中考数学压轴题圆与图像中的函数专项训练解析

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圆的综合压轴题(解析版)

圆的综合压轴题命题趋势中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

热考题型解读考向一：圆中弧长与面积的综合题考向二：圆与全等三角形综合题考向三：圆的综合证明问题考向四：圆与等腰三角形的综合考向五：圆的阅读理解与新定义问题考向六：圆与特殊四边形综合考向一：圆中弧长与面积的综合题1(2023•河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，AB =50cm ，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN ∥GH ．计算：在图1中，已知MN =48cm ，作OC ⊥MN 于点C .(1)求OC 的长．操作：将图1中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM =30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中．(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理得出MC =12MN =24cm ，由勾股定理计算即可得出答案；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH ，进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数的定义求出OD ，再与(1)中OC 相减即可得出答案；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°，分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【解答】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =圆的综合压轴题（解析版）MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =圆的综合压轴题（解析版）AB =25cm ，在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7(cm )；(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cπ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cπ；(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°，∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ =QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE •OE =2533(cm )，EQ 的长为30×π×25180=25π6(cm )，∵2533-256π=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ ．2(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达的位置△AB ′C ′的位置，那么可以得到：AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′．()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由：　旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等　；(2)如图2，小王将一个半径为4cm ，圆心角为60°的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A ′B ′C ′的位置．①请在图中作出点O ；②如果BB ′=6cm ，则在旋转过程中，点B 经过的路径长为　32π2cm ；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】(1)由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②由∠BOB '=90°，OB =OB '，可得OB =62=32，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，求出A 'D =A M ∠PA B cos =230o cos =433，DM =12A 'D =233，可得S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，证明△PB ′D ≌△PCD (SSS )可知阴影部分关于PD 对称，故重叠部分面积为2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．【解答】解：【问题解决】(1)根据题意，AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①如图：作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②∵∠BOB '=90°，OB =OB '，∴△BOB '是等腰直角三角形，∵BB '=6，∴OB =62=32，∵90π×32180=32π2(cm )，∴点B 经过的路径长为32π2cm ，故答案为：32π2cm ；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，如图：∵点P 为BC中点，∴∠PAB =∠PAC =12∠BAC =30o ，由旋转得∠PA 'B '=30°，PA =PA ′=4，在Rt △PAM 中，PM =PA •sin ∠PAM =4×sin30°=2，∴A 'M =PA '-PM =4-2=2，在Rt △A ′DM 中，A 'D =A M ∠PAB cos =230ocos =433，DM =12A 'D =233，∴S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，下面证明阴影部分关于PD 对称：∵∠PAC =∠PA 'B '=30°，∠ADN =∠A 'DM ，∴∠AND =∠A 'MD =90°，∴∠PNA '=90°，∴PN =12PA '=2，∴AN =PA -PN =2，∴AN =A ′M ，∴△AND ≌△A 'MD (AAS )，∴AD =A ′D ，∴CD =B 'D ，∵PD =PD ，PB '=PC ，∴△PB ′D ≌△PCD (SSS )，∴阴影部分面积被PD 等分，∴S 阴影=2(S 扇形PA 'B '-S △A 'DP )=2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．∴两个纸板重叠部分的面积是8π-833cm 2．考向二：圆与全等三角形综合题3(2023•济宁)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD =CB ，BE 切⊙O 于点B ，过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ，EF =2BF ．(1)如图1，连接BD ，求证：△ADB ≌△OBE ；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使∠MCN =60°，连接MN ．请问：三条线段MN ，BM ，DN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．【分析】(1)根据CF ⊥OE ，OC 是半径，可得CF 是圆O 的切线，根据BE 是圆O 的切线，由切线长定理可得BF =CF ，进而根据sin E =CF EF =12，得出∠E =30°，∠EOB =60°，根据CD =CB 得出CD =CB ，根据垂径定理的推论得出OC ⊥BD ，进而得出∠ADB =90°=∠EBO ，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD =BO =12AB ，即可证明△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC =∠MBC ，证明△HDC ≌△MBC (SAS )，结合已知条件证明△CNH ≌△CNM (SAS )，得出NH =MN ，即可得出结论．【解答】(1)证明：∵CF ⊥OE ，OC 是半径，∴CF 是圆O 的切线，∵BE 是圆O 的切线，∴BF =CF ，∵EF =2BF ，∴EF =2CF ，sin E =CF EF =12，∴∠E =30°，∠EOB =60°，∵CD =CB ，∴CD =CB，∴OC ⊥BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°=∠EBO ，∵∠E +∠EBD =90°，∠ABD +∠EBD =90°，∴∠E =∠ABD =30°，∴AD =BO =12AB ，∴△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)解：MN =BM +DN ，理由如下：延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，如图2所示，∵∠CBM +∠NDC =180°，∠HDC +∠NDC =180°，∴∠HDC =∠MBC ，∵CD =CB ，DH =BM ，∴△HDC ≌△MBC (SAS )，∴∠BCM =∠DCH ，CM =CH ，由(1)可得∠ABD =30°，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴∠A =60°，∴∠DCB =180°-∠A =120°，∵∠MCN =60°，∴∠BCM +∠NCD =120°-∠NCM =120°-60°=60°，∴∠DCH +∠NCD =∠NCH =60°，∴∠NCH =∠NCM ，∵NC =NC ，∴△CNH ≌△CNM (SAS )，∴NH =MN ，∴MN =DN +DH =DN +BM ，∴MN =BM +DN ．4(2023•哈尔滨)已知△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，N 为AC的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证：BC =2OH ；(2)如图②，点D 在⊙O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB =DC ，求证OD ∥AC ；(3)如图③，在(2)的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG ⊥DO ，交DO 于点G ，DG =CH ，过点F 作FR ⊥DE ，垂足为R ，连接EF ，EA ，EF ：DF =3：2，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM ⊥DC ，交DC 的延长线于点M ，若FR =CM ，AT =42，求AB 的长．【分析】(1)连接OC ，证明OH 是△ABC 的中位线，即可得到BC =2OH ；(2)设∠BDC =2α，证明△DOB ≌△DOC (SSS )，可得∠BDO =∠CDO =12∠BDC =α，再推导出∠CDO =∠ACD ，即可证明DO ∥AC ；(3)连接AD ，延长AE 与BC 交于W 点，延长AC 、TM 交于L 点，先证明△DGF ≌△CHE (AAS )，得到DF =CE ，再证明△DFG ≌△AFH (ASA )，得到AE =DF ，从而判断出四边形ADFE 是矩形，得到EF ⊥BD ，求出tan ∠EDF =32，通过证明△FRK ≌△CML (AAS )，推导出CL =FK =2FG =CW ，再证明△AWC ≌△TLC (AAS )，则AC =TC ，在Rt △ACT 中，由AT =42，求出AC =CT =4，在Rt △ABC中，tan ∠BAC =32=BC AC，求出BC =6，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=213．【解答】(1)证明：如图①，连接OC ，∵N 是AC 的中点，∴AN =CN ，∴∠AON =∠CON ，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位线，∴BC=2OH；(2)证明：如图②，设∠BDC=2α，∵BD=CD，DO=DO，BO=OC，∴△DOB≌△DOC(SSS)，∠BDC=α，∴∠BDO=∠CDO=12∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴DO∥AC；(3)解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌△CHE(AAS)，∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴∠EHC=∠DGF，∵AH=HC，∴△AEC是等腰三角形，∴AE=EC，∠EAC=∠ECA，∵∠BDO=∠ODE=∠ECA，∴∠EAH=∠FDG，∵DG=CH，∴DG=AH，∴△DFG≌△AFH(ASA)，∴AE=DF，∵∠DEA=2∠ECA，∠FDE=2∠ODE，∴∠FDE=∠DEA，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴四边形ADFE是矩形，∴EF⊥BD，∵EF：DF=3：2，∴tan∠EDF=32，∵FR⊥CD，FG⊥DO，∴∠ODE=∠RFK=90°，∵∠ECA=∠MCL，∴∠RFK=∠LCM，∵CM⊥MT，∴∠CML=90°，∵FR=CM，∴△FRK≌△CML(AAS)，∴CL=FK=2FG，∵BC=2OH，EH=OH，∴EH是△AWC的中位线，∴CW=2EH，∵EH=FG，∴CL=FK=2FG=CW，∵∠TCL=∠CMT=90°，∴∠MCL=∠CTM，∵∠ACE=∠ECA=∠LCM，∴∠CTM=∠WAC，∴△AWC≌△TLC(AAS)，∴AC=TC，在Rt△ACT中，AT=42，∴AC=CT=4，∵AW∥BD，∴∠BAW=∠DBC，∵∠DBO=∠BDO，∠EAC=∠BDO=∠ODE，∴∠BAC=∠BDE，在Rt△ABC中，tan∠BAC=32=BCAC，∴BC=6，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=213．5(2023•长春)【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上(点P不与点A、C重合)，连接PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为　223　．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA(SAS)，得出PB=EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△GBA(SAS)，进而判断出∠PBG=90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB=90°，∴∠APB=12∠AOB=45°(在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半)，故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB=EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠APB=60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB=PE=AE+AP=PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAG=180°，∴∠BCP =∠BAG ，∵BA =BC ，∴△PBC ≌△GBA (SAS )，∴PB =GB ，∠PBC =∠GBA ，∵∠ABC =90°，∴∠PBG =∠GBA +∠ABP =∠PBC +∠ABP =∠ABC =90°，∴PG =2BP ，∵PG =PA +AG =PA +PC ，∴PC =PG -PA =2×22PA -PA =3PA ，∴PB PC =22PA 3PA=223，故答案为：223考向三：圆的综合证明问题6(2023•黄石)如图，AB 为⊙O 的直径，DA 和⊙O 相交于点F ，AC 平分∠DAB ，点C 在⊙O 上，且CD ⊥DA ，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求证：AC •PC =BC 2；(3)已知BC 2=3FP •DC ，求AF AB的值．【分析】(1)连接OC ，由等腰三角形的性质得∠OAC =∠OCA ，再证∠DAC =∠OCA ，则DA ∥OC ，然后证OC ⊥CD ，即可得出结论；(2)由圆周角定理得∠ACB =90°，∠DAC =∠PBC ，再证∠BAC =∠PBC ，然后证△ACB ∽△BCP ，得AC BC =BC PC，即可得出结论；(3)过P 作PE ⊥AB 于点E ，证AC •PC =3FP •DC ，再证△ACD ∽△BPC ，得AC •PC =BP •DC ，则BP •DC =3FP •DC ，进而得BP =3FP ，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ，∴∠DAC =∠OCA ，∴DA ∥OC ，∵CD ⊥DA ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；(2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠BAC ，∵∠DAC =∠PBC ，∴∠BAC =∠PBC ，又∵∠ACB =∠BCP ，∴△ACB ∽△BCP ，∴AC BC =BC PC，∴AC •PC =BC 2；(3)解：如图2，过P 作PE ⊥AB 于点E ，由(2)可知，AC •PC =BC 2，∵BC 2=3FP •DC ，∴AC •PC =3FP •DC ，∵CD ⊥DA ，∴∠ADC =90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BCP =90°，∴∠ADC =∠BCP ，∵∠DAC =∠CBP ，∴△ACD ∽△BPC ，∴AC BP =DC PC，∴AC •PC =BP •DC ，∴BP •DC =3FP •DC ，∴BP =3FP ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB =90°，∴PF ⊥AD ，∵AC 平分∠DAB ，PE ⊥AB ，∴PF =PE ，∵==，∴===．7如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接AC ，AD ，BC ，作CF ⊥AD 于点F ，交线段OB 于点G (不与点O ，B 重合)，连接OF ．(1)若BE=1，求GE的长．(2)求证：BC2=BG•BO．(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【分析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°，结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD，进而可得∠BCD=∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE=BE=1；(2)证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2=BA•BE，再根据AB=2BO，BE=12BG，可证BC2=BG•BO；(3)方法一：设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，可证a=90°-β，∠OCF=90-3α，通过SAS 证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF=∠OAF，即90°-3a=a，则∠CAD=2a=45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】(1)解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠D=90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D=90°，∴∠DAE=∠FCD，由圆周角定理得∠DAE=∠BCD，∴∠BCD=∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE(ASA)，∴GE=BE=1；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ABC=∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BC BE =BA BC，∴BC2=BA•BE，由(1)知GE=BE，∴BE=12BG，∴BC2=BA•BE=2BO•1BG=BG•BO；2(3)解：∠CAD=45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE=DE，∠AED=∠AEC=90°，∵AE=AE，∴△ACE≌△ADE(SAS)，∴∠DAE=∠CAE，设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=α，∵∠ACB=90°，∴∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α，∵∠CGE=∠OGF=β，∠GCE=α，∠CGE+∠GCE=90°，∴β+α=90°，∴α=90°-β，∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α，∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β，∴∠COF=∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF(SAS)，∴∠OCF=∠OAF，即90°-3α=α，∴α=22.5°，∴∠CAD=2a=45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AHO=90°，∵OA=OC，∴AF =CF ，∵CF ⊥AD ，∴△AFC 是等腰直角三角形，∴∠CAD =45°．8(2023•永州)如图，以AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 到点D ．使得∠BAC =∠BDA ，点E 在DA 的延长线上，点M 在线段AC 上，CE 交BM 于N ，CE 交AB 于G ．(1)求证：ED 是⊙O 的切线；(2)若AC =6，BD =5，AC >CD ，求BC 的长；(3)若DE •AM =AC •AD ，求证：BM ⊥CE ．【分析】(1)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°，故∠BAC +∠ABC =90°，由∠BAC =∠BDA 得∠BDA +∠ABC =90°，有∠BAD =90°，即可得证；(2)证明△ACB ∽△DCA ，则BC AC =AC DC =AC BD -BC ，可得BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，由AC >CD 即可得到BC 的长；(3)先证明△ABC ∽△DAC ，则AC DC =AB AD ，得到AC •AD =CD •AB ，由DE •AM =AC •AD 得到DE •AM =CD •AB ，故AM DC=AB DE ，由同角的余角相等得∠BAM =∠CDE ，有△AMBB ∽△DCE ，得∠E =∠ABM ，进一步得到∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，则∠BNG =90°，即可得到结论．【解答】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠BAC +∠ABC =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴∠BDA +∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∴ED 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠BDA ，∠ACB =∠DCA =90°，∴△ACB ∽△DCA ，∴BC AC=AC DC =AC BD -BC ，∴BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，当BC =2时，CD =BD -BC =3，当BC =3时，CD =BD -BC =2，∵AC >CD ，即6>CD ，∴BC =3；(3)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠DCA =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC DC =AB AD，∴AC •AD =CD •AB ，∵DE •AM =AC •AD ，∴DE ．AM =CD •AB ，∴AM DC=AB DE ，∵∠BAM +∠CAD =∠CDE +∠CAD =90°，∴∠BAM =∠CDE ，∴△AMB ∽△DCE ，∴∠E =∠ABM ，∵∠EGA =∠BGN ，∴∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，∴∠BNG =90°，∴BM ⊥CE ．9(2023•广东)综合探究如图1，在矩形ABCD 中(AB >AD )，对角线AC ，BD 相交于点O ，点A 关于BD 的对称点为A ′．连接AA ′交BD 于点E ，连接CA ′．(1)求证：AA '⊥CA '；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，⊙O 与CD 相切，求证：AA =3CA ；②如图3，⊙O 与CA ′相切，AD =1，求⊙O 的面积．【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE =A ′E ，AA ′⊥BD ，根据四边形ABCD 是矩形，得出OA =OC ，从而OE ∥A ′C ，从而得出AA ′⊥CA ′；(2)①设CD ⊙O 与CD 切于点F ，连接OF ，并延长交AB 于点G ，可证得OG =OF =OE ，从而得出∠EAO =∠GAO =∠GBO ，进而得出∠EAO =30°，从而AA =3CA ；②设⊙O 切CA ′于点H ，连接OH ，可推出AA ′=2OH ，CA ′=2OE ，从而AA ′=CA ′，进而得出∠A ′AC =∠A ′CA =45°，∠AOE =∠ACA ′=45°，从而得出AE =OE ，OD =OA =2AE ，设OA =OE =x ，则OD =OA =2x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得出x 2+2-1 x 2=1，从而求得x 2=2+24，进而得出⊙O的面积．【解答】(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE=A′E，AA′⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；(2)①证明：如图2，设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，∴OF⊥CD，OF=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=12BD，AB∥CD，AC=BD，OA=12AC，∴OG⊥AB，∠FDO=∠GBO，OA=OB，∴∠GAO=∠GBO，∵∠DOF=∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)，∴OG=OF，∴OG=OE，由(1)知：AA′⊥BD，∴∠EAO=∠GAO，∵∠EAB+∠GBO=90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，∴3∠EAO=90°，∴∠EAO=30°，由(1)知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CAAA，∴tan30°=CAAA，∴AA =3CA ；②解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′，由(1)知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA=OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OH AA =OCAC=12，OECA=OAAC=12，∴AA′=2OH，CA′=2OE，∴AA′=CA′，∴∠A′AC=∠A′CA=45°，∴∠AOE=∠ACA′=45°，∴AE=OE，OD=OA=2AE，设AE=OE=x，则OD=OA=2x，∴DE=OD-OE=(2-1)x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2+2-1x2=1，∴x2=2+24，⋅π．∴S⊙O=π•OE2=2+24考向四：圆与等腰三角形的综合10(2023•宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC 相切于点D，连结AD，BE=3，BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为　6或230　．【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD=6，然后分三种情况讨论：①当AP=PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′=AD时，③如图3，当DP′′=AD时，分别进行求解即可．【解答】解：如图1，连接OD，DE，∵半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB=OE+BE=OD+3，BD=35．∴OB2=BD2+OD2，∴(OD+3)2=(35)2+OD2，解得OD=6，∴AO=EO=OD=6，①当AP=PD时，此时P与O重合，∴AP=AO=6；②如图2，当AP′=AD时，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴==，∴==，∴AC=10，CD=25，∴AD===230，∴AP′=AD=230；③如图3，当DP′′=AD时，∵AD=230，∴DP′′=AD=230，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC，过点D作DH⊥AE于点H，∴AH=P″H，DH=DC=25，∵AD=AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL)，∴AH=AC=10，∴AH=AC=P″H=10，∴AP″=2AH=20(P为AB边上一点，不符合题意，舍去)，综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230．故答案为：6或230．11(2023•上海)如图(1)所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图(2)所示，连接OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；(3)连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求的值．【分析】(1)由∠ABC=∠C，∠ODB=∠ABC，即得∠C=∠ODB，OD∥AC，根据F是OB的中点，OG =DG，知FG是△OBD的中位线，故FG∥BC，即可得证；(2)设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，有OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，故∠AEO=∠DOE =α，得出∠OFE=∠AEO=α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2=AO-AF，由AE2=EO2-AO2，有EO2 -AO2=AO×AF，解方程即可答案；(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明△BGO∽△BPA，得出，设OG=2k，AP=3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FAE，即得AE=2OG=4k，PE=AE-AP=k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO中，，，得出==，可得△PQE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a=2k，进而即可求得答案．【解答】(1)证明：如图：∵AC=AB，∴∠ABC=∠C，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABC，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵F是OB的中点，OG=DG，∴FG是△OBD的中位线，∴FG∥BC，即GE∥CD，∴四边形CEGD是平行四边形；(2)解：如图：由∠OFE=∠DOE，AO=4，点F边OB中点，设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，∴∠AEO=∠DOE=α，∴∠OFE=∠AEO=α，∵∠A=∠A，∴△AEO∽△AFE，∴，即AE2=AO•AF，在Rt△AEO中，AE2=EO2-AO2，∴EO2-AO2=AO×AF，∴(2a)2-42=4×(4+a)，解得：或(舍去)，∴OB=2a=1+33；(3)解：①当OG=OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；②当BG=OB时，延长BG交AC于点P，如图所示，∵点F是OB的中点，AO=OF，∴AO=OF=FB，设AO=OF=FB=a，∵OG∥AC，∴△BGO∽△BPA，∴，设OG=2k，AP=3k，∵OG∥AE，∴△FOG∽△FAE，∴，∴AE=2OG=4k，∴PE=AE-AP=k，设OE交PG于点Q，∵OG∥PE，∴△QPE∽△QGO，∴，∴PQ=a，QG=a，，在△PQE与△BQO中，，，∴，又∠PQE=∠BQO，∴△PQE∽△OQB，∴，∴，∴a=2k，∵OD=OB=2a，OG=2k，∴，∴的值为12．12(2023•泰州)已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；逆向思考(2)如图②，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；②构造直角三角形；(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；(3)根据CD=2CB-CA，构造一条线段等于2CB-CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．【解答】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，∴3∠C=135°，∴∠C=45°．②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，∵∠C=45°，AC=8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=42，∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=52，在直角三角形ABM中，BM==32，∴BC=CM+BM=42+32=72．(2)延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，∵∠APB=2∠C，∴∠APB=2∠N，∵∠APB=∠N+∠PBN，∴∠N=∠PBN，∴PN=PB，∵PA=PB，∴PA=PB=PN，∴P为该圆的圆心．(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∵∠APB=90°，∴∠C=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE=BC，∵BP⊥AF，PA=PF，∴BA=BF，∵AF是直径，∴∠ABF=90°，∴∠EBC=∠ABF=90°，∴∠EBA=∠CBF，∴△EBA≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∵CD=2CB-CA=CE-CA=AE，∴CD=CF，∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．考向五：圆的阅读理解与新定义问题13(2023•青海)综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图2中计算C到BD的距离d1．(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图4中计算C到BD的距离d2(结果保留根号)．(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD=60°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，在图6中计算C 到BD的距离d3=　2-3　(结果保留根号)．(4)归纳推理：比较d1，d2，d3大小：d1>d2>d3　，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离越小(填“越大”或“越小”)．(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d=0.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．【分析】(1)△ABC是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(2)△ABE是等腰直角三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(3)△ABD是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(4)比较大小得出结果；(5)圆的半径相等，从而得出结果．解：(1)图1，【解答】Array 3∵AB=AD=2，AC⊥BD，∴∠BAC=∠CAD=1∠BAD=60°，2∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∴d1=CE=1AC=1；2(2)如图2，∴∠ABD=∠ADB=45°，=2，∴AE=AB•sin∠ABD=2×22∴d2=CE=AC-AE=2-2；(3)如图3，∴AB=BD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD =60°，在Rt △ABE 中，AE =AB •sin ∠ABD =2•sin 60°=3，∴d 3=AC -AE =2-3，故答案为：60°，2-3；(4)∵1>2-2>2-3，∴d 1>d 2>d 3，越小；故答案为：d 1>d 2>d ，越小；(5)∵圆的半径相等，∴d =0，故答案为：0．14(2023•陕西)(1)如图①，∠AOB =120°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =4．点E ，F 分别在边OA ，OB 上，且∠EPF =60°，连接EF ．求线段EF 的最小值；(2)如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P 是拱桥AB的中点，桥下水面的宽度AB =24m ，点P 到水面AB 的距离PH =8m ．点P 1，P 2均在AB上，PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，在点P 1，P 2处各装有一个照明灯，图中△P 1CD 和△P 2EF 分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P 1，P 2左右转动，且光束始终照在水面AB 上．即∠CP 1D ，∠EP 2F 可分别绕点P 1，P 2按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段CD ，EF 在AB 上，此时，线段ED 是这两灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP 1D =∠EP 2F =90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB 都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)【分析】(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，证明△PCF ≌△PDE (AAS )，可得CF =DE ，即可得OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，而∠POD =∠POC =60°，知OD =OC =12OP =2，故OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，有OG =12x ，GF =32x ，由勾股定理得EF ====，即知线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，由点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，可得122+(r -8)2=r 2，r =13，求出P 1K =P 2K =5m ，OK ===12(m )，PK =OP -OK =13-12=1(m )，KH =PH -PK =8-1=7(m )，可得P 1T =KH =7m ，故AT =P 1T ，∠P 1AT =45°，可得△AP 1D 是等腰直角三角形，即得AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，故DE =EF -DB =14-10=4(m )，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，可得AP 2==(m )，而cos ∠P 2AM ==，可得AF =，同理BC =，故CF =AF +BC -AB =(m )．【解答】解：(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，如图：∵∠AOB =120°，∠EPF =60°，∴∠OEP +∠OFP =180°，∵∠OEP +∠PED =180°，∴∠OFP =∠PED ，即∠PFC =∠PED ，∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB ，PD ⊥OA ，∴PC =PD ，∵∠PCF =∠PDE =90°，∴△PCF ≌△PDE (AAS )，∴CF =DE ，∴OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，∵∠POD =∠POC =60°，∴∠OPD =∠OPC =30°，∴OD =OC =12OP =2，∴OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，如图：∵∠OFG =∠AOB -∠G =120°-90°=30°，∴OG =12x ，GF =32x ，∴EG =OE +OG =4-12x ，∴EF ====，∴当x =2时，EF 取最小值12=23，∴线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，如图：∵点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，∴O ，P ，H 共线，AH =BH =12AB =12m ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，在Rt △AHO 中，AH 2+OH 2=OA 2，∴122+(r -8)2=r 2，解得r =13，∴OP 1=13m ，∵PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，∴P 1K =P 2K =5m ，∴OK ===12(m )，∴PK =OP -OK =13-12=1(m )，∴KH =PH -PK =8-1=7(m )，∴P 1T =KH =7m ，∵AT =AH -TH =12-5=7(m )，∴AT =P 1T ，∴∠P 1AT =45°，∵∠CP 1D =90°，即∠AP 1D =90°，∴△AP 1D 是等腰直角三角形，∴AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，∴DB =AB -AD =24-14=10(m )，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，∴DE =EF -DB =14-10=4(m )，∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，如图：∵AT =P 1T =7m =P 2M ，P 1P 2=10m ，∴AM =AT +TF =17m ，∴AP 2===(m )，∵cos ∠P 2AM ==，∴=，∴AF =，同理BC =，∴CF =AF +BC -AB =+-24=(m )；∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为m ；综上所述，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m 或m ．15(2023•北京)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A (-1，0)，B 1(-22，22)，B 2(22，-22)．①在点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)中，弦AB 1的“关联点”是C 1，C 2　；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M (0，3)，N (655，0)，对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．【分析】(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；(2)根据M (0，3)，N (655，0)两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：(1)①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A (-1，0)，B 1(-22，22)，点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)，∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，∵C 1(-1，1)，A (-1，0)的横坐标相同，与B 1(-22，22)在直线y =-x 上，∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A (-1，0)，B 2(22，-22)，设C (a ，b )，如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1(2，0)，∴OC1=2，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2(-1，1)，∴OC2=2，综上所述，OC=2；(2)∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0，3)，N(655，0)，OM>ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图所示，①当S位于点M(0，3)时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M(0，3)，⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ=，∴PJ==，Q1J=，∴PQ1==233，同理PQ2==26 3，∴当S位于M(0，3)时，PQ1的临界值为233和26 3；②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时，，∵M(0，3)，N(655，0)，∴MN=，∴=2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ=1或3，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和3，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，综上所述，t的取值范围为1≤t≤233，263≤t≤3．16在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(60°<α<180°)．点D是BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【分析】(1)根据旋转的性质得到AE =AD ，∠DAE =α，证明∠BAE =∠CAD ，进而证明△ABE ≌△ACD ，可以得到∠AEB =∠ADC ，由∠ADC +∠ADB =180°，可得∠AEB +∠ADB =180°，即可证明A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)连接OA ，OD ，根据等边对等角得到∠ABC =∠ACB =∠DAC ，由圆周角定理得到∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，再由OA =OD ，得到∠OAD =∠ODA ，利用三角形内角和定理证明∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，可证明AC 是⊙O 的切线；(3)作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，先求出∠B =∠C =30°，再由三线合一定理得到BM =CM =12BC =3，AM ⊥BC ，解直角三角形求出AB =23，则BG =12AB =3，再解Rt △BGF 得到BF =2，则FM =1；由⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，可得点P 一定在AB 的垂直平分线上，故当MP ⊥GF 时，PM 有最小值，据此求解即可．【解答】(1)证明：由旋转的性质可得AE =AD ，∠DAE =α，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠BAD =∠DAE -∠BAD ，即∠BAE =∠CAD ，又∵AB =AC ，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠AEB =∠ADC ，∵∠ADC +∠ADB =180°，∴∠AEB +∠ADB =180°，∴A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)证明：如图所示，连接OA ，OD ，∵AB =AC ，AD =CD ，∴∠ABC =∠ACB =∠DAC ，∵⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，∴∠AOD =2∠ABC ，∴∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠OAD +∠ODA +∠AOD =180°，∴2∠DAC +2∠OAD =180°，∴∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，∴OA ⊥AC ，又∵OA 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(3)解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，PM ，如图：∵AB =AC ，∠BAC =120°，。

中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】

中考数学《圆》真题压轴题总汇【附解析】1．（2019•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH＝∠A，∠H＝90°，HB的延长线交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CH是⊙O的切线；（2）若B为DH的中点，求tan D的值．2．（2019•德阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连结BD、AC、CE．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝，求EG的长．3．（2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．4．（2019•内江）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB 与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5．（2019•广元）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求PA的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．6．（2019•成都）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．7．（2019•资阳）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．8．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．9．（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C 是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．10．（2019•泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．11．（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．12．（2019•株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．13．（2019•巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．14．（2019•广安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD 交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．15．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．16．（2019•凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．17．（2019•遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF ＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．18．（2019•宜宾）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．19．（2019•南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离．20．（2019•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．参考答案1．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∠A＝∠ACO，∴∠A+∠BCO＝90°，∵∠A＝∠BCH，∴∠BCH+∠BCO＝90°，∴∠HCO＝90°，∴CH是⊙O的切线；（2）解：∵B为DH的中点，∴设BD＝BH＝x，∴DH＝2x，∵∠A＝∠D，∠A＝∠BCH，∴∠D＝∠BCH，∵∠H＝∠H，∴△DCH∽△CBH，∴＝，∴CH＝＝，∵∠H＝90°，∴tan D＝＝＝．2．（1）证明：如图，连结OC，∵OE⊥BC，∴∠OHB＝90°，∴∠OBH+∠BOD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBH＝∠OCB，∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝90°，∴OC⊥CD，∵点C为⊙O上一点，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝90°，∴∠ECG+∠OCE＝90°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠ECG+∠OEC＝90°，∵∠OEC+∠HCE＝90°，∴∠ECG＝∠HCE，在△CHE和△CGE中，，∴△CHE≌△CGE（AAS）；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵DF为⊙O的切线，∴∠OCA+∠FCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FCA＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝，设AC＝a，则AB＝3a，∴BC＝＝＝a，∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，∴△ACF∽△CFB，∴＝＝＝，∵AF＝1，∴CF＝，∴BF＝＝2，∴BF﹣AF＝AB＝1，∴OC＝，BC＝，∵OE⊥BC，∴CH＝BC＝，∴OH＝＝＝，∴HE＝OE﹣OH＝﹣，∵△CHE≌△CGE，∴EG＝HE＝﹣．3．（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．4．（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．。

中考数学压轴题-圆的压轴题含解析

圆的压轴题（1）1、如图，BF 为⊙O 的直径，直线AC 交⊙O 于A ，B 两点，点D 在⊙O 上，BD 平分∠OBC ，DE ⊥AC 于点E 。

（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若 BF=10，sin ∠BDE=，求DE 的长。

2、如图，AN 是M ⊙的直径，NB x ∥轴，AB 交M ⊙于点C .(1)若点()0,6A ，()0,2N ，30ABN =∠°，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M ⊙的切线.x y C D M O B NA3、如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．4、已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若=，如图1，．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长．5、如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．6、如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．7、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．（1）求证：∠FEB=∠ECF；（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．8、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．9、如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．10、如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．11、如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点．（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）．（2）求PA+PB的最小值．12、如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．13、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF ∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．16、已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD•MN．参考答案1、【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠OBC，∴∠OBD=∠DBE，∴∠ODB=∠DBE，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）如图，连接DF，∵BF是⊙O的直径，∴∠FDB=90°，∴∠F+∠OBD=90°，∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，=sinF=sin∠BDE=，∴BD=10×=2，∴在Rt△BDE中，sin∠BDE==，∴BE=2×=2，∴在Rt△BDE中，DE===4。

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求；②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q 纵坐标的取值范围．2．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w 有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为抛物线上第一象限内一点，若S△ABC＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD 的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．6．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式．（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．（3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时P点的坐标和的最大面积；(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC 于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．11．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP 面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．13．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.14．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系；(3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；(2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P 点的坐标；(3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．16．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．17．已知一次函数：与轴交于点，与轴交于点．抛物线（、为常数）过定点，连接，点为线段上一动点．（1）求出点的坐标；（2）过作于点，于点，设点横坐标为，长度为，试求关于的函数解析式；（3）①当，时，该抛物线上存在唯一的点使，求此时抛物线的解析式；②过点作交线段于点，连接并延长交的外接圆于点，当点在上移动时，求的最大值．18．已知抛物线经过，，三个点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作的外接圆，为上方半圆上一点，当时，求的长；（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，作轴的平行线，分别与线段、抛物线交于，两点（点与点，不重合），点为射线上一点，当与相似时，求的最大面积．参考答案：1．(1)(2)①；②存在，或或或(3)或2．(1)，；(2)；(3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．3．(1)①，②w有最小值，w的最值是(2)不变，(3)或4．（1）；（2）；（3）为定值．5．（1）；（2），；（3）6．（1）；（2）F（，4），△EFD的周长为；（3）．7．（1），，；（2），；（3）8．（1）；（2）点在抛物线上；（3）9．（1）；（2），；（3）相交，10．（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2时，DE有最大值，此时P；（3），或E或11．（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．12．（1）．（2）存在，点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．（3）．13．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.14．(1)(2)2，，点在上(3)存在，，，15．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣x+5(2)圆心P点的坐标为（，）(3)①四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）16．(1)y＝﹣x2+x+2；(2)M（，）；(3)四边形CFEH是矩形．17．（1）；（2）（）；（3）①；②18．（1）；（2）；（3）．。

人教中考数学与圆的综合有关的压轴题含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F . （1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . （2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA=25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ，CO =OD ， ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为32．【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值．详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ．又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，==∴=，由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =32，方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=．设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为32．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连结DC 、DA 、OA 、OC ，四边形OADC 为平行四边形．（1）求证：△BOC ≌△CDA ．（2）若AB =2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2433π-. 【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD ，于是可判断四边形OADC 为菱形，则BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC ，∠2=∠3，所以OB=OC ，可判断点O 为△ABC 的外心，则可判断△ABC 为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA=OB ，则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ；（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33，OB=2OH=233，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可. 详解:（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6， ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴23∵∠AOC=120°， ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.4．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．5．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

专题20 与圆相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题20 与圆相关的压轴题解答题1．（2022·湖北宜昌）已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6BC =，以BC 为直径的O 与AB 交于点H ，将ABC 沿射线AC 平移得到DEF ，连接BE ．(1)如图1，DE 与O 相切于点G ．①求证：BE EG =；②求BE CD ⋅的值；(2)如图2，延长HO 与O 交于点K ，将DEF 沿DE 折叠，点F 的对称点'F 恰好落在射线BK 上． ①求证：'HK EF ∥；②若'3KF =，求AC 的长．【答案】(1)①见解析；②9BE CD ⋅=(2)①见解析；②AC 的长为【分析】（1）①用切线角定理即可证②连接OE ，OD ，OG ，证明ODG EOG △∽△，利用相似对应边成比例即可得到（2）①延长HK 交BE 于点Q ，设ABC α∠=，利用题目中平移，折叠的对应角相等，BQO ∠和'BEF ∠用α表示出来，得到'BQO BEF ∠=∠即可②连接'FF ，交DE 于点N ，证明HBK ENF △≌△，设BK x =，利用HBK FCB △∽△，算出x ；在Rt HBK △中，31sin 62BK BHK KH ∠===，在Rt ABC 中，即可求出AC 的长 (1)①如第23题图1∵ABC 沿射线AC 方向平移得到DEF∴BE CF ∥∵90ACB ∠=︒∴90CBE ACB ∠=∠=︒方法一：连接OG ，OE∵DE 与O 相切于点G∴90∠=︒OGE∴90OBE OGE ∠=∠=︒∵OB OG =，OE 为公共边∴()Rt BOE Rt GOE HL △≌△∴BE GE =方法二：∵BC 是O 的直径∴BE 与O 相切于点B∵DE 与O 相切于点G∴BE GE =②如第23题图2方法一：过点D 作DM BE ⊥于点M∴90DMB ∠=︒由（1）已证90CBE BCF ∠=∠=︒∴四边形BCDM 是矩形∴CD BM =，DM BC =由（1）已证：BE GE =同理可证：CD DG =设BE x =，CD y =在Rt DME 中，222DM ME DE +=∴()()2226x y x y -+=+∴9xy =即9BE CD ⋅=方法二：图3，连接OE ，OD ，OG∵DE 与O 相切于点G ，BE 与O 相切于点B ，CD 与O 相切于点C∴BE GE =，CD DG =，12OEG BEG ∠=∠，12ODG CDG ∠=∠ ∵BE CF ∥∴180BEG CDG ∠+∠=︒∴90OEG ODG ∠+∠=︒∴90EOD ∠=︒∴90DOG GOE ∠+∠=︒又∵DE 与O 相切于点G∴OG DE ⊥∴90DOG ODG ∠+∠=︒∴GOE ODG ∠=∠∴ODG EOG △∽△ ∴OG EG DG OG=，即2OG DG EG =⋅ ∵O 的直径为6∴3OG =∴9BE CD ⋅=(2)①方法一：如图4延长HK 交BE 于点Q设ABC α∠=∵在O 中，OB OH =∴BHO OBH α∠=∠=∴2BOQ BHO OBH α∠=∠+∠=∴902BQO α∠=︒-∵ABC 沿射线AC 方向平移得到DEF ，DEF 沿DE 折叠得到'DEF △∴'DEF DEF ABC α∠=∠∠==∴'902BEF α∠=︒-∴'BQO BEF ∠=∠∴'HK EF ∥方法二：∵HK 是O 的直径，∴90HBK ∠=︒，设ABC α∠=，在O 中，OB OH =，∴BHO OBH α∠=∠=，∴'90HKF α∠=︒+，∵ABC 沿射线AC 方向平移得到DEF ， DEF 沿DE 折叠得到'DEF △，∴'DEF DEF ABC α∠=∠∠==，∴'902BEF α∠=︒-，∵'EBF ABC α∠=∠=，在'BEF △中，'180''90BF E EBF BEF α∠=︒-∠-∠=︒+，∴''HKF BF E ∠=∠，∴'HK EF ∥.方法三：如图，延长'BF 交DN 于点N∵ABC 沿射线AC 方向平移得到DEF∴AB DE ∥，ABC DEF △≌△∵DEF 沿DE 折叠得到'DEF △∴'DEF DEF △≌△∴'DEF ABC △≌△∴'ABC DEF ∠=∠，'EF BC =∵HK BC =∴'EF HK =∵HK 是直径∴90ABK ∠=︒∵AB DE ∥∴90ABK BNE ∠=∠=︒∴'DEF ABC △≌△∴'BKH EF N ∠=∠∴180180'BKH EF N ︒-∠=︒-∠即'HKF EF K ∠=∠∴'HK EF ∥②连接'FF ，交DE 于点N ，如图6∵DEF 沿DE 折叠，点F 的对称点为'F∴'ED FF ⊥，1'2FN FF =∵HK 是O 的直径∴90HBK ∠=︒，点'F 恰好落在射线BK 上∴'BF AB ⊥∵ABC 沿射线AC 方向平移得到DEF∴AB DE ∥，BC EF =∴点B 在'FF 的延长线上∴点B ，'F ，F 这三点在同一条直线上而BC 为O 的直径∴HK BC EF ==在HBK 和ENF △中 HBK ENF ∠=∠；BHO NEF ∠=∠；HK EF =∴HBK ENF △≌△∴BK NF =设BK x =，则''3233BF BK KF F F x x x =++=++=+∵OB OK =∴OBK OKB ∠=∠而90HBK BCF ∠=∠=︒∴HBK FCB △∽△ ∴BK HK BC BF = ∴6633x x =+ 解得：13x =，24x =-（不合题意，舍）∴3BK =在Rt HBK △中，31sin 62BK BHK KH ∠=== ∴30BHK ∠=︒∴30ABC ∠=︒在Rt ABC 中，tan tan 30AC ABC BC ∠=︒=∴6tan 306AC =⋅==︒即AC 的长为【点睛】本题考查折叠，三角形全等，三角形相似，圆的性质；巧妙构造辅助线，利用上题目所给条件是本题的关键2．（2022·贵州遵义）与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ∠=∠，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D ∠+∠=︒（依据1）B D ∠=∠180AEC B ∴∠+∠=︒∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12∠=∠，345∠=︒，则4∠的度数为__________．(3)展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E 四点共圆；②若AB =AD AF ⋅的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)45°(3)①见解析；②8【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；（3）①根据（1）中的结论证明AED ABD ∠=∠即可得证；②证明BAD FAB ∽，根据相似三角形的性质即可求解．(1)如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D ∠+∠=︒（圆内接四边形对角互补）B D ∠=∠180AEC B ∴∠+∠=︒∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） ∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)在线段CD 同侧有两点A ，B ， 12∠=∠∴,,,A B C D 四点共圆，AD AD =4345∴∠=∠=︒故答案为：45︒(3)AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠， E 点与C 点关于AD 对称，ACD AED ∴∠=∠，AEB ABD ∴∠=∠，∴,,,A D B E 四点共圆；②8AD AF ⋅=，理由如下，如图，,,,A D B E 四点共圆，FBD DAE ∴∠=∠，,AE AC 关于AD 对称，DAE DAC ∴∠=∠，DAC DBF ∠=∠∴，ADC BDF ∠=∠，F ACD ∴∠=∠，AB AC =，ABD ACD ∴∠=∠，F ABD ∴∠=∠，又BAD FAB ∠=∠，BAD FAB ∴∽，AB AD AF AB∴=， 2AD AF AB ∴⋅=， 2AB =8AD AF ∴⋅=．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨）已知CH 是O 的直径，点A ，点B 是O 上的两个点，连接,OA OB ，点D ，点E 分别是半径,OA OB 的中点，连接,,CD CE BH ，且2AOC CHB ∠=∠．(1)如图1，求证：ODC OEC ∠=∠；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD OA ⊥，求证：FC FH =；(3)如图3，在（2）的条件下，点G 是BH 上一点，连接,,,AG BG HG OF ，若:5:3AG BG =，2HG =，求OF 的长．【答案】(1)见解析 (2)见解析(3)OF = 【分析】（1）根据SAS 证明COD COE ≅即可得到结论；（2）证明H ECO ∠=∠即可得出结论；（3）先证明OF CH ⊥，连接AH ，证明AH BH =，设5AG x =，3BG x =，在AG 上取点M ，使得AM BG =，连接MH ，证明MHG △为等边三角形，得2MG HG ==，根据AG AM MG =+可求出1x =，得5AG =，3BG =，过点H 作HN MG ⊥于点N ，求出HB =2HF OF =，根据3HB OF ==(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径,OA OB 的中点∴12OD OA ，12OE OB = ∵OA OB =，∴OD OE =∵2BOC CHB ∠=∠，2AOC CHB ∠=∠∴AOC BOC ∠=∠∵OC OC = ∴COD COE ≅，∴CDO CEO ∠=∠；(2)如图2．∵CD OA ⊥，∴90CDO ∠=︒由（1）得90CEO CDO ∠=∠=︒， ∴1sin 2OE OCE OC ∠== ∴30OCE ∠=︒，∴9060COE OCE ∠=︒-∠=︒ ∵11603022H BOC ︒∠=∠=⨯=︒ ∴H ECO ∠=∠，∴FC FH =(3)如图3．∵CO OH =，∴OF CH ⊥∴90FOH =︒∠连接AH ．∵60AOC BOC ∠=∠=︒∴120AOH BOH ∠=∠=︒，∴AH BH =，60AGH ∠=︒∵:5:3AG BG =设5AG x =，∴3BG x =在AG 上取点M ，使得AM BG =，连接MH∵HAM HBG ∠=∠，∴HAM HBG △≌△∴MH GH =，∴MHG △为等边三角形∴2MG HG ==∵AG AM MG =+，∴532x x =+∴1x =，∴5AG =∴3BG AM ==，过点H 作HN MG ⊥于点N112122MN GM ==⨯=，sin 60HN HG =⋅︒=∴4AN MN AM =+=，∴HB HA ==∵90FOH =︒∠，30OHF ∠=︒，∴60OFH ∠=︒∵OB OH =，∴30BHO OBH ∠=∠=︒，∴30FOB OBF ∠=∠=︒∴OF BF =，在Rt OFH 中，30OHF ∠=︒，∴2HF OF =∴3HB BF HF OF =+==∴OF = 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 4．（2022·黑龙江绥化）如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是AM 上的一个动点（不与A ，M 重合），射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．(1)求证：CMA CBD △∽△．(2)若10MN =，MC NC =，求BC 的长．(3)在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE 的值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)32【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA =∠ABC ，再利用两角分别相等即可证明相似；（2）连接OC ，先证明MN 是直径，再求出AP 和NP 的长，接着证明COE BPE △∽△，利用相似三角形的性质求出OE 和PE ，再利用勾股定理求解即可；（3）先过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，设出34GM x CG x ==，，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB 和PG ，最后利用相似三角形的性质表示出EG ，然后表示出ME 和NE ，算出比值即可．(1)解：∵AB ⊥MN ，∴∠APM =90°，∴∠D +∠DMP =90°，又∵∠DMP +∠NAC =180°，∠MAN =90°，∴∠DMP +∠CAM =90°，∴∠CAM =∠D ，∵∠CMA =∠ABC ，∴CMA CBD △∽△．(2)连接OC ，∵90MAN ∠=︒，∴MN 是直径，∵10MN =，∴OM =ON =OC =5，∵2AM AN =，且222AM AN MN +=，∴AN AM == ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴4AP =，∴4BP AP ==，∴2NP ==，∴523OP =-=，∵MC NC =，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴COE BPE △∽△ ∴CO OE CE BP PE BE ==，即54OE CE PE BE== 由3OE PE OP +==，∴5433OE PE ==，，∴CE ==BE ===∴BC ==(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM ， ∵3tan 4MDB ∠=， ∴3tan 4CNM ∠=，设34GM x CG x ==，，∴5CM x =，∴203x CN =，∴163x NG =， ∴253x NM =， ∴256x OM ON ==， ∵2AM AN =，且222AM AN MN +=，∴AN =，AM =， ∵1122AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴103AP x PB ==， ∴53NP x =， ∴16511333PG x x x =-=， ∵∠CGE =∠BPE =90°，∠CEG =∠BEP ，∴CGE BPE △∽△， ∴CG GE CE BP PE BE==，即4103x GE CE PE BE x == ∴2GE x =，53PE x = ∴5ME x =，103x NE =， ∴:3:2ME NE =， ∴ME NE 的值为32．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．5．（2022·黑龙江大庆）如图，已知BC 是ABC 外接圆O 的直径，16BC =．点D 为O 外的一点，ACD B ∠=∠．点E 为AC 中点，弦FG 过点E ．2EF EG =．连接OE ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：()()OC OE OC OE EG EF +-=⋅；(3)当FG BC 时，求弦FG 的长．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)3【分析】（1）根据BC 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，得∠BAC =90°，由因为∠ACD =∠B ，得∠BCD =90°，即可得答案；（2）先证△FEA ∽△CEG ，得EF AE CE EG =，又因为AE =CE ，EF =2EG ，得CE 2=2EG 2，得OC 2-OE 2=EC 2，即可得答案；（3）作ON ⊥FG ，延长FG 交线段于点W ，得四边形ONWC 为矩形，得NG =1.5EG ，NE =0.5EG ，EW =8-1.5EG +EG =8-0.5EG ，得（8-0.5EG ）2+64-2EG 2-14EG 2=2EG 2，得EG 1，即可得答案． (1)解：∵BC 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，∴∠BAC =90°，∴∠B+∠ACB=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD+∠ACB=90°，∴∠BCD=90°，∵OC是OO的半径，∴CD是OO的切线；(2)如下图，连接AF、CG，∴∠AFE=∠ECG，∵∠AEF=∠CEG，∴△FEA∽△CEG，∴EF AE CE EG=，∵点E为AC中点，∴AE=CE，∵EF=2EG，∴2EG CE CE EG=，∴CE2=2EG2，∵∠BAC=90°，点E为AC中点，∴EO∥AB，∴∠OEC=90°，∴OC2-OE2=EC2，∴OC2-OE2=2EG2，∴（OC+OE）（OC−OE）=EG⋅EF；(3)作ON⊥FG，延长FG交线段于点W，∵BC=16，∴OC=8，∵FG∥BC，∴四边形ONWC为矩形，∵EF=2EG，∴FG=3EG，∴NG=1.5EG，NE=0.5EG，EW=8-1.5EG+EG=8-0.5EG，由（2）可知：OC2-OE2=2EG2，∴CE2=2EG2，∴OE2=64-2EG2，ON2=64-2EG2-14EG2，EW2=（8-0.5EG）2，∴（8-0.5EG）2+64-2EG2-14EG2=2EG2，解得EG1，∴FG=3EG=3．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作合适的辅助线．6．（2022·湖南长沙）如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．(1)求证：ABE DCE ∽△△；(2)当2DC CB DFE CDB =∠=∠，时，则AE DE BE CE -=___________；AF FE AB AD+=___________；111AB AD AF+-=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）(3)①记四边形ABCD ，ABE CDE ，△△的面积依次为12,,S S S ，试判断，ABE CDE ，△△的形状，并说明理由．②当DC CB =，AB m AD n CD p ===，，时，试用含m ，n ，p 的式子表示AE CE ⋅．【答案】(1)见解析(2)0，1，0(3)①等腰三角形，理由见解析，②22p mn p mn+ 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得AE CE BE DE ⋅=⋅，即可得出AE DE BE CE -=0，根据已知条件可得EF AB ∥，FA FE =，即可得出DFE DAB ∽根据相似三角形的性质可得EF DF AB AD =，根据恒等式变形，进而即可求解．（3）①记,ADE EBC 的面积为34,S S ，则1234S S S S S =+++，1234S S S S =，根据已知条件可得34S S =，进而可得ABD ADC S S =，得出CD AB ∥，结合同弧所对的圆周角相等即可证明,ABE DCE 是等腰三角形； ②证明DAC EAB ∽，DCE ACD ∽，根据相似三角形的性质，得出22EA AC CE AC AC mn p ⋅+⋅==+，则22CD AC EC AC ===AE AC CE =-AE CE ⋅即可求解． (1)证明：AD AD =，ACD ABD ∴∠=∠，即ABE DCE ∠=∠，又DEC AEB ∠=∠，∴ABE DCE ∽△△；(2)ABE DCE ∽△△，AB BE AE DC CE DE∴==， AE CE BE DE ∴⋅=⋅，0AE DE AE CE BE DE BE CE BE CE⋅-⋅∴-==⋅， 1802CDB CBD BCD DAB CDB ∠+∠=︒-∠=∠=∠，2DFE CDB ∠=∠，DFE DAB ∴∠=∠，EF AB ∴∥，FEA EAB ∴∠=∠，DC CB =，DAC BAC ∴∠=∠FAE FEA ∴∠=∠，FA FE ∴=，EF AB ∥，DFE DAB ∴∽，EF DF AB AD∴=， ∴AF FE AB AD +=1EF AF DF AF AD AB AD AD AD AD+=+==， 1AF AF AF EFAB AD AB AD +=+=， 1AF AF AB AD ∴+=， 1110AB AD AF∴+-=，故答案为：0，1，0(3)①记,ADE EBC 的面积为34,S S ，则1234S S S S S =+++， 1432S S BE S S DE==，1234SS S S ∴=①=即12S SS =++34S S ∴+=由①②可得34SS +=，即20=，34S S ∴=， ∴ABE ADE ABE EBC SS S S +=+，即ABD ADC S S =，CD AB ∴∥，,ACD BAC CDB DBA ∴∠=∠∠=∠，ACD ABD CDB CAB ∠=∠∠=∠，，EDC ECD EBA EAB ∴∠=∠=∠=∠，,ABE DCE ∴都为等腰三角形；②DC BC =， DAC EAB ∴∠=∠，DCA EBA ∠=∠，DAC EAB ∴∽，AD AC EA AB∴=， AB m AD n CD p ===，，，EA AC DA AB mn ∴⋅=⨯=，BDC BAC DAC ∠=∠=∠，CDE CAD ∴∠=∠，又ECD DCA ∠=∠，∴DCE ACD ∽，CD CE AC CD∴=， 22CE CA CD p ∴⋅==，22EA AC CE AC AC mn p ∴⋅+⋅==+，则22CD AC EC AC ===AE AC CE ∴=-=22mnp AE EC mn p ∴⋅=+．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键． 7．（2022·湖南娄底）如图，已知BD 是Rt ABC 的角平分线，点O 是斜边AB 上的动点，以点O 为圆心，OB 长为半径的O 经过点D ，与OA 相交于点E ．(1)判定AC 与O 的位置关系，为什么？(2)若3BC =，32CD =，①求sin DBC ∠、sin ABC ∠的值；②试用sin DBC ∠和cos DBC ∠表示sin ABC ∠，猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，并用30α=︒给予验证．【答案】(1)相切，原因见解析(2)①sin DBC ∠=4sin 5ABC ∠=；②sin 22sin cos ααα=，验证见解析【分析】（1）连接OD ，根据角之间的关系可推断出//OD BC ，即可求得ODA ∠的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sin DBC ∠，sin ABC ∠的值；②先表示出来sin DBC ∠、cos DBC ∠和sin ABC ∠的关系，进而猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，然后将30α=︒代入进去加以验证．(1)解：连接OD ，如图所示∵BD 为ABC ∠的角平分线∴ABD CBD ∠=∠又∵O 过点B 、D ，设O 半径为r∴OB =OD =r∴ODB OBD CBD ∠=∠=∠∴//OD BC （内错角相等，两直线平行）∵OD AC ⊥∴AC 与O 的位置关系为相切．(2)①∵BC =3，32CD =∴BD =∴sin CD DBC BD ∠== 过点D 作DF AB ⊥交于一点F ，如图所示∴CD =DF （角平分线的性质定理）∴BF =BC =3∴OF =BF -OB =3-r ，32OF CD == ∴222OD OF DF =+即2223(3)()2r r =-+ ∴158r = ∵//OD BC∴ABC FOD ∠=∠ ∴4sin sin 5DF ABC FOD OD ∠=∠==∴4sin 5DBC ABC ∠=∠=；②cos CB DBC BD ∠==∴2sin cos 5DBC DBC ∠⨯∠== ∴sin 2sin cos ABC DBC DBC ∠=∠⨯∠猜测sin 22sin cos ααα=当30α=︒时260α=︒∴sin 2sin 60α=︒=1sin sin 302α=︒=cos cos30α=︒=∴1sin 22sin cos 2sin 22αααα==⨯== ∴sin 22sin cos ααα=．【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果．8．（2022·四川凉山）如图，已知半径为5的⊙M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分∠OAM ，AO ＋CO ＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)122y x=-+【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D 坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，∴⊙M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MN⊥AB于N，由（1）知，∠MCO=90°，∵MN⊥AB于N，∴∠MNO=90°，AB=2AN，∵∠CON=90°，∴∠CMN=90°，∴四边形OCMN是矩形，∴MN=OC，ON=C M=5，∵OA+OC=6，设AN=x，∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x 1=3，x 2=-4（不符合题意，舍去），∴AN =3，∴AB =2AN =6；(3)解：如图，连接BC ，CM ，过点D 作DP ⊥CM 于P ，由（2）知：AB =6，OA =2，OC =4，∴OB =8，C （4，0）在Rt △BOC 中，∠BOC =90°，由勾股定理，得BC=∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BCD =90°，BD =10，在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，由勾股定理，得CDCD 2=20，在Rt △CPD 中，由勾股定理，得PD 2=CD 2-CP 2=20-CP 2，在Rt △MPD 中，由勾股定理，得PD 2=MD 2-MP 2=MD 2-（MC -MP ）2=52-（5-CP ）2=10CP +-CP 2， ∴20-CP 2=10CP -CP 2，∴CP =2，∴PD 2=20-CP 2=20-4=16，∴PD =4，即D 点纵坐标为OC +PD =4+4=8，∴D （8,-2），设直线CD 解析式为y =kx +b ，把C （4,0），D （8,-2）代入，得4082k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线CD 的解析式为：122y x =-+．【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．9．（2022·浙江宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠． (2)求证：△≌△BDE FDG ． (3)如图2，AD 为O 的直径． ①当AB 的长为2时，求AC 的长． ②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．【答案】(1)902︒∠=-BFD α(2)见解析 (3)①3；②5cos 8α=【分析】（1）根据∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，180∠+∠=︒AFB BFD 即可求解；（2）由（1）的结论，FGAC 、BE FG =证()BDE FDG SAS △≌△即可；（3）①通过角的转换得32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α，即可求AC 的长；②连结BO ，证△∽△BDG BOF ，设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，由相似的性质即可求解； (1)∵∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，① 又∵180∠+∠=︒AFB BFD ，② ②-①，得2180∠=︒-BFD α，∴902︒∠=-BFD α．(2)由（1）得902︒∠=-BFD α，∵∠=∠=ADB ACB α，∴180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，∴DB DF =． ∵FGAC ，∴∠=∠CAD DFG ． ∵CAD DBE ∠=∠， ∴∠=∠DFG DBE ． ∵BE FG =，∴()BDE FDG SAS △≌△． (3)①∵△≌△BDE FDG ， ∴∠=∠=FDG BDE α，∴2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α． ∵DE DG =， ∴()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， ∴在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， ∵AD 为O 的直径， ∴90ABD ∠=︒．∴32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． ∴AC 与AB 的度数之比为3∶2． ∴AC 与AB 的的长度之比为3∶2， ∵2AB =， ∴3=AC ． ②如图，连结BO ．∵OB OD =，∴∠=∠=OBD ODB α，∴2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α． ∵2∠=BDG α， ∴∠=∠BOF BDG ． ∵902∠=∠=︒-BGD BFO α，∴△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ， ∴==DG BDk OF BO ． ∵411=OF OE ， ∴设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，， ∴114==+=+OB OD OE DE x kx ， 154==+BD DF x kx ，∴154154114114++==++BD x kx kBO x kx k，由154114+=+kk k，得247150+-=k k ，解得154k =，23k =-（舍）， ∴11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ， ∴232==AD OD x ，在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， ∴5cos 8α=．【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．10．（2022·浙江温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径． (2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值．【答案】(1)158(2)5544y x =+ (3)①97或2111；②199【分析】（1）连接OD ，设半径为r ，利用△∽△COD CBE ，得OD COBE CB=，代入计算即可；（2）根据CP =AP 十AC ，用含x 的代数式表示 AP 的长，再由（1）计算求AC 的长即可；（3）①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情形，当 90RPQ ∠=︒时，则四边形RPQE 是矩形，当 ∠PQR ＝90°时，过点P 作PH ⊥BE 于点H ，则四边形PHER 是矩形，分别根据图形可得答案；②连接,AF QF '，由对称可知,45QF QF F QR EQR ∠∠'=='=︒，利用三角函数表示出BF '和BF 的长度，从而解决问题． (1)解：如图1，连结OD ．设半圆O 的半径为r ．∵CD 切半圆O 于点D ， ∴OD CD ⊥． ∵BE CD ⊥， ∴OD BE ∥，∴△∽△COD CBE ， ∴OD CO BE CB=，即535r r -=， ∴158r =，即半圆O 的半径是158．(2)由（1）得：1555284CA CB AB =-=-⨯=． ∵5,4AP BQ x BQ ==， ∴54AP x =． ∵CP AP AC =+， ∴5544y x =+． (3)①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情况． ⅰ）当90RPQ ∠=︒时，如图2．∵PR CE ⊥，∴90ERP ∠=︒． ∵90E ∠=︒，∴四边形RPQE 为矩形， ∴PR QE =． ∵333sin 544PR PC C y x =⋅==+， ∴33344x x +=-， ∴97x =．ⅰ）当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图3，则四边形PHER 是矩形， ∴,PH RE EH PR ==． ∵5,3CB BE ==，∴4CE ==． ∵4cos 15CR CP C y x =⋅==+， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-，由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =．综上所述，x 的值是97或2111．②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠' ∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ， ∴∠EQR =∠PRQ ， ∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ， ∵PR ∥BE ， ∴CPR CBE △∽△， ∴CP CBCR CE=，即：x CR +=555444，解得：CR =x +1， ∴ER =EC -CR =3-x ，即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°， ∴45F QR EQR ∠=∠='︒ ∴90BQF ∠='︒， ∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径， ∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =，∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．11．（2022·浙江丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在线段AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)证明过程见解析 (2)57 352或2【分析】（1）设CD 与AB 相交于点M ，由O 与AH 相切于点A ，得到90BAG ，由CD AB ⊥，得到90AMC ∠=，进而得到//AG CD ，由平行线的性质推导得，CAGACD ，AGC FCD ，最后由点A关于CD 的对称点为E 得到FCD ACD ∠=∠即可证明．（2）过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明FAD ADC ∠=∠得到DP AP =，再证明CPA FPD △≌△得到PF PC =；最后根据KEF NEC △∽△及APN AFK △∽△得到25KE EF ENCE和512PA AN AFAK，最后根据平行线分线段成比例求解．（3）分情况进行讨论． (1)证明：如图，设CD 与AB 相交于点M ，∵O 与AH 相切于点A ， ∴90BAG ， ∵CD AB ⊥， ∴90AMC ∠=， ∴//AG CD ， ∴CAGACD ，AGC FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ， ∴FCD ACD ∠=∠， ∴CAG AGC ∠=∠． (2)解：过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：FCD FAD ，∵AB 为O 的直径，且CD AB ⊥，由垂径定理可知：AC AD =， ∴ACD ADC ∠=∠，∵点A 关于CD 的对称点为E ， ∴FCD ACD ∠=∠，∴FAD FCD ACD ADC ∠=∠=∠=∠，即FAD ADC ∠=∠， ∴DP AP =，由同弧所对的圆周角相等可知：ACP DFP ，且CPA FPD ，∴CPA FPD △≌△， ∴PC PF =，∵FK AB ⊥，AB 与CD 交于点N ， ∴90FKE CNE．∵KEFNEC ，90FKECNE，∴KEF NEC △∽△， ∴25KE EF ENCE，设KE =2x ，EN =5x ， ∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴AN=EN=5x ，AE=AN+NE =10x ，AK=AE+KE=12x ，又//FK PN ， ∴APN AFK △∽△， ∴551212PA AN x AFAKx ． ∵FCDCDA ，∴CF AD ∥， ∴57DP AP AP CPPFAF AP． (3)解：分类讨论如下：情况一：当E 在线段AO 上时，如下图1所示，设AB 与CD 交于点N ，连接BC ，此时//AC OF ，设AN=NE=x ，则AE =2x ，OE=OA -AE=1-2x ，∵//AC OF ，∴OFE ACE △∽△， ∴OE OF AE AC． ∵AB 为O 的直径，AB 为O 的直径，∴90BCACNA ，又∵BAC NAC ，∴BAC CAN △∽△，∴AB AC AC AN， ∵2AB =，AN x =，∴22AC AB AN x ， ∴2ACx ，又∵OE OF AE AC ，12OE x ，2AE x =，112OF AB ==， ∴OE ACAE OF ，即1222x x x ，化简解得3522x ，即352AE ．情况二：当E 在线段AO 上时，如下图2所示，此时//AF OC ，设AN=NE=x ，则AE =2x ，OE=OA -AE=1-2x ，由情况一中可知，2ACx ．∵//AF OC ，∴OCF CFA ∠=∠，∵（2）中已证FAD FCD ACD ADC CFA ∠=∠=∠=∠=∠，∴12OCF FCD OCN ∠=∠=∠， ∵12CDA CON ∠=∠，CDA FCD ∠=∠， ∴OCN CON ∠=∠，∵90CNO ∠=︒，1CO =，∴cos 45CN CO =︒⨯=在Rt CNA △中，∵90CNA ∠=︒，CN =，AN x =，2AC x ，∴222CN NA CA +=，解得x =， ∵AN OA ＜，∴1x ＜，故x =∴22AE x == 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．12．（2022·山东泰安）如图，四边形ABCD 中，AB=AD=CD ，以AB 为直径的⊙O 经过点C ，连接AC ，OD 交于点E ．（1）证明：OD ∥BC ；（2）若tan ∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切；（3）在（2）条件下，连接BD 交于⊙O 于点F ，连接EF ，若BC=1，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2【详解】【分析】（1）连接OC ，证△OAD ≌△OCD 得∠ADO=∠CDO ，由AD=CD 知DE ⊥AC ，再由AB 为直径知BC ⊥AC ，从而得OD ∥BC ；（2）根据tan ∠ABC=2可设BC=a 、则AC=2a 、，证OE 为中位线知OE=12a 、AE=CE=12AC=a ，进一步求得，在△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；（3）先证△AFD ∽△BAD 得DF•BD=AD 2①，再证△AED ∽△OAD 得OD•DE=AD 2②，由①②得DF•BD=OD•DE ，即DF DE OD BD =，结合∠EDF=∠BDO 知△EDF ∽△BDO ，据此可得EF DE OB BD=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．【详解】（1）如图，连接OC ，在△OAD 和△OCD 中，OA OC AD CD OD OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAD ≌△OCD （SSS ），∴∠ADO=∠CDO ，又AD=CD ，∴DE ⊥AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即BC ⊥AC ，∴OD∥BC；（2）∵tan∠ABC=ACBC=2，∴设BC=a、则AC=2a，∴=，∵OE∥BC，且AO=BO，∴OE=12BC=12a，AE=CE=12AC=a，在△AED中，，在△AOD中，AO2+AD2=）2+）2=254a2，OD2=（OF+DF）2=（12a+2a）2=254a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；（3）如图，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DF ADAD BD=，即DF•BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴AD DEOD AD=，即OD•DE=AD2②，由①②可得DF•BD=OD•DE，即DF DE OD BD=，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO，∴EF DE OB BD=，∵BC=1，∴OD=52、ED=2、、，=，∴EF=2.【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键.13．（2022·上海）平行四边形ABCD ，若P 为BC 中点，AP 交BD 于点E ，连接CE ．(1)若AE CE =，①证明ABCD 为菱形；②若5AB =，3AE =，求BD 的长．(2)以A 为圆心，AE 为半径，B 为圆心，BE 为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE =．若F 在直线CE 上，求AB BC的值．【答案】(1)①见解析；②【分析】（1）①连接AC 交BD 于O ，证△AOE ≌△COE (SSS)，得∠AOE =∠COE ，从而得∠COE =90°，则AC ⊥BD ，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E 是△ABC 的重心，由重心性质得BE =2OE ，然后设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2,在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2,从而得9-x 2=25-9x 2，解得：x 即可得OB =3x BD 长；（2）由⊙A 与⊙B 相交于E 、F ，得AB ⊥EF ，点E 是△ABC 的重心，又F 在直线CE 上，则CG 是△ABC 的中线，则AG =BG =12AB ，根据重心性质得GE =12CE ，CG =CE +GE AE ，在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2-)2=12AE 2,则AG AE ,所以AB =2AG AE ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+（2AE ）2=5AE 2，则BC ，代入即可求得AB BC 的值． (1)①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ，∴OA =OC ，∵AE =CE ，OE =OE ，∴△AOE ≌△COE (SSS)，∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°，∴∠COE =90°，∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ，∴四边形ABCD 是菱形；②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线，∵P 为BC 中点，∴AP 是△ABC 的中线，∴点E 是△ABC 的重心，∴BE =2OE ，设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x,∴OB=3x∵平行四边形ABCD，∴BD=2OB(2)解：如图，∵⊙A与⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又F在直线CE上，∴CG是△ABC的中线，∴AG=BG=12AB，GE=12CE，∵CE AE，∴GE，CG=CE+GE AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2-)2=12AE 2,∴AG =2AE ,∴AB =2AG ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+（2AE ）2=5AE 2，∴BC ， ∴21055ABAE BC AE ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．14．（2022·吉林长春）如图，在ABCD 中，4AB =，AD BD ==M 为边AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DB -B 运动，连结PM ．作点A 关于直线PM 的对称点A '，连结A P '、A M '．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点D 到边AB 的距离为__________；(2)用含t 的代数式表示线段DP 的长；(3)连结A D '，当线段A D '最短时，求DPA '△的面积；(4)当M 、A '、C 三点共线时，直接写出t 的值．【答案】(1)3(2)当0≤t ≤1时，DP =；当1＜t ≤2时，PD =(3)35(4)23或2011【分析】（1）连接DM ，根据等腰三角形的性质可得DM ⊥AB ，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t ≤1时，点P 在AD 边上；当1＜t ≤2时，点P 在BD 边上，即可求解；（3）过点P 作PE ⊥DM 于点E ，根据题意可得点A 的运动轨迹为以点M 为圆心，AM 长为半径的圆，可得到当点D 、A ′、M 三点共线时，线段A D '最短，此时点P 在AD 上，再证明△PDE ∽△ADM ，可得33,22DE t PE t =-=-，从而得到23A E DE A D t ''=-=-，在Rt A PE '中，由勾股定理可得25t =，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点A '位于M 、C 之间时，此时点P 在AD 上；当点A '（A ''）位于C M 的延长线上时，此时点P 在BD 上，即可求解．(1)解：如图，连接DM ，∵AB =4，AD BD ==M 为边AB 的中点，∴AM =BM =2，DM ⊥AB ，∴3DM ==，即点D 到边AB 的距离为3；故答案为：3(2)解：根据题意得：当0≤t ≤1时，点P 在AD 边上，DP =；当1＜t ≤2时，点P 在BD 边上，PD =综上所述，当0≤t ≤1时，DP =；当1＜t ≤2时，PD =(3)解：如图，过点P 作PE ⊥DM 于点E ，∵作点A 关于直线PM 的对称点A '，∴A ′M =AM =2，∴点A 的运动轨迹为以点M 为圆心，AM 长为半径的圆，∴当点D 、A ′、M 三点共线时，线段A D '最短，此时点P 在AD 上， ∴1A D '=，根据题意得：A P AP '==，DP =，由（1）得：DM ⊥AB ，∵PE ⊥DM ，∴PE ∥AB ，∴△PDE ∽△ADM ， ∴PD DE PE AD DM AM==，32DE PE ==，解得：33,22DE t PE t =-=-，∴23A E DE A D t ''=-=-，在Rt A PE '中，222A P PE A E ''=+，∴)()()2222223t t =-+-，解得：25t =， ∴65PE =， ∴116312255DPA SA D PE ''=⋅=⨯⨯=； (4) 解：如图，。

圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)

圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH．图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

中考数学压轴题复习----图形、一次函数、圆、相似(附详细解析)

2．已知，正方形 ABCD 中，∠ MAN=45 °，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交们的延长线）于点 M 、 N， AH ⊥ MN 于点 H ．
CB、 DC（或它
（ 1）如图 ① ，当∠ MAN 点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系： _________ ；
（ 2）试说明： △OMN 的边 MN 上的高为定值；
（ 3）△ MNB 1 的周长 p 是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出
p
的值．Βιβλιοθήκη 4．已知正方形 ABCD ，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在直线上，且随着点 P 的运动而运动， PE=PD 总成立．（ 1）如图（ 1），当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（ 2）如图（ 2），当点 P 运动到 CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（ 3）如图（ 3），当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图（ 3）画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
P 点的坐
标．
10．如图，直线 l 1： y=kx+b 平行于直线 y=x ﹣ 1，且与直线 l2：
相交于点 P（﹣ 1，0）．
（ 1）求直线 l1、 l 2 的解析式；（ 2）直线 l 1 与 y 轴交于点 A ．一动点 C 从点 A 出发，先沿平行于 x 轴的方向运动，到达直线 l 2 上的点 B 1 处后，改为垂直于 x 轴的方向运动，到达直线 l1 上的点 A 1 处后，再沿平行于 x 轴的方向运动，到达直线 l2 上的点 B2 处后，又改为垂直于 x 轴的方向运动，到达直线 l1 上的点 A2 处后，仍沿平行于 x 轴的方向运动， … 照此规律运动，动点 C 依次经过点 B 1，A 1， B2， A 2， B 3，A 3，…， B n，A n，… ① 求点 B1， B2，A 1，A 2 的坐标； ② 请你通过归纳得出点 A n、 Bn 的坐标；并求当动点 C 到达 A n 处时，运动的总路径的长？

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题(含解析)

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题（含解析）射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

图形推导过程结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠ACDABCAA∴ABC∆∽ACD∆∴ACABADAC=①ABADAC ⋅=2;②BABDBC⋅=2;③BDADCD⋅=21.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣，∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．2．（北雅）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（不与M 、N 重合），PH MN ⊥于H 点，过N 点作NQ 与PH 平行交MP 的延长线于Q 点．（1）求QPN ∠的度数；（2）求证：QN 与O 相切；（3）若2PN PM MN =⋅，求MH NH 的值．【解答】（1）解：MN 是直径，90MPN ∴∠=︒，90QPN ∴∠=︒；（2）证明：PH MN ⊥ ，90PHM ∴∠=︒，//QN PH ，90QNM PHM ∴∠=∠=︒，ON QN ∴⊥，ON 是半径，QN ∴与O 相切；（3）解：90MNP PNQ ∠+∠=︒ ，90PNQ Q ∠+∠=︒，MNP Q ∴∠=∠，MPN QPN ∠=∠ ，NPM QPN ∴∆∆∽，∴PN PM QP PN=，2PN PM QP ∴=⋅，2PN PM MN =⋅ ，QP MN ∴=，//PH QN ，∴MH MP HN PQ=，∴MH MP HN MN =，同理得，MHP MPN ∆∆∽，∴MP MH MN MP =，HN MP ∴=，设PQ MN a ==，MP b =，∴MH MP HN PQ=，∴a b b b a -=，(12a b -∴=（舍)或1)2a b =∴12MH a b HN b -==．3．（长沙中考）如图，点A ，B ，C 在O 上运动，满足222AB BC AC =+，延长AC 至点D ，使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点A ，C 重合），过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交O 于点M （点M 在劣弧 AC 上）．（1）BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记BDC ∆，ABC ∆，ADB ∆的面积分别为1S ，2S ，S ，若212()S S S ⋅=，求2(tan )D 的值；（3）若O 的半径为1，设FM x =，FE FN y ⋅=，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）BD 是O 的切线．证明：如图，在ABC ∆中，222AB BC AC =+，90ACB ∴∠=︒．又点A ，B ，C 在O 上，AB ∴是O 的直径．90ACB ∠=︒ ，90CAB ABC ∴∠+∠=︒．又DBC CAB ∠=∠，90DBC ABC ∴∠+∠=︒．90ABD ∴∠=︒．BD ∴是O 的切线．（2）由题意得，112S BC CD =⋅，212S BC AC =⋅，12S AD BC =⋅．212()S S S ⋅= ，∴2111()222BC CD AD BC BC AC ⋅⋅⋅=⋅．2CD AD AC ∴⋅=．2()CD CD AC AC ∴+=．又90D DBC ∠+∠=︒ ，90ABC A ∠+∠=︒，DBC A ∠=∠，D ABC ∴∠=∠．tan tan BC AC D ABC CD BC∴∠==∠=．2BC CD AC ∴=．又2()CD CD AC AC +=，∴4222BC BC AC AC +=．4224BC AC BC AC ∴+⋅=．241(()AC AC BC BC ∴+=．由题意，设2(tan )D m ∠=，2(AC m BC∴=．21m m ∴+=．152m ±∴=．0m > ，152m ∴=．2(tan )D ∴∠=．（3）设A α∠=，90A ABC ABC DBC ABC N ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，A DBC N α∴∠=∠=∠=．如图，连接OM ．∴在Rt OFM ∆中，OF =．1BF BO OF ∴=+=+，1AF OA OF =-=．∴在Rt AFE ∆中，tan (1tan EF AF αα=⋅=⋅，1cos cos AF AE αα==．在Rt ABC ∆中，sin 2sin BC AB αα=⋅=．(1r = ，2AB ∴=．)cos 2cos AC AB αα=⋅=．在Rt BFN ∆中，sin BF BN α==tan BF FN α==．y FE FN ∴=⋅2x =2x =2x =21x x=⋅x =．即y x =．FM AB ⊥ ，FM ∴最大值为F 与O 重合时，即为1．01x ∴< ．综上，y x =，01x <．4.（长沙中考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；5.（青竹湖三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB．解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径，∴∠ADE ＝90°∴DE ⊥AC 又∵D 是AC 的中点∴DE 是AC 的垂直平分线∴AE ＝CE ；（2）解：在△ADE 和△EFA 中，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF,∴AE 2＝2×6,∴AE ＝2cm ；（3）解：∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∵CF:CD=n,令CD=1，则CF=n ，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF ，∴AE 2＝1×(n+2)，∴AE ＝=CE ，∵∠CAB ＝∠DEC,∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝＝＝．6.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH ＝HD ；（2）若BFBD ＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ；（2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.10.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB的延长线交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ，BE =.（1）求证：AC 平分DAB ∠；BC=，求阴影部分的面积；（2）若5CD=，求PC的长度（射影定理）.（3）若3【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB＝BE＝×5＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，＝×5×＝，∴∠BOC＝60°，∴OH＝＝，CH＝OH＝，∴S△BOCS扇形BOC＝×π×52＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，（2）∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∵∠ACB＝∠BHC＝90°，由射影定理得：CH2＝BH•AH，设BH＝x，AH＝10-x，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或9(舍)，又由射影定理得：CH2＝O H•HP，∴32＝4HP，解得：HP＝．7.（雅礼）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．解：（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝6，∴OD＝6，MC＝12，∵＝＝，∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴＝＝，∴点P是BC的中点，∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12，∴BM＝12，由射影定理得：MC2＝MD×MB,∴122＝12×MD，∴MD＝4，∴＝．8.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。

2024数学中考压轴题-圆(九大题型和解题方法)

专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

目录：题型1：圆与三角形综合题型2：圆与四边形综合题型3：圆有关的动态问题题型4：圆与坐标系或函数题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题题型6：最值问题题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆题型8：定值问题题型9：在圆综合中求解三角函数值题型1：圆与三角形综合1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知，AD 、BC 为O 两条弦，AD BC ⊥于点E ，连接OE ，AE CE =．(1)如图1，连接OE ，求AEO ∠的度数；(2)如图2，连接AC ，延长EO 交AC 于点N ，点F 为AC 上一点，连接EF ，在EF 上方作等腰直角三角形EFG ，且90EGF ∠=︒，连接NG ，求证：NG BC ∥；(3)在（2）的条件下，连接AB ，CD ，当点G 落在线段AB 上时，过点O 做OL OE ⊥，交CD 于点L ，交CE于点T ，若2OE EG CL ==，求O 半径的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB 为O 的直径，点C 为 AB 上一点，连接AC ，点D 为 BC上一点，连接AD ，过点D 作AB 的垂线，垂足为点F ，交O 于点E ，连接CE ，分别交AD 和AB 于点H 和点K ，且90AHE =︒∠．(1)如图1，求证：CAD BAD ∠=∠；(2)如图2，连接HF ，过点H 作HF 的垂线交AB 于点T ，求证：2AB FT =；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC 交AD 于点G ，延长CD 交AB 的延长线于点M ，若CM AG =，5FT =，求CG 的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点G ，连接AD ，过点C 作CF AD ⊥于F ，交AB 于点H ，交O 于点E ，连接DE ．(1)如图1，求证：2E C ∠=∠；(2)如图2，求证：DE CH =；(3)如图3，连接BE ，分别交AD CD 、于点M N 、，当2OH OG =，HF =EN 的长．4．（2024·浙江·模拟预测）如图1，ABC 内接于O ，作AD BC ⊥于点D ．(1)连结AO ，BO ．求证：2180AOB DAC ∠+∠=︒；(2)如图2，若点E 为弧AC 上一点，连结BE 交AD 于点F ，若2BAD CAD ∠∠＝，490DBF CAD ∠+∠=︒，连结OF ，求证：OF 平分AFB ∠；(3)在（2）的条件下，如图3，点G 为BC 上一点，连结EG ，2BGE C ∠=∠．若AD =3BD EG +=，求DF 的长．题型2：圆与四边形综合5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，DE AC ⊥于点F 交BC 于点E ．(1)设DBC α∠=，试用含α的代数式表示ADE ∠；(2)如图2，若3BE CE =，求BDDE的值；(3)在（2）的条件下，若,AC BD 交于点G ，设FGx CF=，cos BDE y ∠=．①求y 关于x 的函数表达式．②若BC BD =，求y 的值．6．（2024·广东珠海·一模）如图1，F 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AF ，在AF 上取一点O ，以OA 为半径作圆，恰好使得O 经过点B 且与CD 相切于点E ．(1)若正方形的边长为4时，求O 的半径；(2)如图2，将AF 绕点A 逆时针旋转45︒后，其所在直线与O 交于点G ，与边CD 交于点H ，连接DG BG ，．①求ADG ∠的度数；②求证：··²AB BF AG FG BG +=．题型3：圆有关的动态问题7．（2024·广东·一模）综合探究：如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ．(1)如图1，当点E 与点O 重合时，判断ABD △的形状，并说明理由；(2)如图2，当1OE =时，求BC 的长；(3)如图3，若点P 是线段AD 上一点，连接PC ，当PC 与半圆O 相切时，判断直线PC 与AD 的位置关系，并说明理由．8．（2024·浙江湖州·一模）如图，在ABCD Y 中，∠B 是锐角，AB =10BC =，在射线BA 上取一点P ，过P 作PE BC ⊥于点E ，过P ，E ，C 三点作O ．(1)当3cos 5B =时，①如图1，若AB 与O 相切于点P ，连结CP ，求CP 的长；②如图2，若O 经过点D ，求O 的半径长．(2)如图3，已知O 与射线BA 交于另一点F ，将BEF △沿EF 所在的直线翻折，点B 的对应点记为B '，且B '恰好同时落在O 和边AD 上，求此时PA 的长．9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在O 中，AB 是O 的直径，点M 是直径AB 上的一个动点，过点M 的弦CD AB ⊥，交O 于点C 、D ，连接BC ，点F 为BC 的中点，连接DF 并延长，交AB 于点E ，交O 于点G ．图1 图2 备用图(1)如图1，连接CG ，过点G 的直线交DC 的延长线于点P ．当点M 与圆心O 重合时，若PGC MDE ∠=∠，求证：PG 是O 的切线；(2)在点M 运动的过程中，DE kDF =（k 为常数），求k 的值；(3)如图2，连接BG OF MF 、、，当MOF △是等腰三角形时，求BGD ∠的正切值．题型4：圆与坐标系或函数10．（2024·福建龙岩·一模）如图，抛物线234y x x =-++与x 轴分别交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)与y 轴交于点C ．(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)如图(1)，P 是抛物线上异于A ，B 的一点，将点B 绕点P 顺时针旋转45︒得到点Q ，若点Q 恰好在直线AP 上，求点P 的坐标；(3)如图(2)，MN 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，直线BN 与直线CM 交于点T ，若直线MN 经过定点()1,3，求证：点T 的运动轨迹是一条定直线．11．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy 中，P 、Q 为平面内不重合的两个点，其中1122(,),(,)P x y Q x y ．若：1122x y x y +=+，则称点Q 为点P 的“等和点”．(1)如图1，已知点()21P ，，求点P 在直线1y x =+上“等和点”的坐标；(2)如图2，A 的半径为1，圆心A 坐标为()20，．若点()0P m ，在A 上有且只有一个“等和点”，求m 的值；(3)若函数()22y x x m =-+≤的图像记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图像记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图像上恰有点()0P m ，的两个“等和点”，请直接写出m 的取值范围．12．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知点A 的坐标为(10)-，，点B 的坐标为(30)，．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D 是第一象限内该抛物线上一动点，过点D 作直线l y 轴，直线l 与ABD △的外接圆相交于点E ．①仅用无刻度直尺找出图2中ABD △外接圆的圆心P ．②连接BC 、CE ，BC 与直线DE 的交点记为Q ，如图3，设CQE △的面积为S ，在点D 运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S 的最大值；如果不存在，请说明理由．13．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =--∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =-，②41y x =-，③23y x =-+，④31y x =--中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号）(2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数2)304(2y x x x =-++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题14．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．15．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．题型6：最值问题16．（2024·湖南长沙·三模）如图1，,,A B C 为O 上不重合的三点，GC 为O 的切线，1902G A ∠+∠=︒．(1)求证：GB 为O 的切线；(2)若ABC 为等腰三角形，345,tan 4BAC BAC ∠<︒∠=，求BC AG的值；(3)如图2，若AB 为直径，M 为线段AC 上一点且GM GB ⊥，2223880AM OB GB GB +-+-=，02GB <<，求MGBA S 四边形的最大值．17．（2024·重庆·模拟预测）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒．点D 为ABC 内一点，且60ADB ∠=︒，E 为线段BD 的中点，连接AE ．(1)如图1，若AB AC ==，2AD =，求BE 的长；(2)如图2，连接CD ，若AB AC =，BAE ACD ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥交于F ，求证：AE =；(3)如图3，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，连接MN ，若AB =4AC =，求MN 的最小值．题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆18．（2024·福建泉州·一模）如图1，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，F 是CD 上一点，且DF DE =．(1)求证：BE EF ⊥；(2)如图2，若120A ∠=︒，FG BC ⊥于点G ，H 是BF 的中点，连接DG ，EH ，EG ，且EG 与BF 相交于点K ．①求证：DG EH =；②若2CF DF =，求KFGK的值．题型8：定值问题19．（2024·浙江·模拟预测）如图1，E 点为x 轴正半轴上一点，E 交x 轴于A 、B 两点，P 点为劣弧 BC上一个动点，且(1,0)A -、(1,0)E ．(1) BC的度数为 °；(2)如图2，连结PC ，取PC 中点G ，则OG 的最大值为；(3)如图3，连接AC 、AP 、CP 、CB ．若CQ 平分PCD ∠交PA 于Q 点，求AQ 的长；(4)如图4，连接PA 、PD ，当P 点运动时（不与B 、C 两点重合），求证：PC PDPA+为定值，并求出这个定值．题型9：在圆综合中求解三角函数值20．（2024·湖南长沙·一模）如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，B C =，D 是BC 的中点．经过A ，B ，D 三点的O 交AC 于点E ，连接BE ．(1)求AE 和BE 的长；(2)如图2，两动点P 、Q 分别同时从点A 和点C 出发匀速运动，当点P 运动到点E 时，点Q 恰好运动到点B ，P 、Q 停止运动，连接PQ ．①记AP x =，当PQC △的面积最大时，求x 的值；②如图3，连接BP 并延长交O 于点F ，连接AF 、FE ．当BE 平分FBC ∠时，求sin ABF ∠的值．21．（2024·上海杨浦·一模）已知以AB 为直径的半圆O 上有一点C ，CD OA ⊥，垂足为点D ，点E 是半径OC 上一点（不与点O 、C 重合），作EF OC ⊥交弧BC 于点F ，连接OF ．(1)如图1，当FE 的延长线经过点A 时，求CDAF的值；(2)如图2，作FG AB ⊥，垂足为点G ，连接EG ．①试判断EG 与CD 的大小关系，并证明你的结论；②当EFG 是等腰三角形，且4sin 5COD ∠=，求OE OD的值．专题01 中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）1、圆中常见相似三角形2.在圆中解三角形或四边形的常用思路画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这些特殊图形中求出一些中间量。

中考数学备考资料-二次函数与圆结合的压轴题及详细解析

二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． k y x =(1)k >且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D 、E 。

设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点.32y x =-+（1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C5点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M 与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线过点A 和B ，与y 轴交于点C ．216y x bx c =++（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的216y x bx c =++最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【例题6】(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴、轴分M A O x y 别相交于两点．(60)(08)A B --，，，（1）请求出直线的函数表达式；AB （2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点，顶点在上，开口向下，且经过点，求此抛物线的y M C M A B 函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交轴于两点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求x D E ，P 115PDE ABC S S =△△出点的坐标；若不存在，请说明理由．P x【例题7】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？【例题8】如图，点P 在y 轴上，半径为3的⊙P 分别交x 轴于A 、B 两点，AB=4，交y 轴负半轴于点C ，连接AP 并延长交⊙P 于点D ，过D 作⊙P 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ；（1）求直线FG 的解析式；（2）连接CD 交AB 于点E ，求的值；PCD tan （3）设M 是劣弧BC 上的一个动点，连接DM 交x 轴于点N ，问：是否存在这样的一个常数k ，始终满足AN·AB+DN·DM=K ，如果存在，请求出K 的值，如果不存在，请说明理由；B DB图 1图 3。

圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点

圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。

三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。

初中数学二次函数与圆相结合的压轴题专题,中考数学二次函数与圆相结合的经典题型讲解及答案解析

【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且x始终与］轴相切于定点C（0,1）.⑴求经过三点的二次匣1数图象的解析式；（2）若二次函教图象的顶点为D,问当上为何值时'四边形也站尹为菱形.【耕音】解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）与y轴相切于点C（0, 1），.-.PC±y^.•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，X•.•P点坐标为（k,1）.（2分）•.•PAU.在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，•'•A(k-90 ).(3分)•.•由。

P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.AOB=OA+2AH=k•••B3小2_1，0）.《4分〉故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）又二.抛物线过C（。

，1），B（k-^2_r0），[ak^-^h=1•3|—?昭得a=l，h=1-k^.（7分）•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>•・•DH-k2-l.若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）VPH=1，.•-k2-l=l.又">1,（11分）•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。

虹4应=2,直线），=-"：与坐标轴交于D、E。

设M是加的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；<2）当P在什么位置时，PA=PB?求出此时P点的坐标j<3）过P作PH1BC,垂足为H,当以PM为直径的OF与BC相切于点N时，求梯形PHBH的面积.图6【分析】(1)因为四边形OABC是逅形，0A=4,AB=2»直线>=r-?与坐标轴交于D、E，M是AB的中点2.所以令y=0,即司术出D的坐标，而AM-1.印以M(4,1)；(2)因为PA=PB.断以P是AB的香直平分线和直线ED的交点，而AE的中垂线是y=l，断以P的纵坐标为1，令直线ED的解析式中的y=l，求出的x的值即为相应的P的横坐标；(3〉可设P(x，y>，连将PN、MN、NF，因为点P在y・x-：上，所以P《x，粮据蹦意可2得PNlMNi FN±BCi F是圈心，又因N是钱段HB的中点，HN-NB-—»PH-2-(-x*-)t2 2 2BM=1,利用直径对的圆周角是直甬可得到ZHPX-ZHNP=ZHNP-ZBNM=90°•所以ZHPN=ZB取ph ir£x+| NM,又因ZPHN-ZB-900-所以可得到R tAPNH<^RtANMB•所以—•A2=—^，这BM BN—4-x1—样牧可得到关于X的方程，解之即可求出X的值，而饬求面招的四边形是一个直角梯形，南以Spg=也皿滋或"医号)("6+应)=.21_色叵.2 2 24满答】俄；《1)M", 1),D《9,0)；(2分)2(2)V PA=PB>•七点P在线段AB的中毒线上，•.•点P的纵坐标是I，3又•:点P在尸-X-—上，2・.•点P的坐标为(【，1)?(4分)（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，3点P lSy=・x+-上，匕3・'・P（x ,-w+—），2依题意知：PN«LMN>FN^BC,F是圆心，・'・N是线段HB的中点，HN=NB=±M，PH=2.2口，BM=1，<6分）22HPN-ZHNP=NHNP-ZBNM=90°，NHPN=ZBNN1，又ZPHN=ZB=90°5RtAPNH^RtANMBs:HN_PH•'两南，4-x x*.."F=二，-等」22，（8分）x?-12x+14=0»朋得；x-6-j22（^-*>^舍去），k=6-皿=些罕=空也艾竺=一*孕屈，（9分）2【例题31（||-4省白银等7市新课程）28.在直角坐标系中>0A的丰径为4,圆心A曜标为（2, 0），S与X轴交于E、尸两点，与），轴交于（7、D两点，过点（7作0X的切线时，交x轴于点3.（1）求直线C5的解析式：（2）若抛物线.件履7）日€的顶点在直线3C上,与x轴的交点恰为点E、已求该抛物线的解析式J（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与A4OC相似？直接与出两组这样的点•4［分析】(1>SHAC.根撮区］的李径求出AC. W1B点人的坐麻求出0A，燃后利用勾腹定理列式求出0C・从而得到点C的坐标，再求出ZCAO=60=.然后粮掘直有三甬形两锐角互余米出NB=30。

中考数学压轴题提升训练圆中证明及计算问题含解析

圆中证明及计算问题【例1】如图,⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB•CP＝BD•CD；（3）当AB＝5 cm,AC＝12 cm时，求线段PC的长．【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OD．∵∠BAD＝∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PA，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，即OD⊥PA，∴PD是⊙O的切线．(2）证明:∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD,∴△BAD∽△CDP,∴AB BD,CD CP∴AB•CP＝BD•CD．（3）∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝5，AC＝12，由勾股定理得：BC＝13,由（1）知，△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝∵AB•CP＝BD•CD．．∴PC＝16910【变式1-1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,延长BC 到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．(1）求证：△ABE≌△CDE；(2）填空：①当∠ABC的度数为时,四边形AOCE是菱形;②若AE=6，BE=8，则EF的长为．。

【答案】（1)见解析；（2）60；92【解析】（1）证明：连接CE，∵AB=AC，CD=CA,∴∠ABC=∠ACB,AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,∴∠ECD=∠BAE，同理，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE；（2）①60；连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形,∴∠ABC+∠AEC=180°,∵∠ABC =60，∴∠AEC =∠AOC =120°,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA =30°，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∵∠ACB =∠CAD +∠D ，AC =CD ,∴∠CAD =∠D =30°，∴∠ACE =30°，∴∠OAE =∠OCE =60°，即四边形AOCE 是平行四边形，∵OA =OC ,∴四边形AOCE 是菱形；②由(1)得：△ABE ≌△CDE ，∴BE =DE =8，AE =CE =6，∠D =∠EBC ,由∠CED =∠ABC =∠ACB ，得△ECD ∽△CFB ， ∴CE CF DE BC==68, ∵∠AFE =∠BFC ，∠AEB =∠FCB ，∴△AEF ∽△BCF ， ∴EF CF AE BC=，即668EF =，∴EF=9．2【例2】如图，AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点E．(1）求证：△CDE≌△CBE;（2）若AB＝4,填空：①当弧CD的长度是时，△OBE是等腰三角形；②当BC＝时，四边形OADC为菱形．;2．【答案】(1)见解析；（2)2【解析】（1）证明:延长AD交直线l于点F,∵AD垂直于直线l，∴∠AFC＝90°，∵直线l为⊙O切线，∴∠OCF＝90°,∴∠AFC＝∠OCF＝90°,∴AD∥OC,∵AB为⊙O直径,∴∠ADB ＝90°，∴∠OEB ＝90°，∴OC ⊥DB ,∴DE ＝BE ,∠DEC ＝∠BEC ＝90°，∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CBE ；（2)①如图2，连接OD ，由（1）知∠OEB ＝90°,当△OBE 是等腰三角形时，则△OEB 为等腰直角三角形,∴∠BOE ＝∠OBE =45°，∵OD ＝OB ，OE ⊥BD ，∴∠DOC ＝∠BOE ＝45°,∵AB ＝4,∴OD ＝2，∴弧CD 的长=452180π⨯=2π;②当四边形OADC 为菱形时，则AD ＝DC ＝OC ＝AO ＝2，由(1）知，BC ＝DC ，∴BC ＝2.【变式2—1】(2019·河南南阳一模）如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2，∠B =135°，则弧AC 的长为（）A. 2πB. π C 。

上海中考数学压轴题专题17 圆中的函数关系问题(解析版)

上海中考数学压轴题专题17 圆中的函数关系问题教学重难点1.理解圆的基本性质；2理解圆中：弦、弦心距、弧、圆心角之间的关系；3.培养学生利用圆的基本性质建立相关函数关系式；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

【备注】该部分引导学生复习圆的基本性质和垂径定理，大概5分钟左右。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量中，只要有一组量相等则其余三组量也相等，简称“买一送三”。

垂径定理：垂径定理是圆与直线的位置关系中最重要的一个定理。

如果说对于定理及推论理解实在有难度的话可以从其共性着手。

可以这么理解，针对半径而言，“平分圆心角”、“平分弧”、“平分弦”、“垂直弦”四个特点“买一送三”。

从推导过程理解垂径定理本质上就是将曾经掌握的等腰三角形“三线合一”置入圆内。

因此题型中等腰三角形的性质对于解题过程的帮助明显要突出许多。

在应用这一定理的过程中要注意“弦长”“半径”“弦心距”之间存在的关系往往都和勾股定理有关。

勾股数的熟练掌握对于此类题型帮助很大。

近年来的圆出题方向多偏向于这一定理，压轴题型如果涉及到圆多和垂径定理脱不了干系。

故此定理是为圆一章内容的重中之重。

思路一：抓住圆内存在的等腰三角形，利用勾股定理迅速确定可能出现的与题目有关的数据。

思路二：圆内出现“平分”，“垂直”等字眼时本题和垂直定理一般就会产生联系，无论是证明还是求值都必须先掌握住定理提供的其他的几个确定关系。

注意：添加辅助线的技巧，就是将题目中的图形和上图对比，确什么补什么，大部分题目可以解决，但一定要利用好题目中的特殊条件。

【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题8-10分钟。

中考数学压轴必刷专题17函数与圆综合问题(学生版)

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC ⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．。

中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣24 7，∴点M的坐标为（﹣242477，）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AO BO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．3．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．4．如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=2k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=10EH AE．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．5．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF =EF ：（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO =∠BAO ， ∵BE 是圆O 的切线， ∴∠EBO =90°， ∴∠FBA +∠ABO =90°， ∴∠FAB +∠BAO =90°，即∠FAO =90°， ∴PA ⊥OA ， ∴PA 是圆O 的切线；（3）过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==，即12BD CD =，∴23 2.15，3∵O的半径长为32，∴BC=62，∴BD=1BC＝22.3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、CB、BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论；（2）先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC的边长为3，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．7．在O 中，AB 为直径，C 为O 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小. 【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，AC＝12，求BD的长．(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)103. 【解析】分析：（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C ，∠ABC=∠ODB ，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD ∥AC ，从而得证OD ⊥EF ，即 EF 是⊙O 的切线；（2）根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=12AB =6，进而根据等边三角形的判定得到△OBD 是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF∴EF 是⊙O 的切线（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=12AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600∴BD =6062180ππ⨯= 即BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE == 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠== ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF∴ OF OD AF AE = 即：55108BF BF +=+ 解得：BF=103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为145．【解析】【分析】（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O 的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=，cos ∠ABD ＝45，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴AD AE =，∴∠ADE ＝∠ABD ，∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ，∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠ADE ＝∠DAC ，∴AG ＝GD ；（2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由：∵弦BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，∵DE ⊥AB ，∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145．∴BC的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=123ON=33DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝（2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形，∴NH＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。

中考数学压轴题专题复习——圆与相似的综合及答案解析

中考数学压轴题专题复习——圆与相似的综合及答案解析一、相似1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=（3）解：存在，易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN的面积为△ABC面积的，∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，∴tan∠MAC= =4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，∴tan∠MAC= =1；②当N点在BC上，如图2，BC= =2 ，∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，∵S△AMN= AN•MN=2，∴MN= = ，∴∠MAC= ；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，由②得AH= ，则BH= ，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴，即，∴MN= ，∵AN•MN=2，即•（﹣t）• =2，整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

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1题型解析类型1 .圆的综合题例2（2007·广东茂名）如图5，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．（1）求证：DEC △∽ADC △. （2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ．求证：CH 是⊙O 的切线．分析：（1）只要证DAC CDB ∠=∠即可，（2）要判断是梯形，只要说明DC ∥AB 即可，注意到已知条件中数量关系较多，考虑从边相等的角度来说明：先求DC ，再说明OBCD 是菱形（3）要证明“CH 是⊙O 的切线”，只要证明∠OCH=090即可.解：（1）因为C 是劣弧BD 的中点，所以DAC CDB ∠=∠．因为∠DCE=∠ACD ，所以DEC △∽ADC △．（2）四边形ABCD 是梯形.证明：连接OD ，由⑴得DC ECAC DC =.因为 1.213CE AC AE EC ==+=+=，所以DC =．由已知BC DC =因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ∠=︒ ，所以22222312AB AC CB =+=+=．所以AB =所以OD OB BC DC ===所以四边形OBCD 是菱形．所以DC AB DC AB <∥，，所以四边形ABCD 是梯形．过C 作CF 垂直AB 于点F ，连接OC，则OB BC OC ===，所以60OBC ∠=︒．所以 CF=BC ×sin600=1.5.所以()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝（3）证明：连接OC 交BD 于点G ，由（2）得四边形OBCD 是菱形，所以OC BD ⊥且OG GC =．又已知OB ＝BH ，所以BH 平行且等于CD.所以四边形BHCD 是平行四边形.所以BG CH ∥．所以90OCH OGB ∠=∠=︒. 所以CH 是⊙O 的切线．特别提示：在推理时，有时可能需要借助于计算来帮助证明，比如本题中证明DC ∥AB. 跟踪练习2.（2007四川绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC = 60︒， P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC ．（1）求证：△CDQ 是等腰三角形；（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP:PO 的值．参考答案：2（1）由已知得∠ACB = 90︒，∠ABC = 30︒，∴ ∠Q = 30︒，∠BCO = ∠ABC = 30︒． ∵ CD 是⊙O 的切线，CO 是半径，∴ CD ⊥CO ，∴ ∠DCQ =30︒，∴ ∠DCQ =∠Q ，故△CDQ 是等腰三角形．（2）设⊙O 的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB ∕2 = 1，BC =3．∵△CDQ ≌△COB ，∴ CQ = BC =3．于是 AQ = AC + CQ = 1 +3，图2进而 AP = AQ ∕2 =（1 +3）∕2，∴ BP = AB －AP =（3－3）∕2，PO = AP －AO =（3－1）∕2，∴ BP:PO =3．类型2. 图形中的函数(方程）这类题通常需要利用方程与函数的思想来处理，具体的说，往往通过线段成比例或者面积公式等来建立关系式，再通过解方程或者利用函数性质来得到解决.例4．（2007·山西临汾）如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH的边长分别是，它们的中心12O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M，7ME =-EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．（1）在开始运动前，12O O = ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x之间的函数表达式．分析:（1）22211==AD M O ,2222==EH E O ,所以92121=++=EO ME M O O O （2）运动3秒时，224-=ME ,此时A 点落在E O 1上，,41=A O 所以AE=E O A O O O 2121--=0,（3）重叠部分是正方形，只要用x 表示出其边长即可，注意到不同情况下，边长的表示不一样，从而需要讨论. 解：（1）9．（2）0， 6．（3）当正方形ABCD 停止运动后，正方形EFGH 继续向左平移时，与正方形ABCD 重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积y 与x 之间的函数关系应分四种情况：①如图1，当04x <≤时，EA x =∵，y ∴与x 之间的函数关系式为22x y =． ②如图2，当4≤x ≤8时，y 与x 之间的函数关系式为y=8．③如图3，当8<x<12时，12CG x =-∵，y∴与x 之间的函数关系式为DDD 图1 图2 图3()22121127222x y x x -==-+．④当12x ≥时，y 与x 之间的函数关系式为0y =．特别提示：（1）本题也是变换型试题，计算与证明时要抓住变换中不变的元素（比如角相等，边相等，图形全等，等）来进行处理，如果直角比较多，还可从相似、三角函数、勾股定理角度来建立数量关系.（2）对于图形变化中分段函数的问题，可以从图形特征角度来分别讨论，以力求解答完备.跟踪练习4（2007·河北）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P 从点B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD-DA-AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使P Q ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案：4：（1）t =35（秒）时，点P 到达终点C ． BQ 的长为135－105=30．（2）若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t ，得50＋75－5t=3t ，解得t=1258．当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时S=S ⊿QCE =12QE ·QC=6t2；②当点E 在DA 上运动时， S= S 梯形QCDE =12(ED ＋QC)DH =()[]40330321⨯+-⨯t t =120 t －600．（4） △PQE 能成为直角三角形．当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t≠1558或t=35．跟踪练习5（2007江苏扬州）如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；MM（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：5、（1）34PM=，（2）2t=，使PNB PAD△∽△，相似比为3:2（3）△AMP∽△ABN可得PM=atat)(-，2)(2))(3)(3(tttaatTaatat⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+--，化简,得66ata=+，3＜a≤6.（4）梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，()3ta t ta∴-=-，把66ata=+代入，解得a=（舍负值）．。