非线性光学作业(1-2章)答案

������������������ ������������������ ������������������ = 1χ′ ������������������ = χ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ = 1χ′ ������������������ = χ������������������
同理：χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = 0 对于2������ : ������������������ ������������������ ������������������ = (−1)3
4、KDP 晶体属于 42m 点群，具有 S4(z)，C2(x), C2(y), 以及过 z 轴平分 x-y 的镜 面 m1、m2，试化简 Tijk。已知 0 1 0 1 0 0 1 4 : 1 0 0 2x : 0 1 0 2 y : 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 2 z : 0 1 0 m1 : 1 0 0 m2 : 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1
e m
E(ω)
r1 (ω) = − E(ω)
m e m
e
1
2 ω2 0 −ω −2ihω
= − E(ω)F(ω)
m e m
e
r1 (t) = − E(ω)F(ω)e−iωt − =−
E ∗ (ω)F(−ω)eiωt
e E(ω)F(ω)e−iωt + c. c. m 2 e e 2( ) r1 t = (− E(ω)F(ω)e−iωt − E ∗ (ω)F(−ω)eiωt ) m m =
P
(2) (
2ε0 χ(2) (ω1 , ω2 )E(ω1 )E(ω2 )e−i(ω1+ω2 )t t) = }和频 +2ε0 χ(2) (−ω1 , −ω2 )E ∗ (ω1 )E ∗ (ω2 )ei(ω1 +ω2 )t
=
2ε0 χ(2) (ω1 , −ω2 )E(ω1 )E ∗ (ω2 )e−i(ω1−ω2 )t }差频 2ε0 χ(2) (−ω1 , ω2 )E ∗ (ω1 )E(ω2 )e−i(−ω1 +ω2 )t
d2 r2 dt2

+ 2h
dr2 dt
2 + ω2 0 r2 = Ar1 ……②
（3）对于与r 3 同阶，保留r1 ，r2 ，r3 ，r1 r2 ，r1 2 项： d2 (r1 + r2 + r3 ) d(r1 + r2 + r3 ) + 2h + ω2 0 (r1 + r2 + r3 ) 2 dt dt e − A(r1 + r2 + r3 )2 − B(r1 + r2 + r3 )3 = − E m
′( ) ′( r2 t = r2 2ω)e−i2ωt ′( −4ω2 r2 2ω)
− 4ihω +
′ ω2 0 r2 (2ω)
e2 2 = A 2 E (ω)F 2 (ω) m
′( r2 2ω)
e2 2 = A 2 E (ω)F 2 (ω)F(2ω) m
′( r2 2ω)e−i2ωt
′( ) r2 t
ε0 χ(2) (ω1 , ω1 )E(ω1 )E(ω1 )e−i2ω1t ε0 χ(2) (ω2 , ω2 )E(ω2 )E(ω2 )e−i2ω2t = 倍频 ε0 χ(2) (−ω1 , −ω1 )E ∗ (ω1 )E ∗ (ω1 )ei2ω1 t ε0 χ(2) (−ω2 , −ω2 )E ∗ (ω2 )E ∗ (ω2 )ei2ω2t } 2ε0 χ(2) (ω1 , −ω1 )E(ω1 )E ∗ (ω1 ) = } 零频 2ε0 χ(2) (ω2 , −ω2 )E(ω2 )E ∗ (ω2 )
′( ) r2 t
r2 (t) =
+
,, ( t) r2
e2 2 = A 2 E (ω)F 2 (ω)F(2ω)e−i2ωt + m
e2 A 2 E(ω)E ∗ (ω)F(ω)F(−ω)F(0) + c. c. m
同理推出r3 (t) = −
e3 m3
E 3 (ω)[2A2 F(2ω) + B]F(3ω)F 3 (ω)e−i3ωt
4A2 ω2 0
−
e3 m
E 2 (ω)E ∗ (ω) [2A2 F(2ω) + 3
+ 3B] F(−ω)F 3 (ω)e−iωt +c.c.
2、利用二阶非线性极化的一般表达式 P (2) (t ) （1.2-26） ，可以得到双频分量光电 场下二阶非线性极化表达式(1.2-38)。该式共有 16 项，请分析各项对应的二阶 非线性光学过程（和频、倍频、差频、光学整流） 。提示：考虑真实性条件（实 数条件）和本征对易对称性，每个非线性光学过程可能对应几项。
χ′ ������������������ = −χ������������������ χ������������������ = 0 χ′ ������������������ = −χ������������������ χ������������������ = 0
对于2������ : ����������������� ������������������ ������������������ = (−1)3
������������������ ������������������ ������������������ = (−1)3 χ′ ������������������ = −χ������������������ χ������������������ = 0
同理：χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = 0 对于2������ : ������������������ ������������������ ������������������ = (−1)3
χ′ ������������������ = −χ������������������ χ������������������ = 0
同理：χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = χ������������������ = 0 对于������1 : ������������������ ������������������ ������������������ = 1χ′ ������������������ = χ������������������
=
e2 2 = A 2 E (ω)F 2 (ω)F(2ω)e−i2ωt m
对于(*)式第二项与时间 t 无关：
,, ,, d2 r2 dr2 e2 2 ,, + 2h + ω0 r2 = A 2 E(ω)E ∗ (ω)F(ω)F(−ω) 2 dt dt m ,, (t) r2
e2 = A 2 E(ω)E ∗ (ω)F(ω)F(−ω)F(0) m
d2 r3 dt2
+ 2h
dr3 dt
3 + ω2 0 r3 = 2Ar1 r2 + Br1 ……③
E(t) = E(ω)e−iωt + E ∗ (ω)eiωt = E(ω)e−iωt + c. c.
r(t) = r(ω)e−iωt + r ∗ (ω)eiωt = r(ω)e−iωt + c. c. 代入①得−ω2 r1 (ω) − 2ihω + ω2 0 r1 (ω) = −
非线性光学作业
第一章
材料科学与光电技术学院 1216 班 陈志琼
第一章作业 1、用微扰方法求解一维振子的非线性响应。 提示：1）对于方程(1.2-11)，将 r 进行微扰展开(1.2-13)； 2）对不同微扰阶次整理得到（1.2- 14 ~16） 3）从低到高依次得到不同阶次方程的解（1.2- 17 ~19） ，求高阶解 释，较低解可以当成不变量。 解：一维非简谐振子的运动方程为：
′ ′ ′ ⃑ ̂′ (1)A′ ̂i ∙ e ̂′ ̂j ∙ e ̂′ i = Ai δii = Ai e i =A∙e i = Aj e i = αij Aj
(2) αij e ̂′ ̂′ ̂je ̂′ ̂ j δii = e ̂j i =e i ∙e i =e (3) αij αij = e ̂′ ̂je ̂′ ̂k = e ̂′ ̂′ ̂j ∙ e ̂ k = δii δjk = δjk i∙e i ∙e i∙e ie
' ' ˆ j ， A Ae ˆ' ˆ ˆ ˆ ˆ 3、 A A j e i i ， ei e j ij ， ij ei e j
ˆ j ij e ˆi' ； 求证： （1） Ai' ij Aj ； （2） e （3） ijik jk 。
解：
解：考虑到光电场真实性：ω−n = −ωn ; E(ω−n ) = E(−ωn ) = E ∗ (ωn )
二阶非线性极化的一般表达式：
P (2) (t) = ε0 ∑ χ(2) (ωm , ωn )E(ωm )E(ωn )e−i(ωm+ωn )t