浙江省2018届中考数学：第21讲《矩形、菱形与正方形》同步练习(含答案)

课后练习21矩形、菱形与正方形
A组
1．(2016·河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是()
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
2．(2017·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连结AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是()
A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定
第2题图
3．设A，B表示两个集合，我们规定“A∩B”表示A与B的公共部分，并称之为A与B的交集．例如：若A＝{正数}，B＝{整数}，则A∩B＝{正整数}．如果A＝{矩形}，B＝{菱形}，则A∩B＝()
A．{平行四边形} B．{矩形} C．{菱形} D．{正方形} 4．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()
第4题图
A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°
5．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；
2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)
乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD 即为所求(如图2)
对于两人的作业，下列说法正确的是()
A．两人都对B．两人都不对
C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
6．(2015·青岛)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC 边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为() A．4 B．4 6
C．47 D．28
第6题图
7．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为3；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
第7题图
8．(2017·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线
BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为____________________m.
第8题图
9．(2016·贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC 于点E，交AD于点F，连结AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝3，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)
第9题图
10．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连结DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
(2)连结EF，若AE＝8厘米，∠A＝60°，求线段EF的长．
第10题图
B组
11．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF；(3)AO＝OE；(4)S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
第11题图
12．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝.
第12题图
13．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是.
第13题图
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
第14题图
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
C组
15．(2016·台湾)如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革；皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD＝2DQ，PC ＝RC，且P、Q、R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．
第15题图
(1)当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积；
(2)承(1)，当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．
参考答案
课后练习21 矩形、菱形与正方形
A 组
1．C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.4600
9．(1)∵O 是AC 的中点，且EF ⊥AC ，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD
是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFO ＝∠CEO ，∠AOF ＝∠COE ，OA ＝OC ，
∴△
AOF ≌△COE (AAS )，∴AF ＝CE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形； (2)∵四
边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD CF
，∠DCF ＝30°，∴CF ＝CD cos30°
＝2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE ＝CF ＝2，∴四边形AECF 的面积为：EC ·AB ＝2 3.10．(1)菱形．理由：∵根据题意得：AE ＝AF ＝ED ＝DF ，∴四边形AEDF 是菱形； (2)连结EF ，∵AE ＝AF ，∠A ＝60°，∴△EAF 是等边三角形，∴EF ＝AE ＝8厘米．
第10题图
B 组
11．B 12.5 13.20 5＋5321007
14．(1)略； (2)当∠BAC ＝90°时，理由：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ＝BD ＝CD ，∵由(1)得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．
C 组
15．(1)∵DQ ＝x 公分，∴PD ＝2DQ ＝2x 公分，∴S △PDQ ＝12
x ×2x ＝x 2(平方公分)； (2)∵PD ＝2x 公分，CD ＝12公分，∴PC ＝CR ＝(12－2x )公分，∴S 五边形PQABR ＝S 正方形ABCD －S △PDQ －S △PCR ＝122－x 2－12(12－2x )2＝144－x 2－12
(144－48x ＋4x 2)＝144－x 2－72＋24x －2x 2＝－3x 2＋24x ＋72＝－3(x 2－8x ＋42)＋72＋3×16＝－3(x －4)2＋120，故当x ＝4时，五边形PQABR 有最大面积为120平方公分．。