c),只选择香蕉的人数为40 (a b d),只选择梨的人数为30 (a c d),可以得到70 (a b c) 40 (a b d) 30 (a c d) (a b c d) 100化简得到2a b c d 40,那么a 40 (b c d)当b c d 0时,a可以取最大值20.211解析：【知识点】不定方程设19克的珠子有x个,17克的珠子有y个,根据题意,可以得到：19x 17y 2021根据余数的性质,19x 17y 2021(mod17), 17x 0(mod17), 2021 11(mod17),那么19x 11(mod17),那么2x 11(mod17),可以得到最小的x值,及对应的y值,并在此根底上加减系数即可；x 14 x 31 x 48 x 65 x 82 x 99y 103‘ y84' y 65 ' y 46 ' y 27 ' y 8珠子和分别为117,115,113,111,109,107.12 .解析：【知识点】辗转相除根据题意,(3n 2)和(5n 1)的最大公约数不为1,设其最大公约数为k,即(3n 2,5n 1) k,(k 1),根据辗转相除,可得：k (3n 2,5n 1) (3n 2,2n 1) (n 3,2n 1) (n 3,n 4) (n 4,7)因此,k等于7,且7能够整除n 4,满足条件的最小三位数是102,依次加7即可满足条件,n构成等差数列102,109,116, ,998,总共129个数字；那么满足条件的三位数的和为102 998 129 70950.2三、解答以下各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13 .解析：【知识点】抽屉原理60位同学,每人答复两个问题,所以总共有120个答复,这些答复中包含0〜14的所有整数,也就是说每种答复包含白^学生数量为1〜15,由于1 2 3 15 120 ,也就是说不管是答复同月还是同号,月和号的数字不会重复,正好每个数字都仅用了一次〔即不会出现同月的有 3个,同号的也有三个的情况〕；为了满足题目至少的要求,那么一个根本的考虑就是同月的分布要尽量分散,这样生日相同的可能性就能尽量少；因此,答复同月的共有 60个学生,在1〜15中,用1,2,3,4,5,7,8,9,10,11这10个数字构造出60,即回答同月为0的有1人,答复同月为1的有2人等等,共有10个月有学生；此时,还剩下15,14,13,12,6是答复同号的,取15来分析,这15名同学是包含在上面答复同月的学生中的,也就是说,这15个同号的学生最极端的情况会尽量分散在 10个月份中,也就是必然存在至少有2个人同月同日；所以至少有两名同学生日相同. 14 .解析：【知识点】组合数学除去4和5,剩余7个数字的和是36,设x y 36,即图中空白格子的数字之和为 y,根据题意,x y 36, x 的取值可以是1,2,3,6,9; y nx既然要求x 可能取的最大值,先假设 x 9,b c 1 7, e f 2 8时,可以构造出符合题意的情况;(1)假设 b c 1 3, e f (2)假设 b c 1 7, e f(3)假设 b c 26, e f x 9不符合条件,再假设x2 8或7 8,填入原图后无解; 2 3或2 8,填入原图后无解;3 7或7 8,填入原图后无解;6 ,因此,x可以取的最大值为6.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B〕卷【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕J 1 1111 -2 3 3 4 51 12021 20211 1 1~ 2021 2021 20212 .甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时甲乙两车的速度比为5:4.出发后不久, 甲车发生爆胎,停车更换轮胎后继续前进,并且将速度提升20%,结果在出发后3小时,与乙车相遇在AB两地中点.相遇后,乙车继续往前行驶,而甲车掉头行驶,当甲车回到A地时,乙车恰好到达甲车爆胎的位置,那么甲车更换轮胎用了分钟.3 .在3X3的网格中〔每个格子是个1X1的正方形〕放两枚相同的棋子,每个格子最多放一枚棋子,共种不同的摆放方法.〔如果两种放法能够由旋转而重合,那么把它们视为同一种摆放方法〕5 .右图中,三角形ABC的面积为100平方厘米,三角形ABD的面积为72平方厘米.M为CD边的中点, MHB 90 .AB=20厘米.那么MH的长度为厘米.4.小于1000的自然数中,有个数的数字组成中最多有两个不同的数字.6 .一列数ai0, ,a n ,,记S(a i )为a i 的所有数字之和,如 S(22) 2 2 4.假设 a i 2021,a 2 22,不 S(a n i ) S(a n 2),那么 a 20i7 等于7 . 一个两位数,其数字和是它的约数,数字差(较大数减去较小数)也是它的约数,这样的两位数8 .如右图,六边形的六个顶点分别标志为 A, B, C, D, E, F.开始的时候“华罗庚金杯赛〞六个汉字分别位于A, B, C, D, E, F 顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放, 一个汉字,每个字在开始位置的相邻顶点处,那么不同的摆放方法共有、解答以下各题(每题 10分,共40分,要求写出简要过程)9 .平面上有5条不同的直线,这5条直线共形成m 个交点,那么m 有多少个不同的数值?的个数共有个.H最终结果是每个顶点处仍各有10 .求能被7整除且各位数字均为奇数,各位数字和为2021的最大正整数11 .从1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009 中任意选出四个数,使它们的和为偶数,那么共有多少种不同的选法.12 .使生二不为最简分数的三位数之和等于多少5n 1三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .一个正六边形被剖分成6个小三角形,如右图.在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数. 能否找到一个填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.如果可以,请给出一种填法；如果不可以,请说明理由.14 .7 X的方格网黑白染色,如果黑格比白格少的列的个数为m,黑格比白格多的行的个数为n,求m n 的最大值.第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛〔B 〕卷参考答案【小高组】、填空题〔每题10分,共80分〕 1 .解析：【知识点】计算原式2 .解析：【知识点】行程问题设甲最初的速度为5v,乙的速度为4v,甲提速后的速度为6v, 行程图如下,C 点为爆胎处,D 点为中点,设C 、D 的距离为x,3 .解析：【知识点】计数如下图,图1中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有 7个位置可以选择,故有 7种摆放方法;图2中,当一枚棋子确定后,另一枚棋子有3个位置可以选择,其余均与图 1重复,故有3种摆放方图3中,所有的摆法均与图1,图2中的重复; 所以一共有7+3=10种不同的摆放方法.1 1 31111 一一 1 一一 2 3 (2 2 3 1 1) 4 2 3 2 4 5 3 2 (2 1) 2 6 2 3 4 5 3 4 2021 4 (4 1) 4 2021 24 5 2021 (4 1)12021 1 1 1 2021 2021 2021 2021 202112021 2021 2021 20212021 (2021 1) 2021 (2021 1)2021 2 20341442021 2 2乙车用了 3小时,从B 地到D 地,走过的距离为 3 4v 12v,即为半程的距离;相遇以后,甲掉头返回,乙继续行驶, 可以得到那么甲从A 到D,行车所用的时间为 4v 8v 5v 6v一一、, 32 13 13 那么换轮胎所用的时间为3+ 13h, 13 6015 1515所以甲车更换轮胎用了 52分钟.12v — x 8v,那么A 、C 两地距离为4v6v 4v 4 32 — 一, 3 15 52min ,4 .解析：【知识点】计数0〜99这100个数字都符合题意,主要研究三位数,分为含0和不含0分类讨论;只含一个0,总共有18个；含两个0,总共有9个；不含0,只含一种数字的总共有9个；不含0,由两种数字组成的总共有C； 3 2 216个；那么满足条件的数总共有100+18+9+9+216=352个.5 .解析：【知识点】平面几何过D点作DE BC ,过C点作CFBC , BC 20cm , S ABC 100cm2, M CF 10cm, S ABD 72 cm2 ,那么DE 7.2 cm , DE//MH //CF , M 为CD的中点,那么MH 为梯形CDEF 的中位线, 1MH - (10 7.2) 8.6cm,那么MH的长度为8.6厘米.6 .解析：【知识点】周期问题要求22021的值,将该数列多写几项,寻找其中的规律;a 1 2021 a 11 11 a 21 11 a 2 22a 12 6a 22 5a 314 a 138 a 237 a 4 9 a 14 14 a 2412 a 5 14a 15 13a 2510 a 614 a 169 a 264 a 710a 〞 13a 275a 8 6 a 18 13 a 28 9 a 9 7a 198a 2914a 1013 a 2012 a 3014最小周期为 24,(2021 3) 24 8322,贝U a 2021M 107 .解析：【知识点】计数设这个两位数是ab , ab 10a b;所以,满足条件的两位数总共有19个.8 .解析：【知识点】计数,逻辑推理每个点都有两个相邻位置,需要分类讨论;假设重新摆放后, 华〞在B 位置,罗〞在A 位置,那么庚〞只能在D 位置,金〞可在C 位置, 位置,赛〞在E 位置,这是一种情况,假设金〞在E 位置,不符合条件;华〞在B 位置, 罗〞在C 位置,那么庚〞只能在D 位置,金〞可在E 位置,杯〞在F 位置,段置,这是另一种种情况;1时, 2时, b20 b18, 解得 3时, b30 b, b27, 解得4时, b40 b36, 5时, b50 b, b45, 6时, b60 b54, 7时, b70 b63, 8时, b80 b, b72, 9时,b900、2、8,验算 10、 0、1、4、7 ,验算 0、6 ,验算 30、解得b 解得b 解得b 解得b 解得b 解得b 0、2、5 8,验算 12可以,18不可以;20、21、24可以,27不可以; 36可以;40、42、45、48 可以; 0、4 ,验算50、54可以; 0、3,验算60、63可以; 02 ,验算70可以,72不可以;0、1、4 ,验算80、84可以,81不可以;0,验算90可以; 杯〞在F〞在A位同样的, 华〞如果在F位置,同样也有两种ft况,所以总共有4种不同的摆放方法.二、解答以下各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9 .解析：【知识点】图论5条直线,最多可以有十个交点,最少可以没有交点, 0〜10,共11种可能,但是2个交点和3个交点的情况不可能出现,所以总共有11-2=9种；所以交点n的个数有9个不同的取值.10 .解析：【知识点】数论要使得所求的数尽可能大,那么所求整数的位数就尽可能多,且每一位数字都是奇数,就要含有尽量多的1;根据能被7整除的数的特征可得,111111是每个数位均为1,且能被7整除的最小数, 而2021=6X 336+1=6X 335+7当有336个111111时,由于所有数字之和是2021,首位数字只能是1,不能被7整除；当有335个111111时,前面还需要再加上一个正整数,使得数字之和等于2021,且要求最大,满足条件的最大整数是13111,;所以满足条件的最大正整数就是13111--111.2021 个111 解析：【知识点】计数这9个数里面有5个奇数,4个偶数,要使得选出来的4个数之和为偶数,有下面几种情况；选出的数为四个偶数, C44 1 ,只有1种;选出的数为四个奇数, C54 5, 总共5种;选出的数为两奇两偶, C42 C" 6 10 60 种;所以总共有1+5+60=66种不同的选法.12 .解析：【知识点】辗转相除根据题意,(3n 2)和(5n 1)的最大公约数不为1,设其最大公约数为k,即(3n 2,5n 1) k,(k 1),根据辗转相除,可得: k (3n 2,5n 1) (3n 2,2n 1) (n 3,2n 1) (n 3,n 4) (n 4,7)因此,k等于7,且7能够整除n 4,满足条件的最小三位数是102,依次加7即可满足条件,n构成等差数列102,109,116, ,998,总共129个数字；那么满足条件的三位数的和为102 998 129 70950.2三、解答以下各题〔每题15分,共30分,要求写出详细过程〕13 .解析：【知识点】操作类根据中央位置数的大小,分两种情况进行讨论：第一种情况,将最小数放在中央位置,这样只能在外圈根据顺时针从小到大的顺序填数字,但是最多只能满足5个三角形,最后一个三角形不能满足；第二种情况,将最小数放在外圈位置,然后在周边顺时针依次从小到大填数字,要使得尽可能多的三角形满足条件,中央位置要填较大的数,但是最多也只能满足5个三角形；所以,不能找到一种填法,使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列.14 .解析：【知识点】操作类由于是7X7的方格网,所以1 m 7, 1 n 7,当m 7时,可以设这7列中,每一列中黑格的个数是3个,那么黑格总数为3X7=21个,将这21个黑格在1〜5行每行放4个,第6行放1个,第7行不放,这样就有5行中的黑格数多于白格数, 即n 5, 那么m n 12;当m 6时,可以设这6列中,每一列中黑格的个数是3个,其余1列黑格数是7个,那么黑格总数为使得1〜6行黑格数量都是4个,最后1行黑格数量为1个,这样就有6行中黑3X6+7=251,然后,格数量多于白格,即n 6 ,当m 5时,m n 12,所以,m n的最大值为12.。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题-C

【答案】4
【考点】应用题：工程问题
【解析】
设注满丙池用小时，则注满乙池用时小时，注满甲池用时小时；利用丙池工效应该等于甲乙两池工效之和可得：
所以注满丙池的三分之二需要小时
注:通常工程问题都设工效为未知数，但此题如果设工效，则方程非常难解，需要用到初中知识因式分解中的十字交叉法，对于小学生来说是无法做的．而本题解法比较巧妙，设丙池的时间，最终只需要解即可，所以有时候还是需要有突破性的思维，学会打破常规，寻求出路．
【答案】
【考点】几何：风筝模型
【解析】
连接和．
因为，所以 ,又因为，；
同理可得；所以．
注：填空题所以直接使用了风筝模型的结论，如果是解答题同学们最好自己证明一次．
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.有三个农村在一条公路边，分别在下图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元，从C到A方向每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？
【答案】468
【考点】数论：因数倍数
【解析】
全部分数都化成最简分数分母还是2014，则说明原分子和2014互质，接下来计算1~2013中，与2014互质的数有有多少个即可，这一步有两种方法：
法一：（容斥原理）
，，，，，，；所以1~2013中，与2014互质的数有个；
法二：（利用欧拉公式直接计算）
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C
一、填空题（每小题10份，共80分）
1.计算：
【答案】1
【考点】计算：分数小数综合运输

第10～16届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题详细解释答案

第十届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空（每题10分，共80分）1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：第1小题：2．计算：① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = ( ); ②= ( )。

答案：10.695；13.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。

一个字节由8个“位”组成，记为B。

常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。

现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。

如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（）分钟。

（精确到分钟）答案：174．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。

如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=( )。

答案：1025.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（）。

答案：6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（）平方米，体积是（）立方米。

答案：13：37．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。

现在将这列自然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（）行和第（）列。

答案：20；458．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG 的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（）平方厘米。

图2答案：60二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。