第04章_第二讲+第五章部分

F [ p0 g (h y)]Ldy 0 y 1 2 p0 Lh gLh 2
代入数据，得
h y
10
h
dA
dy
F 5.9110 N
24
O
x
L
dF [ p0 g (h y)]Ldy dF 对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
M y[ p0 g (h y)]Ldy
30
例 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆 面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量. 解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)所 示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该 质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
S1v1 S2 v2
流速与横截面积成反比
4.11 伯努利方程
W1 p1S1l1 p1V1
W1 p2 S2 l2 p2 V2
h1 h2
v1
l1
S1 S2
l2
由连续性方程有
V1 V2
O
v2
令流体密度为
流体质量
m V
在△t 时间内系统机械能变化
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450
18

一
用来描述力对刚体的 转动作用．
力矩
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F
z
O
M
F
r
d
*
P

F F Fi 0, M i 0 i i
r P’(.t+dt)
.
x
d 角速度矢量 lim t 0 t dt
11
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.

d 角加速度 dt


>0
z

z

<0

12
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
dI r 2 dm 2 r 3dr
则整个圆盘对中心轴的转动惯量为
I dI 2 r 3dr
0
R
1 mR 2 2
以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同， 转动惯量不同.
32
以上各例说明： (1)刚体的转动惯量 与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
4.6 机械能守恒定律 质点系动能定理： Aex Ain EkA EkB
其中： Ain Ain,n-cons Ain,cons
Ain,n-cons ( EpA EpB )
Aex Ain,n-cons EB EA
系统机械能增量
机械能： E Ek Ep
8
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
9
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
10
一 刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移 (t t) (t)
O
ω
d P(t)
19
F Fi 0, M i 0 i i
F
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
其中 Fz 对转轴的
F Fz F
z
k
O
F
M z k r F M z rF sin
dI x2 dm x2 dx
整个棒对中心轴的转动惯量为
I dI
29
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
(2) 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
13
二 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度 =常量 时，刚体做匀变速转动．
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
x x0 v0t at 0 0t t 2 2 v v0 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
I mi ri
命名为对轴的转动惯量，
（式中 ri 为 mi 到轴的距离）
此时质点系对轴的角动量定理为
27
d M iz dt

d I (mi ri ) dt
2
转动惯量的计算 对于单个质点
质点系 若物体质量连续分布，
I mr n 2 I mi ri
2
I r 2 dm r dV
r
Fz

F
20
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
M M1 M 2 M 3
rj
j
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
21
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所 示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通 过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
(2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
dm dx(或dl)
dm ds dm dv
线分布
33，即各质点之间无相对位移， 对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于
定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。
34
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
I dI R 2 dm R 2 dm mR 2
m m
31
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许 多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如 图 (b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量) m 则小圆环的质量dm＝σdS＝σ2πrdr，该小圆环对中心轴的转动惯 R2 量为
1 1 2 2 E m v2 m gh2 m v1 m gh1 2 2 1 2 1 2 v2 gh2 v1 gh1 V 2 2
由系统机械能守恒，有
W1 W2 E
m m
i 1
2
转动惯量的单位：千克· 米2（kg· m2 ） 转动惯量计算举例：
28
例如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量： (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即 m 单位长度上的质量)为 ，则该质元的质量dm＝λdx.该质元对中心 l 轴的转动惯量为
1 2 2
1 2 2
14
v v0 at
0 t
三 角量与线量的关系 d ω dt 2 dω d 2 dt dt v rωet

an

a r
et v a
t
at r an rω
15
2
2 a ret rω en
例 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直 其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的 角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 r· min-1 ．转子的角加速度与时间成 正比．问在这段时间内，转子转过多少转？
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
2
(m r
i i
)

转动惯量的引入
若令
I mi ri2
则有
L mi ri2 I


即：若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度作 圆周运动，则这时系统对轴的角动量为
将其与线动量
p mv
L I
相比
2
m 表示物体的平动惯性，则 I 表示转动惯性，故将
1 2 p v gh const 2
伯努利方程
第五章 刚 体
质点模型基本上只能表征物体的平动特征。 当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比不 可以忽略；物体又不作平动而作转动时，即必须考虑物体 的空间方位时，我们可以引入刚体模型。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。 平动和转动是刚体的两种基本运动形式。刚体的任何复杂 运动都可以看成平动与转动的合成。
本节讨论转动中最简单的运动——定轴转动。
6
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) 说明： ⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
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平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如：V、a 等都相同． 刚体平动 质点运动