垂径定理2
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垂径定理(2)
二、应用举例
1、已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
2、如图，弦 ，直径 于 ，且 ，求⊙ 的半径。
三、练习
1、如图，已知在⊙O中，
（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教学过程
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点， ，求AC的长？
3.如图， 是⊙ 的直径， 是弦， ， 于 .求证： .
4、P82练习第2题
四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
2．应用垂径定理及其推论计算
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r = h+d ; r2= d2+ (a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)
1、已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
2、如图，弦 ，直径 于 ，且 ，求⊙ 的半径。
三、练习
1、如图，已知在⊙O中，
（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
（2）弦AB的长为6厘米，⊙O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具
教学过程
(一)复习
1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴直线过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦；⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长
2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点， ，求AC的长？
3.如图， 是⊙ 的直径， 是弦， ， 于 .求证： .
4、P82练习第2题
四、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
2．应用垂径定理及其推论计算
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r = h+d ; r2= d2+ (a/2)2
3．常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴作弦心距；⑵作半径.------构造直角三角形
4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)
3.3垂径定理(2)
垂径定理的逆命题是什么？ 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 这两个逆命题是真命题吗？
C
A
┗M
●
B
O
垂径定理的逆定理1
平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
D
②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC,
×
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
× √
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
条件 结论1 结论2
Байду номын сангаас
A
M└
●
B O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D
③ AM=BM
条件
①CD为直径 ②CD⊥AB
结论
④ AC =BC ⑤ AD =BD
⌒ ⌒
⌒
⌒
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 条件 结论1 结论2
4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD， BF⊥CD，求证：EC＝DF.
B
O
A E C
.
D F
G
5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦
所夹的弧相等
3.3 垂径定理(2)
9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。
课件垂径定理2
构成直角三角形， 2 2 AE AE OE 将问题转化为直角 2 2 三角形的问题。 4 3 5cm
B
· O
即⊙O的半径为5cm.
你能利用垂径定理解决求
赵州桥拱半径的问题吗?
7.23m
37m
C A
D B
O
⌒ ⌒ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在
的圆的圆心为O，半径为r. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
如何证明圆是轴对称图形？
证明： 设CD为⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D 分析：要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上 意外任意一点. 任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上
过点A作ＡＡ＇ ⊥ＣＤ，交⊙O于点Ａ＇ ，垂足为M.
连接OA,OＡ＇. ∵ＯＡ＝ＯＡ＇ ∴△ＯＡＡ＇是等腰三角形， 又ＡＡ＇ ⊥ＣＤ， ∴ＡＭ＝ＭＡ＇ ∴ＣＤ是ＡＡ＇的垂直平分线． 即点A和Ａ＇关于CD对称。
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
• 垂径定理是圆中一个重要的定理, 三种语言要相互转化,形成整体,
⌒
⌒
⌒
⌒
才能运用自如.
垂径定理的几个基本图形：
C C C C
O
A E B A
O
B E A
O
B E D A
O
B E
D
D
D
CD过圆心 为直径
CD⊥AB
AE=BE AC=BC AD=BD
垂径定理： C
1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在 直线都是圆的对称轴. 2.垂径定理和推论及它们的应用. 3.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的 问题转化为直角三角形问题. 4.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦 的垂线.
布置作业： 1、必做题：课本第89页，习题24.1第8、9、10、11、12题 2、选做题：根据“知二推三”，你能得出垂径定理的哪些推 论？并给出证明。
B
· O
即⊙O的半径为5cm.
你能利用垂径定理解决求
赵州桥拱半径的问题吗?
7.23m
37m
C A
D B
O
⌒ ⌒ 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在
的圆的圆心为O，半径为r. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
如何证明圆是轴对称图形？
证明： 设CD为⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D 分析：要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上 意外任意一点. 任意一点关于直径所在的直线的对称点也在圆上
过点A作ＡＡ＇ ⊥ＣＤ，交⊙O于点Ａ＇ ，垂足为M.
连接OA,OＡ＇. ∵ＯＡ＝ＯＡ＇ ∴△ＯＡＡ＇是等腰三角形， 又ＡＡ＇ ⊥ＣＤ， ∴ＡＭ＝ＭＡ＇ ∴ＣＤ是ＡＡ＇的垂直平分线． 即点A和Ａ＇关于CD对称。
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
• 垂径定理是圆中一个重要的定理, 三种语言要相互转化,形成整体,
⌒
⌒
⌒
⌒
才能运用自如.
垂径定理的几个基本图形：
C C C C
O
A E B A
O
B E A
O
B E D A
O
B E
D
D
D
CD过圆心 为直径
CD⊥AB
AE=BE AC=BC AD=BD
垂径定理： C
1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在 直线都是圆的对称轴. 2.垂径定理和推论及它们的应用. 3.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的 问题转化为直角三角形问题. 4.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦 的垂线.
布置作业： 1、必做题：课本第89页，习题24.1第8、9、10、11、12题 2、选做题：根据“知二推三”，你能得出垂径定理的哪些推 论？并给出证明。
3.3 垂径定理 (2)
3.3垂径定理
学习方法报数学周刊
知识回顾
➢圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
➢圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
你能找到多少个对称中心？
●O
你又是用什么方法解决这个
问题的?
知识回顾
➢圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
课内练习
➢ 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有：
. 图中相等的劣弧有:
.
B M
E D
A OF
C N
课内练习
➢ 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
➢ 1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
➢ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
学习方法报数学周刊
知识回顾
➢圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
➢圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
你能找到多少个对称中心？
●O
你又是用什么方法解决这个
问题的?
知识回顾
➢圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
课内练习
➢ 2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有：
. 图中相等的劣弧有:
.
B M
E D
A OF
C N
课内练习
➢ 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
➢ 1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
➢ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
┗●
B 小明发现图中有:
垂径定理(2).解析
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， AB
O
A
┌E
D
B
D
600
C
通过这节课的学习， 你有哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
·Ｏ
E
Ｄ
（4）ＯＢ平分∠ＣＢＤ
Ｂ
（５） B⌒C=B⌒D 正确的有——————
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm
C
5 3 OO
A
4 PP B
D
⊙O的两条平行弦的长分别是 ＡＢ＝８㎝ ，CD＝6㎝ ，半径为5㎝. 求弦AB与CD之间的距离。
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
小华画圆时忘了点圆心，现在找 不到圆心在哪？你能帮他找出圆 心吗
练习
如图，点A是⊙O上的点，OB是⊙O的半径，
与弦CD相交于CD的中点E，连结BC、BD、
AC、AD。
Ａ
下列结论：（1）OB⊥CD （2）BC=BD（3）AC=ADＣ
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
垂径定理2
关于弦的问题，常常 AB =37.4, CD=7.2
7.2
A18.7DFra bibliotekBR
R-7.2
O
数学作业 1、完善学案 2、金典训练 3、预习新课 4、周练习 5、周测改错
复习旧知
弦 两条弧
直径
平分
圆心 平分 优弧
劣弧
直径 ⊥
不是直径 两条弧
垂直
圆心
两条弧
平分 另一条弧
垂径定理及其推论
例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 37.4 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
C
解：如图，设半径为R，
1 1 需要过圆心作弦的垂 AD AB 37.4 18.7, 2 2 线段，这是一条非常 OD OC DC R 7.2. 重要的辅助线。 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 2 圆心到弦的距离、半 OA AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 . 径、弦构成直角三角 解得 R≈27.9（m）. 形，便将问题转化为 答：赵州桥的主桥拱半径约为 直角三角形的问题。 27.9m.
3.3垂径定理(2)
C
A D
B
O
课本第80页课内练习第2题
如图，在直径为130mm的圆形铁片上切 下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB 的长.
C
32mm
A
D ●O
B
如图，只要满足下列条件中的哪几个，
就可以得出其他几个结论：
①CD是直径；②CD⊥AB； ③AM=BM； ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④ AC=BC，AD=BD.
过点C作直径CD，交AB于M.
C
A┗ M●BOCD是直径
CD⊥AB
可推得
⌒ ⌒ AC=BC
AM=BM
D
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
课本第80页课内练习第1题
如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD 于点M、N，AM=BM，AB//CD，求证： DN=CN. P N C D O
A
M Q
B
例3 已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长) 为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为 7.23m，求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到 0.01m).
C A
●
5 4
O
5
D B
F
E
3
课本第80页探究活动
3. 某一公路隧道的形状如图， 半圆拱的圆心距离地面2m，半 径为1.5m，一辆高3m，宽2.3m 的集装箱车能通过这个隧道吗?
B 1.5
O 2
如果要使高度不超过4m， 宽为2.3m的货车能通过这个隧 道，且不改变圆心到地面的距 离，半圆拱的半径至少为多少 m?
└
A
D
C
B
课本第81页作业题第1题
已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中， 大圆的弦AB和小圆交于点C、D，求证:AC=BD.
垂径定理2
做一做P补 6
船能过拱桥吗
解：如图AB 7.2, CD 2.4, 1 1 1 HN MN 1.5.AD AB 7.2 3.6, 2 2 2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由 勾股定理，得
OA AD OD ,
2 2 2
即R 3.6 ( R 2.4) . 解得 R=3.9（m）.
2、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 则这弓形所在的圆的半径为 cm . 4
C A D O B
练习
3、⊙O中，弦AB长为8cm ，P是AB上一动点. 若半径是5cm，则OP长的范围是 。
变式：若BP=2 cm，则OP长为
。
O A D P B
练习
4、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果 ⊙ O的半径是3cm，那么过P点的最短的 弦等于 2 5 cm .
B O E C A P D
A C
●
P
O
D
5、⊙ O直径 CD⊥AB于P, AB =10cm，且 CP:DP=1：5，则⊙ O的半径是等于 . 变式： P为OC中点，则直径为------A C
●
P
B O
D
B
6、半径是5的⊙ P交y轴于M（0，-4），N（0，-10）， 则P坐标为 .
y
O
M x
P
N
7、（ 河南2013）、坐标系内A（10，0），B（8，0）， 点C、D在以OA为直径的半圆上，且四边形OCDB为平行四边 形，求点C坐标。
y
C
D
x
O
M
B
A
做一做P补 5
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 ,拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3 米、船舱顶部 为长方形并高 出水面2米的 货船要经过这 里,此货船能顺 利通过这座拱 桥吗？
垂径定理2课件
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分
弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径
AE=BE
∴ CD⊥AB,
A⌒C=⌒BC, A⌒D=B⌒D.
O ●
E
A└
B
D
推广
C
① CD是直径(即：过圆心),
A M└
B
② CD⊥AB, ③ AM=BM
●O
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
如果具备上面五个条件中的任何两个， D
1.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数
是60°, 那么弦AB的弦心距是 5 3cm .
圆的圆心到圆上弦的 距离叫做弦心距。
O ADB
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则
这弓形所在的圆的半径为
13 cm 4
.
6cm
2cm
C
A
D
B
O
回顾与思考 这节课你有什么收获？ 还有哪些疑问？
⌒⌒ 、 AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
(3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 CD是直径 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C . (4)若A⌒C=B⌒C ，CD是直径, 则 CD⊥AB 、 AM=BM 、 A⌒D=B⌒D .
BC=8厘米，求圆的半径。
A
B
DC
O
练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
说明： 解决有关圆的问题，
C
F
A
B OE D
常常需要添加辅助线，
垂径定理推论2
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
B
2 2
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A O B
D
A B
D
C
O
C
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
垂径定理2
G
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
1、如图 ,M为⊙O 内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
2、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线 AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
C
A
B
D
3、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的 大小有什么关系？为什么？
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
O ·
A
B
7、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
垂径定理2
A D O C
B
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A E
O
D B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
C
C
O
D A B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， C D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒＝BC ⌒ 求证：CD是直径， AD
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ＝⌒ ⌒ ＝BC ⌒ 求证：CD⊥AB，AD BD，AC
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取两条 a 弦，画这两条弦 的垂直平分线， A 交点即为圆弧的 圆心． C
B
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
A E
O
D B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
O
C
C
O
D A B
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中， C D 任意知道两个量，可根据 垂径 定理求出第三个量：
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒＝BC ⌒ 求证：CD是直径， AD
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对和的另一条弧
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ＝⌒ ⌒ ＝BC ⌒ 求证：CD⊥AB，AD BD，AC
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取两条 a 弦，画这两条弦 的垂直平分线， A 交点即为圆弧的 圆心． C
初中数学垂径定理(2)(我)精品ppt课件
辨一辨
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.×
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过
圆心.
√
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ×
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
×
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
√
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为
O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，
交AB于点D.
C
∵C是⌒AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高.
A
D B
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,R O
OD=OC-DC=（R-
在7R.2t△3）OA. D中，
O∴AR2=2O=1D82.+5A1D2+2(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为 长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船 能顺利通过这座拱桥吗？
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
OD
O
(1) B
A
B
(2) D
C
O
A
B
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
O ACB
(4)
B
OD
C
A
(5)
C
O
A
EB
D (6)
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.×
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过
圆心.
√
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ×
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
×
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.
√
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （7）平分弦的直线，必定过圆心。
解：AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为
O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，
交AB于点D.
C
∵C是⌒AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高.
A
D B
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,R O
OD=OC-DC=（R-
在7R.2t△3）OA. D中，
O∴AR2=2O=1D82.+5A1D2+2(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为 长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船 能顺利通过这座拱桥吗？
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
OD
O
(1) B
A
B
(2) D
C
O
A
B
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。 （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
O ACB
(4)
B
OD
C
A
(5)
C
O
A
EB
D (6)
3.3垂径定理2
定理(2)： 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
例1：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M， N，AM=BM，AB//CD，求证：DN=CN
P
D
NC O
A
MB
Qபைடு நூலகம்
1、如图，⊙O的直径交弦AB于点M，且A⌒F=⌒BF。 若OE=5，AB=8，则MF的长为( A )
(A)2cm (B)3cm E
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
1、垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
C 条件：直径CD⊥AB
O
AE
B
结论： AE BE
D
⌒ ⌒⌒ ⌒ AD BD AC BC
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
定理(1)： 平分弦（的直不径是垂直直径于）弦的直,并径且垂平直分于弦弦所,对并的且弧平分. 弦所对的弧.
(C)4cm
(D)5cm
O
A
MB
F
例2:1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长) 为37.2m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m， 求桥拱的半径(精确到0.01m).
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
例1：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M， N，AM=BM，AB//CD，求证：DN=CN
P
D
NC O
A
MB
Qபைடு நூலகம்
1、如图，⊙O的直径交弦AB于点M，且A⌒F=⌒BF。 若OE=5，AB=8，则MF的长为( A )
(A)2cm (B)3cm E
浙教版九年级上第三章《圆的基本性质》
1、垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
C 条件：直径CD⊥AB
O
AE
B
结论： AE BE
D
⌒ ⌒⌒ ⌒ AD BD AC BC
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
定理(1)： 平分弦（的直不径是垂直直径于）弦的直,并径且垂平直分于弦弦所,对并的且弧平分. 弦所对的弧.
(C)4cm
(D)5cm
O
A
MB
F
例2:1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如 图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长) 为37.2m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m， 求桥拱的半径(精确到0.01m).
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
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(2)垂直于弦的直线平分弦
C C
×
×
√
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE
•o B (1) A D (2) E •o
A
A D
E
B
•O E
B
(3)
例题讲解
例1 如图，已知在⊙中， 弦AB的长为8厘米，圆心O 到AB的距离（弦心距)为3 厘米，求⊙O的半径。
OC AB 1 1 AC BC AB 8 4 2 2
?
A 4
.
3 C 8
O
B
解：过点O作OC AB于C，则OC 3，连结OA,
在RtABC中，OA AC 2 OC 2 42 32 5厘米
∴ ⊙O的半径为5厘米.
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。
A
O
C E D B
.
试证明：AC＝BD。
？O
D B
﹒
×
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
① ③ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦 ② 所对的弧。 ①③→②④⑤ ④ ⑤
判断：
1、平分弦的直径垂直于弦（
× 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦
）
2、弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径（ 3、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 （
√
√
）
）
4、平分弦及其所对的一条弧的直线垂直于这条弦（
√
）
再请你判断
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
15-7=8cm
已知⊙O的半径为10cm, 弦MN∥EF, MN=12cm, EF=16cm, 则弦MN和EF 之间的距离为 .
如图，⊙ O 的半径为 5 ，弦 AB 的长为 8 ， M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小
值为____. 3 最大值为____________. 5
垂径定理 ：
证明：过O作OE⊥AB于E，
则 AE=BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
例3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的 两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
C
20 E
25 25 24
15 . O
B D
A
C
E
F . O
B
D
7
EF有两解：15+7=22cm
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦， 并且平分弦所对的两条弧； (2)平分弧的直径垂直平分这条这条弧所对弦.
实际上,还有……
(5)平分优弧
C
（1）过圆心
(1)过圆心
。 O
（2）垂直于弦
（3）平分弦 （4）平分劣弧 （5）平分优弧
(2)垂直于弦
垂径定理及其推论
回顾：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
A C O B D 图 23.1.7
题设
结论
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 ｝ ｛ （2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
（1）过圆心
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断题： (1)过圆心的直径平分弦
B
A
P D
(3)平分弦
(4)平分劣弧
两个
三个(5)平分优弧C(1)过圆心。 O
①②→③④⑤
(2)垂直于弦
B
A
P D
(3)平分弦 ② ①
垂径定理
(4)平分劣弧 ③
垂直于弦的直径 ④ ⑤ 平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
（1）过圆心
（2）垂直于弦
C
（3）平分弦
（4）平分劣弧 （5）平分优弧 (不是直径)
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C
O E D (6)
B O O D A (5)
A
C (4)
B
C
A
B
已知圆O的半径为4cm，弦AB的长为4 3cm， 求这条弦的中点到这条 弦所对的劣弧的中点 的距离。
O A B
作业
P55
习题 第6题
C C
×
×
√
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE
•o B (1) A D (2) E •o
A
A D
E
B
•O E
B
(3)
例题讲解
例1 如图，已知在⊙中， 弦AB的长为8厘米，圆心O 到AB的距离（弦心距)为3 厘米，求⊙O的半径。
OC AB 1 1 AC BC AB 8 4 2 2
?
A 4
.
3 C 8
O
B
解：过点O作OC AB于C，则OC 3，连结OA,
在RtABC中，OA AC 2 OC 2 42 32 5厘米
∴ ⊙O的半径为5厘米.
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。
A
O
C E D B
.
试证明：AC＝BD。
？O
D B
﹒
×
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
① ③ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦 ② 所对的弧。 ①③→②④⑤ ④ ⑤
判断：
1、平分弦的直径垂直于弦（
× 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦
）
2、弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径（ 3、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 （
√
√
）
）
4、平分弦及其所对的一条弧的直线垂直于这条弦（
√
）
再请你判断
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
15-7=8cm
已知⊙O的半径为10cm, 弦MN∥EF, MN=12cm, EF=16cm, 则弦MN和EF 之间的距离为 .
如图，⊙ O 的半径为 5 ，弦 AB 的长为 8 ， M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 的长的最小
值为____. 3 最大值为____________. 5
垂径定理 ：
证明：过O作OE⊥AB于E，
则 AE=BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
例3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的 两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
C
20 E
25 25 24
15 . O
B D
A
C
E
F . O
B
D
7
EF有两解：15+7=22cm
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦， 并且平分弦所对的两条弧； (2)平分弧的直径垂直平分这条这条弧所对弦.
实际上,还有……
(5)平分优弧
C
（1）过圆心
(1)过圆心
。 O
（2）垂直于弦
（3）平分弦 （4）平分劣弧 （5）平分优弧
(2)垂直于弦
垂径定理及其推论
回顾：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
A C O B D 图 23.1.7
题设
结论
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 ｝ ｛ （2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
（1）过圆心
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断题： (1)过圆心的直径平分弦
B
A
P D
(3)平分弦
(4)平分劣弧
两个
三个(5)平分优弧C(1)过圆心。 O
①②→③④⑤
(2)垂直于弦
B
A
P D
(3)平分弦 ② ①
垂径定理
(4)平分劣弧 ③
垂直于弦的直径 ④ ⑤ 平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
（1）过圆心
（2）垂直于弦
C
（3）平分弦
（4）平分劣弧 （5）平分优弧 (不是直径)
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C
O E D (6)
B O O D A (5)
A
C (4)
B
C
A
B
已知圆O的半径为4cm，弦AB的长为4 3cm， 求这条弦的中点到这条 弦所对的劣弧的中点 的距离。
O A B
作业
P55
习题 第6题