单因素方差分析
单因素方差分析
•
第3步 (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】从中选择一种方法，如LSD； (需要均值图时)在
【Options】 下 选 中 【Means plot】 ， ( 需 要 相 关 统 计 量 时 ) 选 择 【Descriptive】 ， 点 击
【Continue】回到主对话框。点击【OK】
用SPSS进行方差分析
•
如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影
响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析
(Two-factor without replication)
•
如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种
无交互效应的双因素方差分析
• 因为我们考虑不同司机行使时间的差异，所以要对区组做假设检验。两组假设分别为：
• 1． 不同路线均值都相等
•
各路线均值不全相等
• 2． 区组均值都相等
•
H各0区1 组: 均值不全相等
112 1314 1
• 两因素方差分析表的格式与单因素方差分析的格式一致，唯一的区别是加了一行区组变差。
第三节 单因素方差分析
1. 设1为化肥品牌A下产量的均值，2为化肥品牌B下产量的均值，3为化肥品牌C下产量的 2. 提出的假设为
▪ H0 ： 1 2 3 ▪ H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等 3. 计算检验统计量
4. 计算P值，作出决策
因子均方 F残差~ 均 F(k方 1,nk)
例题分析
1. 组内误差(within groups)
▪ 样本数据内部各观察值之间的差异
• 比如，同一位置下不同超市之间销售额的差异的差异
生物统计学第九章单因素方差分析
E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
SPSS——单因素方差分析详解
SPSS——单因素方差分析详解单因素方差分析（One-Way ANOVA）常用于比较两个或更多组之间的平均差异是否显著。
本文将详细介绍单因素方差分析的原理、步骤和结果解读。
一、原理：单因素方差分析通过比较组间方差（Treatment Variance）与组内方差（Error Variance）的大小来判断不同组间的平均差异是否显著。
组间方差反映了不同组之间的平均差异，而组内方差反映了同一组内个体之间的随机波动。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以判断不同组间的平均差异是显著的。
二、步骤：1.收集数据：首先确定研究问题和目的，然后根据实际情况设计并收集数据。
例如，我们想比较三个不同品牌的手机的待机时间是否有显著差异，需要收集每个品牌手机的待机时间数据。
2.建立假设：根据研究问题和数据的特点，建立相应的零假设（H0）和备择假设（Ha）。
在单因素方差分析中，零假设通常是所有组的平均值相等，备择假设则是至少有一组平均值与其他组不等。
4.分析结果解读：SPSS输出了一系列统计结果，包括方差分析表、平均值表、多重比较和效应大小等信息。
关键的统计结果包括F值、P值和ETA方。
-方差分析表：用于比较组间方差和组内方差的大小。
方差分析表中的F值表示组间方差除以组内方差的比值，F值越大说明组间差异越显著。
-P值：用于判断F值的显著性。
如果P值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则拒绝零假设，即认为不同组间的平均差异是显著的。
-ETA方：代表效应大小程度。
ETA方越大说明组间的差异对总变异的解释程度越大，即差异的效应越显著。
5. 多重比较：如果方差分析结果显著，需要进行多重比较来确定具体哪些组之间存在显著差异。
SPSS提供了多种多重比较方法，包括Tukey HSD、Scheffe和Bonferroni等。
三、结果解读：对方差分析的结果进行解读时，需要综合考虑F值、P值、ETA方和多重比较结果。
1.F值和P值：-如果F值显著（P值小于设定显著性水平），则可以得出不同组间的平均差异是显著的结论。
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析
当 H 0 不真时，
SE 2 而不管 H 0 是否为真， E n s
当 H 0 为真时:
S A ( s 1) F 不能过大 S E (n s)
当 H0
S A ( s 1) ~ F ( s 1, n s ) 为真时: F S E (n s)
(i 1,2,, s;
j 1,2,, ni )
i 为第 i 个总体的均值 ， ij 为相应的试验误差。
记
1 s ni i ，称为总平均， n i 1
i i 称为水平 Ai 的效应。
从而模型可以写为：
yij i ij 2 ~ N ( 0 , ) ij ni i 0 i
因此，给定检验水平 时，拒绝域为：
F F ( s 1, n s )
表2 方差分析表
来源 因子 平方和 自由度 均方
2 i 2
F
S A ( s 1) S E (n s)
S A ni y ny
i 1
s
s 1
SA s1
SE n s
误差
总和
S E ST S A
2、方差分析的基本思想： 从所有观测值的总变差中分析出系统变差和随机误差， 通过比较二者的大小关系， 说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。 即若两个变差差别不大， 各个水平差异不大； 若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。
3、平方和的分解 记
1 y yij n i 1 j 1
由因素A的各个不同的水平引起的差异。
4、 S A 和 S E 的统计特性
1 y ij y i ni 1 j 1
ni
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
单因素方差分析
单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。
例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。
前提：1总体正态分布。
当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。
2变异的相互独立性。
3各实验处理内的方差要一致。
进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。
一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。
2在控制变量为“组别”，3正态检验（P>0.05，服从正态分布）正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。
因变量是用户所研究的目标变量。
因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。
标注个案是区分每个观测量的变量。
带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。
正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。
即p值≥0.05，数据服从正态分布。
4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表；点击“选项”选择“方差同质性检验”和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S-N-K”、“Dunnett’s C”，点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式”，点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。
第2章单因素方差分析
第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。
有的影响大些，有的影响小些。
为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。
方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。
方差分析开始于本世纪20年代。
1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。
因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。
Fisher1926年在澳大利亚去世。
现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。
在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。
若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。
下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。
1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。
某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。
每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。
除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。
这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⼆步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。
单因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中的广泛使用的统计方法，它是研究多组数据样本的统计工具。
它可以检验不同组别间的差异是否具有统计学上的显著性。
在这里，说明其定义及计算原理，以及如何应用单因素方差分析，并介绍ANOVA在统计学中的重要地位。
一、单因素方差分析的定义单因素方差分析又称为“一元方差分析”，它是一种用于检验总体变量的分布不同组别间的均值是否有显著性差异的统计技术。
它可以用来检验两个或多个样本的变量的均值之间的差异。
单因素方差分析假设所有样本的总体方差应用同一个总体方差，并且没有其他因素对结果产生显著的影响。
二、单因素方差分析的计算原理单因素方差分析是基于抽样分布的概念，它以抽样分布提供的数据来评估不同组别之间的均值差异是否有统计上的显著性。
单因素方差分析之所以能够有效检验不同组别间的差异，是因为它基于抽样分布的统计原理，即总体均值小于零的均方差的期望值。
在实际运用中，单因素方差分析常用F-statistics来衡量总体均值大于零的样本均方差的可能性，如果F-statistics的检验结果显示p值低于设定的显著性水平，则可以推断出不同组别间的差异具有统计学上的显著性。
三、如何应用单因素方差分析应用单因素方差分析的基本思路是采集样本，搜集可用于分析的数据，然后通过单因素方差分析，对不同样本变量的均值差异进行检验，以评估各组别之间均值的显著性差异。
换句话说，单因素方差分析可以帮助研究人员判断不同组别之间的差异是否有统计学上的显著性。
四、单因素方差分析在统计学中的重要性单因素方差分析在统计学中占有重要地位，因为它可以控制多组样本之间的其他不相关因素，从而可以准确地检验不同组别之间的显著性差异。
此外，单因素方差分析也提供了一种可行的技术，可以根据差异的显著性判断某一变量是否有统计学上的显著差异。
总而言之，单因素方差分析是一种统计学中有用的工具，可以检验不同组别间的均值差异是否有显著性，而这也是它在统计学中的重要地位。
单因素方差分析方法
单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。
总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。
在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。
原假设 H：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1，分母自由度为ab-a 的F 分布。
给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。
下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。
例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。
表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3：D8单元格,输入表2的产量数值。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析，也称单因子方差分析或单变量方差分析，是一种统计方法，用于比较两个或多个组间的均值是否存在显著差异。
在此文章中，我们将介绍单因素方差分析的基本概念、假设检验以及分析步骤等内容。
一、基本概念单因素方差分析是通过比较不同组的均值差异来进行统计推断的方法。
在该分析中，有一个自变量（也称为因素）和一个因变量。
自变量是分类变量，将数据分为不同的组别；因变量是连续变量，表示我们希望比较的具体测量结果。
二、假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要先建立假设，并进行假设检验。
常用的假设为：- 零假设（H0）：不同组间的均值没有显著差异；- 备择假设（H1）：不同组间的均值存在显著差异。
三、分析步骤进行单因素方差分析的一般步骤如下：1. 收集数据：收集各组的观测值数据。
2. 计算总体均值：计算每组数据的均值，并计算总体均值。
3. 计算组内平方和（SSw）：计算每组数据与其组内均值之差的平方和。
4. 计算组间平方和（SSb）：计算每组均值与总体均值之差的平方和。
5. 计算均方：分别计算组内均方（MSw）和组间均方（MSb），即将组内平方和与组内自由度相除，将组间平方和与组间自由度相除。
6. 计算F值：计算F值，即组间均方除以组内均方。
7. 假设检验：根据给定的显著性水平，查找F分布表以比较计算得到的F值与临界值的大小关系。
8. 结果解释：根据假设检验的结果，判断不同组间的均值是否存在显著差异。
四、例子和应用单因素方差分析可以用于各种研究领域，如教育、医学、社会科学等。
以教育领域为例，我们可以通过单因素方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响。
在进行该分析时，我们可以将学生分为两组，一组采用传统教学方法，另一组采用现代教学方法。
然后，我们收集每组学生的考试成绩，并对数据进行单因素方差分析。
通过比较组间的均值差异，我们可以判断不同教学方法对学生成绩是否存在显著影响。
五、总结单因素方差分析是比较不同组间均值差异的常用统计方法。
02.单因素方差分析(详细版)
(8) 可以在Significance level框中修改显著性水平的 大小（系统默认为0.05，表示当P<0.05时差异具有 统计学意义，可以将其数值修改为0.01）。
(9)点击Continue，返回One-Way AExplore: Plots对话框：
(4)在Boxplots模块内保留系统默认选项Factor levels
together，在Descriptive模块内取消选择Stem-and-leaf， 在下方勾选Normality plots with tests（执行 ShapiroWilk's检验）：
(3)点击Options...，出现 Univariate: Options对话框：
(4)在Display模块内勾选Estimates of effect size：
(5)点击Continue，返回Univariate对话框。
(6)点击OK，输出结果。
5.3 一般线性模型（GLM procedure）→自定义组间比较（custom contrasts） 如果只关心特定组别间的差异，你需要 知道如何进行自定义比较（custom contrasts），以及如何对多重比较结果 进行调整，这就要用到SPSS软件中的 Syntax Editor窗口编写相应程序语句。 当满足方差齐性条件时，推荐采用GLM 程序进行自定义组间比较。 (1)点击Analyze > General Linear Model > Univariate...
利用箱线图（Boxplots）检查是否存在异常值，以及存在异常值时的几种处理方法 (1)在主菜单点击Analyze > Descriptive Statistics > Explore...： 出现右图Explore对话框：
关于单因素的方差分析
鸡重（g) 1001 1002 1109 1090 1021 1022
1012 1074
1032
1009 1122
1029
1028 1001
1048
二、单因素方差分析的统计模型
考虑的因素记为 A，假定它有 r 个水平，记为 A1， A2, …, Ar . 在每一水平下考察的指标可看成一个总体,共 有 r 个总体. 作如下假定:
H 0:12 )
单因子方差分析的统计模型可改写为:
yij i ij ,i 1,2,...,r ; j 1,2,...,m
r
i
0
i1
各ij相互独立且服从N(0,2)
H 0:12r可改写为
H 0:12r0
方差分析是通过对误差的分析研究来检验具有相同 方差的多个正态总体均值是否相等的一种统计方法.
(1)每一总体服从正态分布 N(i , i2), i=1, 2,…, r ;
(2)各总体同方差, 即 12 =22=……=r2= 2;
(3)从每个总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有试验 结果 yij 都独立.
因为各总体方差相同，所以要判断因素对指标是否 有显著影响，就化为比较各水平下的均值是否相同．即 检验
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素 误差 总和
SA f A = r - 1 MSA=SA / fA Se f e= n - r MSe=Se / fe ST f T= n - 1
Ｆ比
F=MSA / MSe
判断：
若 F F 1 ( r 1 , n r ) , 则 认 为 因 子 A 显 著 , 各 正 态 均 值 间 有 显 著 差 异
偏差平方和:
i1
r
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析也称作一维方差分析。
它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。
还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。
One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。
如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。
如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Rep eated Measur e过程。
[例子]调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表5-1所示。
表5-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数数据保存在“DATA5-1.SAV”文件中，变量格式如图5-1。
图5-1分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图5-1所示。
或者打开已存在的数据文件“DATA5-1.SAV”。
2）启动分析过程点击主菜单“Analyz e”项，在下拉菜单中点击“Compar e Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统打开单因素方差分析设置窗口如图5-2。
图5-2 单因素方差分析窗口3）设置分析变量因变量:选择一个或多个因子变量进入“Depend ent List”框中。
本例选择“幼虫”。
因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。
本例选择“品种”。
4）设置多项式比较单击“Contra sts”按钮，将打开如图5-3所示的对话框。
该对话框用于设置均值的多项式比较。
图5-3 “Contra sts”对话框定义多项式的步骤为：均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。
第十三章单因素设计方差分析
第十三章单因素设计方差分析方差分析是由英国统计学家Ronald Fisher 研究出来的，并以他的名字命名的方法，称为F检验。
它可以解决单因素和多因素实验设计结果的数据处理问题。
早期的心理学实验是严格的实验室控制实验。
在实验中只允许研究者感兴趣的一种变量作为自变量，希望观察到自变量引起的因变量的变化。
自变量也称为因素(factor)，在实验中只安排一个自变量的实验叫做单因素实验。
经典心理学实验通常是单因素实验。
单因素的实验可以较明确的观察到自变量与因变量之间的因果关系，较适用于研究比较单纯的心理现象，但往往无法说明复杂的心理现象。
现代的实验设计将一些额外变量引入实验成为实验中新的因素，以期实验的结果更贴近真实的情景，从而发展了多因素的实验设计。
统计中用符号表示实验设计时，常用大写的英文字母表示因素，如因素A、因素B、因素C等；用S表示被试（subject）。
把S写在表示因素符号的后边、前面或中间，则表示不同的实验设计，例如：单因素被试间设计AS、单因素被试内设计SA、多因素被试间设计ABS、多因素被试内设计SAB、混合设计ASB。
第一节t检验与I类错误当两个总体没有差异，而统计推论的结论说有差异，就犯了I类错误；当两个总体存在差异，而统计推论的结论说没有差异，就犯了II类错误。
通常，I类错误的发生概率用α表示，II类错误发生的概率用β表示。
当采用多个两两t检验时，发生I类错误的概率就会增大。
I类错误的计算公式如下：I类错误发生的概率＝1－(1－α)C（13.1）所以当要比较3个或3个以上的总体平均数两两检验时，应采用方差分析（analysis of variance）的方法。
一个显著的F值表示，在所比较的总体平均数里至少有两个总体平均数存在着显著差异。
第二节方差分析的原理方差（V ariance）有时也称为变异数（V ariation），是表示一组数据离散程度的统计量。
方差的总体参数用符号σ2表示；方差的样本统计量用符号S2表示。
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单因素方差分析
一实证分析
在大量学者研究中西部地区民营经济发展特点及发展缓慢成因的基础上，文[1]运用方差分析方法，对影响东部、中部、西部地区民营经济发展差距的关键因素进行实证分析。
文[1]假定选取的6项指标对区域间民营经济发展差距有着重要的影响，并且指标差异分别存在于不同的地区间，是造成区域差异的关键因素。
本文选取其中2项指标运用matlab软件进行分析。
表1是2008年各省市自治区其中两项指标数据。
1 科技投入方差的分析
a1=[5.73 3.30 1.15 2.28 4.64 2.82 3.93 2.25 2.11 3.51 1.26];
a2=[1.34 1.14 1.30 1.44 0.92 1.33 1.40 1.51];
a3=[1.49 0.88 1.23 1.20 0.76 1.20 0.98 1.09 1.33 1.40 1.25 1.06]; A1=a1';A2=a2';A3=a3';n=31; n1=11;n2=8;n3=12;s=3;
B1=A1.^2;B2=A2.^2;B3=A3.^2;
sum1=sum(A1),sum2=sum(A2),sum3=sum(A3);
sq1=sum(B1),sq2=sum(B2),sq3=sum(B3);
sum4=sum1+sum2+sum3;
sq=sq1+sq2+sq3;
AV=sum4^2/n;
ST=sq^2-AV;
SA=sum1^2/n1+sum2^2/n2+sum3^2/n3-AV;
SE=ST-SA;
SA1=SA/(s-1);
SE1=SE/(n-s);
F=SA1/SE1;
Fa=finv(0.95,s-1,n-s);
if F>Fa
disp '科技投入对区域间经济发展影响显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Fa
else
disp '科技投入对区域间经济发展影响不显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Fa
end
科技投入对区域间经济发展影响不显著
ST =
2.2046e+04
SA =
22.7255
SE =
2.2024e+04
SA1 =
11.3628
SE1 =
786.5602
F =
0.0144
Fa =
3.3404
F<Fa
所以科技投入对区域间经济发展影响不显著
2 税收占比方差的分析
a1= [57.73 62.63 65.04 63.71 44.31 45.55 57.33 45.69 58.94 46.54 44.21];
a2= [68.87 54.12 75.74 61.81 54.57 55.67 47.15 69.19];
a3= [57.14 65.98 52.45 72.51 53.63 57.69 61.51 73.75 69.20 78.72 57.45 66.19];
A1=a1'; A2=a2'; A3=a3';
B1=A1.^2; B2=A2.^2; B3=A3.^2;
s=3; n1=11; n2=8; n3=12; n=31; N= [n1 n2 n3];
sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum=0; sq1=0; sq2=0; sq3=0; sq=0;
for i=1:s
for j=1:N(i)
if j<9
sum2=sum2+A2(j);
sq2=sq2+B2(j);
else if j>11
sum3=sum3+A3(j);
sq3=sq3+B3(j);
else
sum1=sum1+A1(j);
sq1=sq1+B1(j);
end
end
end
end
sum=sum1+sum2+sum3;
sq=sq1+sq2+sq3;
AV=sum^2/n;
ST=sq^2-AV;
SA=sum1^2/n1+sum2^2/n2+sum3^2/n3-AV;
SE=ST-SA;
SA1=SA/(s-1);
SE1=SE/(n-s);
F=SA1/SE1;
Fa=finv(0.95,s-1,n-s);
if F>Fa
disp '税收占比对区域间经济发展影响显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Fa
else
disp '税收占比对区域间经济发展影响不显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Fa
end
税收占比对区域间经济发展影响不显著
ST =
1.2214e+10
SA =
1.6779e+05
SE =
1.2214e+10
SA1 =
8.3896e+04
SE1 =
4.3622e+08
F =
1.9232e-04
Fa =
3.3404
F<Fa
所以税收占比对区域间经济发展影响不显著。
参靠文献
[1] 柯卉，基于方差分析的区域民营经济发展平衡研究，2011，兰州大学硕士学位论文.。