华罗庚金杯赛模拟试题附答案详解

华罗庚金杯赛决赛模拟题（小学高年级组） 满分：150分 考试时间：90分钟一、填空题(每小题 10分，满分 80 分.)1. _______________..=⨯+÷⨯+⨯+⨯20410040416041936973123（改编自2008年决赛第1题）2. 设四边形ABCD 的对角线相互垂直即 AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 、I 、J 分别是CD 、CE 、CF 、AB 、HB 、IB 的中点，若∆ACD 、∆ACE 、∆ACF 、∆ACG 、∆BCA 、∆BCH 、∆BCI 、∆BCJ 的面积和为150平方厘米，而且AC=10厘米，则BD=______________ （改编自2011年初赛第9题）3. 如图汉字中，不同汉字代表不同的数字，相同汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所代表的数字，=""我喜爱数学 。

（改编自2011年初赛第10题）学学学学学数数数数爱爱爱喜喜我）+5. 已知2008被一些自然数除，所得余数都是10，那么这样的质数共有_____个（改编自2009年初赛第10题）6. 某工厂现加工一批零件，如果甲车间单独加工，则需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成。

现在两个车间同时工作，当加工工作完成32时，由于部分工人辞工，使得每天少加工25个零件 ，结果总共用了7天完成这批零件的加工，则这批零件一共有_______个（改编自2008年决赛第2题）ACBD576517. 一个数用十进制表示为540xy ，这个数刚好被99整除，请问x=____, y=_____（原创题，灵感来源：正整数整除特性）8. 九个圆圈中的字母各代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数,求E=___________（原创题，灵感来源：每条直线上的数之和相等）二、解答题（每小题10分，满分40分，要求写出简要过程） 9. 假设AB 两地相隔90千米，BC 两地相隔90千米。

甲车在ＡＢ两地之间来回，时速为60千米每小时；乙车在ＡＣ两地之间来回，时速为40千米每小时。

假设两车同时从Ａ地出发，求第一次相遇后。

两车经过多久时间能过再次相遇？（改编自2010年决赛第3题）10. 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？（原创题，灵感来源：数论知识中的奇偶性）11. 从1、2、3……30中选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有多少种选取方法？（原创题，灵感来源：抽屉原理）12. 一个旅馆里有6位住宿者A 、B 、C 、D 、E 、F,他们来自6个不同的国家，分别是韩国、朝鲜、日本、美国、英国和中国，已知（1） A 和日本人在喝茶， C 和朝鲜人在喝矿泉水，E 和韩国人在喝咖啡； （2） 美国人身高比A 高，中国人身高比B 高，F 最矮； （3） B 和日本人性别不同，C 和美国人性别不同。

（4） A 、B 、F 和英国人不吸烟，朝鲜人吸烟。

则A 、B 、C 、D 、E 、F 各来自哪个国家？（小组原创题，灵感来源：小学的时候做过一道类似的趣味竞赛题，考逻辑推理。

）三、解答题（每小题15分，满分30分，要求写出详细过程）13.甲乙丙从一个糖盒中依次取糖，甲取1个，乙取2个，丙取3个，甲取4个，乙取5个，A ABC ED F G H I丙取6个……以此类推，当有谁遇到盒中糖果数少如应取的糖果数，则全部取出并结束取糖。

已知甲乙比丙多拿一次，但最后个数最多的是甲，次之丙，而乙取得最少，且甲比乙总共多拿了20颗，问一开始糖盒中糖果数最多应该为多少（小组原创题）14. 图1是由数字0和1交替构成的。

现将图1拆分成若干个图3中的A 、B 、C 、D 、E ，要求最多拆分出1个E ，并将拆分后的A 、B 、C 、D 、E 的每个小格上全部加1或减1或保持不变，(例如A 可以由 变成 ，A 和B 的变化可以不同)，再将图形合并为原状，如此反复多次进行拆分合并形成图2。

试问图2中的A 格上的数字是多少？并说明理由。

（改编自2010年决赛第9题）1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 12 A 0 图1 图2 A B C D E图31 11 10 0 0 0华罗庚金杯赛决赛模拟题分析与解答1. 【考点】乘法分配率、计算【意图】这道题如果没有发现规律，直接计算可得，但过程繁琐；通过分配率的利用，发现数与数之间之间的关系，可以之间化简计算 【解答】340274112012322541202773123241254120341931237312320410040416041936973123=⨯⨯=+⨯++⨯=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯+÷⨯+⨯+⨯）（）（..2.【考点】三角形面积的转换【意图】考查学生分析问题的能力、逆向利用面积求边长 【解答】（厘米）（平方厘米）记垂足为由（平方厘米）得））（（则而由题意，可知同理可知的中点、、分别是、、又为底，则对应的高相等、、、若以可知，、、、对于208280BD 80BO AC 21DO AC 21BO AC 21S DO AC 21S OBD,AC S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S CF CE CD G F E CG CF CE CD ACG ACF ACE ACD BCA ACD BCA ACD BCA ACD BCA BCA BCA BCA ACD ACD ACD ACD BCABCJ BCA BCI BCA BCH ACDACF ACG ACD ACE ACF ACDACE ACE ACD =÷⨯=∴=⋅+⋅∴⋅=⋅=∴⊥=+=++++=+++++++========∴∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ 801508141211150814121814121814121812141212123. 意图：考察学生的推理能力、数值观察能力及计算能力。

考点：数大小的判断、进位思考、分类讨论思想 解答：可从个位上开始思考。

“学+学+学+学”的个位为5，则“学”可能是1、3、5、7、9。

当“学”=1时，不需进位，但4个“数”字相加，尾数不可能为7，所以“学”不为1； 当“学”=3时，进一位，则4个“数”字相加尾数为6只有4或9；当“数”=6时，进一位，则3个“爱”字相加尾数为5，则“爱”只能为5，此时进一位，则两个“喜”字相加为4，“喜”=2，则“我”=1；当“数”=9时，进三位，则3个“爱”相加尾数为3，则“爱”只能为1.但因为“我”=1，所以这种情况不成立。

当“学”=5时，进两位，则4个“数”相加尾数为5，不成立；当“学”=7时，进三位，则4个“数”相加，尾数为4，则“数”可能为1或6。

但因为“我”=1，所以“数”只能为6。

当“数”为6时，进两位，则三个“爱”相加尾数为4， 则“爱”=8，进两位，则两个“喜”相加等于3。

“喜”不为整数，所以不成立。

当“学”=9时，进四位，则4个“数”相加尾数为3，不成立。

故，只有“我”=1，“喜”=2，“爱”=5，“数”=4，“学”=3满足情况。

4.【考点】属于定义新运算问题、数论基础知识。

【意图】要求学生理解数论基础知识，数的相乘的个位上的数字的特征。

培养学生认真观察能力。

【解答】细心观察会发现从5！开始，一直到2014！的个位上的数字都是0，所以事实上1！+2！+3！+……+2014！的个位上的数字是1！+2！+3！+4！的个位上的数字。

1！+2!+3！+4！=1+2+6+24=33，所以1！+2！+3！+……+2014！的各位上的数字是3.5. 意图：考察学生的推理能力，以及对质数合数的概念的理解； 考点：质数、合数、约数；解答：先求出2008-10，即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件的所有自然数．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，373219983⨯⨯=，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合上述条件的自然数共有11个，分别为：12,18,27,37,54,74,81,111……，其中，只有37一个为质数，其他都为合数。

故答案是1个。

6.【考点】分数的意义、数据的处理 【意图】通过将总的工作量看做1，渗透整体的思想；通过对多个数据的分析，培养学生数学建模和应用能力。

【解析】个。

答：这批零件一共有（个））（因此零件的数量是，，而实际上每天完成了原来每天能完成（天），天，而实际用了的工作，原来需要余下的（天），，也就是用了工作完成（天），）（需时间是两个车间共同加工，所如果不遇到工人辞工，设总的工作量为45045091-6125913316123134-7231432632615110111=÷=÷=÷==⨯=+÷7.【考点】因数分解、数的整除、数字9的特殊性质、数的拆分 【意图】通过简单的整除问题，考查学生对问题的分析和转化能力以及对某些数字的特殊性质的认识。

【解析】。

，因此，整除。

被整除，即被整除，所以被。

整除。

易得，被因此，整除，而被整除。

和同样被，所以整除，而被因为4599904595401111014909115399911101539995401195401199999540==+++=+++++=++⨯=+++=⨯=y x y x y x y x xy y x y x y x xy xy xy8. 【考点】平均数的定义、奇偶性分析、数字推理 【意图】本题只要找到突破口，再一步步进行推理，便可快速解决，因此，学生对题目的观察和分析尤为重要，同时要求学生具备一定的推理能力，在推理的过程中，需要进行奇偶性分析，考查学生对知识的综合运用能力。

【解析】。

，所以，，5459459876543219333===++++++++=++=++++++++E E E H E B I H G F E D C B A ,五、 解答题（每小题10分，满分40分） 9. 答案为：5.4小时【考点】相遇追击问题的转换和解答【意图】首先，这道题甲乙两车在运动过程中的“相遇”具体是相遇问题还是追击问题是位置的，需要通过验算才能获得。

其次，这道题要求学生能够灵活转化甲乙两车的行驶方向，并判断两车的位置和距离。