2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程
2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
2.1.2 求曲线的方程
问题探究
例1 两个定点的距离为6，点M到这两个定点的 距离的平方和为26，求点M的轨迹方程. 解：如图，取过两定点A、B的直线为x轴，线段 AB的中点O为坐标原点，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)为轨迹上一点，A(-3,0)，B(3,0) y 则，点M满足： M |MA|2+|MB|2=26 这就是所 由两点间距离公式，得 求的轨迹
B
C
M
O
A
x
巩固练习
设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，P 为线段MN的中点，求点P的轨迹方程.
y
变题1：设定点M(-3,4)， 动点N在圆x2+y2=4上运 动，若点P满足： NP 2 PM 求点P的轨迹方程.
M
P
N O x
变题2：设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运 动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP， 求点P的轨迹方程.
高二下数学A 选修2-1
2.1.1 求曲线的方程
求曲线的方程一般 步骤 求曲线的方程的常 用方法
复习引入
曲线
关系式
条件
坐标系
方程
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的集合 或适合某条件的点的轨迹）上的点与一个二元 方程f(x, y)=0的实数解建立了如下的关系： ①曲线上的点坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程f(x, y)=0叫做这条曲线的方程，这 条曲线C叫做这个方程的曲线
1. 求轨迹方程中的关键 步骤是“构建条件”； M 2. “构建条件”的核心是 寻找包含动点的等量 关系； O 3. “找等量关系”的技巧 是“动”与“定”的联系与转化. C
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
曲线与方程(两课时精品)
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合 条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 简记：符合条件的都在曲线上 即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.
x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点 的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用 待定系数法或直接法求解；求未知类型 的曲线方程，有代入法、参数法、定义 法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考： 如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习： 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
2.1.1-2.1.2曲线与方程
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
∴ y = x ( y 4)
2
2 2 2
2
∴ y x y 8 y 16 2 ∴ x 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
化简
思考:( P 练习第 3 题)
37
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 y 轨迹方程. B
f1 ( x, y) f 2 ( x, y) f3 ( x, y) f n ( x, y) 0
则曲线C是由：
f1 ( x, y) 0, f 2 ( x, y) 0, f3 ( x, y) 0,, f n ( x, y) 0
表示的曲线的全体构成的。
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
B
C
D
①表示 B ②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) D A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是 曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是 全部
复习回顾:
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.1.2 求曲线的方程
0＋9＋x1 x＝ ， 3
x1＝3x－9， 所以 y1＝3y.
因为点C(x1，y1)在曲线x2－y2＝18上运动，所以(3x
－9)2－(3y)2＝18，整理得(x－3)2－y2＝2，为所求轨迹方 程． 点评：代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y) 与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动 点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，
变 式 迁 移
1．若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，
且kMA· kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是什么？ 答案: x2＋y2＝1(x≠±1)
栏 目 链 接
题型二 例2
定义法求曲线方程 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的
任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P(x，y)为线段 OQ 的中 1 点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为 ，0. 2 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上，所以圆的 12 1 方程为x－ ＋y2＝ (0<x≤1)． 2 4
代入法求曲线方程
例3 已知△ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别为
A(0,0), B(9,0)，顶点C在曲线x2－y2＝18上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析：设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，顶点 C(x1，y1)， 则由三角形重心公式得
栏 目 链 接
0＋0＋y y＝ ， 3
2
＋
(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
互动探究 1 → → OP·QF， 其他条件不变， 的方程． 其他条件不变， 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
→ → 若本例中的等式关系改为QP 若本例中的等式关系改为 ·FP ＝
解：设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． ， ， － ， ． → → → → 由QP·FP＝OP·QF， ，－y)， 得(x＋1,0)·(x－1，y)＝(x，y)·(2，－ ， ＋ － ， ＝ ， ，－ 2 2 2 2 ∴x －1＝2x－y ，∴x ＋y －2x－1＝0. ＝ － － ＝ 2 2 即轨迹 C 的方程为 x ＋y －2x－1＝0. － ＝
定义法求曲线方程 如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲 线的定义， 线的定义 ， 则可直接利用这些已知曲线的方 程写出动点的轨迹方程． 程写出动点的轨迹方程． 例2 长为 的线段的两个端点分别在 轴 、 y 长为4的线段的两个端点分别在 的线段的两个端点分别在x轴 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 思路点拨】 【 思路点拨 】 利用直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半， 求出中线长， 等于斜边的一半 ， 求出中线长 ， 再利用圆的 定义求中点的轨迹方程． 定义求中点的轨迹方程．
动点M在曲线 上移动， 和定 动点 在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定 在曲线 上移动 连线的中点为P， 点的轨迹方程． 点B(3,0)连线的中点为 ，求P点的轨迹方程． 连线的中点为 点的轨迹方程
设M，P点坐标 → 由中点坐标公式列方程 ， 点坐标
例3
【思路点拨】 思路点拨】
点坐标表示M点坐标 点坐标代入曲线x → 用P点坐标表示 点坐标 → 把M点坐标代入曲线 2＋y2＝1 点坐标表示 点坐标代入曲线 → 得P点的轨迹方程 点的轨迹方程
高二选修曲线方程教学案及课后巩固试题
§2.1.1 曲线与方程（1）学习目标1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．P 34~ P 36，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线A O （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2xy x=(2) 222x y x x-=- (3) log ax y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升 ※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证． 求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等． ※ 当堂检测1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2xy x=B ．y =C ．y =D ．2log2xy =2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足O C=αO A +βOB，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB=，则点p 的轨迹方程是课后作业1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）学习目标1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．P 36~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升 ※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 当堂检测1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是 ． 5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ．课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线C A 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线C A 垂直的直线C B 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．曲线和方程（一） 随堂巩固1．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ） A ．2x y x y ==与 B ．0)2)(1(0)2()1(22=+-=++-y x y x 与C ．11==xy xy 与 D ．x y x y lg 2lg 2==与2．方程x xy x =+2的曲线是（ ）A ．一个点B ．两条直线C ．一条直线D ．一个点和一条直线3．的值为上，则）在曲线，（a ay x P 13222=--4．若点到原点的距离为上，则在曲线（),(9),22 y x y x y x =+5．以（5，0）和（0，5）为端点的线段方程是强化训练1．方程0)4()42222=-+-y x （表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．四条直线D ．两条直线2．已知的值上，则在曲线点αααπα3)2()sin ,(cos ,2022=+-<≤y x P 3．曲线轴的交点坐标是与x y x y xy x 044322=-+---4．的值、，求轴上截距为，在轴上截距为在n m y x n my y xy x 210222-=-++-5．已知点上也在曲线上，在曲线（0),(0),(),==y x g P y x f y x P )(0),(),(R y x g y x f P ∈=+λλ上在曲线求证：曲线和方程（二）1．方程022=-y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线B ．两条平行直线C ．两条相交直线D ．以上都不对 2．两曲线10102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离是 3．△30202的长度为），中线，）和（，的坐标分别是（、中，若AD C B ABC -则点A 的轨迹方程是（ ）A ．322=+y x B ．422=+y x C ．)0(922≠=+y y x D ．)0(922≠=+x y x4．到直线0534=-+y x 的距离为1的点的轨迹方程是（ ）A ．03401034=+=-+y x y x 和B ．013401034=-+=-+y x y x 和C ．03401034=+=++y x y x 和D ．013401034=++=++y x y x 和 5．方程036422=-+-y x y x 表示的图形是（ ）A ．直线032=++y xB ．直线02=-y xC ．直线032=++y x 或直线02=-y xD ．直线032=+-y x 或直线02=+y x 6．线段满足动点，互相垂直且平分于点与P b CD a AB O CD AB ,2,2==的轨迹方程，求动点P PD PC PB PA ⋅=⋅7．已知点的轨迹方程，求点，且的距离之和为、到两定点M AB B A M 812=曲线和方程（三）1．已知），，（）、，（4201B A -△的轨迹方程是，则动点的面积为C ABC 10（ ）A ．0163401634=+-=--y x y x 或B ．024*******=+-=--y x y x 或C ．024*******=+-=+-y x y x 或D ．024*******=--=+-y x y x 或 2．到两条平行线0948012=--=--y x y x 与的距离相等的点轨迹方程是 3．已知点点的轨迹方程是，则满足），动点，（）、，（P PO PA P A O 22100=（ ）A ．05423322=--++y x y xB ．05423322=---+y x y x C ．05423322=-+++y x y x D ．05423322=-+-+y x y x4．已知点P 是曲线2x y =上的动点，)0,4(Q ，则线段PQ 的中点的轨迹方程为 5．线段P AB y x AB 中点轴上滑动，则轴、，它的两个端点分别在的长度是10的轨迹方程是曲线和方程检测1．两曲线0102=++-=y x x y 与交于两点，此两点间的距离（ ） A ．小于2 B ．等于2 C ．等于2 D ．大于22．曲线m x y x x y +=+-=与22有两个交点，那么（ ）A ．R m ∈B ．)1,(--∞∈mC ．1=mD ．),1(+∞∈m3．曲线必定，那么曲线的交点为和（0),(),(0),(0),2121=-==y x F y x F P y x F y x F （ ） A ．经过P 点 B ．经过原点 C ．不一定经过P 点 D ．经过P 点和原点 4．直线05032=+=-+xy y x 被曲线截得的线段长为（ ）A ．25 B ．5 C ．255 D ．2575．已知一条曲线，它上面的每一个点到，轴的距离的差都是）的距离减去它到，（220x A则这个曲线的方程是6．一条线段的长等于10，两端点上且在线段轴上滑动，轴和分别在、AB M y x B A的轨迹方程是，则M MB AM 4=7．已知曲线对称的曲线方程求它关于直线02,2=--=y x x y8．动点P x P P 度，求动点轴的距离多一个单位长到）的距离比，到定点（41的轨迹9．若点9910023222026494),ba b a b a a y x y x b a M +⋅⋅⋅+++=+--+上，求在曲线（的值10．过定点点轴相交于与，且与线）任作互相垂直的两直（M x l l l b a A 121,的轨迹方程中点点，求线段轴相交于与P MN N y l 2。
2021_2022高中数学第二章圆锥曲线与方程1曲线与方程2求曲线的方程3课件新人教A版选修2
2.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
【学习要求】 1．掌握求轨迹方程时建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程
的四个步骤以及利用方程研究曲线五个方面的性质． 2．掌握求轨迹方程的几种常用方法． 【学法指导】
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程研究曲线的 性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用和数形结合思想.
因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0. 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程应是 y＝18x2 (x≠0)． 小结 (1)求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程也 不同．
(2)求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上点 的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上的点 应注意剔除．
例 2 讨论方程 y2＝1－x2x (x≥0)的曲线性质，并画出图形． 解 (1)范围：∵y2≥0，又 x2≥0，∴1－x>0. 解得 x<1，∴0≤x<1. 又当 x＝0 时，y＝0，∴曲线过原点． 当 x→1 时，y2→＋∞，∴y2≥0. 综上可知，曲线分布在两平行直线 x＝0 和 x＝1 之间．
当堂检测
1．在△ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，BC
边上的中线的长度为 5，则 A 点的轨迹方程是 ( D )
AHale Waihona Puke x2＋y2＝5B．x2＋y2＝25
C．x2＋y2＝5 (y≠0) D．x2＋y2＝25 (y≠0)
解析 BC 的中点为原点，BC 边上的中线长为 5，即 OA ＝5.设 A(x，y)，则有 x2＋y2＝25 (y≠0)．
知识要点
1．解析几何研究的主要问题： (1)根据已知条件，求出__表__示___曲__线__的__方__程____； (2)通过曲线的方程，研究_曲__线__的___性__质______．
2.1.2_求曲线的方程
练习2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨 迹方程.
( x 3) 2 y 2 48 x 2 y 2 25
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MB⊥x轴，垂足是B，
MF MB 2
( x 0) 2 ( y 2) 2 y 2 1 2 y x 8
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是
M 1 A 5( y12 6 y1 13) ;
M 1 B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
2 2
5( y 6 y1 13).
2 1
M1 A M1 B .
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程.
x
O
A(6,0)
特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的
变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.
练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为 x, y , 点P的坐标为 x 0 , y 0 , 则 2 x x0 3, x0 2 x 3, 又 x 0 , y0 在圆x 2 y 2 1上, 2 y y0 , y0 2 y. 3 2 1 2 2 2 2x 3 4y 1, ( x ) y . 2 4
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考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1-2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2-1，2-2，2-3 选考内容（三选二）：选修4-2，4-4，4-5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生数学④必修第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/2文科必考内容：数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数3.4 生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图理科必考内容：数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用理科选考内容（三选二）：数学选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用数学选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1. 柱坐标系2. 球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1. 渐开线2. 摆线数学选修4-5不等式选讲第一讲不等式与绝对值不等式一不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
曲线方程
§2.1.1 曲线与方程1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．知识理解：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F x y=之间，(,)0如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y=的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y=的曲线．F x y=叫做这条曲线C的方程；曲线C叫做这个方程(,)0注意：1︒如果……，那么……；2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)=±．k k>的点的轨迹方程式是xy k变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y-=吗？例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)C．中线AO（O为B-，(2,0)A，(2,0)原点）所在直线的方程是0x=吗？为什么？例3有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到(0,3)A的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．例4已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．变式训练． 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．【巩固练习】1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2xy x = B ．y = C ．y = D ．2log2x y = 2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1， 则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥6．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个 7．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙= ,则点P 的轨迹方程是 ．8．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ．9．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ． 10．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．11. 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？12. 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．13．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。
最新8-曲线与方程
8-曲线与方程第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程教材分析曲线与方程是人教A版高中数学选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第一节的内容，这一节具有承上启下的作用，在前面必修2部分已经学习了“直线的方程”、“圆的方程”.曲线与方程是它们的上位概念，学生的学习是上位学习.在已有学习的基础上，进行由“特殊”到“一般”的进一步抽象提升，引出一般意义上曲线与方程的关系，体验“数”与“形”的转化与结合，领会解析几何的基本思想方法——坐标法.同时介绍“求曲线的方程”的通法，为后续学习圆锥曲线等储备理论基础.课时分配本课时是曲线与方程的第一课时，主要解决的是曲线与方程的关系和曲线方程与方程曲线的概念，为下一步用方程研究曲线的性质做好铺垫.教学目标重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念；体会解析几何的核心思想方法——坐标法.难点：由特殊的“直线与圆”的方程，抽象出一般的曲线与方程的概念.知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值.教育点：结合直线、圆或者其他图形的方程的研究过程，解释求一般的曲线方程的步骤和过程.自主探究点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究.易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，说明中的自变量范围的界定.拓展点：链接高考.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式诱思探究一、创设情境师：在必修2关于几何问题的学习中，我们讨论的对象是直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中主要做的应该是什么呢？生：用解析的方法，用方程来研究.师：那么借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题了?生：直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.师：本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.【设计意图】从学生的认知基础出发，讨论初中、高中在研究直线、圆两个几何对象的异同点.高中主要是对这些几何对象和它们间的关系用代数的、主要是方程的方法、方程的语言做了重新的描述，于是，这些几何对象、几何关系就成为了代数的对象、代数的关系，实现了几何问题代数化.把借助形象、综合的几何性质进行推理的问题变成了代数运算问题（机械化，借助于几条稳定的而可靠的运算性质得到更为丰富的结论），对对象的认识更加准确. 进一步激发学生对一般曲线与方程关系的研究兴趣.二、探究新知先请学生独立解决如下几个问题：例1 写出下列曲线的方程⑴第一、三象限角分线⑵圆()4122=+-y x 关于y 轴的对称图形 ⑶设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.例2 写出下列曲线的方程-22yxo -22学生独立解决的过程中教师进行巡视、观察，了解学生在解决问题过程中的智慧与困难，然后组织学生将自己的想法和困惑在全班交流.师：大家觉得这些题目哪个最熟悉，解决起来很容易？生：例1中前两个题目.师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？生：例2的题目.师：哪个解决起来最困难？生：例1（3）.【设计意图】学生会根据自己对题目的熟悉程度，将问题分类，这些问题有旧有新，通过组织学生交流反思，引导学生不断认识自己的发展.（1）对熟悉的曲线如何求出方程师：好，那我们从大家认为最简单的问题说起.例1（1）的方程是什么？生1：x y =师：这个方程怎么得到的？生1：第一、三象限角分线是直线，倾斜角是45︒, 所以斜率是1.师：只有斜率就确定直线了？生1：直线过原点.师：很好，她发现角平分线是一条直线，确定直线需要两个要素（一点一斜率或两点），她抓住了一点一斜率，确定了直线的方程.例1（2）的方程是什么？生2：()4122=++y x . 师：这个方程怎么得到的？生2：由已知圆的方程求出圆心和半径，再根据对称性求出所求圆的圆心坐标为()0,1-，半径不变.师：好，圆()4122=++y x 关于y 轴的对称图形还是圆，他抓住了确定圆的两个要素：圆心和半径得到了对称后圆的方程.师：大家为什么觉得这两个题目比较简单，容易写出方程？生：图形比较明确，就是熟悉的直线和圆.师：对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）利用待定系数的方法就可以直接写出方程了.（2）对看似熟悉，但不“完整”的曲线如何求出方程师：哪些题目看似熟悉，但又与我们之前学习的曲线不太一样？生：例2的题目.师：好，那我们把大家的答案一起交流一下.例2（1）的方程是什么？生3：)0(1≠=y x .师：为什么要加一个限制条件？生3：因为图像与x 轴的交点被抠掉了.在方程中就要把0,1==y x 这个解去掉.师：如果不加限制，这个方程所表示的曲线是什么？生3：垂直于x 轴的整条直线！师：例2（2）的方程是什么？生4：)10(01≤≤=-+x y x .师：为什么要加这个范围？生4：图形是线段，是直线的一部分.在方程中就要给x 加限制.师：能不能不给x 加限制，只给y 加限制？如10≤≤y .生：可以，它们是一一对应的.师：我也看到有的同学把限制条件写成0≥x 或1≤x ，这样可以吗？生：不行，这样方程代表的是射线不是线段.师 ：例2（3）的方程是什么？生：)10,10(122≤≤≤≤=+y x y x .师：为什么刚才只给一个变量加以限制，现在要加两个?生：一个x 对应两个y .师：如果不给y 加限制，即)10(122≤≤=+x y x ，那么这个方程表示的曲线是什么？ 生：左半个圆.师：很好.通过这个例子我们看到仅仅使得曲线上点的坐标都满足方程，会出现方程的解不在曲线上的情况，所以就要对方程中的变量加以限制，使得方程的解所对应的点都在曲线上.才能说得到的方程是这个曲线的方程.由此，得出本节课的核心概念——曲线的方程、方程的曲线.并通过板书说明这一概念的本质是曲线上的点与方程的解之间的一一对应的关系.曲线与方程可以看作是同一事物的两种不同的表现形式，曲线的方程是曲线的代数形式，方程的曲线是方程的几何形式，曲线的性质可以在方程中体现出来，方程的性质也可以通过曲线反映出来.【设计意图】求曲线的方程，学生在直线与圆的部分已有学习经验，但是由于此前都是能够直接从几何性质出发通过代数推理得到不需要考虑x ，y 范围的方程问题，也就是对于直观的几何性质全部代数化的认识还不系统，比如，线段与直线的区别表现在方程中就是变量的取值范围，这就导致学生认识到说明“得到的方程的解与曲线上的点一一对应”的必要性，而这恰是本节课的教学重点，也即形成“曲线的方程和方程的曲线的概念”，因此，这里通过设计可能暴露学生认识缺陷的问题，通过对话澄清、强化概念.（3）对不熟悉的曲线，如何求出方程例1（3）：设动点M 与两条坐标轴的距离的积是1，求动点M 的轨迹方程.师：大家为什么认为这个问题比较难解决？生：不知道图形是什么样.曲线的方师：对于这个曲线，我们仅凭题目中对它几何特征的描述，很难想象出它的图像，这时就体现出解析几何的好处了，我们可以先建立这个曲线的方程，然后利用方程来研究这个曲线.对于我们不熟悉的曲线，怎样获得它的方程呢？（可类比圆的方程的获得过程）生5：在曲线上任取一点()y x ,，则它方程为1=xy .生6：应该是1=⋅y x ，或1±=xy ，或()01≠±=x xy 师：为什么加绝对值了？生：是距离的乘积.师：很好，在写方程时我们要将几何条件全部代数化，要注意题目中的关键信息——距离.另外，用不用给x 加限制条件？生7：不用，0=x 的点不在曲线上.师：很好.0≠x 这个条件已经隐含在方程中了，就不用加这个限制条件了.教师引导学生回顾获得方程的思路，归纳得出：对于我们不熟悉的曲线，可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，把静态的点集的问题变成了一个动点问题，再借助化动为静；通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.师：得到的这个方程一定是该曲线的方程吗？生：不行，还要“回得去”.【设计意图】有了之前对曲线与方程概念的剖析，学生马上意识到，应该对方程加以检验.生7: 设点1M 的坐标),(11y x 是方程1=⋅y x 的解，则111=⋅y x ，而1x 、1y 正是点1M 到纵轴、横轴的距离，因此点1M 到这两条直线的距离的积是1，点1M 是曲线上的点. 师：很好.这样我们就从两个方面验证了方程1=⋅y x 就是该曲线的方程.【设计意图】通过三类难易程度不同的求曲线方程的问题，让学生从已有经验出发，逐步寻求获得曲线方程的方法，并通过与学生对话、交流，进一步提升学生对曲线的方程、方程的曲线的认识，并归纳总结出如下结论：第一，对于我们熟悉的曲线（如直线、圆），找到确定这些几何对象的要素（直线：一点一斜率；圆：圆心、半径）用待定系数法直接写出方程；第二，对于我们不熟悉的曲线（如（3）），可以类比圆的方程的获得过程：把曲线看成点的集合，通过直角坐标系把点变成了数对，把点满足的几何关系变成表示点的两个数（变数）间的代数关系，即得到方程.第三，有时候会发现，仅仅考虑代数推理的结果得到的方程与原曲线不一致，会出现方程的解不再曲线上的情况，因此，需要坐一下验证，要想说明得到的方程是该曲线的方程，必须满足两个条件：曲线上点的坐标都满足方程；方程的解所对应的点都在曲线上.三、理解新知由方程研究曲线师：得到方程，并不是解析几何最终的目的，我们是希望借助方程来研究与之对应的曲线.那么，通过方程1=⋅y x ，你能不能“看出”几何图形？生8：方程1=⋅y x 就是方程1±=xy ，曲线是两个反比例函数的图像.师：非常好！大家利用我们熟悉的函数图像，“看出了”几何图形.但是，如果得到的方程不是我们熟悉的函数，怎么借助方程研究曲线呢？生9：描点.师：很好，描点法是我们画图像的常用方法，它体现了方程的曲线这一概念的本质.我们先从方程中取几组解，这样就对应了几个点，将这些点连接起来就是方程的曲线.但是描点前应该对曲线的性质有一定的了解，比如：曲线的范围、对称性能否从方程中获得？生10：由方程1x y ⋅=可知0x ≠且0y ≠，因此方程的曲线与两坐标轴的没有交点.生11: 以x-代替x，方程未改变，因此方程的图象关于y轴对称，同理也关于x轴、原点对称.在学生讨论的基础上，总结：第一，获得了曲线的方程后，有时候相关的代数知识（包括函数）帮助我们“看出”几何图形的样子（例如1x y⋅=），我们就有了更多研究几何的工具.第二，关于方程的曲线，我们已经非常熟悉的函数的图像相信已经让我们认识到了借助图像更加直观、形象地认识函数所刻画的对象的规律的价值.五、课堂小结首先请学生谈谈本节课的收获与体会，解决问题过程中感受到的经验或者困难，师生一起总结：第一，知识与技能方面：我们学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，这个概念的本质就是曲线上的点与方程的解存在一一对应的关系.所以今后在求曲线的方程时要有意识地从这两个方面加以验证，养成检验的习惯.第二，思想方法方面：获得曲线的方程的方法就是将曲线视为点的集合，并将点所满足的条件用点的横、纵坐标之间的关系来表示，就得到了方程.这一过程体现了数形结合的思想方法.连接几何与代数的桥梁就是平面直角坐标系.第三，情感态度价值观方面：从对例1（3）的问题解决中可以看出解析法的价值，对不熟悉的曲线可以先建立它的方程，利用方程进一步研究曲线，真正实现了数与形和谐统一的内在美（几何对称与代数对称；从点与数对一一对应到曲线与方程一一对应等）.所以伟大的无产阶级领袖恩格斯评价解析几何是“数学史上的转折点”之一.六、布置作业1、必做题：37.14, 1.P A T B T习题2组：组：2、选做题：精品好文档，推荐学习交流仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 丛书356,(2012P T 四川理科高考题21)七、反思提升1. 曲线上点的坐标都是方程的解；方程的解都是曲线上的点，那么这个方程就叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线.学生对于这句话还是理解的，但是不清楚每句话的作用，也不太理解为什么要这样描述曲线的方程和方程的曲线，有比这更容易理解的描述为什么不用，比如：根据方程画出的图象就叫方程的曲线等.这主要是学生仅限于表面上的关系，就简避繁的习惯引起的，其实通过正例、反例的对照就可以让学生明白；通常直接法、定义法等求轨迹方程时，学生没有习惯验证一一对应，不能自觉地补点、抠点等等.教师应该引导学生将已知条件等价转化为所求方程，对于有些条件可以暂时不考虑，但是在求得方程之后要综合进行考虑这个条件的作用.曲线与方程是对应的，反过来曲线上扣去的点也是方程要去掉的解.2.本节课的亮点是能让学生全程参与建构概念，通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣.3.本节课的不足之处是由于给学生留下了较多的思考参与时间，练习相对少了点.八、板书设计。
高二数学目标答案
理科必选2-1答案参考答案与提示1.3.1 简单的逻辑联结词(一) 一、选择题1．A 2．B 3．D 4．D 二、填空题5．p 或q ；非p ； p 且q 6．0或2是偶数；0和2都是偶数；0不是偶数7．p 或q ，真 三、解答题8． 逆命题:若3,2,0652===+-x x x x 或则．否命题: 若065,3,22≠+-≠≠x x x x 则且． 逆否命题:若 0652≠+-x x , 则3,2≠≠x x 且．9．（１）p ：x =2是方程x 2-5x +6=0的根 q ：x =3是方程x 2-5x +6=0的根，是p 或q 的形式 （２）p ：π大于3 q ：π是无理数 是p 且q 的形式 （３）p ：直角等于90︒ 是非p 形式(二)一、选择题1．A 2．A 3．B 4．A 二、填空题5.30a -≤≤6.①③7. 若x 2+y 2≠0，则x ≠0或y ≠0 三、解答题8.逆命题：若x,y 全为零，则220x y += 否命题：若220x y +≠，则x,y 不全为零逆否命题：若x,y 不全为零，则220x y +≠(三)一、选择题1．B 2．B 3．B 4．B 二、填空题5．必要不充分 6．①既非充分又非必要条件②必要不充分7．①菱形的对角线互相垂直或互相平分②菱形的对角线互相垂直且互相平分③菱形的对角线不互相垂直 三、解答题8．解：⑴正方形的四边不都相等；⑵平方和为0的两个实数不都为0；9．解：⑴ p 真，q 假， ∴“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，“⌝p ”为假。
⑵ p 真，q 真， ∴“p ∨q”为真，“p ∧q”为真，“⌝p ”为假。
⑶ p 假，q 假， ∴“p ∨q”为假，“p ∧q”为假，“⌝p ”为真。
⑷ p 真，q 假， ∴“p ∨q”为真，“p ∧q”为假，“⌝p ”为假。
1.4.1 全称量词、存在量词及其否定(1) 一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 二、填空题5．任意一个三角形都有外接圆 6．2,10x R x x ∃∈-+≤ 7．①0x R,x 2≥∈∀；②1|sin |,≤∈∀ααR三、解答题 8.分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题； 9.（1）存在正数x ，≤x x -1；（2）存在实数x ，x 2+1≥2x ；（3）已知集合A ⊆B ，如果存在一个元素A x ∈0，那么B x ∉0；（原对，否错） 1.4.1 全称量词、存在量词及其否定(2)一、选择题1．B 2．A 3．D 4．B 二、填空题5.②③6. ①④⑤；②③⑥7.0,x ∃>使得220x x ++≥ 三、解答题8.解：（1）041,:2<+-∈∃⌝x x R x p ． 由于对任意的实数0)21(41,22≥-=+-x x x x ，故p 是真命题，p ⌝是假命题；（2）x q ∀⌝:是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，q ⌝是假命题； （3）:r ⌝ 1,2+≤∈∀xx R x ．由于对任意的实数1||,22+<=≤x xx x x ，故r 是假命题，r ⌝是真命题；（4）:s ⌝有些周期函数没有最小正周期．由于任意实数都是函数()1,f x x R =∈的周期，从而它没有最小正周期，故s 是假命题，s ⌝是真命题． 9.解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。