数值分析实验-4
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析实验报告
实验2.1 多项式插值的振荡现象实验目的：在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。
Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
实验容：设区间[-1，1]上函数 f(x)=1/(1+25x 2)。
考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 x i = -1 + 2i/n ，i=0，1，2，…，n ，则拉格朗日插值多项式为201()()125nn i i i L x l x x ==+∑. 其中，l i (x)，i=0，1，2，…，n 是n 次Lagrange 插值基函数。
实验步骤与结果分析：实验源程序function Chap2Interpolation% 数值实验二：“实验2.1：多项式插值的震荡现象”% 输入：函数式选择，插值结点数% 输出：拟合函数及原函数的图形promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'};titles = 'charpt_2';result = inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'});Nb_f = char(result);if(Nb_f ~= 'f' & Nb_f ~= 'h' & Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！');return;endresult = inputdlg({'请输入插值结点数N:'},'charpt_2',1,{'10'});Nd = str2num(char(result));if(Nd <1)errordlg('结点输入错误！');return;endswitch Nb_fcase 'f'f=inline('1./(1+25*x.^2)'); a = -1;b = 1;case 'h'f=inline('x./(1+x.^4)'); a = -5; b = 5;case 'g'f=inline('atan(x)'); a = -5; b= 5;endx0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0);x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x);fplot(f, [a b], 'co');hold on;plot(x, y, 'b--');xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');%--------------------------------------------------------------------function y=Lagrange(x0, y0, x);n= length(x0); m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif(j ~= k)p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));endends = s + p*y0(k);endy(i) = s;end实验结果分析(1)增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析实验报告4
function f=gg(x) f=sqrt(2.5-(x^3)/4); end
则三种方法运行出的结果分别为： >> BDD(1.5) k= 20 ans = 1.365229578333959 >> WA(1.5) k= 6 ans = 1.365230351032824 >> ATJ(1.5) k= 4 ans = 1.365230013413594 （5）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现 matlab 自带函数求根 的程序代码如下：
>>format long BDD(1.5) k= 7 ans = 1.365230575673434
（2）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现加权加速求根的程序 代码如下：
function [y,n]=WA(a,eps) if nargin==1 eps=1e-16; end syms x L=subs(diff(sqrt(10/(4+x))),a); xl=gg(a,L); n=1; E=abs(xl-a); while (E>=eps)&(n<=10000) x=xl; xl=gg(x,L); n=n+1; E=abs(xl-x); end
在 command Windows 中输入命令：XJF(1.5)，得出的结果为：
>> XJF(1.5) k= 5 ans = 1.365230020178121 （8）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现抛物线法求根的程序
代码如下：
function [y,n] = parabola(fx,a,b,c,eps) if(nargin == 4) eps=1e-6; syms x fa = subs(fx,a); fb = subs(fx,b); fc = subs(fx,c); fb_a = (fb-fa)/(b-a); fc_b = (fc-fb)/(c-b); fc_b_a = (fc_b - fb_a)/(c-a); w = fc_b + fc_b_a*(c-b); x0 = c - 2*fc/(w+(w^2 - 4*fc*fc_b_a)^.5); n=1; if(abs(x0-c) > eps && n <= 10000) a=b; b=c; c=x0; fa = subs(fx,a); fb = subs(fx,b); fc = subs(fx,c); fb_a = (fb-fa)/(b-a); fc_b = (fc-fb)/(c-b); fc_b_a = (fc_b - fb_a)/(c-a); w = fc_b + fc_b_a*(c-b); x0=c - 2*fc/(w+(w^2 - 4*fc*fc_b_a)^.5); n=n+1; end y=x0; n; end end
《数值分析》课程实验报告数值分析实验报告
《数值分析》课程实验报告数值分析实验报告《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：20__ 年 _ 月_ 日目录实验一函数插值方法 1 实验二函数逼近与曲线拟合 5 实验三数值积分与数值微分 7 实验四线方程组的直接解法 9 实验五解线性方程组的迭代法 15 实验六非线性方程求根 19 实验七矩阵特征值问题计算 21 实验八常微分方程初值问题数值解法 24 实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
（提示：结果为, ）（2） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式，计算的,值。
（提示：结果为, ）二、要求 1、利用Lagrange插值公式编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。
Newton 插值多项式如下：其中：三、目的和意义 1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验步骤（1） 0.4 0.55 0.65 0.80 0.951.05 0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算, 的值。
数值分析实验报告5篇
误差分析实验1.1（问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。
对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。
通过本实验可获得一个初步体会。
数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。
病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。
问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。
现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。
这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。
我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。
实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。
roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。
设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数poly(v)b =的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。
可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。
;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =))20:1((ve poly roots +上述简单的Matlab 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。
实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。
数值分析4(牛顿迭代法)
*
18:11
20/26
若 x*是 f(x)=0 的 m 重根,修正的牛顿迭代法 f ( xn ) 1/m或f(x)/f′(x) [ f ( x )] xn1 xn m f ( xn ) 单根 为二阶收敛
m=2
xn1
f ( xn ) xn 2 f ( xn )
* *
牛顿迭代数列{ xn }单调下降有下界x* ,因而必收敛。 18:11 15/26
Newton迭代法的变型－弦截法
由于
f ( x n ) f ( x n 1 ) f ( xn ) xn xn
代入牛顿迭代格式
xn 1 f ( xn ) xn f ( xn )
x1 x 0
18:11
Error 2.45e-003 2.12e-006 1.59e-012 2.22e-016 2.22e-016
7/26
1 2 xn1 2 [ xn ] 2 2 xn 1 1 2 [ xn 2 xn 2 2] ( xn 2 )2 2 xn 2 xn
xn 1 2 1 2 2 xn ( xn 2 )
f ( x ) ( x ) * f (x )
* *
所以Newton迭代法至少平方收敛。
18:11
9/26
例2.求 x3 +10x – 20 =0 在 x0=1.5 附近的根
解:取 f ( x) x 10x 20 2 则有 f ( x ) 3 x 10
3
3 2 xn 10xn 20 牛顿迭代格式 xn1 xn 2 3 xn 10 表2 牛顿迭代法实验 n xn | xn+1 – xn | 0 1.5 1 1.59701492537313 9.7015e-002 2 1.59456374876881 2.4512e-003 3 1.59456211663188 1.6321e-006 4 1.59456211663115 7.2298e-0wton方法
数值分析 第1-4章习题
第1-4章一、叙述1．内积2．泛函数列强收敛3．Bessel不等式4．距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。
5．Cauchy点列6．距离空间的稠密性、可分性7．范数8．Cauchy-Schwarz不等式9．赋范线性空间成为内积空间的条件10．广义Fourier级数11．商高定理并证明。
12．内积与范数关系。
13．叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。
二、举例1.完全规范正交系2.有界线性泛函，有界非线性泛函。
3.不完备的线性空间4.Bessel不等式5.由内积导出的范数6.由内积导出的距离7.不完备的内积空间8.Cauchy点列9.泛函的范数10.距离空间的稠密性和可分性，并各举一例。
X的强收敛，举例。
11.n12.线性算子、非线性算子各一例。
13.稠密子集14.不完备的内积空间Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念，并举例说明。
15.距离空间(,)16.什么是可分的Hilbert空间，并举例说明。
17.什么是巴拿赫(Banach)空间，举一个Banach空间的例子。
18.19.三、证明T有界。
1.线性算子T有界的充要条件是||||2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离，证明：(,)1(,)x y x y ρρ+也是距离空间的距离。
3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。
4. 证明距离空间中，距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。
5. 距离空间成为赋范线性空间的条件，并证明。
6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y −≤−，并由此推出范数的连续性。
7. 在实数空间中，求证||(,)1||x y x y x y ρ−=+−满足距离公理。
8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间；9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间：（1）X 是线性空间；（2）(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=−=。
数值分析实验 实验报告
数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告引言在现代科学与工程领域，数值分析是一项重要的技术手段。
通过数值方法，我们可以利用计算机模拟和解决各种实际问题，如物理、化学、生物、经济等领域中的方程求解、优化问题、数据拟合等。
本实验旨在通过实际案例，探讨数值分析的应用和效果。
实验一：方程求解首先，我们考虑一个简单的方程求解问题。
假设我们需要求解方程f(x) = 0的根，其中f(x)是一个在给定区间[a, b]上连续且单调的函数。
为了实现这个目标，我们可以采用二分法、牛顿法、弦截法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用二分法来求解方程f(x) = 0。
这种方法的基本思想是通过不断缩小区间[a, b]的范围，直到找到一个近似的根。
我们首先选取一个中间点c，计算f(c)的值，然后根据f(c)与0的关系，将区间[a, b]分成两部分。
重复这个过程，直到找到满足精度要求的根。
实验二：数据拟合接下来，我们考虑一个数据拟合的问题。
假设我们有一组离散的数据点，我们希望找到一个函数，使得该函数与这些数据点的拟合误差最小。
为了实现这个目标，我们可以采用最小二乘法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用最小二乘法来进行数据拟合。
这种方法的基本思想是通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和，来确定拟合函数的参数。
我们首先选择一个拟合函数的形式，如线性函数、多项式函数等。
然后，通过最小化误差平方和的方法，计算出拟合函数的参数。
实验三：优化问题最后，我们考虑一个优化问题。
假设我们需要在给定的约束条件下，找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量。
为了实现这个目标，我们可以采用梯度下降法、遗传算法等数值方法。
在本实验中，我们选择使用梯度下降法来解决优化问题。
这种方法的基本思想是通过迭代的方式，不断调整变量的取值，直到找到一个满足约束条件的最优解。
我们首先计算目标函数关于变量的梯度，然后根据梯度的方向和大小，更新变量的取值。
通过不断迭代，我们可以逐步接近最优解。
【清华】实验4-常微分方程数值解(011813)
实验4 常微分方程数值解化学工程系分9班焦阳2009011813 【实验目的】1. 掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法；2. 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题；3. 了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。
【实验内容】1.题目3：小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。
火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃烧用尽时关闭。
设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
建立模型并进行分析：假设火箭在上升过程中，重力加速度g不随高度而变化，即固定g = 9.8m/s^2。
、(1)从火箭开始上升到引擎关闭：设火箭质量为m，高度为h，速度为v，加速度为a，阻力为f：，，ﭸ由牛顿第二定律可得：总ﭸ综上可得：；ﭸ；初值条件为：，；定义域为：。
根据常微分方程组的初值问题，在MATLAB中计算数值解，记，，， 。
通过解出微分方程的数值解，并进行绘图得到高度-时间曲线，速度-时间曲线，加速度-时间曲线如下：由MA度、速度t(s MATLAB 计算速度、加速度如下t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 计算得到的火箭度如下表：h(m)06.57326.4459.76106.5166.7240.2326.7425.7536.9659.8793.6937.81091.1254.1425.1604.1790.1983.2181.2384.的火箭从开始上h(m) 0 6.5737 26.444 59.762 106.57 166.79 240.27 326.72 425.79 536.99 659.8 793.63 937.85 1091.8 1254.7 1425.9 1604.8 1790.8 1983.1 2181.2 2384.5 开始上升到关闭引v(m/s)0 13.18926.57740.06253.53566.89 80.02192.829105.22117.11128.43139.14149.18158.55167.23175.22182.55189.22195.27200.75205.7 关闭引擎这段时间/s) 189 577 062 535 021 829 .22 .11 .43 .14 .18 .55 .23 .22 .55 .22 .27 .75 段时间内各时刻a(m/s^2)13.0571413.304513.4532813.4971913.4331313.2613112.9853412.6121912.1519511.6169311.0212710.38 9.7083329.0209048.3309057.6502496.9900526.3593395.7646125.2094884.694626各时刻的高^2)71404532871931313153421919569312733290490524905233961248862621 2592.4 210.18 4.22201222 2804.5 214.19 3.79432623 3020.6 217.79 3.41201724 3240.1 221.01 3.07303925 3462.7 223.92 2.7726326 3687.9 226.56 2.50440927 3915.6 228.97 2.26774828 4145.6 231.14 2.06332529 4377.8 233.11 1.88975930 4611.9 234.91 1.74334931 4847.7 236.57 1.6177932 5085 238.14 1.50617933 5323.8 239.61 1.40954434 5564.1 240.99 1.32933135 5805.8 242.28 1.2650336 6048.7 243.5 1.21393737 6292.9 244.68 1.17083938 6538.1 245.83 1.1302639 6784.5 246.96 1.09469840 7032 248.05 1.06634841 7280.5 249.1 1.04558942 7530.2 250.12 1.03075943 7780.9 251.14 1.01781844 8032.5 252.15 1.00237545 8285.1 253.16 0.98756846 8538.8 254.15 0.97632347 8793.4 255.12 0.96963948 9049 256.07 0.96629149 9305.6 257.03 0.96239250 9563.1 257.99 0.95272351 9821.5 258.95 0.9411852 10081 259.9 0.93372753 10341 260.83 0.93277654 10603 261.75 0.93633455 10865 262.67 0.9369556 11128 263.61 0.92584757 11392 264.54 0.91379358 11657 265.46 0.91062859 11923 266.35 0.9161260 12190 267.26 0.917011根据表格可以很容易得到：关闭引擎的瞬间，h=12190m，v=267.26m/s，a=0.917011m/s^2。
数值分析 - 第6章 方程求根
x
2
x
3
, 在[1.3,1.6]中
0.488 ≤ ϕ '( x ) ≤ 0.911, 则L < 1 ， 满足收敛定理条件，故迭代收敛。 （2 ） ϕ ( x) = 3 1 + x , 在［1.3，1.6］中ϕ ，且 （x） ∈ ［1.3，1.6］ ϕ '( x ) =
− 2x (1+ x 2) 3 , 在［1.3，1.6］中有 ϕ '( x) ≤ 0.46 = L < 1 ，故迭代收敛。 3 2 2
故此迭代为线性收敛。 4. 给定 函数 ，设对 一 切 x, 均收敛于方程 存 在，而且 的根 .证明 对 的任意常 数 ,迭代法
1 1 ≈ 0.57735，ϕ （1）＝ 2 ≈ 0.95189 3 3 1 1 x 1 2 = ϕ ( x), ϕ ,ϕ ' 在[0,1]上为 单调增函数，故有ϕ ( x ) ∈ 而 ϕ '( x ) = （0，1） 2 3 2 且 有max ϕ '( x) ≤ 0.5 < 1, 满足收敛性条件 ，故迭代序 列
x1 = 5 4 x 0 + 2 = 5 6 ≈ 1.431 0 x3 = 5 4 x 2 + 2 = 5 8.0204 ≈ 1.516 5
x2 = 5 4 x1 + 2 = 5 7.724 ≈ 1.505 1
x 4 = 5 4 x 3 + 2 = 5 8.066 ≈ 1.518 2
x3 = 1.25 −
故此迭代格式是线性收敛 的。 例 6．已知 x = ϕ ( x) 在区间 [a , b] 内只有一根，而当 a < x < b 时， ϕ ' ( x ) ≥ k > 1, 试问如何将 x = ϕ ( x) 化为 适 于迭代的形式？ 将 x = tgx 化为适于迭代的形式，并求 x = 4.5 （弧度 ）附近的根。 解：由反函数微分法则有 1 (ϕ ( x )) = ' ϕ ( x)
第四章-4-Gauss公式
f (x ) n1
i 0 i
n
R[ f ]
( 2 n 2) 2 f ( ) 2 n 2 2 (2n 2)!
(-1, 1)
简单 G-C 公式
n=0
1
1
(1 x 2 )1/ 2 f ( x ) dx f (0)
n=1
n=2
1
2 1/ 2 f 2 2 f (1 x ) f ( x ) d x 1 2 1
关键点！
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是 [a, b] 上带权 (x) 正交 的多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点 Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解线性方程组 或利用 Lagrange 基函数
G-L 公式
一般区间上的 G-L 求积公式
I [ f ] f ( x)dx
a b
ab ba t 令 x 2 2 ab ba t) 则 g (t ) f ( 2 2 从而 b ba 1 ba n I [ f ] f ( x)dx g (t )dt Ai g (ti ) a 2 1 2 i 0 在标准区间上采用G-L求积公式！
I [ f ] f ( x)dx
b a i 0
m 1
xi1
xi
f ( x)dx
xi xi 1 hi t , hi xi 1 xi 在每个区间上令 x 2 2 m 1 hi 1 hi I [ f ] f ( xi 1/ 2 t )dt 1 2 i 0 2
数值分析实验(4)
页脚内容1实验四 数值积分与数值微分专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907 一、实验目的1、熟悉matlab 编程。
2、学习数值积分程序设计算法。
3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。
二、实验题目 P1371、用不同数值方法计算积分049xdx =-⎰。
（1）取不同的步长h .分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。
三、实验原理与理论基础1.1复合梯形公式及其复合辛普森求解[]()()()11101()()222n n n k k k k k h h T f x f x f a f x f b --+==⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦∑∑误差关于h 的函数：()()212n b a R fh f η-''=-页脚内容2复合辛普森公式：()()()()111/201426n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑误差关于h 的函数：()()441802n n b a h R f I S f η-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1.2龙贝格求积算法：龙贝格求积公式是梯形法的递推化，也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算量的前提下提高误差的精度的特点。
计算过程如下：（1）取0,k h b a ==-，求：()()()[]()00.,.2hT f a f b k a b =+→⎡⎤⎣⎦令k 1记为区间的二分次数 （2）求梯形值02k b a T -⎛⎫⎪⎝⎭即按递推公式12102122n n n k k h T T f x -+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑计算0k T .（3）求加速值，按公式()()()111444141m m k k k mm m m m T T T +--=---逐个求出T 表的地k 行其余各元素()()1,2,,k j j T j k -=（4）若()()001k k T T ε--<（预先给定的精度），则终止计算，并取()()0;1k T I k k ≈+→否则令转（2）继续计算。
数值分析1-4习题及答案
1、要使11的近似值的相对误差限小于0.10.1％％,要取几位有效数字？要取几位有效数字？（ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若*12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？（ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),),……, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,=0,1,2,……,n )，且w (x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) å=nk k k y x l 0)( (b) å=¢nk k k k x l y 0)( (c) å=n k k k x y 0)(w (d) å=¢nk k kx y 0)(w4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式33()6 P x x y 的 的系数是，则，则 等于（ ）(a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)ix i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则420()()ii i x x l x =-å等于等于（ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),()(), ' () ' (),22()()_________________________f x C a b H x a b a bH a f a H b f b H f H a f a f x H x Î++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式的牛顿插值多项式 2()P x =___2537623x x +-__,其余项表达式R(x)=__()(1)(1)(4) [1,4]6f x x x x x ¢¢¢-+-Î-_______________________3、 确定求积公式10121()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -»-++ò中的待定参数，使其代数精度尽量高,则A 0=_29__________, A 1=__169________, A 2=_29_______,代数精度=__2_________。
《数值分析》_实验
( )
( )
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系
第5页
数值分析实验，宋伦继
6
实验四 数值积分与数值微分
一、问题提出 选用复合梯形公式，复合 Simpson 公式，Romberg 算法，计算
x
*
⎡ 0 ⎤ ⎢ −6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 20 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 23 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢− 22⎥ ⎢ − 15 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 45 ⎦ ⎣
=
( 1,
-1,
0,
2,
1,
-1,
0,
2)
T
第7页
数值分析实验，宋伦继
8
3、三对角形线性方程组
⎡ 4 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 7 ⎤ ⎢− 1 4 − 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ − 13⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ x5 ⎥ ⎢ 6 ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 − 1 4 − 1 0 0 0 ⎥ ⎢ x6 ⎥ ⎢− 12⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 −1 4 −1 0 0 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 14 ⎥ ⎥ ⎢ 7⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 0 0 0 0 0 0 − 1 4 − 1 0 ⎥ ⎢ x8 ⎥ ⎢−4⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 − 1 4 − 1⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ 9⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 4 ⎦ ⎢ −5⎦ ⎣ ⎣ ⎣ x10 ⎦
4-04数值分析
4
（4.6） （4.7）
上一页 下一页 6
其中
或
Cn (16S2 n Sn ) / 15
湘潭大学数学与计算科学学院
Cn (64T4 n 20T2 n Tn ) / 45 （4.8）
龙贝格积分
一般有： Romberg 算法：
/* Romberg Integration */
Romberg 序列
上一页
下一页
11
再计算
1 1 1 3 3.13118. T4 T2 f f 2 4 4 4
由此得
4 1 S2 T4 T2 3.14157, 3 3 16 1 C1 S2 S1 3.14212. 15 15
再计算
1 1 1 3 5 7 T8 T4 f f f f 2 8 8 8 8 8
有如下渐近展式：
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3
定理 5 设 f x C [a , b], 则成立
Tn f x dx 1h2 2 h4 m h2 m （4.1）
b a
其中系数 i i 1,2,与 h 无关.
3.13899.
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9
从而算得
4 1 S4 T8 T4 3.14159, 3 3 16 1 C2 S4 S2 3.14159, 15 15 64 1 R1 C 2 C1 3.14158. 63 63
(4) 把区间再分半，重复上面的计算步骤，可得
1 16 由 f , 则 2 5 1 1 1 1 3 16 3.1 T2 T1 f 2 5 2 2 2
工程数值分析实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，对工程实际问题进行建模、求解和分析。
通过学习数值方法的基本原理和算法，提高解决实际工程问题的能力。
二、实验内容1. 线性方程组的求解2. 矩阵特征值与特征向量的计算3. 函数插值与曲线拟合4. 数值微分与积分三、实验步骤1. 线性方程组的求解（1）编写程序实现高斯消元法、克劳斯消元法和列主元素法（2）设计输入界面，用户输入增广矩阵的行和列，填写系数及常数项（3）分别运用三种方法求解线性方程组，比较求解结果的正确性、数值稳定性和计算效率2. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）编写程序实现幂法、QR算法和逆幂法（2）设计输入界面，用户输入矩阵的行和列，填写矩阵元素（3）分别运用三种方法计算矩阵的特征值与特征向量，比较求解结果的准确性和计算效率3. 函数插值与曲线拟合（1）编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值（2）设计输入界面，用户输入函数的自变量和函数值，选择插值方法（3）分别运用三种方法进行函数插值，比较插值结果的准确性和光滑性4. 数值微分与积分（1）编写程序实现有限差分法、龙格-库塔法和辛普森法（2）设计输入界面，用户输入函数的导数或积分的上下限，选择数值方法（3）分别运用三种方法进行数值微分和积分，比较求解结果的准确性和计算效率四、实验结果与分析1. 线性方程组的求解通过实验，我们发现列主元素法在求解线性方程组时具有较好的数值稳定性，计算效率也较高。
而高斯消元法和克劳斯消元法在处理大型稀疏矩阵时存在一定的困难。
2. 矩阵特征值与特征向量的计算实验结果表明，QR算法和逆幂法在计算矩阵特征值与特征向量时具有较高的准确性和计算效率。
幂法在处理大型稀疏矩阵时表现出较好的性能。
3. 函数插值与曲线拟合在函数插值和曲线拟合实验中，样条插值方法具有较好的准确性和光滑性。
拉格朗日插值和牛顿插值方法在处理简单函数时表现良好，但在处理复杂函数时可能存在精度问题。
数值分析4 埃尔米特插值演示教学
用剩下的插值条件列出方程
1 ? p(1) ? ? 5 ? (a ? b ? c)
? 1 ? p ' (1) ? ? 12 ? 3( a ? b ? c ) ? (2 a ? b )
2 ? p ( 2 ) ? ? 22 ? 8 ( 4 a ? 2 b ? c )
问题：
当剩余的条件多于一个时，应该如何处理 ？
把常数c改为一个多项式，此多项式采用 待定系数法的形式。
多项式的次数如何确定 ？
剩余条件个数 -1
分段低次插值
例：在[? 5,
5]上考察
f
(x)
?
1 1? x2
的Ln(x)。取
xi
?
?5? 10i n
(i ? 0, ...,n)
2.5
2
Ln(x) ? f (x)
f (x) ?
s1 ( x)
? ? ?
max f ?? ? i
xi ? x? xi?1
2!
( x ? xi )( x ? xi ? 1 )
? ? max f ?? x ? ? ? xi ? x ? xi? 1
2!
????
xj
? 2
xi ????2
?
h
2 i
8
max
xi ? x? xi?1
f ?? x
数值分析4-埃尔米特插值
多项式插值余项的表示形式
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律：
如果已知条件有n个，则在余项中分母为n!； 相应的，分子上的导数阶数也是n；
如果条件中出现某点 xi的从 0阶直到 k阶的导数值 则在后面的因式中存在 （ x - x i ) k ? 1
数值分析4-4(李查逊外推加速法)
重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶
为h6，可进一步导出下列龙贝格公式：
64 1 Rn C 2 n C n 63 63
综合上面的加工过程，有
龙贝格公式三步： 对梯形公式加工： 对辛甫生公式加工： 对柯特斯公式加工：
4 1 S n T2 n Tn 3 3 16 1 C n S2n Sn 15 15 64 1 Rn C 2 n C n 63 63
采用变步长 的计算方案
1.定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半（即
步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式
进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求 为止。 下面讨论变步长的梯形法的计算规律。
2. 变步长的梯形法 设将区间[a, b]分为n等份，共有 n+1 个分点
ba 其步长 h ，在每个小区间[xk，xk+1]上 n
实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式
现在的问题是：
能否对龙贝格公式再加工 取得较高精度的公式？
李查逊（Richardson）
外推加速法
三、李查逊外推加速法
李查逊外推加速法基于如下原理 定理 设
f ( x ) C [a , b] ，则成立
T ( h) I a1h2 a2 h4 a3 h6 ... ak h2 k ...
变步长的梯形法设将区间ab分为n等份共有n1个分点其步长如果再二分一次则步长减半即h2分点增至2n1个记区间x只需计算新增分点的函数值这里的h是二分前的步长举例计算积分值sindx详见书上本节例2计算时要注意公式中步长的含义
一、梯形法的递推化
前面介绍的复化求积公式对提高精度 是行之有效的，但使用前必须给出合适的 步长h，如何给出？ h太小则计算量增加 h太大则精度不满足