学业分层测评15

学业分层测评(十五)常见函数的导数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若f (x )＝3
x ，则f ′(1)＝________.
【解析】
∴f ′(1)＝13
.【答案】1
3
2.下列命题中，正确命题的个数为________.
①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0；
②(log a x )′＝x ln a ；
③加速度是动点位移函数S (t )对时间t 的导数；
④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线.
【解析】①因为f (x )＝x ，当x 趋向于0时不存在极限，所以f (x )在0处
不存在导数，故错误；②(log a x )′＝
1x ln a ，故错误；③瞬时速度是位移S (t )对时间t 的导数，故错误；④y ＝x 2在(0,0)处的切线为y ＝0，故错误.
【答案】0
3.曲线y ＝sin x ________.
【导学号：24830074】
【解析】∵y ′＝cos x ，∴曲线y ＝sin x cos π6
＝32
.【答案】3
2
4.设f (x )＝x 4，若f ′(x 0)＝4，则x 0＝________.
【解析】
∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(x 0)＝4x 30＝4，∴x 30＝1，则x 0＝1.【答案】1
5.已知函数f (x )＝log 2x ，则f ′(log 2e)＝________.
【解析】
f ′(x )＝1x ln 2，∴f ′(lo
g 2e)＝1log 2e·ln 2＝1.【答案】1
6.曲线f (x )＝1x ________.【解析】∵f ′(x )＝－1x 2k ＝f ′(2)＝－14，则切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.
【答案】x ＋4y －4＝0
7.若曲线y ＝x
在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.
【答案】64
8.设直线y ＝12
x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________.【解析】设切点为(x 0，y 0)，则y ′＝1x ，∴1x 0＝12
，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，∴切点为(2，ln 2)，
∵切点在切线上，∴ln 2＝12
×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.
【答案】ln2－1
二、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝
(4)y＝e2.
【导学号：24830074】
【解】(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4x ln4.
(3)∵y＝
cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(4)y′＝(e2)′＝0.
10.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
【解】方法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点为(x0，x20)，
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝1 2
，
∴所求的最短距离d＝
|1
2－
1
4－2
|
2＝
72
8
.
方法二：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝
|x－x2－2|
2
＝
|x2－x＋2|
2
＝
2
2
|x
2－x＋2|
＋
72
8，当x＝
1
2时，d有最小值
72
8，即所求的最短距离为
72
8
.
[能力提升]
1.设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x n等于________.
【解析】y′＝(n＋1)x n，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).
令y＝0得x n＝
n n＋1
.
【答案】
n n＋1
2.函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为a k＋1，k 为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
【解析】y′＝2x，切线斜率k＝2a k，切线方程为y－a2k＝2a k(x－a k)，
令y＝0，－a2k＝2a k·x－2a2k，∴a k＋1＝1
2
a k，
若a1＝16，∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】21
3.抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________.【解析】当切线平行于直线x＋2y＋4＝0时，切点为所求，
令y′＝2x＝－1
2，得x＝－
1
4，所以距离最短的点的坐标为
－
1
4，
【答案】－
1 4，
4.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
【解】不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.。