初中圆的知识点归纳
初中数学圆的知识点总结归纳
初中数学圆的知识点总结归纳圆是数学中一个重要的几何概念，它在初中数学中占据着重要的地位。
以下是关于圆的知识点的总结归纳：一、圆的基本概念和性质：1.定义：圆是平面上一点固定到另一点的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，轨迹上的所有点到圆心的距离称为半径。
2.重要性质：-圆的直径是任意两点间的最大距离，它等于半径的两倍。
-圆的弦是圆上任意两点的连线段，弦的长度小于或等于直径的长度。
-圆的弧是圆上任意两点间的部分。
-圆心角是以圆心为顶点的角，它的角度等于所对应的弧的角度。
-弧长是弧上的一段连续的部分，它是整个圆周长的一部分。
-弦长是弦上的一段连线段的长度。
二、圆的相关计算：1.圆的周长：圆的周长等于圆周上一个完整的弧的长度，即C=2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个无理数，约等于3.142.圆的面积：圆的面积是圆内所有点的集合，圆的面积等于πr²，其中π是一个无理数，约等于3.143.弧长公式：给定圆的半径r和圆心角的度数θ，弧长等于2πr乘以圆心角度数的比值，即L=2πr×(θ/360°)。
三、圆与其他图形的关系：1.圆与正方形：正方形的对角线是圆的直径，正方形的边长是圆的半径。
2.圆与矩形：矩形的长和宽是圆的直径，矩形的边长是圆的半径。
3.圆与三角形：圆的外接圆与三角形的三条边相切，圆的内切圆与三角形的三边的中点相切。
4.圆与多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，则称这个圆为该多边形的外接圆；如果一个多边形的每条边都与同一个圆相切，则称这个圆为该多边形的内切圆。
四、圆的位置关系：1.同心圆：共用一个圆心的两个或多个圆称为同心圆，它们的半径相等，但圆周和面积不同。
2.内切圆和外切圆：如果两个圆恰好相切于一个点，则这两个圆是内切圆和外切圆，内切圆的半径小于外切圆的半径。
3.相交圆：两个圆在不止一个点上相交，这种情况有两种：交于两个点的情况和交于一个点的情况。
初二数学圆的知识点归纳总结
初二数学圆的知识点归纳总结在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，它是指平面上所有到定点的距离都相等的点的集合。
在学习圆的知识时，我们需要掌握圆的基本性质、公式和相关定理。
本文将对初二数学圆的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是指平面上到定点O的距离等于r的点的集合，O 为圆心，r为半径。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
3. 圆的稳定性：圆心和半径确定一个圆，改变圆心或半径会得到不同的圆。
二、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长C等于2πr，其中r为半径。
2. 圆的面积公式：圆的面积A等于πr²，其中r为半径。
3. 圆心角的弧度制：圆心角的弧度等于弧长与半径的比值。
三、圆的相关定理1. 同一个圆或等圆的弧长的度数是相等的。
2. 在同一个圆或等圆中，以圆心为顶点的角都是直角，其对应的弧都是半圆。
3. 圆内接四边形的两个对角和为180°。
4. 在一个圆中，半径垂直于弦，且七分弦等分圆的弧。
四、圆的常见问题类型1. 求圆的面积和周长：根据给定的半径或直径，应用相应的公式计算出圆的面积和周长。
2. 求圆的弧长：根据给定的半径或角度，利用弧长公式计算出圆的弧长。
3. 利用圆的性质解决几何问题：如证明两个三角形相似或全等、证明线段平行或垂直等等。
五、例题解析1. 已知圆的直径长为10cm，求其周长和面积。
解答：半径r = 直径/2 = 10/2 = 5cm，根据周长公式C = 2πr，将r = 5代入得到C = 2π * 5 = 10π cm，所以周长为10π cm。
根据面积公式A = πr²，将r = 5代入得到A = π * 5² = 25π cm²，所以面积为25π cm²。
2. 圆O的半径r = 8cm，弧AB所对的圆心角θ为60°，求弧AB的弧长。
解答：由弧长公式L = θ/360° * 2πr，将θ = 60°，r = 8代入，得到L = 60/360° * 2π * 8 = 4π cm，所以弧AB的弧长为4π cm。
初中数学圆知识点总结归纳
初中数学圆知识点1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
2.圆的有关概念(1)弦：连结圆上任意两点的线段。
(如右图中的CD)。
(2)直径：经过圆心的弦(如右图中的AB)。
直径等于半径的2倍。
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
(如右图中的CD、CAD)其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。
(4)圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4.过三点的圆。
(1)定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
(2)三角形的外接圆圆心(外心)是三边垂直平分线的交点。
5.垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：(1)①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6.与圆相关的角(1)与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
(2)与圆相关的角的性质AB①圆心角的度数等于它所对的弦的度数;②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; ③同弧或等弧所对的圆周角相等; ④半圆(或直径)所对的圆周角相等; ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等;⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
初中数学圆知识点总结
初中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为半径。
2. 圆的元素一个圆包括以下几个元素：- 圆心：圆的中心点，用O表示；- 半径：以圆心为端点的线段，用r表示；- 直径：穿过圆心的线段，用d表示；- 弦：圆上的两点间的线段，用AB表示；- 弦长：弦所对应的圆心角的对边，用l表示；- 弧：圆上的弦所对应的曲线部分。
3. 圆的相关术语（1）圆周：圆的边界。
（2）圆内：圆的内部。
（3）圆外：圆的外部。
4. 圆的定理定理1：圆的半径相等。
定理2：圆的直径是圆内任意两点之间的最长的线段。
二、圆的性质1. 圆心角圆心角是以圆心作为顶点的角，它所对应的弧的长度就是这个圆心角的度数。
圆心角的度数是以弧所对应的圆周角分之方式来确定的。
圆心角的度数等于这个弧长所对应的圆周角的度数。
2. 圆周角圆周角是以圆的周长作为顶点的角。
它的度数是圆心角的度数的两倍。
3. 切线切线是与圆相切的直线。
与圆相切的直线都有与圆心的连线垂直。
4. 弦长定理两条相同弦所对应的圆心角相等。
两条不同弦所对应的圆心角不等。
5. 弧长定理圆周角相等的弧相等。
圆周角不相等的弧不等。
6. 直角三角形中的圆如果一个直角三角形的两条直角边刚好是一个直径和一个切线，那么这个三角形是直径的垂直三角形。
7. 圆的垂直平分弦定理如果一个直径所对应的两个弦长度相等，那么这个直径垂直平分这个弦。
8. 点到圆的距离点到圆的距离是指点到圆的圆周上的任意一点的距离。
圆内的点到圆的距离为正。
圆外的点到圆的距离为负。
9. 切线定理当直线与圆相切时，切线与半径的夹角是90度。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长圆的周长就是圆的边界的长度，也就是圆的长度。
圆的周长可以用公式2πr来表示，其中r是圆的半径。
2. 圆的面积圆的面积就是圆的内部的面积。
圆的面积可以用公式πr²来表示，其中r是圆的半径。
初中 圆重要知识点总结
初中圆重要知识点总结一、圆的基本概念和性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个确定点的距离等于一个常数的点的集合。
这个确定点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的元素：在一个圆中，包括圆心、直径、半径、圆周和弧等元素。
其中，直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，而半径则是连接圆心和圆上一点的线段。
3. 圆的性质：（1）所有的圆都是共有的性质，包括一个圆的直径始终等于两个半径之和，以及圆周率π等于圆的周长与直径之比。
（2）圆内任意两点之间的最短距离是半径，而圆内的任意两点之间的最长距离是直径。
二、圆的相关定理和推论1. 圆的周长和面积：（1）圆的周长：圆的周长可以表示为C=2πr，其中r为半径。
（2）圆的面积：圆的面积可以表示为S=πr²，其中r为半径。
2. 弧长和扇形面积：（1）弧长定理：圆的弧长可以表示为l=rθ，其中l为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。
（2）扇形面积的计算：扇形的面积可以表示为A=1/2r²θ，其中A为扇形面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
3. 圆的相交与切线：（1）相交弦定理：如果两条弦相交于圆上一点，那么它们包围的弧长乘积相等。
（2）切线定理：切线与圆的交点与切点处的切线垂直。
三、圆的常见问题解题方法1. 圆的周长和面积问题：当题目给出了圆的直径或者半径时，可以利用圆的周长和面积公式进行计算。
2. 弧长和扇形面积问题：当题目给出了圆心角的度数时，可以利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。
3. 相交与切线问题：当题目涉及到相交弦定理和切线定理时，可以利用这些定理进行解题。
四、圆的常见应用1. 圆的运动学应用：在圆周运动和圆周角速度等方面，圆的知识经常被应用到物理学中。
2. 圆的工程应用：在建筑、设计、制图等方面，利用圆的性质可以进行工程设计和计算。
3. 圆的生活应用：在日常生活中，很多物体或者装饰物都具有圆的形状，因此圆的知识也经常被应用到生活中。
以上就是关于圆的重要知识点的总结，希望对初中生对圆的认识有所帮助。
初中有关圆所有知识点
初中有关圆的知识点一、圆的定义圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
固定点称为圆心，距离称为半径。
二、圆的元素1. 圆心：圆心是一个固定点，通常用大写字母O表示。
2. 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的两个点之间的距离，它等于半径的两倍。
4. 弦：弦是圆上任意两点之间的线段。
5. 弧：弧是圆上两个端点之间的一部分，通常用字母s表示。
三、圆的性质 1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上任意一段弧的长度。
周长公式为C = 2πr，其中π约等于3.14。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点构成的区域的大小。
面积公式为A = πr²。
3. 弧长和圆心角的关系：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧长等于圆周上相应的弧的长度。
4. 弦长和圆心角的关系：弦等于半径乘以弦对应的圆心角的正弦值。
四、圆的相关线段 1. 切线：切线是与圆相切并且只有一个交点的直线。
2. 直径和切线的关系：直径垂直于切线，且切线的切点在直径上。
五、圆的相关角度 1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
2. 直径所对的圆心角：直径所对的圆心角是一个直角，即90度。
3. 弧所对的圆心角：弧所对的圆心角等于弧两端相应的圆心角之和的一半。
六、圆的应用 1. 圆的运动：圆的运动是指一个物体以圆周运动的方式移动。
2. 圆的图形绘制：圆的形状可以用于绘制许多图形，例如时钟、轮子等。
3. 圆的几何问题：圆的性质在解决几何问题时经常被应用，如求弧长、面积等。
以上是初中阶段有关圆的一些基本知识点，掌握了这些知识，我们能够更好地理解和应用圆的相关概念，解决与圆相关的问题。
希望本文能够对你的学习有所帮助。
初中数学圆知识点总结归纳
初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中定点称为圆心，定长称为半径。
圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。
二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。
圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。
三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。
切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。
相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。
弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。
相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。
余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。
正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
初中数学圆的知识点总结
初中数学圆的知识点总结初中数学圆的知识点总结【一】一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O 叫圆心，线段OA叫半径。
由圆的意义可知：圆上各点到定点〔圆心O〕的间隔等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的间隔等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。
心的间隔小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的间隔大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的局部叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心一样，半径不相等的两个圆叫同心圆。
可以重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，可以互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角那么两个钝角之和》180°与三角形内角和等于180°矛盾。
不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
初中圆形几何知识点总结
初中圆形几何知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到一个点（圆心）的距离等于一个定长（半径）的所有点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、圆周、圆心角等。
3. 与圆有关的基本量：圆的周长、圆的面积等。
二、圆的周长和面积计算1. 圆的周长：圆的周长就是圆的边界的长度，计算公式为C=2πr，其中C为圆的周长，r为圆的半径。
2. 圆的面积：圆的面积就是圆内部的面积，计算公式为S=πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
三、圆心角与圆弧1. 圆心角：以圆的圆心为顶点的角称为圆心角。
2. 圆弧：圆弧是圆周的一部分。
四、切线、切点与切圆1. 切线：直线与圆相切时称为切线。
2. 切点：切线与圆相交的点称为切点。
3. 切圆：如何确定直线与圆相切呢？只需求圆心到直线的距离，若为半径则直线与圆相切。
五、相交圆与相切圆1. 相交圆：两个圆在平面上的位置关系，既不相离，也不相切。
（两圆无交集）2. 相切圆：两个圆在平面上的位置关系，其相交，且共有一点。
（两圆之间关系相交且只有一个交点）六、扇形与弧1. 扇形：两条半径所夹的区域，称为扇形。
圆心角为180°的扇形称为半圆。
2. 弧：任意两个点间的圆上的一段。
七、圆锥、圆柱与圆环1. 圆锥：以一个圆为底面，从底面的任意点引射线与一个固定点相交，这些射线构成的曲面称为圆锥。
2. 圆柱：以一个圆为底面，在底面的平行平面上，引射线与一个固定点相交，这些射线构成的曲面称为圆柱。
3. 圆环：由两个同心圆组成，外圆的半径减去内圆的半径，得到圆环的宽度。
八、解题技巧1. 圆与其它几何图形的问题：在解题中，可通过构造图形，利用已知条件，运用勾股定理、相似三角形等几何知识分析问题。
2. 圆的应用：在现实生活中，圆相关的知识经常用于推广广告、建筑建造等领域。
通过以上圆形几何知识的总结，我们可以有效地应对与圆相关的数学题，也可以更好地理解现实生活中的几何关系。
初中关于圆的知识点总结
初中关于圆的知识点总结一、圆的定义与性质1. 圆是平面上的一个几何图形，由平面上的所有与给定点的距离相等的点组成。
2. 圆的性质：圆上任意两点之间的线段叫做弦，通过圆心的弦叫做直径，直径是弦中最长的一条，直径恰好是半径的两倍。
二、圆的元素1. 圆心：圆的中心点，用O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
3. 直径：通过圆心的弦，用d表示，d=2r。
4. 弧：圆上两点之间的部分，用弧上任意两点表示，如AB表示弧上的一部分。
5. 弦：圆上任意两点之间的线段，如AB。
三、圆的计算1. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（圆周率），C=πd或C=2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，S=πr²。
四、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线的关系：a. 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，且交点在圆上。
b. 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点，且交点在圆上。
2. 圆与多边形的关系：a. 圆内接多边形：多边形的每个顶点都与圆相切，且多边形的边都在圆上。
b. 圆外接多边形：多边形的每条边都与圆相切，且多边形的顶点都在圆上。
c. 圆内切多边形：多边形的每个顶点都与圆相切，但多边形的边不一定在圆上。
五、圆的应用1. 圆在生活中的应用：a. 轮胎：轮胎是由圆形钢圈和橡胶圆环组成，圆形的结构使得轮胎更加稳定。
b. 餐盘：餐盘通常是圆形的，这样方便食物的摆放和旋转。
c. 钟表：钟表的表盘通常是圆形的，指针绕着圆形轨道运动，方便读取时间。
2. 圆在数学中的应用：a. 几何学：圆是几何学中最基本的图形之一，广泛应用于平面几何和立体几何的研究中。
b. 物理学：在物理学中，圆的运动是一种最简单的运动形式，例如行星绕太阳的轨道就是近似圆形的。
c. 统计学：在统计学中，圆形的统计图形如饼图常用于表达各个部分占整体的比例关系。
圆是平面几何中的重要概念，具有丰富的性质和应用。
初中圆知识点总结
初中圆知识点总结1、圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形。
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点组成的图形。
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点组成的图形。
4、同圆或等圆的半径相等。
5、到定点的距离等于定长的点组成的图形，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
6、和已知线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
7、到已知角的两边距离相等的点组成的图形，是这个角的平分线。
8、到两条平行线距离相等的点组成的图形，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。
9、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
11、推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆周角相等，所对的弦的弦心距相等。
15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、圆周角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。
16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（注：这是用来证明三角形是直角三角形的一种方法）20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（这个定理现在的书上没有）。
21、直线和圆的位置关系：①直线L和⊙O相交 d﹤r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d﹥r（其中：d表示直线到圆心的距离，r表示圆的半径）22、切线的判定定理：经过半径的外端（或者直径的一端）并且垂直于这条半径（或这条直径）的直线是圆的切线。
初中圆知识点归纳总结
初中圆的知识点归纳总结：
1. 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2. 圆的性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆有无数条对称轴。
3. 圆的半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径，用字母r表示。
4. 圆的直径：通过圆心且两个端点都在圆周上的线段叫做圆的直径，用字母d 表示。
5. 圆直径与半径的关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。
6. 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，圆心角的大小与所对的弧长有关。
7. 弧长与扇形面积：在同圆或等圆中，弧长与扇形面积成正比关系。
8. 圆的周长：圆的周长等于2πr，其中r为圆的半径。
9. 圆的面积：圆的面积等于πr²，其中r为圆的半径。
10. 直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系，分别是相交、相切和相离。
11. 切线与切线长：过圆外一点作圆的切线，这一点到切点的线段叫做切线，圆的切线长度叫做切线的长度。
12. 正多边形与圆的关系：正多边形的外接圆直径叫做正多边形的直径，正多边形的内切圆直径叫做正多边形的半径。
13. 弧长公式：弧长公式可以用来计算弧长，其公式为L = nπr/180，其中n 为扇形的圆心角度数，r为扇形的半径。
14. 扇形面积公式：扇形面积公式可以用来计算扇形面积，其公式为S =
nπr²/360，其中n为扇形的圆心角度数，r为扇形的半径。
15. 圆的切线定理：圆的切线定理指出，圆的切线垂直于经过切点的半径。
初中圆知识点归纳总结
初中圆知识点归纳总结1. 圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的全体构成的集合。
定点称为圆心，定长称为半径，记作圆O，半径r，圆上的任意一点A到圆心O的距离等于r，即OA=r。
2. 圆的性质（1）圆的性质a. 圆上任意两点之间的距离相等。
b. 圆的半径相等。
c. 圆的直径是圆的两个半径之和。
d. 圆的直径上任意一点到圆的直径上的另一点的距离等于圆的半径。
e. 直径是圆上最远的两个点。
（2）圆的其他相关性质a. 圆周角是圆周上顶点为圆心的角，它的度数是圆心角的一半。
b. 圆内接四边形的对角和相等。
3. 圆的相关定理（1）圆的相关定理a. 圆心角定理：圆的内部任一点的圆心角是不变的，且为180°的倍数。
b. 弦长定理：圆内一条弦的长度等于两条弦的长度之积等于其中线所分你的两条弦的长度之积。
（2）圆的面积和周长a. 圆的周长：L=2πr，其中r为圆的半径。
b. 圆的面积：S=πr^2，其中r为圆的半径。
（3）圆的位置关系a. 外切圆：如果两圆相切于一个点，且这个点不在任何一个圆内，称这种情况为外切。
b. 内切圆：如果一个圆与另一个圆相切于一个点，且这个点在另一个圆的内部，叫做内切情况。
4. 圆的应用（1）圆的应用a. 圆的运动相关问题：圆的运动轨迹、速度、角度等问题。
b. 圆柱、圆锥与圆盘的相关问题：求体积、表面积等。
c. 圆的相关方程：圆的方程、圆心角、弧度相关的方程等。
d. 圆的几何问题：圆的切线、弦、圆心角等。
（2）圆在生活中的应用a. 圆形的物体：圆形的球、圆盘、车轮等。
b. 圆形的园艺艺术：园林建筑中的圆形花坛、喷泉等。
通过上述的总结，我们可以看出圆是一个非常重要的几何概念，在初中数学学习中有广泛的应用。
掌握好圆的定义、性质、相关定理和应用对于学生的数学学习都有重要的意义。
希望学生通过认真学习，灵活应用，能够牢固掌握圆相关知识，为今后的学习打下坚实的基础。
初中《圆》知识点及定理
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点
一、定义
1、圆是平面上一种特殊的曲线，它满足以下两个条件：
（1）任意两点到圆心的距离相等；
（2）圆上的任意一点，可以以圆心为中心，过这一点作圆的圆周，且这个圆周上的任意一点都等距离圆心。
2、定义：圆：平面上一点为圆心，到圆心的距离一定的曲线叫圆，这个固定的距离叫圆的半径。
二、圆的相关概念
1、圆心：圆的中心点。
2、半径：指从圆心出发，连接圆上任意一点的线段的长度。
3、圆弧：圆上的一段弧形，可以看作是圆的一部分。
4、圆周：圆的一周的弧形，也叫圆的周长。
5、圆心角：圆上的任意两点连接的线段所形成的角，叫圆心角。
6、切线：切圆弧的线段，叫做切线。
7、圆心的夹角：圆上任意两条切线所成的夹角。
8、切点：切线与圆弧公共的一点，叫做切点。
三、圆的性质
1、任意一点到圆心的距离相等，半径r=OC=OD。
2、圆上，任意两点之间的距离相等。
3、圆上任意两点的连线，其长度都等于直径的2倍。
4、圆周的周长等于圆的直径的2倍乘以π，公式：C=2πr。
5、圆的面积A=πr²。
6、圆心角是任意一点到圆心的连线和圆的直径的线段的所成的角，它的度数与圆的弧长满足：圆心角的角度=弧长/半径。
四、圆的有关定理。
圆的全部知识点总结初中
圆的全部知识点总结初中一、基本概念圆是平面上的一个几何图形，由平面上离一个固定点距离不超过一定值的所有点组成。
这个固定点称为圆心，这个固定距离称为半径。
圆的边界叫做圆周，两个半径的端点连线叫做直径。
圆的基本元素包括圆心、半径、圆周、直径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等在同一个圆中，所有的半径都相等，这是圆的基本性质之一。
2. 圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的重要属性。
圆的周长可以通过公式C=2πr进行计算，其中r为半径，π为圆周率。
圆的面积可以通过公式A=πr^2进行计算。
3. 弧和角圆的圆周可以被分成若干个弧，当弧的长度正好等于半径时，这个角称为圆心角。
圆周上的任意一点和圆心之间的连线称为弧，圆周上的弧相对于圆心的角称为弧度。
4. 圆心角的性质在同一个圆中，圆心角的度数是弧长半径的两倍。
即圆心角的度数等于以这个角所对应的弧长所对应的圆心角的弧长的两倍。
5. 弧长和扇形面积弧是圆周的一部分，它的长度可以通过公式L=2πr×(α/360)进行计算，其中α为对应的圆心角的度数。
扇形是圆心角对应的部分，它的面积可以通过公式S=πr^2×(α/360)进行计算。
6. 相交圆的性质当两个圆相交时，它们的交点可以构成两个弧和四个圆心角，根据圆的性质可以得到诸多推论。
7. 圆与直线的关系圆与直线的关系包括内切、外切、相交、相离等情况，而且这些关系会受到垂直角、周角、对顶角等角的影响。
8. 圆的应用圆是几何学中最基本的图形之一，它在生活中有着广泛的应用。
例如，圆形的轮子、钟表、铁路、汽车轨道等都离不开圆的几何原理。
三、常见的圆的定理1. 切线定理当直线与圆相切时，切线与圆的切点之间的连线垂直于半径。
2. 圆的对称性圆具有各种对称性，包括中心对称、轴对称等。
3. 圆心角和弧的关系圆心角和其所对应的弧的关系是两者之间的重要性质，可以帮助解决各种与圆相关的题目。
四、圆的相关解题技巧1. 圆的基本计算掌握圆的周长和面积的计算公式是解题的基础。
初中数学九年级上圆的知识点
初中数学九年级上圆的知识点圆是初中数学九年级上的一个重要知识点，下面将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理以及圆的应用等方面进行论述。
一、圆的定义圆是平面上的重要几何图形之一，是由与一个定点距离相等的所有点构成的集合。
这个定点称为圆心，距离称为半径，用字母r表示。
圆通常用圆的轮廓线表示，在数学表达中用字母O表示。
二、圆的性质1. 圆的任意两点到圆心的距离相等。
这意味着圆上的每一个点到圆心的距离都相等，即圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
直径的长度是半径的两倍。
3. 圆的弦是圆上任意两点之间的线段。
弦不一定通过圆心，可以在圆内或圆外。
4. 圆上的切线垂直于半径。
切线是与圆相切的线，与圆的切点处的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 弧与角的关系圆上的弧对应的圆心角是两个端点在圆心所对应的角，它们的度数相等。
2. 弧长与圆周角的关系圆的弧长是圆心角所对应的弧所在圆的一部分的长度，弧长等于这个圆心角所对应的圆周角度数的比值。
3. 弦长与弦心角的关系弦上的弦长是弦心角所对应的弦所在圆的一部分的长度，弦长等于这个弦心角所对应的圆周角度数的比值的2倍。
4. 割线定理割线是两个切点之间的线段，割线上的两个切线段长度乘积等于这条割线与这两个切点之间的弦段长度乘积。
四、圆的应用1. 圆的测量圆的周长等于圆周上的任意一段弧长，即C=πd或C=2πr，其中d为直径，r为半径。
圆的面积等于圆内所包围的面积，即S=πr²。
2. 圆的位置关系两个圆之间的位置关系可以分为外切、内切、相交、相离四种情况，通过判断两个圆心的距离与两个圆的半径之间的关系可以确定两个圆的位置关系。
3. 圆的轴对称与旋转对称圆具有轴对称性和旋转对称性，利用这个特性可以解决一些与圆相关的问题。
综上所述，圆是初中数学九年级上的重要知识点，通过对圆的定义、性质、相关定理和应用进行论述，可以帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，提高数学学科的学习成绩。
完整版)初中圆的知识点归纳
完整版)初中圆的知识点归纳圆的知识点复圆是数学中的基本图形之一，下面是一些关于圆的知识点。
一、圆的概念圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合，也可以看作是到定点的距离等于定长的点的轨迹。
以定点为圆心，定长为半径的圆，就是到定点的距离等于定长的点的轨迹。
此外，还有垂直平分线、角的平分线、到直线的距离相等的点的轨迹和到两条平行线距离相等的点的轨迹等。
二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种情况：点在圆内、点在圆上和点在圆外。
点在圆内时，到圆心的距离小于半径；点在圆上时，到圆心的距离等于半径；点在圆外时，到圆心的距离大于半径。
三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
直线与圆相离时，直线与圆没有交点；直线与圆相切时，直线与圆有一个交点；直线与圆相交时，直线与圆有两个交点。
四、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切和内含。
外离时，两个圆没有交点且外圆的半径大于内圆的半径加上它们的距离；外切时，两个圆有一个交点且外圆的半径等于内圆的半径加上它们的距离；相交时，两个圆有两个交点且它们的距离小于外圆的半径减去内圆的半径；内切时，两个圆有一个交点且外圆的半径等于内圆的半径加上它们的距离；内含时，两个圆没有交点且内圆的半径大于外圆的半径减去它们的距离。
五、垂径定理垂径定理指出，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
此外，还有推论1，即平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
这些定理可以互相推导。
1.圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在圆O中，因为AB∥CD，所以弧AC=弧BD。
2.圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
也称为1推3定理，即如果知道其中的一个结论相等，则可以推出其他三个结论。
例如在圆O中，有以下结论：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；③OC=OF；④弧BA=弧BD。
初中数学圆的知识点
初中数学圆的知识点初中数学圆的知识点概述一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆的中心点，通常用字母O表示。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
4. 直径（d）：通过圆心的圆上两点之间的线段，是半径的两倍长，用d表示。
5. 弦（c）：圆上任意两点之间的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定。
10. 切线（t）：与圆只有一个交点的直线。
二、圆的基本性质1. 半径性质：圆上任意两点间的所有线段中，直径是最长的。
2. 圆周角定理：圆周上同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
3. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
4. 弦切角定理：从圆外一点引两条切线，这两切线与过该点的直径所成的角相等。
5. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（S）：S = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360)πr²，其中θ是扇形的中心角，单位为度。
4. 弓形面积：S = (θ/360)πr² - (θ/360)rθ/2，适用于扇形减去三角形的部分。
5. 圆环面积：S = π(R² - r²)，其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：通过圆心作直线的垂线，可以判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
2. 圆与圆的位置关系：两圆的圆心距与半径之和、差相比较，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内含、内切、同心）。
3. 圆的切线问题：求作圆的切线，以及切线与圆的交点问题。
4. 圆的滚动问题：解决圆在直线或曲线上滚动时的周长、直径、面积的变化问题。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，固定圆规的宽度，绕圆心旋转一周即可画出圆。
初中圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内?d r<?点C在圆内;2、点在圆上?d r=?点B在圆上;3、点在圆外?d r>?点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离?d r >?无交点;2、直线与圆相切?d r =?有一个交点;3、直线与圆相交?d r <?有两个交点;A1四、圆与圆的位置关系外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-;五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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《圆》章节知识点复习
一、圆的概念 集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；
2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；
3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；
A
2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；
3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；
五、垂径定理
图1
图2
图4
图5
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
B
D
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
B
A
B
A
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
∴ 2
PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
D
B
A
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的
的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆
中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213
V r h π=
l
O
C 1
D 1。