高等有限元课后题答案
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
有限元分析及应用习题答案
有限元分析及应用习题答案有限元分析及应用习题答案有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，可以用来解决各种结构力学问题。
在学习有限元分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高应用能力。
本文将给出一些有限元分析及应用的习题答案，希望对读者有所帮助。
1. 什么是有限元分析？有限元分析的基本步骤是什么？有限元分析是一种通过将结构划分为有限数量的子域，然后对每个子域进行数值计算，最终得到整个结构的应力、应变等力学参数的方法。
其基本步骤包括：建立有限元模型、选择适当的数学模型、进行数值计算、分析计算结果。
2. 有限元分析的优点是什么？有限元分析具有以下优点：- 可以处理任意形状的结构，适用范围广。
- 可以考虑材料非线性、几何非线性等复杂情况。
- 可以对结构进行优化设计，提高结构的性能。
- 可以得到结构的应力、应变等力学参数分布，为工程实际应用提供参考。
3. 有限元分析中的单元是什么？常见的有哪些类型？有限元分析中的单元是指将结构划分为有限数量的子域，每个子域称为一个单元。
常见的单元类型有：- 一维单元：如梁单元、杆单元等，适用于解决一维结构问题。
- 二维单元：如三角形单元、四边形单元等，适用于解决平面或轴对称问题。
- 三维单元：如四面体单元、六面体单元等，适用于解决立体结构问题。
4. 如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑结构的几何形状、边界条件、材料性质等因素。
一般来说，对于简单的结构，可以选择较简单的单元类型；对于复杂的结构，需要选择更复杂的单元类型。
此外，还需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行选择。
5. 有限元分析中的边界条件有哪些类型？有限元分析中的边界条件包括：- 位移边界条件：指定某些节点的位移或位移的导数。
- 力边界条件：施加在结构上的外力或力矩。
- 约束边界条件：限制某些节点的位移或位移的导数为零。
6. 有限元分析中的材料模型有哪些？有限元分析中常用的材料模型有：- 线性弹性模型：假设材料的应力与应变之间存在线性关系。
《有限单元法》1-5章课后习题答案
δδ∏00且或∏,泛函极值性对于判断解的近似性质有意义,利用它可以对解的上下界做出估计。
思考题1.9什么是里兹法?通过它建立的求解方法有什么特点?里兹方法收敛性的定义是
什么?收敛条件是什么?
里兹法:在某一函数空间寻找试探函数,利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化
为该函数关于权值的极值问题。其特点是:试探函数是全域的,解的精度依赖于试探函数的
5qL L 5qL
wx L x当x , w
5 4
120EI + kl 2 480EI + 4kL
4
L 5qL
精确解w ???,应该是三角级数更接近精确解。因为是最小位能原理建立的
2 384EI
泛函,因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果,就可以知道哪
个更精确了。另外,取不同的阶数,逼近速度不同,三角函数更快。
可得最终结果(略)。3 2 2 2 w ww ww
δδw n ds?+ n dsδ dxdy?
xx?∫∫3 2∫2 2
ΓΓ?x xx ?x ?x? 2 2 2 3? ww ?
+δ dxdy?+δδ n ds w n ds? y y
∫22∫2∫2ΓΓ
?y ?x ?y ?x y xD?
0
2 2 2 3 ww ?
12
23
L LL
3
x
上式中的最后一项前面没有待定系数,这是由于使用了在xL处φ1的强制边界条件。
3
L
从物理意义上说,相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将(1 )
式代入教材(1.2.26 )式,得到残量:
x 66 xx
R x a ?6 + a 2? + + Qx
有限元课后第三章习题答案
有限元课后第三章习题答案有限元课后第三章习题答案第一题：根据题目给出的信息，我们可以得出以下结论：1. 题目中提到了一个平面问题，即只考虑二维情况。
2. 材料的弹性模量为E = 210 GPa。
3. 材料的泊松比为ν = 0.3。
4. 材料的厚度为t = 10 mm。
5. 材料的长度为L = 100 mm。
6. 材料的宽度为W = 50 mm。
7. 材料的边界条件为固定边界。
根据以上信息，我们可以开始解题。
首先，我们需要确定有限元模型的几何形状和单元类型。
由于题目给出的是一个平面问题，我们可以选择使用二维平面应力单元来建模。
根据题目给出的材料尺寸，我们可以选择一个矩形区域作为有限元模型的几何形状。
接下来，我们需要确定有限元模型的单元划分。
由于题目没有给出具体的单元划分要求，我们可以根据经验选择适当的单元尺寸和划分密度。
在这里，我们可以将矩形区域划分为若干个等大小的四边形单元。
然后，我们需要确定有限元模型的边界条件。
根据题目给出的信息，材料的边界条件为固定边界。
这意味着模型的边界上的节点在计算过程中将保持固定位置，不发生位移。
因此，我们需要将边界上的节点固定。
接下来，我们可以开始进行有限元计算。
首先，我们需要确定有限元模型的节点和单元编号。
然后，我们可以根据材料的弹性模量和泊松比，以及节点和单元的位置信息，计算出每个节点和单元的刚度矩阵。
然后，我们可以根据边界条件，将固定边界上的节点的位移设置为0。
这样，我们就可以得到一个由位移未知数构成的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到模型中每个节点的位移。
最后，我们可以根据节点的位移和单元的刚度矩阵，计算出每个单元的应力和应变。
根据题目给出的材料厚度，我们可以得到每个单元的应力和应变的平均值。
综上所述，根据题目给出的信息，我们可以使用有限元方法来求解这个平面问题。
通过建立有限元模型，确定边界条件，进行有限元计算，我们可以得到模型中每个节点的位移和每个单元的应力和应变。
有限元简答题答案0102
1.简述有限元的求解步骤及各步要考虑的主要问题是什么？一、问题及求解域定义：根据实际问题近似求解物理性质和几何区域二、结构离散化：选择适当的参考系、选择单元类型、合理确定单元的尺寸和阶次（确定分析计算类型和计算工况、确定各工况的边界载荷和有效计算载荷）三、选择位移插值函数：通常选择多项式，多项式必须包含常应变状态和刚体位移，还要满足位移连续条件四、单元分析：利用最小势能原理建立单元刚度矩阵并推导出等效节点载荷向量五、整体分析：组集出总体刚度矩阵六、约束处理：引入位移边界条件，消除刚体位移,使方程具有唯一解.七、方程求解:获得未知节点位移八、计算单元应力2.简述有限元的基本思想？分片逼近即把连续的物体剖分成有限个单元，且使之相互连接在有限个节点上，承受等效的节点载荷；根据平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元组合起来，再综合求解。
3.能给出解析式的解就是精确解，只能以数值方式求得解都是近似解。
这种说法对不对？为什么？不对，能给出解析式的解不一定是精确解，材料力学中的力学公式都是在一些假定的基础上建立的，都是近似解；通过数值方式求的解不一定是近似解，结构力学中的矩阵位移法就是精确解。
4.解析解的精度一定高于数值解的说法对不对？为什么？不对，解析解可能是近似解，而数值解可能是精确解。
5.有限元方程求解前为什么要进行约束处理？消除刚体位移，使方程有唯一解;总刚矩阵是奇异矩阵，其物理意义是整个结构可在无约束或约束不足的情况下发生刚体运动。
为了求出结构的变形位移，就必须对模型施加足够的位移约束，以排除各种可能的刚体运动。
6. 单元节点处的位移连续性条件指的是什么？相邻单元的公共节点在两个单元上的位移必须相等。
7. 形函数有什么重要性质？一、相关节点处的值为1；二、不相关节点处的值为0；三、形函数之和为1。
8.什么是等参单元、超参单元和次参单元？坐标变换的阶数与位移插值函数的阶数相等的单元称为等参单元；坐标变换的阶数高于位移插值函数的阶数的单元称为超参单元；坐标变换的阶数低于位移插值函数的阶数的单元称为次参单元。
有限元例题及答案
例 8-1：E ，A ，L ，s σ 杆I 弹塑性； 杆II 弹性。
求s AF σ3=下2点位移。
解：（1）理论解在荷载s A F σ3=作用下，杆I 屈服而有内力（拉力）S A N σ=1，杆II 内力（压力）为s II A N σ2=，中点2位移δ取决于杆II 的变形，即*===∆=δσσδ22)2(EL AE L A l S S II式中E Ls σδ=*（屈服位移）（2）直接迭代法杆I 和杆II 的刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(δδδδδσL EAAI S k L EA k II =①迭I 迭代步迭代从*=δδ0开始，这时有L EAk k K II I 20=+=*-====δσσδ5.15.123101EL L EA A F K S S②第2迭代步杆I 进入塑性，有L EA A k s I 67.01==δσ杆Ⅱ完全弹性，刚度不变。
因此，总刚为L EAk k K II I 67.11=+=*-====δσσδ8.18.167.13112E L LEA A F k S s 整个迭代过程见表8-1。
表8-1 直接迭代法各次迭代结果(3)切线刚度法杆Ⅰ和杆Ⅱ的切线刚度分别为⎩⎨⎧=**≤〉)()(0δδδδLEAI k L EA k II =①第1迭代步初始状态时，00=δ，杆Ⅰ，Ⅱ中应力、应变均匀为零。
总刚为：L EAk k K T TI T 21=+=由F K T -=δψ，得S A σψ30-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.1)3(10S A L由式n n n δδδ∆+=+1得，s δδ5.11=杆中应力：S SI σσσσ5.111-==杆中内力：S SI A N A N σσ5.111-==②第2迭代步由于杆I 已进入塑性，杆Ⅱ仍处弹性，总刚：L EAk k K TIITI T =+=2由F K T -=δψ，得S S S A A A σσσψ5.035.21-=-=由n Tn n K ψδ1--=∆得，*=--=∆δσδ5.0)5.0(11S A LEA由式n n n δδδ∆+=+1得，*=∆+=σδδδ0.2112杆中应力：S II SI A N A N σσ0.222-==检验F K T -=δψ，有030.32=-=S S A A σσψ迭代平衡。
有限元习题及答案
（a）
（b）
（c）
(a)单元间没有考虑节点相联 (b)网格形状太差，单元边长相差太大 (c)没有考虑对称性，单元边长相差太大
3、分别指出图示平面结构划分为什么 单元？有多少个节点？多少个自由度？
（a）桁架结构模型
• 划分为杆单元， 8个节点，12个自由度
（b）钢架结构模型
划分为平面梁单元，8个 节点，15个自由度
所以
F B B EAl
T
K
(2)
故
K B B EAl
T
将[B]值代入(2)式得
1 1 1 K 1 l 1 l
1 EAl
完毕
EA l
1 1
1 1
11
（c）混凝土梁结构
平面四节点，四边形单 元，8个节点，13个自由 度
（d）水坝模型
平面三角形单元，29个 节点，38个自由度
4、什么是平面应力问题？什么是平面应变 问题？举例说明
平面应力问题： 若物体的某一方向的尺寸较另外两个方向的小得多， 即为一等厚平板，且在平板的边界有平行于平面切沿 厚度方向均匀分布的面力，则此类问题可简化为平面 应力问题。 y 如一方形薄板边 y 上作用有分 布面力： b z x 连杆 a
2
1
x )
2
u1 )
2
(u 1 u
2
u
1
2
x
2
1 l
(x x
)u 1 )
1 l
( x1 x )u
2
1 (x x l
2
1
u1 ( x1 x ) l u 2
高等有限元法智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
高等有限元法智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.有限元各单元是通过什么连接在一起的（）。
答案:相邻节点2.有限元分析中通常用什么作为未知量来进行求解（）。
答案:节点位移3.第一次提出并使用“有限元方法”的名称时间是（）。
答案:1960年4.结构整体刚度矩阵是一个奇异矩阵，不能求逆矩阵。
（）答案:对5.建立单元刚度矩阵可利用虚位移原理或最小势能原理。
（）答案:对第二章测试1.有关形状函数的说法，下列哪些是正确的？（）答案:单元上所有节点的形函数之和等于1;形状函数矩阵本质是内插函数矩阵，实现了有限单元法在数学模型上的离散化;Ni在节点i等于1，在其它点等于0;形状函数矩阵建立了单元内位移与单元结点位移之间的相互关系2.有限元法中，单元分析的目的主要是为了（）。
答案:计算单元刚度矩阵3.局部坐标系下，若一杆单元的刚度矩阵为，则材料相同，杆长为其两倍的杆单元的刚度矩阵是（）答案:4.平面自由式梁单元的单元刚度矩阵大小是（）。
答案:6×65.如果单元上作用有分布弯矩，在计算等效结点集中载荷时，所采用的形状函数矩阵为（）。
答案:转角的内插函数矩阵第三章测试1.十节点三角形单元位移函数中包含有多少个待定系数（）。
答案:20个2.为了使位移解答收敛，位移函数应该满足下面哪些准则（）。
答案:多项式位移函数中包含常数项;位移函数应反映单元的常应变;位移函数必须保证在相邻单元在接触面上的应变是有限的;位移函数中须含有反映刚体运动的项数3.在插值函数多项式的阶次时，必须考虑下列因素是（）。
答案:多项式描述的位移形式与局部坐标系无关;a i的数目应等于单元结点自由度的数目;在不同局部坐标系中位移函数表达式满足几何等向性;插值多项式应当尽可能满足收敛性要求4.有限元的基本思想是分段逼近。
（）答案:对5.用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于积分和微分（）答案:对第四章测试1.有一向下作用的集中力p作用在常应变三角形单元ijm的节点i处，则（）。
有限单元法课后习题全部答案_王勖成
2 3
界条件可得 = a0 0, = a3
1 − a1 L − a2 L2 ，从而 L3 x3 x3 x3 2 ) + a ( x − ) + 2 L2 L L3
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w δ wdx EI 2 δ 2 + kwδ w + q= dx dx
L L
∫
L
0
d 4w EI 4 + kw + q δ wdx dx
d 2 w d (δ w) d 3w + EI 2 − EI 3 δ w dx dx 0 dx 0
配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域 Ωi 内残量的积分
∫
Ωi
R( x)dx = 0 为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个
待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩 小 子 域 的 大 小 ， 使 得 子 域 分 布 更 合 理 。 例 如 取 子 域 为
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w EI 2 δ 2 + kwδ w + qδ wdx dx dx
L
∫
高等有限元课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n =2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
有限元分析基础课后习题答案ppt课件
2
0
2(1
1
)
1 2 1
0
0
0
1
E 8
4 2 0
2 4 0
0 0 1
4
3
24
4 2 0
D
E 8
2
4
0
0 0 1
1 0 0 0 1 0
B 0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 1
K e BT DBtA
1 0 0 0 1
0
T
4
2
01
0
0
0
1
0
E 8
0
0
0
1
0
1 1 4 00 0 0 1
ppt精选版19etppt精选版20ppt精选版21ppt精选版22ppt精选版23ppt精选版24ppt精选版25ppt精选版26ppt精选版27ppt精选版28ppt精选版29ppt精选版30
三角形单元i,j,m的j m边作用有 如图所示线形分布面载荷，求 结点载荷向量。 解：面力移置公式：
Re NT ptds
0
v1
0
3
Et
1
20 1 1
0
0
1 1 1 3 0 0
4 0 0 2 1 1
0 4 2 0 1 3
0 2 4 0 3 1
2 0 0 4 1 1
1 1 3 1 4 2
421113uuuvvv432432
0
0
0
P
0
0
Et 4 20 0
0 4
uv33
a
am a * a 0*0 a2,bm 0 a a, cm 0 a a
N
Ni 0
有限元方法例题解答
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
高等有限元课后题答案
2.1有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B,每个结点的自由度为n,各单元中结点整体码的最大差值为D，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
有限单元法课后习题全部答案_王勖成
（2） 选取满足边界条件的幂级数近似解
= x(L − x)(a1 + a2 x + ....) 取一次 w = ax(L − x) w ′ = w dw d 2w ′′ = = aL − 2ax ， w = −2a dx 2 dx
= Π ( w)
EI 2 k 2 2 4a + a x ( x − L) 2 + qax( x − L) dx 2 2 ka 2 L5 qaL3 = 2 EILa 2 + − 60 6
余量为： R ( x) = A(u ) − f ( x) = A( N i ( x) ai ) − f ( x)
最小二乘配点法取权函数
∂ wj = A( N i ai )δ ( x − xk ) 其中j=1,...,n; k=1,...,m 且m ≥ n ∂a j
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w EI 2 δ 2 + kwδ w + qδ wdx dx dx
L
∫
L
0
L d 2 w d 2δ w d 2 w d (δ w) d 3 w d (δ w) − EI = dx EI EI dx 2 2 dx 2 dx 0 ∫0 dx 3 dx dx dx L d 2 w d (δ w) d 3w d 4w = EI 2 − EI 3 δ w + ∫ EI 4 δ wdx 0 dx dx 0 dx dx 0 L L
加权余量要求
有限元课后习题答案
有限元课后习题答案1.1有限元法的基本思想和基本步骤是什么首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
1.2有限元法有哪些优点和缺点优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。
缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。
对无限求解域问题没有较好的处理办法。
1.3有限元法在机械工程中有哪些具体的应用静力学分析模态分析动力学分析热应力分析其他分析2.1杆件结构划分单元的原则是什么？1）杆件的交点一定要取为节点2）阶梯形杆截面变化处一定要取为节点3）支撑点和自由端要取为节点4）集中载荷作用处要取为节点5）欲求位移的点要取为节点6）单元长度不要相差太多2.2简述单元刚度矩阵的性质。
单元刚度矩阵是描述单元节点力与节点位移之间关系的矩阵。
2.3有限元法基本方程中每一项的意义是什么？{Q}---整个结构的节点载荷列阵（包括外载荷、约束力）;{}---整个结构的节点位移列阵；[K]---结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。
2.4简述整体刚度矩阵的性质和特点。
对称性奇异性稀疏性主对角上的元素恒为正2.5位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。
2.6写出平面刚架问题中单元刚度矩阵的坐标变换式2.7推导平面刚架局部坐标系下的单元刚度矩阵。
2.8简述整体坐标的概念。
单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’O’Y’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。
有限元课后习题课件
k221 1 k32 k121
k231 k331 k131
单元2可看做单元1转角π后的单元，所以
1 0 0 18 E 2 [k ] 35 1 6 1 1 6 0 5 12 5 12 0 5 12 5 12 3 0 5 12 5 12 0 5 12 5 12 1 6 0 0 1 1 6 1 5 12 5 12 1 6 7 12 7 12 1 6 5 3 12 5 12 2 1 7 12 4 7 12 4
1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 1 2 5 2
0 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 3 1 2 5 2 1 2 3 2
1 1 2
1 1 2 2 1 2 0 1 2
1 1 2 1 1 2
1 2 3 2 1 2 5 2 1 2 3 1 2 1
因
所以
1 1 1 0 1 E E 2 2 2 [kii ]22 ,[kij ]22 ,[kim ]22 3 4 1 4 1 3 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 E E E 2 2 2 [kin ]22 ,[ k jj ]22 ,[ k jm ]22 5 5 4 1 4 1 41 3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 E E 2 2 [k jn ]22 ,[kmm ]22 4 1 3 4 1 3 2 2 2
9.图所示三角形在j结点处受集中力p作用，取 u=1/3，厚度h=1cm，自重不计，求该单元的 结点位移及应力分量。 解： bi y j ym , ci x j xm
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2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。
当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，因此[B]为常量阵。
当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的xy y x γεε、、值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。
3.1 什么是面积坐标？如何计算三角形内某点的面积坐标？答：(1)如（a ）图所示，三角形内任一点P （x ，y ），将P 与三角形三个顶点i ，j ，m 连成3个三角形。
令i A 为i 点所对应三角形pjm 的面积，j A 为j 点所对应的三角形pmi 的面积，m A 为m 点所对应的三角形pij 的面积，面积坐标定义为：r L =r A /A （i ，j ，m ），其中A 为三角形ijm 的面积，点p （x ，y ）用面积坐标可以写为P （i L ，j L ，m L ），且i L +j L +m L =1。
（2）求某点面积坐标除用定义外，还可用如图（b ）所示的方法，即三角形内某点的面积坐标可通过同底三角形的高度比来计算。
如图（b ）中的i L =h i /i H 。
（a ） (b)图3.3 面积坐标3.2 什么是划线法？如何用划线法形成单元的插值函数？ 答：（1）划线法是根据形函数的0-1特性，将需要等于零的各结点用直线连接起来（划线）；（2）在该直线上为零，则在该直线上的各结点的值也为零，为此形函数一定包含了该直线方程的因子，将需要等于零的各个因子乗起来即得到该单元的行函数。
3.3 下列平面单元的位移具有连续性吗？（1）平面三角形二次单元；连续（2）平面三角形三次单元；连续（3）8结点矩形单元；连续（4）8结点任意四边形单元。
连续3.4 下列单元满足收敛的充分必要条件∑Ni=1吗？（1）平面三角形三次单元； 满足（2）变结点单元；满足（3）长方体20结点单元。
满足3.5 对于非协调的薄板单元如何进行分片检验？答：当赋予单元片各个结点以与常应变状态相应的位移值和载荷值时，校验0)(m1=-∑=e i je e ij P a K 是否满足，如能满足则认为通过分片检验。
3.6 在平面壳单元中如何判别共面点？可用什么方法进行处理？ 答：（1）在平面壳体单元中，如果某一点的各个单元面法向不同，经局部坐标转化到整体坐标后，该点的总体位移有6 个，若方向相同，常称此点为共面点。
（2）处理方法有两种：i 、在局部坐标系内建立结点平衡方程，并删去zi θ方向的平衡方程，于是剩下的方程满足唯一解的条件。
ii 、在此结点上，给一任意的的刚度系数z k θ，这时在局部坐标系中，此结点在zi θ方向的平衡方程zi 0z k θθ=经变换后，总体坐标中的系统方程满足唯一条件，它不影响单元应力。
4.14.9 为什么[]J 的行列式必须大于零？几何形状上应该如何？答：参数变换是一个对有限元网格的数学变换过程，只要数学上成立即可。
从数学只是可知，两个直角坐标之间一一变换成立的充要条件是0J >，因此等参变换也必须服从此条件。
如果0J =，则[]1J -不存在，产生导数和微元转换都不存在，变换不成立。
欲使0J >，应该保证单元形状是外凸的，不能出现内凹的现象。
一般说来，0J ≈会导致刚度矩阵奇异，要求单元的内角小于135。
5.1 固体力学中有哪几类非线性问题？各有什么特点？答：一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作用后，材料立即发生变形，并且不再随时间而变化。
第二类是依赖于时间的粘弹塑性问题，其特点是当荷载作用后，材料不仅立即发生变形，而且变形随时间而继续变化。
5.2 什么是非线性弹性？什么是塑性？什么是蠕变？他们之间的共同点和不同点是什么？答：非线性弹性：材料的应力应变关系是非线性的，但卸载后所有的变形和位移都能恢复到原状态。
塑性：材料的应力应变关系是非线性的，他们之间也不再是单值对应的，而与变形历史有关，卸载后存在不可恢复的永久变形。
蠕变：荷载保持不变的条件下，材料变形随时间增长而增加称之为蠕变。
共同点：应力应变关系是非线性的。
不同点：非线性弹性的变形和位移能恢复到原状态，塑性变形和位移却不能；塑性变形不随时间而改变，而蠕变变形则随时间而改变。
5.3 什么是塑性力学的基本法则？它包括哪些内容？答：塑性增量理论是塑性力学的基本法则；它包括以下内容：①初始屈服条件，它是判断材料是否进入塑性阶段的标准；②加、卸载准则，它是判断材料处于塑性加载或弹性加、卸载的条件；③流动法则，建立塑性应变增量方向（或塑性流动方向）与屈服函数或塑性势函数梯度方向之间关系的理论就成为塑性流动理论或塑性位势理论；④硬化法则：对于强化材料，硬化规律说明屈服面以何种运动规律产生硬化。
此外，塑性增量理论还要求材料在受力过程中符合能量守恒定律或热力学第一定律。
5.4 什么是塑性屈服准则？常用的有哪几种？适用于什么情况？答：根据不同的应力路径进行试验，确定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来，形成一个划分弹性阶段和塑性阶段的界面，成为屈服曲面。
描述这个屈服面的数学表达式称之为屈服函数或屈服准则。
常用的有一下几种：①、Tresca 准则，只考虑了三个主应力中的两个主应力，材料力学中通常称为第三强度理论或最大切应力理论。
只适用于剪切屈服极限s τ为拉伸屈服极限s σ的一半的材料，即2s s B στ==；②、Mises 准则，考虑了三个主应力的影响，也叫第四强度理论，只适用于s τ=0.577s σ的材料，即 1.733s s B στ==；以上两个屈服准则都只适用于拉压强度相等的金属类材料。
③、Drucker-Prager 准则，对于Tresca 准则和Mises 准则都没有考虑静水压力对材料屈服强度的影响，而Drucker-Prager 准则考虑了静水压力的影响，该准则适用于混凝土和岩土累材料；④、Mohr-Coulomb 准则，主要适用于剪切强度极限s τ与拉伸强度极限t σ和压缩强度极限c σ的关系为()()s t c c t τσσσσ=+的材料。
⑤、统一强度理论，考虑了中间主应力及拉压异性对材料强度的影响，可以适用于包括岩土类、金属类等各种材料。
5.5 什么是塑性硬化法则？它有哪几种常用形式？各适用于什么情况？答：塑性硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称为加载函数或加载曲线）在应力空间中变化的规则。
常用的形式为：①、等向硬化法则（各向同性硬化法则）：假定后继屈服面的形状、中心和方位，与初始屈服面相同，其大小随着加工硬化过程，围绕其中心产生均匀的膨胀。
它适用于单调加载情形，如果用于卸载情形，它只适用于反向屈服应力数值上等于应力反转点的材料，而且这个模型便于数学处理；②、运动硬化法则（随动硬化法则）：假定后继屈服面的大小、形状与初始屈服面相同，后继屈服面是由初始屈服面在塑性变形方向上形成。
它适用于随着塑性变形的发展，屈服面的大小和形状都不变，只是整体地在应力空间中作平移的情形；③、混合硬化法则，适用于后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化的情形。