第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A小学高年级组
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛(小学高年级组)-决赛试题A
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）（考试时长：90分钟）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算：9.0195105375.119484⨯+⨯= . 2. 右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图案, 正方形边长都是2 cm, 这个图案的周长是 cm.3. 某项工程需要100天完成. 开始由10个人用30天完成了全部工程的1, 随后再增加10个人来完成这项工程, 那么能提前 天完成任务.4. 王教授早上8点到达车站候车, 登上列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发, 下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好上下对称, 走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计 分钟．5. 由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326, 则这些四位数中最大的是 , 最小的是 .6. 如右图所示, 从长、宽、高分别为15 cm, 5 cm, 4 cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为y cm, 5cm,x cm 的长方体（x , y 为整数）, 余下部分的体积为120 cm 3, 那么x 为 cm, y 为 cm.7. 一次数学竞赛有A, B, C 三题, 参赛的39个人中, 每人至少答对了一道题. 在答对A 的人中, 只答对A 的比还答对其它题目的多5人; 在没答对A 的人中, 答对B 的是答对C 的2倍; 又知道只答对A 的等于只答对B 的与只答对C 的人数之和. 那么答对A 的最多有 人.8.甲、乙进行乒乓球比赛, 三局两胜制. 每局比赛中, 先得11 分且对方少于10分者胜; 10平后多得2 分者胜. 甲、乙二人得分总和都是30分, 在不计比分先后顺序时, 三局的比分共有种情况.二、解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9.两个自然数之和为667, 它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120. 求这两个数.10.酒店有100个标准间, 房价为400元/天, 但入住率只有50%. 若每降低20元的房价, 则能增加5间入住. 求合适的房价, 使酒店收到的房费最高.BE=cm,11.如图, 长方形ABCD的面积是56 cm2. 3DF=cm. 请你回答：三角形AEF的面积是多少？212.当n取遍1, 2, 3 ,… , 2015中所有的数时, 形如33nn+的数中能够被7整除的有多少个？三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13.在右图中, ABCD是平行四边形, AM = MB,DN=CN, BE=EF=FC, 四边形EFGH的面积是1, 求平行四边形ABCD的面积.14.“虚有其表”,“表里如一”,“一见如故”,“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉字代表不同的数, 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”, 且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21. 则“弄”可以代表的数最大是多少？第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每小题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程） 9.【答案】这两个自然数是552, 115或435, 232.10. 【答案】300元/天11.【答案】三角形AEF 的面积是25 cm 2.12.【答案】能够被7整除的有288个.三、解答下列各题（每小题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】平行四边形ABCD 的面积是988. 14．【答案】“弄”可以代表的数最大是9.。
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛(小学高年级组)-决赛试题B
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）（考试时长：90分钟）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算: ⨯+⨯-⨯+=8184157.628.81448010552. . 2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵. 已知, 甲植树的棵数是其余三人的二分之一, 乙植树的棵数是其余三人的三分之一, 丙植树的棵数是其余三人的四分之一, 那么丁植树 棵.3. 当时间为5点8分时, 钟表面上的时针与分针成 度的角.4. 某个三位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 加4是6的倍数, 那么这个数最小为 .5. 贝塔星球有七个国家, 每个国家恰有四个友国和两个敌国, 没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势, 共可以组成 个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656, 则这些四位数中最大的是 , 最小的是 .7. 见右图, 三角形ABC 的面积为1, 3:1:=OB DO ,5:4:=OA EO , 则三角形DOE 的面积为 .8. 三个大于1000的正整数满足: 其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字, 那么这3个数之积的末尾3位数字有 种可能数值.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 将 1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数? 请说明理由.10. 如右图所示, 从长、宽、高为15, 5, 4的长方体中切割走一块长、宽、高为y , 5, x 的长方体（x , y 为整数）,余下部分的体积为120, 求x 和 y .11. 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 甲与乙同时同向从某个旗子出发, 当甲与乙再次同时回到出发点时, 甲跑了23圈, 乙跑了13圈. 不算起始点旗子位置, 则甲正好在旗子位置追上乙多少次?12. 两人进行乒乓球比赛, 三局两胜制, 每局比赛中, 先得11 分且对方少于10分者胜; 10平后多得2分者胜. 两人的得分总和都是31分, 一人赢了第一局并且赢得了比赛, 那么第二局的比分共有多少种可能?三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示, 点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点, 且2:1: MC DM , 四边形EBFC 为平行四边形, FM 与BC 交于点G . 若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2, 求平行四边形ABCD 的面积.14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉字代表不同的数. 如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21, 则“行”可以代表的数最大是多少?试题说明：决赛试题小高B 组，各地第一题数据略有不同。
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组d卷)
的最多有 人．第1页（共 14页） 2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 D 卷）一、填空题（每小题 10分，共 80 分）1．计算： 84 × 1.375+105 ×0.8＝ ．2．如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm ， 这个图案的周长是 cm ．3．某项工程需要 100 天完成，开始由 10 个人用 30 天完成了全部工程的 ，随后再增加 10 个人来完成这项工程，那么能提前 天完成任务．4．王教授早上 8 点到达车站候车， 登上列车时， 站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称． 列 车8点 35分出发，下午 2点 15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时 针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好 3 点整．那么王教授在列车上的时间共计分钟．5．由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为 73326，则这些四位数中最大 的是 ．6．如图所示，从长、宽、高分别为 15 cm ，5 cm ，4 cm 的长方体中切割走一块长、宽、高 分别为 ycm ，5cm ， xcm 的长方体（ x ，y 为整数），余下部分的体积为 120 cm 3，那么x+y，参赛的 39 个人中，每人至少答对了一道题．在答对 AA 的比还答对其它题目的多 5 人； 在没答对 A 的人中，答对 B 的是答的人中，只答对对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对A8．甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得10 平多得 2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是 30 分，在不计比分先后顺序时，三局的 比分共有 种情况．、解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．两个自然数之和为 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120．求这两个数．10．酒店有 100 个标准间，房价为 400 元/天，但入住率只有 50%．若每降低 20 元的房价，则能增加 5 间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．211．如图，长方形 ABCD 的面积是 56cm 2．BE ＝3cm ，DF ＝2cm ．请你回答：三角形 AEF 的面积是多少？12．当 N 取遍 1，2，3，⋯， 2015中所有的数时，形如 3n +n 3的数中能够被 7 整除的有多少个？三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13．（15 分）如图所示， ABCD 是平行四边形， AM ＝MB ，DN ＝CN ，BE ＝EF ＝FC ，四边形EFGH 的面积是 1，求平行四边形 ABCD 的面积．14．（15 分）“虚有其表” ，“表里如一” ，“一见如故” ，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表 11 个非零连续自然数中的一个， 相同的汉字代表相同的数， 不同的汉字代表不同的数， 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚” ，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都 是 21 ．则“弄”可以代表的数最大是多少？11 分且对方少于 10 分者胜；2015 年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组 D 卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80 分）1．计算：84 × 1.375+105 ×0.8＝200 ．【分析】先把带分数化成假分数、小数化成分数，再约分求解即可．【解答】解：84 × 1.375+105 × 0.8＝× + ×+＝＝＝200故答案为：200．2．如图是用六个正方形，六个三角形、一个正六边形组成的图案，正方形边长都是2cm，这个图案的周长是24 cm ．【分析】这个图案的周长＝六个三角形的边长+六个正方形的边长，依此列出算式计算即可求解．【解答】解：2× 6+2×6＝12+12＝24（cm ）答：这个图案的周长是24cm．故答案为：24．3．某项工程需要100 天完成，开始由10 个人用30 天完成了全部工程的，随后再增加10个人来完成这项工程，那么能提前10 天完成任务．【分析】首先把这项工程看作单位“ 1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用10 个人用30 天完成的工作量除以10× 30，求出每个工人每天完成这项工程的几分之几；然后求出再增加10 个人每天一共完成这项工程的几分之几，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，用剩下的工作量除以再增加10 个人每天一共完成的工作量，求出剩下的工程需要多少天；最后用100 减去实际需要的时间，求出能提前多少天完成任务即可．【解答】解：100﹣30﹣（1﹣）÷[ ×（10+10）]＝70﹣60＝10（天）答：能提前10 天完成任务．故答案为：10．4．王教授早上8 点到达车站候车，登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计360分钟．分析】钟面上12 个数字把钟面平均分成12 份，每份所对应的圆心角是360°÷ 12＝30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°，分针每分钟走＝6 ，时针每分钟走＝0.5°，8 时整时分针与时针的夹角是120°，由于登上列车时，站台上的时钟的时针和分针恰好左右对称，是8 时过120÷（6+0.5）＝（分），此时是8 时分；下午2时15 分时，分钟与时针的夹角是15× 6﹣（60+0.5 ×15）＝22.5（度），又有王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，是下午2时15分过22.5÷（6+0.5）＝（分），此时是下午 2 时15 分+ 分＝下午 2 时分，两个时间之差就是王教授在车上的时间．【解答】解：8 时整时分针与时针的夹角是120°，120÷（6+0.5）＝（分），王教授登上车的时间是： 8 时 分；下午 2时 15 分时，分钟与时针的夹角是 15×6﹣（60+0.5×15）＝22.5（度），22.5÷（6+0.5）＝ （分），王教授下车的时间是： 2 时 15 分 + 分＝下午 2 时 分；下午下午 2时 分化成 24计时法是 14 时 分14时 分﹣8时 分＝6 小时6 小时＝ 360 分钟．故答案为： 360．5．由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为 的是 5321acbd ，acdb ，adbc ，adcb6 个，则这六个四位数分别是： a × 1000+b × 100+c ×10+d ×1，a × 1000+b × 100+c × 1+ d × 10 ，⋯ a × 1000+b × 1+c ×10+d × 100，这 6 个数的和是6000a+222b++222c++222d ；同理，以 b 开头的 6个四位数的和是 222a+6000b+222c+222d ； 以 c 开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+6000c+222 d ；以 d 开头的 6 个四位数的和是 222a+222b+222c+6000d ；把它们组成的四位数全部加起来，就是 6666（ a+b+c+d ），则 6666（a+b+c+d ）＝ 73326，即 a+b+c+d ＝11，则分析可得 a 、b 、c 、d 是 1、2、3、5中 的一个数字，所以组成的四位数中最大四位数是 5321，最小是 1235 ．【解答】 解：设四个数字分别为 a 、 b 、 c 、d ．根据题意可得以 a 开头的组合有： abcd ， abdc ，acbd ，acdb ，adbc ，adcb6 个，则这六个四位数分别是： a ×1000+b ×100+c ×10+d ×1，a ×1000+b × 100+c ×1+d ×10，⋯ a × 1000+b ×1+c ×10+d × 100，这 6 个数的和是 6000a+222b++222 c++222d ；同理，以 b 开头的 6 个四位数的和是 222a+6000b+222 c+222d ； 以 c 开头的 6 个四位数的和是 222a+222 b+6000c+222d ； 以 d 开头的 6 个四位数的和是 222a+222 b+222c+6000d ； 则 6666（ a+b+c+d ）＝ 73326，即 a+b+c+d ＝ 11， 分析可得 a 、b 、c 、d 是 1、 2、 3、 5 中的一个数字， 所以组成的四位数中最大四位数是 5321．故答案为： 5321．6．如图所示，从长、宽、高分别为 15 cm ，5 cm ，4 cm 的长方体中切割走一块长、宽、高73326，则这些四位数中最大 分析】 设四个数字分别为 a 、b 、c 、d ．根据题意可得以 a 开头的组合有： abcd ，abdc ，分别为ycm，5cm，xcm 的长方体（x，y 为整数），余下部分的体积为120 cm3，那么x+y【分析】割走的长方体的体积＝大长方体的体积﹣余下部分的体积，依此列出算式15×5× 4﹣120求得割走的长方体的体积，再根据x，y 为整数，由整数的性质即可求解．【解答】解：15×5× 4﹣120＝300﹣120＝180（cm3）则5xy＝180，即xy＝36 ，因为x，y 为整数，且0< x<4，0< y< 15，所以x 为3cm，y 为12cm，x+y＝15cm．故答案为：15．7．一次数学竞赛有A，B， C 三题，参赛的39 个人中，每人至少答对了一道题．在答对 A 的人中，只答对 A 的比还答对其它题目的多 5 人；在没答对 A 的人中，答对 B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和．那么答对 A 的最多有23 人．【分析】由题意得，如下图所示：只答对 A 的人数是3b+a，答对 A 还答对其他题目的人数是3b+ a﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，化简得4a+9b＝44，然后对a、b 进行取值，求得a、b，取a、b的最大值；因为答对 A 的人共3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，3b+a﹣5，所以有：3b+a+3b+a﹣5+3b+2a＝39，化简得：4a+9b＝44 ，因为a、b都为自然数，所以当a＝2时，b＝4；当a＝11时，b＝0，即或答对 A 的人共3b+a+3b+a﹣5＝6b+2a﹣5，把a、b 的最大值代入6b+2a﹣5 中，最大值是：6× 4+2×2﹣5＝24+4﹣5＝23（人）答：答对 A 的人最多有23 人．故答案为：23．8．甲，乙进行乒乓球比赛，三局两胜制．每局比赛中，先得11 分且对方少于10 分者胜；10 平多得 2 分者胜．甲、乙二人得分总和都是30 分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有8 种情况．【分析】通过分析可知：甲、乙二人得分总和都是30 分，30<3×11，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是30：30＝11+9+10，乙对应的得分是：30＝7+11+12：对应的比分是，之后7、9 依次减1，10 和12 依次故有8 种情况，据此解答即可．【解答】解：甲、乙二人得分总和都是30 分30<3×11 三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是：30：30＝11+9+10 乙对应的得分是：对应的比分是，之后7、9 依次减1，10 和12 依次加1：30＝8+11+12：答：三角形 AEF 的面积是 25 平方厘米．故有 8 种情况，答：三局的比分共有 8 种情况．故答案为： 8．二、解答下列各题（每小题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9．两个自然数之和为 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120．求这两个 数．【分析】 667＝23×29，最小公倍数除以最大公约数， 所得的商是 120，如果 23 是它们的 最大公约数的话，那么 29 就得拆成两个数和，并且积是 120，试验得到 29＝24+5， 24 × 5＝120，所以两数分别是 24×23＝552， 5× 23＝115；同样，如果 29是它们的最大公约数的话，那么 23 就得拆成两个数的和，并且积是 120， 试验得到 23＝15+8，15×8＝ 120；所以两数分别是 15×29＝ 435， 8×29＝232． 【解答】 解： 667＝ 23×29，由题意，假设 23 是它们的最大公约数，由于 29＝24+5，24 ×5＝120， 所以两数分别是 24× 23 ＝552， 5×23＝ 115；假设 29 是它们的最大公约数，由于 23＝15+8 ，15×8＝ 120；所以两数分别是 15×29＝ 435，8×29＝232；答：这两个数是 115 和 552，或者 232 和 435 ．10．酒店有 100 个标准间，房价为 400 元/天，但入住率只有 50%．若每降低 20 元的房价， 则能增加 5 间入住．求合适的房价，使酒店收到的房费最高．【分析】 计算出原房价以及降价相应价格后的酒店收益，然后进行比较，即可．【解答】 解：由题意分析得① 房价为 400 元/天，入住房间为 100×50%＝50，所以收到的房费为： 400× 50＝20000元；答：当房价为 300 元/天时，酒店受到的房费最高．11．如图，长方形 ABCD 的面积是 56cm 2．BE ＝3cm ，DF ＝2cm ．请你回答：三角形 AEF 的面积是多少？分析】 如图所示：过点 F 作 AD 的平行线 GF ，则三角形 AGF 是长方形 AGFD 的面积 的一半；三角形 GEF 是长方形 GBCF 的面积的一半， 所以四边形 AGEF 的面积就是长方 形 ABCD 的面积的一半； 而阴影部分的面积等于四边形 AGEF 的面积减去三角形 AGE 的 四边形 AGEF 的面积为： 56÷2＝28（平方厘米） ，则阴影部分的面积为：28﹣ 2× 3÷ 2＝28﹣3 ＝25（平方厘米）．② 房价为 380 元 /天，入住房间为 50+5＝55，所以收到的房费为： 380×55＝20900 元； ③ 房价为 360 元 /天，④ 房价为 340 元 /天，⑤ 房价为 320 元 /天，⑥ 房价为 300 元 /天， 入住房间为 60， 入住房间为 65， 入住房间为 70， 入住房间为 75， 入住房间为 80， 入住房间为 85， 所以收到的房费为： 所以收到的房费为： 所以收到的房费为： 所以收到的房费为： 所以收到的房费为： 所以收到的房费为： 360×60＝ 21600 元； 340×65＝ 22100 元； 320×70＝ 22400 元； 300×75＝ 22500 元； 280×80＝ 22400 元； 260×85＝ 22100 元；解答】 解：据分析可知：12．当N取遍1，2，3，⋯，2015中所有的数时，形如3n+n3的数中能够被7 整除的有多少个？【分析】通过分析可知：3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以除以7 的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为42，当余数和为7 的倍数时能够被7 整除，列表如图：再看看2015 里共有多少个这样的周期，据此列式计算即可．【解答】解：如图：3n除以7的余数以 6 为周期，3、2、6、4、5、1；N3除以除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0；则总周期为42：2015÷42＝47⋯4147×6+6＝282+6＝288（个）答：能够被7 整除的有288 个．三、解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程）答：三角形AEF 的面积是25 平方厘米．第9页（共14页）14 13．（15 分）如图所示， ABCD 是平行四边形， AM ＝MB ，DN ＝CN ，BE ＝EF ＝FC ，四边形EFGH 的面积是 1，求平行四边形 ABCD 的面积．分析】 如图，作 EQ ∥CD ，FP ∥CD ，分别交 BN 与点 Q 、P ，然后分别判断出△ HEQ 、 四边形 EFPQ 、△ FGP 的面积占平行四边形 ABCD 的面积的几分之几，进而求出四边形 EFGH 的面积占平行四边形 ABCD 的面积的几分之几；最后根据分数除法的意义，用四 边形 EFGH 的面积除以它占平行四边形 ABCD 的面积的分率， 求出平行四边形 ABCD 的 面积是多少即可．解答】 解：如图，作 EQ ∥CD ，FP ∥CD ，分别交 BN 与点 Q 、P ，因为 ，所以 ；因为△ BEM 的面积占平行四边形 ABCD 的面积的：，，所以△ HEQ 的面积占平行四边形 ABCD的面积的：第13页（共 14页）所以△ BFP 的面积占△ BCN 的面积的： ， 所以四边形 EFPQ 的面积占平行四边形 ABCD 的面积的：因为所以△ FGP 的面积占平行四边形 ABCD 的面积的：1＝1÷答：平行四边形 15 分）“虚有其表” ，“表里如一” ，“一见如故” ，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代 表 11 个非零连续自然数中的一个， 相同的汉字代表相同的数， 不同的汉字代表不同的数， 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚” ，且各个成语中四个汉字所代表的数的和都 是 21 ．则“弄”可以代表的数最大是多少？分析】 有明确大小关系的“表、一、故、如、虚” ，其实都是成语中有重复的数字，每第12页（共 14页）所以平行四边形 ABCD 的面积的：ABCD 的面积是个四字成语的和都是21，那么总和是21×4＝84，所有数是连续的11 个非零自然数，因此它们的和一定是11的倍数，它们可能是：① 1﹣﹣11，和为66，即5个重复数字之和为84﹣66＝18；② 2﹣﹣12，和为77，5 个重复数字之和为84﹣77＝7，由于每个数各不相同，因此这种情况不可能，可得这五个重复数字之和为18，所有数是1﹣﹣11，重复数字只有以下几种可能：① 1、2、3、4、8；② 1、2、3、5、7；③ 1、2、4、5、6 代入发现只有情况③ 符合情况，每个数都填入后，可得虚＝1，故＝4，弄、玄只能是9、7，由此得解．【解答】解：根据分析可知，表、一、故、如、虚” ，五个重复数字之和为18 ，因为所有数是1﹣﹣11，重复数字只有以下几种可能：①1、2、3、4、8；② 1、2、3、5、7；③ 1、2、4、5、6代入发现只有情况③ 符合情况，每个数都填入后，可得虚＝1，故＝4，弄、玄只能是9、7，弄最大是9．答：“弄”可以代表的数最大是9．14第14页（共14页）。
2012年-2017年华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛真题合集(小高组)附答案
目录第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (1)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (3)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (5)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (7)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (9)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (11)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (13)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (15)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (17)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (19)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 (21)第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (23)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (24)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (25)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (26)第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (27)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (28)第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (29)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (30)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (31)第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (32)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (33)第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 (34)A B 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间 2016 年 12 月 10 日 10：00-11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 两个有限小数的整数部分分别是 7 和 10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（ ）种可能的取值．A ．16B ．17C ．18D ．192. 小明家距学校，乘地铁需要 30 分钟，乘公交车需要 50 分钟，某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了 40 分钟到达学校，其中换乘过程用了 6 分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（ ）分钟． A ．6 B ．8 C ．10 D ．123. 将长方形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成右图，长方形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10 平方厘米，那么阴影部分面积总和是（ ）平方厘米．A ．14B ．16C ．18D ．204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（ ）．A ．2986B ．2858C ．2672D ．27545. 在序列 20170……中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）A ．8615B ．2016C ．4023D ．20176. 从 0 至 9 选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．× 71 0 2罗华金杯ABG FHDEC二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）7． 若( 1 5 245 3— )× 9 2 5 7 ÷ 2 ＋2.25＝4，那么A 的值是 ．3 34 1A8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 1－5 这五个不同的数字，将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和 BE 的交点为 H ，AC 和BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则 ABCD 的面积是平方厘米．10. 若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r ，那么 d －r 的最大值是 ．庚第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组A 卷） （时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1． 算式999 9 × 999 9 的结果中含有（ ）个数字 0．2016个92016个9A ．2017B ．2016C ．2015D ．20142. 已知 A ，B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A 、B 出发，相向而行，在距 A 地 140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．A ． 2 2B ． 2 4C ．3D ． 3 15 5 53. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七位数最大是（ ）A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．98717734. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ）种不同的排法． A ．1152B ．864C ．576D ．2885. 在等腰梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD ，AB ＝6，CD ＝14，∠AEC 是直角，CE ＝CB ，则 AE 2 等于（ ）A ．84B ．80C ．75D ．646. 从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到 5个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ ）． A ．109 B ．110 C ．111 D ．112EABD C二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）AP M O7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8. 如下图，O ，P ，M 是线段 AB 上的三个点，AO ＝ 4 AB ，BP ＝ 2AB ，M 是 AB 的中点，且 OM ＝2，那5 3么 PM 长为 ．9. 设 q 是一个平方数．如果 q －2 和 q ＋2 都是质数，就称 q 为 p 型平方数．例如，9 就是一个 p 型平方数．那么小于 1000 的最大 p 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016．用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B （小学高年级组）（时间：2015 年 12 月 12 日 10:00~11:00）一、选择题．（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. “凑 24 点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张，（如果初练也可只用 1 至 10 这 40 张牌）任意抽取 4 张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成 24．每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是 3，8，8，9，那么算式为(9－ 8)×8×3 或(9－8÷8)×3 等．在下面 4 个选项中，唯一无法凑出 24 点的是（ ）． A ．1，2，2，3 B ．1，4，6，7 C ．1，5，5，5 D ．3，3，7，72. 有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如 2n －1（ n 为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：22－1＝3 就是一个梅森质数．第一个梅森合数是（ ）．A ．4B ．15C ．127D ．20473. 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升．现瓶里装了一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米，如下图．那么瓶内现有饮料（ ）升．A ．1B ．1.2C ．1.25D ．1.3754. 已知 a ，b 为自然数， 4 = 1 + 1，那么 a ＋b 的最小值是（ ）．15 a bA ．16B ．20C ．30D ．65. 如下图，平面上有 25 个点，每个点上都钉着钉子，形成 5×5 的正方形钉阵．现有足够多的橡皮筋，最多能套出（ ）种面积不同的正方形．A ．4B ．6C ．8D ．106. 在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，那么这个七位数最大是（ ）．A ．9981733B ．9884737C ．9978137D ．9871773二、填空题．（每小题 10 分，共 40 分）华 杯 赛 三 十 年× 杯 杯今 年 认 真 赛 好今 年 认 真 赛 好 三 十 年 华 杯 赛 好7． 计算：20152＋20162－2014×2016－2015×2017＝ ．8. 在下边的算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．当杯代表 5 时，“华杯赛”所代表的三位数是 ．9. 于 2015 年 10 月 29 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策．笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍，如果明年给妳添一个弟弟或妹妹，我们家 2020 年的年龄总和就是你那时年龄的 6 倍．那么笑笑今年 岁．10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单，笑笑所在的学校榜上有名．为 了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛，近期他们学校的球队将和另 3 支球队进行一次足球友 谊赛．比赛采用单循环制（即每两队比赛一场），规定胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平局两队各得 1分；以总得分高低确定名次，若两支球队得分相同，就参考净胜球、相互胜负关系等决定名次．笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名，至少要得 分．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1. 现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动，规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（ ）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丙D ．乙、丁2. 以平面上任意 4 个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（ ）个．A ．5B ．2C ．4D ．33. 桌上有编号 1 至 20 的 20 张卡片，小明每次取出 2 张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的 2 倍多 2，则小明最多取出（ ）张卡片． A ．12B ．14C ．16D ．184. 足球友谊比赛的票价是 50 元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票增加了三分之一， 而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（ ）元．A ．10B ． 25C ． 50D ．25235. 一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分，那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（ ）．A ．快 12 分B ．快 6 分C ．慢 6 分D ．慢 12 分6. 在下图的 6×6 方格内，每个方格中只能填 A 、B 、C 、D 、E 、F 中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的 2×3 长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（ ）．A ．E 、 C 、 D 、 FB ．E 、D 、C 、FC ．D 、 F 、 C 、E D ．D 、C 、F 、EB CA B D ABCE二、填空题（每小题 10 分，共 40 分） - - - = AFDPBEC7． 计算4811 + 265 1 + 904 129 41 55184160 7036 12 2030 42 568. 过正三角形 ABC 内一点 P ，向三边作垂线，垂足依次为 D 、E 、F ，连接 AP 、BP 、CP ．如果正三角形ABC 的面积是 2028 平方厘米，三角形 PAD 和三角形 PBE 的面积都是 192 平方厘米，则三角形 PCF的面积为平方厘米．9. 自然数 2015 最多可以表示成 个连续奇数的和．10. 由单位正方形拼成的 15×15 网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于 5 的正方形有 个．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛A BED H C 初赛 C 试卷（小学高年级组）（时间：2015 年 3 月 14 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 计算：( 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 )×120－ 1 ÷ 1＝（ ）20 30 42 56 72 3 4A ．42B ．43C ．15 1D ．16 2332. 如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成 45 度角．最高的小树高 2.8 米，最低的小树高 1.4 米，那么从左向右数第 4 棵树的高度是（ ）米．A ．2.6B ．2.4C ．2.2D ．2.03. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生，事后，甲、乙、丙、丁 4 位同学有如下的对话： 甲：“丙、丁之中至少有 1 人捐了款．” 乙：“丁、甲之中至多有 1 人捐了款．” 丙：“你们 3 人中至少有 2 人捐了款．” 丁：“你们 3 人中至多有 2 人捐了款．” 已知这 4 位同学说的都是真话且其中恰有 2 位同学捐了款，那么这 2 位同学是（ ）．A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4. 六位同学数学考试的平均成绩是 92.5 分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的 99 分，最低的 76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（ ）． A ．94 B ．95 C ．96D ．975. 如图，BH 是直角梯形 ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点；如果△DEH 、△BEH 、△BCH 的面积依次为 56、50、40，那么△CEH 的面积是（ ）．A ．32B ．34C ．35D ．366. 一个由边长为 1 的小正方形组成的n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4 个角上的小正方形不全同色，那么正整数 n 的最大值是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．645°二、填空题（每小题10 分，共40 分）7.在每个格子中填入1 至6 中的一个，使得每行、每列及每个2×3 长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是3 月 1 4相约华杯8.整数n 一共有10 个约数，这些约数从小到大排列，第8 个数是n.那么整数n 的最大值是39.在边长为300 厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）10．A 地、B 地、C 地、D 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A 地、B 地C 地同时出发，匀速向D 地行进．当甲在C 地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9 分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50 米，三人同时到D 地．已知乙出发时的速度是每分钟60 米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D 两地间的路程是米．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 某次考试有 50 道试题，答对一道题得 3 分，答错一道题扣 1 分，不答题不得分．小龙得分 120 分，那么小龙最多答对了（ ）道试题．A ．40B ．42C ．48D ．503. 用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的 16 个方格分别填入 1、3、5、7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么 A 、B 、C 、D 四个方格中数的平均数是（ ）．A ． 4B ． 5C D ．74. 小明所在班级的人数不足 40 人，但比 30 人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）．A ．2︰3B ．3︰4C ．4︰5D ．3︰75. 某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟， 却早到达了 4 分钟．甲、乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）． A ．11 点 40 分 B ．11 点 50 分 C ．12 点 D ．12 点 10 分6. 如图所示，AF ＝7cm ，DH ＝4cm ，BG ＝5cm ，AE ＝1cm ．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为78 平方厘米，则正方形的边长为（ ）cm ．A ．10B ．11C ．12D ．13ABA EDHF BC二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）甲 乙7. 五名选手 A 、B 、C 、D 、E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是 ．8. 甲、乙同时出发，他们的速度如下图所示，30 分钟后，乙比甲一共多行走了米．9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．种不同的 2×2×2 的正10. 在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可 能不止标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是分分5 10 15 202530 5 10 15 202530第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2014 年 3 月 15 日 8:00—9:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．A ．0B ．2C ．3D ．42. 在下列四个算式中： AB ÷ CD ＝2，E ×F ＝0，G －H ＝1，I ＋J ＝4，A ～J 代表 0～9 中的不同数字，那么两位数 AB 不可能是（ ）． A ．54 B ．58 C ．92 D ．963. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）．A ．淘气的剪法利用率高B ．笑笑的剪法利用率高C ．两种剪法利用率一样D ．无法判断4. 小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了表．当小华按照自己的表于下午 2 点到少年宫时，实际早到了（ ）分钟．A ．14B ．15C ．16D ．175. 甲、乙、丙、丁四个人今年的年龄之和是 72 岁．几年前（至少一年）甲是 22 岁时，乙是 16 岁．又知道，当甲是 19 岁的时候，丙的年龄是丁的 3 倍（此时丁至少 1 岁）．如果甲、乙、丙、丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ）种情况．A ．4B ．6C ．8D ．106. 有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数 2014315.将这七张卡片全部分给了甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话： 甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍数．” 乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍数．” 丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍数．” 丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍数．” 已知四个人中恰好有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁甲 乙二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）13 ÷ 3 + 3 ÷ 2 1 + 17． 算式 1007× 4 44 3 ÷19 的计算结果是 ．（1 + 2 + 3 + 4 + 5）⨯ 5 - 228. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配，第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等到别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉， 自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆，扔掉多余的一个，取走一堆．那 么这堆栗子原来至少有 个．9. 甲、乙二人同时从 A 地出发匀速走向 B 地，与此同时丙从 B 地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即掉头；甲掉头后 10 分钟与乙相遇，然后甲再次掉头走向 B 地．结果当甲走到 B 地时，乙恰走过 A 、B 两地中点 105 米，而丙离 A 地还有 315 米．甲的速度是乙的速度的 倍，A 、B 两地间的路程是 米．10. 从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含 1 的有 种取法；总共有 种取法．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．） 1． 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 2013 年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：这是我有生以来第一次将要渡过一个没有重复数字的年份．已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数，那么 2013 年小明哥哥的年龄是（ ）岁．A ．16B ．18C ．20D ．223. 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬，它每向上爬 3 米，因为井壁打滑，就会下滑 1 米，下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一．8 点 17 分时，青蛙第二次爬至离井口 3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟．A ．22B ．20C ．17D ．164. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为 9︰7，若放回黑子，再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为 7︰5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个．A ．5B ．6C ．7D ．85. 图 ABCD 是平行四边形，M 是 DC 的中点，E 和 F 分别位于 AB 和 AD 上，且 EF 平行于 BD ．若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米，则三角形 CEB 的面积等于（ ）平方厘米．A ．5B ．10C ．15D ．206. 水池 A 和 B 同为长 3 米，宽 2 米，深 1.2 米的长方体．1 号阀门用来向 A 池注水，18 分钟可将无水的A 池注满；2 号阀门用来从 A 池向B 池放水，24 分钟可将 A 池中满池水放入 B 池．若同时打开 1 号和2 号阀门，那么当 A 池水深 0.4 米时，B 池有（ ）立方米的水．A ．0.9B ．1.8C ．3.6D ．7.2D F MCAEB二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）D E AFB7. 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片，他们决定按年龄比来分．若小明拿 7 张，小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张，小明就要拿 5 张．最后，小明拿了 张；小华拿了张．张；小刚拿了8. 某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天，而公司要求每周从周一至周日，每天都至少有 32 人上班，那么该公司至少需要名工作人员．9. 如图，AB 是圆 O 的直径，长 6 厘米，正方形 BCDE 的一个顶点 E 在圆周上，∠ABE ＝45°．那么圆 O中非阴影部分的面积与正方形 BCDE 中非阴影部分面积的差等于 平方厘米（取 π＝3.14）10. 圣诞老人有 36 个同样的礼物，分别装在 8 个袋子中．已知 8 个袋子中礼物的个数至少为 1 且各不相 同．现要从中选出一些袋子，将选出的袋子中的所有礼物平均分给 8 个小朋友，恰好分完（每个小朋 友至少分得一个礼物）．那么，共有 种不同的选择．第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛AB 初赛 B 试卷（小学高年级组）（时间：2013 年 3 月 23 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于 6，并且这个数是 11 的倍数，则满足这种要求的四位数共有（ ）个．A ．6B ．7C ．8D ．92． 2＋2×3＋2×3×3＋……＋2× 3 ⨯ 3 ⨯⨯ 3 个位数字是（ ）． 9个3A ．2B ．8C ．4D ．63. 在下面的阴影三角形中，不能由下图中左面的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（ ）中的三角形.ABCD4. 某日，甲学校买了 56 千克水果糖，每千克 8.06 元．过了几日，乙学校也需要买同样的 56 千克水果糖，不过正好赶上促销活动，每千克水果糖降价 0.56 元，而且只要买水果糖都会额外赠送 5%同样的水果糖．那么乙学校将比甲学校少花（ ）元．A ．20B ．51.36C ．31.36D ．10.365. 甲、乙两仓的稻谷数量一样，爸爸、妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要 10 天、12 天和 15 天．爸爸、妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷，阳阳先帮妈妈，后帮爸爸，结果同时运完两仓稻谷．那么阳阳帮妈妈运了（ ）天. A ．3B ．4C ．5D ．66. 如图，将长度为 9 的线段 AB 分成 9 等份，那么图中所有线段的长度的总和是（ ）.A ．132B ．144C ．156D ．165二、填空题（每小题10 分，共40 分）7．将乘积0.2˙43˙×0.32˙5233˙化为小数，小数点后第2013 位的数字是.8.一只青蛙8 点从深为12 米的井底向上爬，它每向上爬3 米，因为井壁打滑，就会下滑1 米，下滑1 米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一．8 点17 分时，青蛙第二次爬至离井口3 米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为分钟.9.一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水池分别需要6 小时、5 小时和4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要小时.10.九个同样的直角三角形卡片，用卡片的锐角拼成一圈，可以拼成类似下图所示的平面图形．这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一个的度数有种不同的可能值．（下图只是其中一种可能的情况）第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛 A 试卷（小学高年级组）（时间：2012 年 3 月 17 日 10:00—11:00）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1． 计算：[(0.8＋ 1 )×24＋6.6]÷ 9－7.6＝（ ）.5 14A ．30B ．40C ．50D ．602. 以平面上 4 个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（ ）个三角形．A ．3B ．4C ．6D ．83. 一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多 180 只．有 20%的狗错认为自己是猫；有 20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有 32%认为自己是猫，那么狗有（ ）只．A ．240B ．248C ．420D ．8424. 下图的方格纸中有五个编号为 1，2，3，4，5 的小正方形，将其中的两个涂上阴影，与图中阴影部分正好组成正方体的展开图，这两个正方形的编号可以是（ ）A ．1，2B ．2，3C ．3，4D ．4，55. 在下图所示的算式中，每个字母代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最小值是（ ） A ．369B ．396C ．459D ．5496. 下图是由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成，则正方形的个数为（ ）A ．83B ．79C ．72D ．651 253 4A B C ＋ D E F H IJ二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）百十个百 十 个A EC HFB7. 如图的计数器三个档上各有 10 个算珠，将每档算珠分成上下两部分，得到两个三位数．要求上面部分是各位数字互不相同的三位数，且是下面三位数的倍数，则上面部分的三位数是．8. 四支排球队进行单循环比赛，即每两队都要赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是 3：0 或 3：1．则胜队得 3 分，负队得 0 分；如果比分是 3：2，则胜队得 2 分，负队得 1 分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是 分．9. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地同时出发，且在 A 、B 两地往返来回匀速行驶．若两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B ，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A ，则两车第 15 次（在 A ，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了 小时．10. 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米，正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米．如图所示，边 BC 落在 EH上．己知三角形 ACG 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的面积为 平方厘米．。
第20届华杯赛小中组答案详解a卷
第20届华杯赛⼩中组答案详解a卷第⼆⼗届华罗庚⾦杯少年数学邀请赛初赛 A 卷（⼩学中年级组）总分：100 分时间：60分钟⼀、选择题．（每⼩题 10 分，共 60 分．以下每题的四个选项中，仅有⼀个是正确的，请将表⽰正确答案的英⽂字母写在每题的圆括号内．）1.森林⾥举⾏⽐赛，要派出狮⼦、⽼虎、豹⼦和⼤象中的两个动物去参加．如果派狮⼦去，那么也要派⽼虎去；如果不派豹⼦去，那么也不能派⽼虎去；要是豹⼦参加的话，⼤象可不愿意去．那么，最后能去参加⽐赛的是（）．（A）狮⼦、⽼虎（B）⽼虎、豹⼦（C）狮⼦、豹⼦（D）⽼虎、⼤象【答案】B【题型】逻辑推理、逆否命题【解析】在逻辑推理中，原命题成⽴，则逆否命题也成⽴．从题意出发：（1）狮⼦去则⽼虎去，逆否命题：⽼虎不去则狮⼦也不去（2）不派豹⼦则不派⽼虎，逆否命题：派⽼虎则要派豹⼦（3）派豹⼦则⼤象不愿意去，逆否命题：⼤象去则不能派豹⼦从（2）出发可以看出答案为 B.题⽬要求有两个动物去，可以使⽤假设法，若狮⼦去，则⽼虎去，⽼虎去则豹⼦也去．三个动物去，⽭盾，所以狮⼦不去．若豹⼦不去则⽼虎不去，那么只有⼤象去，⽭盾，所以豹⼦去．豹⼦去则⼤象不去，由两种动物去得到结论，⽼虎要去．所以答案是 B，豹⼦和⽼虎去．2.⼩明有多张⾯额为 1 元、2 元和 5 元的⼈民币, 他想⽤其中不多于 10 张的⼈民币购买⼀只价格为 18 元的风筝, 要求⾄少⽤两种⾯额的⼈民币，那么不同的付款⽅式有（）种.（A）3（B）9（C）11（D）8【答案】C【题型】奇数：列表枚举【解析】5 元 2 元 1 元总张数3 0 3 63 1 1 52 4 0 62 3 2 72 2 4 812 1 6 9 2 0 8 10 1 6 1 8 1 53 9 14 5 108210共 11 种．3. 如右图，在由1 ?1 的正⽅形组成的⽹格中,写有 2015 四个数字（阴影部分）．其边线要么是⽔平或竖直的直线段、要么是连接1?1 的正⽅形相邻两边中点的线段，或者是1 ?1 的正⽅形的对⾓线. 则图中 2015 四个数字（阴影部分）的⾯积是（）．（A ）47（B ） 47 1（C ）48（D ） 48 122【答案】B【题型】⼏何：割补【解析】将⼩三⾓形移到空⽩处补成完整正⽅形再数正⽅形个数即可，共47.5 个．4. 新⽣⼊校后，合唱队、⽥径队和舞蹈队共招收学员 100 ⼈．如果合唱队招收的⼈数⽐⽥径队多⼀倍，舞蹈队⽐合唱队多 10⼈，那么舞蹈队招收（）⼈．（注：每⼈限加⼊⼀个队）（A ）30（B ）42（C ）46（D ）52【答案】C【题型】⼏何：割补【解析】设⽥径队员为a ⼈，则合唱队员2a ⼈，舞蹈队员(2 a +10) ⼈，2a + a + 2 a + 10 = 100 ，则a = 18 ，所以舞蹈队员18 ? 2 + 10 = 46 ⼈． 5. ⼀只旧钟的分针和时针每重合⼀次，需要经过标准时间 66 分．那么，这只旧钟的 24 ⼩时⽐标准时间的 24 ⼩时（）．（A ）快 12 分（B ）快 6 分（C ）慢 6 分（D ）慢 12 分【答案】D【题型】时钟问题【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每⽐时针多跑⼀圈，即多跑 360 度，360 = 720 时针分针重合⼀次.经过 6 ? 0.5 11 分钟，旧钟时针分针重合⼀次，需要经过标准时间 66 分钟；则2旧钟的 24 ⼩时，相当于标准时间的(24 ? 60) ?66=1452分钟，所以⽐标准时间 24 ⼩时对应的7201124 ? 60 = 1440 分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟6.⼀次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每⼈先给 6 分，答对⼀题加 4 分，答错⼀题减 1 分，不答得 0 分．现有 51 名同学参加考试，那么, ⾄少有（）⼈得分相同．（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】A【题型】组合：抽屉原理【解析】设答对 x 题，答错y题，x+y≤6；当x =6时，得分30分；当x =5时，y=0,1，对应得分26, 25；当x =4时，y=0,1, 2，对应得分22, 21, 20；当x =3时，y=0,1,2,3，对应得分18,17,16,15；当x =2时，y=0,1, 2,3,4，对应得分14,13,12,11,10；当x =1时，y=0,1,2,3,4,5，对应得分10,9,8, 7, 6,5；当x =0时，y=0,1,2,3,4,5,6，对应得分6,5, 4,3, 2,1, 0；共计 25 种得分，51?25=21，则⾄少2+1=3⼈得分相同．⼆、填空题 (每⼩题 10 分, 共 40 分)7.计算:(1000 + 15 + 314) ? (201 + 360 + 110) + (1000 ? 201 ? 360 ? 110) ? (15 + 314) =________．【答案】1000000【题型】计算：换元法【解析】令a =15+314, b =201+360+110；则(1000 + 15 + 314 )?(201 + 360 + 110 )+(1000 ? 201 ? 360 ? 110 )?(15 + 314)=(1000 +a)?b+(1000 ?b)?a=1000 a+ab+ 1000b?ab=1000 (a+b)=1000 ?(15 + 314 + 201 + 360 + 110)=10000008. ⾓可以⽤它的两边上的两个⼤写字母和顶点的字母表⽰,如右图的∠AOB 符号（“∠”表⽰⾓），也可以⽤∠O 表⽰（顶点处3只有⼀个⾓时）．下图的三⾓形 ABC 中，∠BAO=∠CAO，∠CBO=∠ABO，∠ACO =∠BCO ，∠AOC =110?，则∠CBO =________．【答案】20?【题型】⼏何：⾓度2 (∠CAO+∠ACO+∠CBO)= 180?，解得∠CBO =20?．【解析】由题意得，∠ CAO +∠ ACO +∠ AOC =180?∠ AOC =110?9.张叔叔和李叔叔两⼈年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时，李叔叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄．那么张叔叔现在有________岁．【答案】24【题型】应⽤题：年龄问题【解析】设张叔叔现在 x 岁，张叔叔减少y岁后是李叔叔年龄的⼀半，则李叔叔现在年龄为2( x ? y )岁，张叔叔是李叔叔现在年龄的⼀半时李叔叔为2 (x?y)?y岁，则( )= 56 y =8x +2 x ? y，解得，即张叔叔现在 24 岁．( x ? y) ? yx =2 x =24此题亦可运⽤线段图的解法，同学们可以⾃⼰思考！10.妈妈决定假期带⼩花驾车去 10 个城市旅游，⼩花查完地图后惊奇地发现：这 10 个城市的任意三个城市之间或者都开通了⾼速公路，或者只有两个城市间没有开通⾼速路．那么这 10 个城市间⾄少开通了________条⾼速公路．（注：两个城市间最多只有⼀条⾼速公路）【答案】40【题型】组合：最值构造【解析】 (1) 将 10 个城市设为A1,A2,,A10这 10 个点，两个城市间的⾼速路视为连接两个点的线段，则任意三点间⾄少连接两条线段．(2)先将 10 个点两量相连，共C102=45条线段（中年级不会组合公式的同学可以想想怎么得出 45 条线段）．(3)现在考虑最多能去掉多少条线段?4先任意去掉⼀条，不妨记为 A1 A2这⼀条，则线段 A1 A i或 A2 A（j i =3, 4,,10; j =3, 4,,10）均不能去掉，否则 A1, A2, A i或 A1, A2, A j三个点中只有⼀条线段．即只能在 A3, A4,, A10这8个点的连线中去掉⼀条，记为 A3 A4；同理可再去掉 A5 A6, A7 A8, A9 A10，故最多可去掉5条线段.(4)因此⾄少连接45 ? 5=40 条线段，即⾄少开通了 40 条⾼速公路．5。
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学中年级组)
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（小学中年级组） （时间：2015年4月11日14:00～15:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1、9.198.287.37 6.46 5.55 4.64 3.73 2.82 1.91________++++++++=。
2、两个个位数字不是0的自然数的积是40000，那么其中较大的数是_________。
3、“九指”先生是一个无可救药的赌徒，他每次都拿出口袋里一半的钱作为赌注。
我们只知道他输赢各10次，那么最后他_________了。
（填“赢”或“输”） 4、机场有一个24时制的电子钟，当棉花糖先生到达机场时，钟表显示为09:39，而他要乘的航班预定09:57起飞。
因天气原因，航班延误，凑巧的是航班实际起飞时间和前两个时间的数字和都为21（0939095721+++=+++=）。
那么棉花糖先生至少等了__________分钟。
5、如图，3个中国人，2个美国人，1个俄罗斯人，1个德国人站成一排。
其中2个美国人站在一起，且不与中国人相邻；俄罗斯人两边都是中国人；E 不是俄罗斯人，G 不是中国人，那么德国人是___________（填字母）。
A B C D E F G 6、下列算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
71000A A A AB AB AB A BC A A A C C C ⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯+⨯⨯ 那么三位数ABC =____________。
7、如右图，圆周上有36个等分点：1236,,,A A A 。
从1A 点开始，顺时针每隔1个点连一条线段，直至回到1A 点结束构成图案1；顺时针每隔2个点连一条线段，直至回到1A 点结束构成图案2；按此规律操作下去，（武汉童老师）可得到很多不一样的图案。
其中可以经过圆周上所有36个点的称为“完美图”。
那么图案1至图案10中，有________个“完美图”。
第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组c卷)
2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）一、选择题（每小题10分，共60分）．1．（10分）计算：（﹣+﹣+）×120﹣÷（）A．42 B．43 C．15D．162．（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是（）米．A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.03．（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（）A．甲，乙B．丙，丁C．甲，丙D．乙，丁4．（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（）A．94 B．95 C．96 D．975．（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、△BEH、△BCH的面积依次为56、50、40，那么△CEH的面积是（）A．32 B．34 C．35 D．366．（10分）一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：（每小题10分，满分40分）7．（10分）在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是．8．（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是．9．（10分）在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是厘米．（π取3.14）10．（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分）．1．（10分）计算：（﹣+﹣+）×120﹣÷（）A．42 B．43 C．15D．16【分析】首先对（﹣+﹣+）进行拆分，然后用所得的结果减去除以所得的商，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（﹣+﹣+）×120﹣÷＝（+﹣﹣++﹣﹣++）×120﹣＝（+）×120﹣＝30+×120﹣＝42故选：A．2．（10分）如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线，这两条直线成45度角，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是（）米．A．2.6 B．2.4 C．2.2 D．2.0【分析】因为∠A＝45°，最高的小树高2.8米，所以AC＝2.8米，又因为树根成一条直线，树顶也成一条直线，所以所有的树都互相平行，所以AB＝1.4米，BC＝AC﹣AB＝1.4米，因为这排树的间距相同，则每个间距是1.4÷7＝0.2米，则从左向右数第4棵树的高度：0.2×4+1.4，据此解答即可．【解答】解：因为：树根成一条直线，树顶也成一条直线，∠A＝45°，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，所以AC＝2.8米，AB＝1.4米，BC＝AC﹣AB＝1.4米，又因为：这排树的间距相同，所以：1.4÷7＝0.2（米）0.2×4+1.4＝0.8+1.4＝2.2（米）答：那么从左向右数第4棵树的高度是2.2米．故选：C．3．（10分）春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下对话：甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人之中至少有2人捐了款”丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（）A．甲，乙B．丙，丁C．甲，丙D．乙，丁【分析】因为有2位同学捐了款，所以根据：丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的．据此解答即可．【解答】解：根据分析可得：丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款；乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款．故选：D．4．（10分）六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（）A．94 B．95 C．96 D．97【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总成绩﹣最高分﹣最低分＝另四名同学的总成绩，要想第3个同学成绩最小，则第2个同学成绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数＝平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案．【解答】解：92.5×6﹣99﹣76＝380（分），由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是：98剩余三人成绩和为：380﹣98＝282（分），第3个同学成绩最小，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相差为1，282÷3＝94（分），则第三位同学至少是：94+1＝95（分）．答：第三名至少得95分．故选：B．5．（10分）如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、△BEH、△BCH的面积依次为56、50、40，那么△CEH的面积是（）A．32 B．34 C．35 D．36【分析】如下图所示：分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，由等底等高的三角形面积相等，可得S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，因此有：SS△ADC﹣S△ADE＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC，而S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90；△CDE＝因此S△CHE＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34，据此即可解决．【解答】解：如上图所示，分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，则S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，所以S△CDE＝S△ADC﹣S△ADE＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC，又因为S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90，所以S△CHE＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34．故选：B．6．（10分）一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．【解答】解：①假设n＝5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．②假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n＝4的一种构造．故选：B．二、填空题：（每小题10分，满分40分）7．（10分）在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是4123 ．【分析】如图：因为第三行存在1、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2．在A所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用．而3与“相”的和是质数，所以“相”是4．“相”与“约”的和为质数，“约”为1，“约”与“月”的和为质数，“月”为6，剩下的C为5．第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用．而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123，据此解答即可．【解答】解：如图：因为第三行存在1．、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2．在A所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用．而3与“相”的和是质数，所以“相”是4．“相”与”“约”的和为质数，“约”为1，“约”与”“月”的和为质数，“月”为6，剩下的C为5．第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用．而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123．故答案为：4123．8．（10分）整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是162 ．【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、、、n，立即可以填出1、2、3、、、、、、、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、、、n，根据因数个数定理10＝1×（9+1）＝（1+1）×（4+1），由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34＝162更大．故答案为：162．9．（10分）在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是15975 平方厘米，两块阴影部分的周长差是485 厘米．（π取3.14）【分析】（1）如图：扇形ABC的面积＝①+②+③，扇形BCD的面积＝②+③+④，正方形ABCD 的面积＝①+②+③+④+⑤，所以扇形ABC的面积+扇形BCD的面积﹣正方形ABCD的面积＝②+③﹣⑤，据此可求出两块阴影部分面积的差是多少；（2）连结BE、CE，因BC＝BE＝CE，所以三角形BCE是等边三角形，所以扇形BCE的圆心角是60°，扇形CED的圆心角是30°，据此可分别阴影部分的周长是多少，再相减即可．【解答】解：（1）S扇形ABC＝①+②+③S扇形BCD＝②+③+④S正方形ABCD＝①+②+③+④+⑤，S扇形ABC+S扇形BCD﹣S正方形ABCD的＝②+③﹣⑤③﹣⑤＝S扇形ABC+S扇形BCD﹣S正方形ABCD的﹣②＝3.14×3002÷4+3.14×3002÷4﹣300×300﹣3.14×（300÷2）2÷2＝3.14×90000÷4+3.14×90000÷4﹣300×300﹣3.14×22500÷2＝70650+70650﹣90000﹣35325＝15975（平方厘米）（2）连结BE、CE阴影部分③的周长是×3.14×300×2+3.14×300÷2＝628+471＝1099（厘米）阴影部分⑤的周长是×3.14×300×2+300＝314+300＝614（厘米）1099﹣614＝485（厘米）答：两块阴影部分的面积差是 15975平方厘米，两块阴影部分的周长差是485厘米．故答案为：15975，485．10．（10分）A地，B地，C地，D地依次分布在同一条公路上．甲，乙，丙三人分别从A地，B地，C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%，当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%，甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟125 米，A、D两地间的路程是1880 米．【分析】由于同时到达，所以甲追上丙后二者速度相等，乙追上丙后二者速度相等．乙出发时的速度是每分钟60米，遇到丙后速度变为60×（1﹣25%）＝45（米/分），所以丙的速度为45米/分，可以推知甲在追上丙后的速度变为45米/分，在追上乙后追上丙之前速度为45÷（1﹣40%）＝75米/分，甲出发时的速度为75÷（1﹣40%）＝125（米/分）．甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，则在乙追上丙时也追上了甲，此时甲走的路程为（75t+45×9）米，乙走的路程为60×（t+9）米，列方程为：75t+45×9＝60×（t+9），解得t＝9．由于此后又走了50米到达D地，所以CD的距离为75t+45×9+50＝1130（米）．由于甲从C地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为75×9﹣45×9＝270（米），即甲从A地到C地，丙走了270÷45＝6（分钟），那么AC的距离为125×6＝750（米），所以AD得距离为1130+750＝1880（米）．【解答】解：遇到丙后速度变为：60×（1﹣25%）＝60×0.75＝45（米/分）甲在追上乙后追上丙之前速度为：45÷（1﹣40%）＝45÷0.6＝75（米/分）甲出发时的速度为：75÷（1﹣40%）＝75÷0.6＝125（米/分）甲在C地追上乙，设在此时起追上丙花了t分钟，得：75t+45×9＝60×（t+9）75t+405＝60t+54015t＝135t＝9CD的距离为：75t+45×9+50＝75×9+405+50＝1130（米）甲从C地花了9分钟追上乙，所以此时丙到C的距离为：75×9﹣45×9＝（75﹣45）×9＝270（米）甲从A地到C地，丙走了：270÷45＝6（分钟），那么AC的距离为：125×6＝750（米），所以AD得距离为1130+750＝1880（米）．答：甲出发时的速度是每分钟125米，A、D两地间的路程是1880米．故答案为：125，1880．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 11:00:31；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。
2020华杯赛决赛小学高年级组试题A参考答案详解
处的木桩上.
【考点】圆与扇形
【答案】B 【解析】拴在B处活动区域最大，为 3 圆。
4
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是
.
【考点】最小公倍数，等差数列
【答案】14700
【解析】 20,14
140
，
2014 140
14
，140
1
2
3
14
14700
.
3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有
则 a+b+c+d=5+3+10=18 或 a+b+c+d=5+3+11=19 （2）当 c=4 时，b+d 不进位，只能取 b+d=1，0+1=1 符合要求
此时 a+b+c+d=5+4+1+0=10.
聚智堂教研组王乃聪
9
当a=8＋25=33时，b=5，共2组整数解。
8. 平面上的五个点A, B, C, D , E 满足: AB = 8厘米, BC = 4厘米, AD = 5厘米, DE = 1厘米, AC = 12
厘米, AE = 6厘米. 如果三角形EAB的面积为24平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于
厘
米
聚智堂教研组王乃聪
4
您身边的教学专家
0 51 4 63
2
7. 学校组织1511人去郊游, 租用42座大巴和25座中巴两种汽车. 如果要求恰好每人一座且每座一
人, 则有
种租车方案.
【考点】不定方程
【答案】2
【解析】设大巴a辆，中巴b辆
第20届华杯赛小高组答案详解
3
二、填空题(每小题10分，共40分)
7.计算: 48116265121904201−1843029−1604241−7035655=________．
【答案】60083
【题型】凑整、分数裂项
【解析】
=481265904−184−160−70316121201−(1−301)−(1−421)−(1−561)
=(481265904−184−160−703−1−1−1)(16121201301421561)
=600(12−13)(13−14)(14−15)(15−16)(16−17)(17−18)
=60012−18
=60083
8.过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D,E,F,连接AP,BP,CP．如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角形PCF的面积为________平方厘米．
5.一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的
24小时比标准时间的24小时（
）．
（A）快12分
（B）快6分
（C）慢6分
（D）慢12分
【答案】D
【题型】时钟问题
【解析】时针速度为每分钟0.5度，分针速度为每分钟6度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑360度，
360720
第二十届华杯初赛小学高级组C卷(含解析)
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C 卷）（时间:2014 年 3 月 14 日 10:00〜11:00）一、选择题（每小题10分，满分60分•以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 ）『9 11 13 1517 ）1 11120 一30 42 5672 丿 3 43.春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款” 乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款” 丙：“你们3人中至少有2人捐了款” 丁： “你们3人中至多有2人捐了款” 己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这 4位同学是（）A .甲、乙 B.丙、丁 C.甲、丙D.乙、丁4.六位同学数学考试的平均成绩是 92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（）.A. 94 B . 95 C. 96D . 975.如图，BH 是直角梯形ABCD 的高，E 为梯形对角线 AC 上一点；如果 DEH 、•汨EH 、厶BCH 的面积 依次为56、50、40,那么 CEH 的面积是（）. A. 32B . 34C. 35D. 366.—个由边长为1的小正方形n n 的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的 4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是（）. A . 3 B. 4 C. 5D. 6二、填空题（每小题10分，满分40分.）7.在每个格子中填入1〜6中的一个，使得每行、每列及每个 2 3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯 是 __________ .&整数n —共有10个约数，这些约数从小到大排列.笫 8个是-.那么整数的最大值是=（20 A. 42B. 43C.2.如图, 有一排间距相同但高度不等的小树,1 2 15— D. 1633这两条直线成45度角.最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米, 那么从左向右数第 4棵树的高度是（）米.A . 2.6 B. 2.4 C. 2.2 D. 2.0丙、丁 4位同学有如99分，最低的76分,39.在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是平方厘米，两块阴影部分的周长差是 _____________ 厘米.（二取3.14）10. A 地、B 地、C 地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从 A 地、B 地、C 地同时出发，匀 速向D 地行进.当甲在 C 地追上乙时，甲的速度减少 40% ;当甲追上丙时，甲的速度再次减少 40% ；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少 25% ;如乙追上丙后再行 50米，三人同时到 D地•已知乙出发时的速度是每分钟 60米，那么甲出发时的速度是每分钟 _______ 米，A 、D 两地间的路程是 ___________ 米.第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C 卷）参考答案参考解析【考点】速算巧算【考点】等差数列 【难度】☆☆ 【答案】C【解析】如右图，AB =2.8-1.4 =1.4 （米），AC =1.4'7 3=0.6 （米）因此，第四高的小树为 2.8-0.6=2.2 （米）.3. 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、下的对话:甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”一、选择题 （每小题10分，满分60分•以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案 的英文字母写在每题的圆括号内『9 Il L 131 ———-—20 30 42d 卫56 72120一3 =(A. 42B. 43C.115 3D. 163【答案】Af 1【解析】原式=寸2.如图，有一排间距相同但高度不等的小树,IL 8 9树根成一条直线, 120 3 4 1竺=42 .3树顶也成一条直线.这两条直线成45度角.最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米, 那么从左向右数第 4棵树的高度是（）米.A . 2.6B. 2.4C. 2.2D. 2.0丙、丁 4位同学有如乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是（）•A.甲、乙B.丙、丁C.甲、丙D.乙、丁【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆【答案】D【解析】因为恰有2位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少2人捐款，所以丙没捐款；再据甲所说知丙、丁之中至少有1人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；再据乙所说知丁、甲之中至多有1人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；恰有2位同学捐了款，即恰有2位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了.4.六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是（）.A. 94B. 95C. 96D. 97【考点】最值问题【难度】☆☆☆【答案】B【解析】“至少”的含义是：第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到92.5分.要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第4位同学的得分尽可能的接近.由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题.由己知，第三、四、五三位同学的平均分是（92.5 6 -99 -76 -98）十3 = 282 “ 3 = 94 （分），故第三位同学的得分至少是94 •仁95 .5.如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点；如果DEH、•汨EH、厶BCH的面积依次为56、50、40,那么CEH的面积是（）.A. 32B. 34C. 35D. 36【考点】几何【难度】☆☆☆【答案】B【解析】因为S DEH ' S.AEH =S ABCD ' 2 = S ABC ~ S.BCE ' S AEB 所以S~ S DEH =56 ；所以,S .CEH = S BEH S BCH _ S BCE = 50 40- 56 = 34 .6.—个由边长为1的小正方形n n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是（）.A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】最值问题【难度】☆☆☆☆【答案】B【解析】假设n =5 ,笫1行中至少有3个格子颜色相同，不妨设前3格为黑色（如图1）.在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3 1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2）,则存在巷图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3 1的长方形中，每个至多1个黑格.假设这4个横着的3 1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格.而3 1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种.如果这4种都存在的话（如图5）,则同样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格•矛盾！所以n <5.而图6给出了n =4的一种构造•所以，正整数n的最大值是4 .二、填空题（每小题10分，满分40分.）7•在每个格子中填入1〜6中的一个，使得每行、每列及每个 2 3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是___________ .【考点】数阵图【难度】☆☆☆☆【答案】4123【解析】如下左图，因为A 3为质数且A =4 ,所以A =2 ;因为“月”1为质数且“月”-2、4 ,所以“月” =6 ;从而C=5 ;因为“杯”4为质数且“杯”-1 ,所以“杯” =3 ;从而C =5 ;因为D 3为合数且D =2或6 ,所以D =6 ;从而“华” =2 ;因为“相”3为质数且“相”-2 ,所以“相” -4 ;因为B 4为合数且D =1或5 ,所以B =5 ;从而“约”=1 ;所以，相约华杯=4123（如下中图）•实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）&整数n—共有10个约数，这些约数从小到大排列•笫8个是-•那么整数的最大值是3 ----------【考点】数论【难度】☆☆☆【答案】162【解析】n有10个约数，由于第8个是-,而第10个必然是n ,所以第9个只能是-•所以n有质因子2和3 23 •所以n可能是24 3或者34 2 •而最大是34 2 =162 .9•在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是_ 平方厘米，两块阴影部分的周长差是_____________ 厘米.（二取3.14）【考点】几何基本概念【难度】☆☆☆【答案】①15975 :②485 .【解析】①QS阴影ABE -S l影CDE =S扇形ABD S扇形ABC —SE方形ABCD —S半圆AB②因为ABE为等边三角形，所以∙EAB =. E B A=60 ,从而∙DAE =. CBE=30 ；阴影CDE的周长=弧CE 弧DE CD =2二300^12 2 300 =100二300 ；阴影ABE的周长二弧AE •弧BE •弧AB =2二300-：-6 2 • 300-：-2 = 350二；所以，的周长差=350二_（100二300）=250二_300 ： 485 .10. A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进.当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40% ;当甲追上丙时，甲的速度再次减少40% ;甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25% ;如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地•已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟________ 米，A、D两地间的路程是 __________ 米.【考点】行程问题【难度】☆☆☆☆【答案】①125 :②1880 .【解析】①因为三人同时到D地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；所以丙速为60 （1 -25%）=45（米/分）；甲减速一次后的速度为45 “（1 - 40%）=75 （米/分），甲出发时的速度为75 “（1 -40%）=125（米/分）.②如下图，设甲在E地追上丙，乙在F地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为125:60 =25:12 , 所以AB:BC =25:12 ;设AC为25份，则BC为12份；因为乙、丙出发时的速度比为60: 45=4:3 ,所以BF :CF =4:3 ,从而CF 为12“（4-3） 3=36 份，AF 为25 *36=61 份.因为甲减速一次后与丙的速度比为75: 45 = 5:3 ,而甲原速行AC这25份时，相当于以75米/分行25 60% =15份；所以CE=15"（5-3） 3=22.5 份，从而EF =36-22.5 =13.5 份；而EF是丙9分钟所行的路程，为45 9 =405（米），所以每份405 "13.5 =30（米）,从而AF =30 61 H 1830 （米）,所以AD =1830 50 -1880 （米）.。
【奥数真题】2021年第20届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题(小学高年级组)(C卷)
【解析】
有 个约数，由于第 个是 ，而第 个必然是 ，所以第 个只能是 ．所以 有质因子 和 ．所以 可能是 或者 ．而最大是 ．
9．15975485
【解析】
①
②因为 为等边三角形，所以 ，从而 ； 阴影 ；
阴影 ；
所以， ．
10．1251880
【解析】
①因为三人同时到 地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；
A． B． C． D．
3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 位同学有如下的对话：
甲：“丙、丁之中至少有 人捐了款”
乙：“丁、甲之中至多有 人捐了款”
丙：“你们 人中至少有 人捐了款”
丁：“你们 人中至多有 人捐了款”
己知这 位同学说的都是真话且其中恰有 位同学捐了款，那么这 位同学是( )．
所以 份，从而 份；
而 是丙 分钟所行的路程，为 (米），
所以每份 (米)，
从而 (米)，所以 (米）．
参考答案
1．A
【解析】
原式 ．
2．C
【解析】
如右图， (米)， (米)因此，第四高的小树为 (米)．
3．D
【解析】
因为恰有 位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少 人捐款，所以丙没捐款；
再据甲所说知丙、丁之中至少有 人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；
再据乙所说知丁、甲之中至多有 人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；
【奥数真题】2021年第20届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题（小学高年级组）（C卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答一、填空题（每小题10分，共80分）1.用[x]表示不超过xx的最大整数，例如：[3.14]=3，则�2017×311�+�2017×411�+�2017×511�+�2017×611�+�2017×711�+�2017×811�的值为。
2.从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8,12, 1023和913，则原来给定的4个整数的和为。
3.在3×3的网格中（每个格子是1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法。
（如果两种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）。
4.甲从A地出发去找乙，走了80千米后达到B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来速度的2倍去C地，又经过了2个小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时。
5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27，是只参加朗诵小组人数的15，那么书法小组与朗诵小组的人数比是。
6.右图中，⊿ABC的面积为100平方厘米，⊿ABD的面积为72平方厘米。
M为CD边的中点，∠MHB=90º。
已知AB=20厘米，则MH的长度为厘米。
7.一列数a1, a2,…,a n,…,记S(a i)为a i的所有数字之和，如S(22)=2+2=4.若a1=2017, a2=22, a n=S(a n-1)+S(a n-2),那么a2017等于。
8.如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点处。
将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种。
第二十届华杯初赛小学高年级组C卷含解析
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）（时间:2014年3月14日10:00～11:00）一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234⎛⎫-+-+⨯-÷=⎪⎝⎭( )．A．42B．43C．1153D．21632．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是( )米．A．2.6 B．2.4 C．2.2D．2.03．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款” 乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款” 丙：“你们3人中至少有2人捐了款” 丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是( )． A ．甲、乙B ．丙、丁C ．甲、丙D ．乙、丁4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( )． A ．94B ． 95C ． 96D ． 975．如图，BH 是直角梯形ABCD 的高，E 为梯形对角线AC 上一点；如果DEH ∆、BEH ∆、BCH ∆的面积依次为56、50、40，那么CEH ∆的面积是( )．A ．32B ． 34C ． 35D ． 366．—个由边长为1的小正方形n n ⨯的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是( )． A ．3B ． 4C ． 5D ． 6二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23⨯长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是 ．8．整数n 一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n ．那么整数的最大值是 ．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米．（ 取3.14)A10．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级C卷）参考答案参考解析一、选择题(每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1．91113151711120203042567234⎛⎫-+-+⨯-÷=⎪⎝⎭( )．A．42B．43C．1153D．2163【考点】速算巧算【难度】☆☆【答案】A【解析】原式1111111111412612042 455667788933⎛⎫=+--++--++⨯-==⎪⎝⎭．2．如图，有一排间距相同但高度不等的小树，树根成一条直线，树顶也成一条直线．这两条直线成45度角．最高的小树高2.8米，最低的小树高1.4米，那么从左向右数第4棵树的高度是( )米．A．2.6 B．2.4 C．2.2D．2.0【考点】等差数列【难度】☆☆【答案】C【解析】如右图， 2.8 1.4 1.4AB=-= (米)， 1.4730.6AC=÷⨯= (米)因此，第四高的小树为2.80.6 2.2-=(米)．3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下的对话：甲：“丙、丁之中至少有1人捐了款”乙：“丁、甲之中至多有1人捐了款”丙：“你们3人中至少有2人捐了款”丁：“你们3人中至多有2人捐了款”己知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这4位同学是( )．A．甲、乙B．丙、丁C．甲、丙D．乙、丁【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆【答案】D【解析】因为恰有2位同学捐了款，据丙所说知甲、乙、丁就至少2人捐款，所以丙没捐款；再据甲所说知丙、丁之中至少有1人捐了款，现在丙没捐款，所以丁一定捐款了；再据乙所说知丁、甲之中至多有1人捐了款，现在丁捐款了，所以甲一定没捐款；恰有2位同学捐了款，即恰有2位同学没捐款，现在甲、丙都没捐款，所以乙、丁都捐款了．4．六位同学数学考试的平均成缋是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学的分数至少是( )． A ．94B ． 95C ． 96D ． 97【考点】最值问题 【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】“至少”的含义是:第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到92.5分．要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第4位同学的得分尽可能的接近．由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题．由己知，第三、四、五三位同学的平均分是(92.56997698)3282394⨯---÷=÷= (分)，故第三位同学的得分至少是941=95+．5．如图，BH 是直角梯形ABCD 的高，E 为梯形对角线AC 上一点；如果DEH ∆、BEH ∆、BCH ∆的面积依次为56、50、40，那么CEH ∆的面积是( )．A ．32B ． 34C ． 35D ． 36【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】B 【解析】因为2DEHAEH ABCD ABC BCE AEB S S S S S S ∆∆∆∆∆+=÷==+W 所以56BCE DEH S S ∆∆==；所以，50405634CEH BEH BCH BCE S S S S ∆∆∆∆=+-=+-=．6．—个由边长为1的小正方形n n ⨯的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满 足在任意矩形的4个用上的小正方形不全同色，那么正整数的最大值是( )． A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】最值问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】B【解析】假设5n=，笫1行中至少有3个格子颜色相同，不妨设前3格为黑色(如图1)．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的31⨯的长方形,若其中有一个中有2个黑格(如图2)，则存在巷图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的31⨯的长方形中，每个至多1个黑格．假设这4个横着的31⨯的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3)，则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．而31⨯的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话(如图5)，则同样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格．矛盾！所以5n<．而图6给出了4n=的一种构造．所以，正整数n的最大值是4．二、填空题(每小题10分，满分40分．)7．在每个格子中填入1～6中的一个，使得每行、每列及每个23⨯长方形内（粗线框围成)数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数相约华杯是．【考点】数阵图 【难度】☆☆☆☆ 【答案】4123【解析】如下左图，因为3A +为质数且4A ≠，所以2A =；因为“月”1+为质数且“月” 2≠、4，所以“月”6=；从而5C =； 因为“杯”4+为质数且“杯” 1≠，所以“杯”3=；从而5C =； 因为3D +为合数且2D =或6，所以6D =；从而“华”2=； 因为“相”3+为质数且“相” 2≠，所以“相”4=； 因为4B +为合数且1D =或5，所以5B =；从而“约”1=；所以，相约华杯4123=(如下中图)．实际上其它格子中的数也能唯一确定（如下右图）．8．整数n 一共有10个约数，这些约数从小到大排列．笫8个是3n ．那么整数的最大值是 ． 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】162【解析】n 有10个约数，由于第8个是3n ，而第10个必然是n ，所以第9个只能是2n ．所以n 有质因子2和3．所以n 可能是423⨯或者432⨯．而最大是432162⨯=．9．在边长为300厘米的正方形中，如图放置了两个直角扇形和一个半圆，那么两块阴影部分的面积差是 平方厘米，两块阴影部分的周长差是 厘米．（π取3.14)【考点】几何基本概念 【难度】☆☆☆【答案】①15975；②485． 【解析】①ABECDE ABCD ABD ABC AB SS S S S S -=--阴影阴影正方形扇形扇形半圆22230042300150233750-9000015975πππ=⨯÷⨯--⨯÷=≈②因为ABE ∆为等边三角形，所以60EAB EBA ∠=∠=︒，从而30DAE CBE ∠=∠=︒； 阴影=2300122300100300CDE CE DE CD ππ++=⨯÷⨯+=+的周长弧弧； 阴影2300623002350ABE AE BE AB ππ=++=⨯÷⨯+÷=的周长弧弧弧； 所以，350(100300)250300485πππ=-+=-≈的周长差．A10．A地、B地、C地依次分布在同一条公路上，甲、乙、丙三人分别从A地、B地、C地同时出发，匀速向D地行进．当甲在C地追上乙时，甲的速度减少40%；当甲追上丙时，甲的速度再次减少40%；甲追上丙后9分钟，乙也追上了丙，这时乙的速度减少25%；如乙追上丙后再行50米，三人同时到D地．已知乙出发时的速度是每分钟60米，那么甲出发时的速度是每分钟米，A、D两地间的路程是米．【考点】行程问题【难度】☆☆☆☆【答案】①125；②1880．【解析】①因为三人同时到D地，所以甲、乙最后的速度和丙相同；⨯-=(米/分)；所以丙速为60(125%)45÷-=(米/分)，甲减速一次后的速度为45(140%)75÷-=(米/分)．甲出发时的速度为75(140%)125②如下图，设甲在E地追上丙，乙在F地追上丙，因为甲、乙出发时的速度比为125:6025:12AB BC=；=，所以:25:12设AC为25份，则BC为12份；因为乙、丙出发时的速度比为60:454:3BF CF=，=，所以:4:3从而CF 为12(43)336÷-⨯=份，AF 为25 3661+=份． 因为甲减速一次后与丙的速度比为75:45 5:3=，而甲原速行AC 这25份时，相当于以75米/分行2560%15⨯=份； 所以15(53)322.5CE =÷-⨯=份，从而36-22.513.5EF ==份； 而EF 是丙9分钟所行的路程，为459405⨯=(米）， 所以每份40513.530÷=(米)，从而3061 1830 AF =⨯=(米)，所以1830501880 AD =+-(米）．D。
(完整word版)第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷(小学高年级组)-(1)
详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1.计算: －(2.4＋×4)÷ = 。
［答案］ 2［解析］原式= -( + ) ×= - ×= -= 22.中国北京在2015年7月31日获得了2022 年第24 届冬季奥林匹克运动会的主办权. 预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期。
（今天是2016年3月12日, 星期六）［答案］五［解析］2022-2016＝6（年），2020÷4=505，所以2020为闰年，有366天。
2016年3月12日至2022年3月12日共有：365×5+366=2191(天）；2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-4＋12=36(天）；2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-36＝2155(天）；2155÷7=307（周）……6（天）6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。
3.右图中,AB=5厘米, ∠ABC=85,∠BCA=45,∠DBC=20,则AD= 厘米。
［答案］ 5［解析］∠A＝180－∠ABC －∠ BCA＝180－85－45=50 ;∠ABD= ∠ABC－∠ DBC＝85－20=65；∠ADB＝180－∠A－∠ABD＝180－50－65＝65；所以∠ABD＝∠ADB ，即△ABD是等腰三角形。
所以AD＝AB＝5(厘米)在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点。
如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点P 使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”。
那么在这张格子纸上共有个“好点”。
［答案］ 6［解析］如图，因为AB＝2AC，所以P点到AC的距离等于P点到AB距离的2倍，如图所示，共有6个点。
5. 对于任意一个三位数n, 用[n]表示删掉n中为0的数位得到的数。
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第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题A（小学高年级组）
（时间:2015年4月11日10:00～11:30）
一、填空题（每小题10分,共80分）
1.计算：=⨯+⨯9.019
5105375.119484【考点】计算、分数计算
【难度】☆☆
【答案】200【分析】200
19
4841911011054195105811198080=+++=⨯++⨯+
=）（（原式2.右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图案,正方形边长都是2cm,这个图案的周长是
cm.
【考点】几何、多边形周长
【难度】☆☆
【答案】24
【分析】正十二边形边长与正方形边长相等，每条边都是2，周长是：24
212=⨯3.某项工程需要100天完成.开始由10个人用30天完成了全部工程的1/5,随后再增加10个人来完成这项工程,那么能提前天完成任务.
【考点】应用题、工程问题
【难度】☆☆
【答案】10
【分析】假设每人每天的工作效率是a 份，全部的工作总量是份）(1500513010=÷⨯a ；
增加10人后完成的天数是：
（天）60 10a) (10a ）10a 30 - 1500a （=+÷⨯提前（天）01 60 - 30 - 100=完成.
4.王教授早上8点到达车站候车,登上列车时,站台上时钟的时针和分针恰好左右对称．列车8点35分出发,下午2点15分到达终点站．当王教授走下列车时,站台上
时钟的时针和分针恰好上下对称,走出车站时恰好3点整．那么王教授在列车上的时间共计分钟．
【考点】行程、时钟问题
【难度】☆☆☆☆
【答案】360
【分析】登上列车时，时钟的时针和分针恰好左右对称，8点整是时针和分针的夹角是120度.132405.06120=+÷）（，此时是8点13240分.下午2点15分，时针和分针的夹角是。
22.5( 15)0.5 (60 - 615度）=⨯+⨯走到站台时恰好是上下对称：)分(13
45 0.5) (6 22.5=+÷，此时是下午2点13240
分.王教授在列车的时间是6个小时，共计360分.
5.由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326,则这些四位数中最大的是,最小的是.
【考点】数论、位值原理
【难度】☆☆☆
【答案】5321
【分析】4个非零数字一共组成了24个四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和
为73326 1111 d c b a 6=⨯+++⨯
）（，得11 d c b a =+++，此时只有数字1、2、3、5.这些四位数中最大的是5321.
6.如右图所示,从长、宽、高分别为15cm,5cm,4cm 的长方体中切割走一块长、宽、高分别为y cm,5cm,x cm 的长方体（x ,y 为整数）,余下部分的体积为120cm,那么x 为cm,y 为cm.
【考点】几何、长方体和正方体
【难度】☆☆
【答案】15
【分析】120 x 5y - 4 5 15=⨯⨯⨯⨯解得36 xy =；66 94 123 182 36 1 36⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=，因为x ,y 为整数，且15y , 4x <<，所以x=3,y=12．x+y=15
7.一次数学竞赛有A,B,C 三题,参赛的39个人中,每人至少答对了一道题.在答对A 的人中,只答对A 的比还答对其它题目的多5人;在没答对A 的人中,答对B 的是答对C 的2倍;又知道只答对A 的等于只答对B 的与只答对C 的人数之和.那么答对A 的最多有人.
【考点】组合、容斥原理、最值问题
【难度】☆☆☆☆
【答案】23
【分析】根据题意得，如下图所示：只答对A 的人数是3b a ,答对A 还答对其他题目的人数是 5 -a 3b +.所有有: 39 2a 3b 5 a 3b a 3b =++-+++.化简得44 9b 4a =+,解得
⎩⎨⎧==42b a 或⎩
⎨⎧==011b a ，答对A 的人共3b+a+3b+a-5=6b+2a-5,最大值是).人( 23 5 - 2 246=⨯+
⨯8.甲、乙进行乒乓球比赛,三局两胜制.每局比赛中,先得11分且对方少于10分者胜;10平后多得2分者胜.甲、乙二人得分总和都是30分,在不计比分先后顺序时,三局的比分共有种情况.
【考点】计数、体育比赛的数学问题
【难度】☆☆☆
【答案】16
【分析】113 30⨯<，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分总和是30：
30=11+9+10，乙对应的得分是：30=7+10+12；对应的比分是：⎪⎩⎪⎨⎧12:1011:97:11，之后7、9依次减1，10和
12依次加1；
⎪⎩⎪⎨⎧13:1111:86:11、⎪⎩⎪⎨⎧14:1211:75:11、⎪⎩⎪⎨⎧15:1311:74:11、⎪⎩⎪⎨⎧16:1411:63:11、⎪⎩⎪⎨⎧17:1511:52:11、⎪⎩⎪⎨⎧18:1611:41:11、⎪⎩
⎪⎨⎧19:1711:30:11上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，共计16 28=⨯种.
二、解答下列各题（每小题10分,共40分,要求写出简要过程）
9.两个自然数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120.求这两个数.
【考点】数论、短除模型
【难度】☆☆☆
【答案】115、552或232、435.
【分析】设这两个数是a 、b
，有，mx a =、ny =b ，mxy b a =][、、
m b =)a 、（得
⎪⎩⎪
⎨⎧===+120667)(xy m mxy y x m ，⎩⎨⎧=⨯==+1202923667)(xy y x m ，x、y 是互质。
所以
158 24 5 40 360 21201120⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=满足要求的是
⎩⎨⎧==+=+⎩⎨⎧==+=+29
231582329524m y x m y x 或此时对应的数是115、552或232、435.
10.酒店有100个标准间,房价为400元/天,但入住率只有50%.若每降低20元的房价,则能增加5间入住.求合适的房价,使酒店收到的房费最高.
【考点】组合、最值
【难度】☆☆☆
【答案】22500
【分析】初始状况是：400元、50间，设降价了x 个20元，
房费是： x) x)(10- 100(20 5x)- 20x)(50 - (400+=而30 x - 10 x - 20=+）（）
（，和一定，差小积大，15 x 10 x - 20=+=时最大；所以此时的房价最高是：22500 1515100=⨯⨯（元）.
11.如图,长方形ABCD 的面积是56cm 2.BE=3cm，DF=2cm 请你回答三角形AEF 的面积是多少？
【考点】几何、一半模型
【难度】☆☆☆
【答案】25
【分析】过F 点做AD 的平行线，交于AB 于G 点；连接GE；如下图所示：
四边形AGEF 是长方形的一半，三角形AEF 的面积是
25232-256=⨯12.当n 取遍1,2,3,…,2015中所有的数时,3n +n 3形如的数中能够被7整除的有多少个？
【考点】同余
【难度】☆☆☆
【答案】288
【分析】3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以7的余数以7为周期，1、1、6、1、6、6、0，则总周期为42，列表
三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）
13.在右图中,ABCD是平行四边形,AM=MB,DN=CN,BE=EF=FC,四边形EFGH的面积是1,求平行四边形ABCD的面积.
【考点】比例模型
【难度】☆☆☆
【答案】9 80
【分析】由风筝模型，
由鸟头模型
所以
14.“虚有其表”,“表里如一”,“一见如故”,“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个,相同的汉字代表相同的数,不同的汉字代表不同的数,
且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”,且各个成语中四个汉字所代表的数的和都是
21.则“弄”可以代表的数最大是多少？
【考点】最值问题
【难度】☆☆☆☆
【答案】9
【分析】为表述方便，按汉字出现顺序设这十一个数分别为A/B/C/D/E/F/G/H/I/J/K，总和设为S，则，弄是“J”
，有
若从2以上开始，77 S ≥，不可能，所以这十一个数是1~11
则S=66，则1 2 4 5 6 1 2 3 5 7 1 2 3 4 8 18A F I G D ++++=++++=++++==++++分（1）（2）（3）情况讨论：
（1）H=12矛盾
（2）E=7矛盾
（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==+==+971610
811314K J H E C B J 最大为9。