【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 理
(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 空间直线、平面的垂直
§7.5空间直线、平面的垂直考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直m ⊂αn ⊂αm ∩n ＝P l ⊥m l ⊥n ⇒l ⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则l ⊥α.(×)(2)若直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)教材改编题1．(多选)下列命题中不正确的是()A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面βC．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABD解析若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确．2.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面答案A解析四面体S－EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G且GE，GF⊂平面EFG得SG⊥△EFG所在平面．3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．答案7解析如图，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．答案②③⇒①(或①③⇒②)解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.(2)(2023·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1.②已知B1C1＝2，B1C＝23，求△BCC1的周长．①证明∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.②解如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.由①知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝23，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝CE2＋C1E2＝4，BC1＝BE2＋C1E2＝27，∴△BCC1的周长为2＋4＋27＝6＋27.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．(1)证明如图，连接A1B，则AB1⊥A1B，因为A1F⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，所以A1F⊥AB1，又A1B∩A1F＝A1，所以AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，所以AB1⊥BF.(2)证明如图，取棱AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，因为AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.所以AE ⊥BG .又因为BG ∩FG ＝G ，所以AE ⊥平面BFG .又BF ⊂平面BFG ，所以AE ⊥BF .(3)解存在．如图，取棱CC 1的中点P ，即为所求．连接EP ，AP ，C 1D ，因为EP ∥C 1D ，C 1D ∥AB 1，所以EP ∥AB 1.由(1)知AB 1⊥BF ，所以BF ⊥EP .又由(2)知AE ⊥BF ，且AE ∩EP ＝E ，所以BF ⊥平面AEP .题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD 且AB ＝1，PA ＝AD ＝PD ＝2，E 为PD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ACE ；(2)求点B 到平面ACE 的距离．(1)证明由PA ＝AD ＝PD ，E 为PD 的中点，可得AE ⊥PD ，因为CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ，由CD ∩PD ＝D ，则AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面ACE ，所以平面PCD ⊥平面ACE .(2)解如图，连接BD ，与AC 交于O ，则O 为BD 的中点，所以点D 到平面ACE 的距离即为点B 到平面ACE 的距离．由平面PCD ⊥平面ACE ，过D 作DM ⊥CE ，垂足为M ，则DM ⊥平面ACE ，则DM 为点D 到平面ACE 的距离．由CD ⊥平面PAD ，可得CD ⊥PD ，又CD ＝DE ＝1，所以DM ＝12CE ＝22，即点B到平面ACE的距离为2 2 .思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD ⊥EF ，又∵BE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .题型三垂直关系的综合应用例3如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面为正方形的长方体，∠AD 1A 1＝60°，AD 1＝4，点P 是AD 1上的动点．(1)试判断不论点P 在AD 1上的任何位置，是否都有平面BPA ⊥平面AA 1D 1D ，并证明你的结论；(2)当P 为AD 1的中点时，求异面直线AA 1与B 1P 所成的角的余弦值；(3)求PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA ⊥平面AA 1D 1D ，BA ⊂平面BPA ，∴平面BPA ⊥平面AA 1D 1D ，∴无论点P 在AD 1上的任何位置，都有平面BPA ⊥平面AA 1D 1D .(2)过点P 作PE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接B 1E ，如图，则PE ∥AA 1，∴∠B 1PE (或其补角)是异面直线AA 1与B 1P 所成的角．在Rt △AA 1D 1中，∵∠AD 1A 1＝60°，∴∠A 1AD 1＝30°，∴A 1B 1＝A 1D 1＝12AD 1＝2，∴A 1E ＝12A 1D 1＝1，AA 1＝3A 1D 1＝23，∴PE ＝12AA 1＝3，B 1E ＝A 1B 21＋A 1E 2＝5，∴在Rt △B 1PE 中，B 1P ＝B 1E 2＋PE 2＝22，cos ∠B 1PE ＝PE B 1P ＝322＝64.∴异面直线AA 1与B 1P 所成的角的余弦值为64.(3)由(1)知，B 1A 1⊥平面AA 1D 1D ，∴∠B 1PA 1是PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角，∴tan ∠B 1PA 1＝A 1B 1A 1P ＝2A 1P ，∴当A 1P 最小时，tan ∠B 1PA 1最大，这时A 1P ⊥AD 1，A 1P ＝A 1D 1·AA 1AD 1＝3，得tan ∠B 1PA 1＝233，即PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角的正切值的最大值为233.思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3(2023·柳州模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝AC＝22，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且PM 与平面ABC 所成角的正切值为6，求二面角M －PA －C 的平面角的余弦值．(1)证明方法一如图，连接OB .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC，又∵PA＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC，PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC.方法二如图，连接OB，∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝22，∴PO⊥AC，PO＝6，又∵AB＝BC＝2，∴AB⊥BC，BO＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC.(2)解由(1)知，PO⊥平面ABC，∴OM为PM在平面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与平面ABC所成角，∵tan∠PMO＝POOM＝6OM＝6，∴OM＝1，在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，∴M为BC的中点．如图，作ME⊥AC交AC于E，则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连接MF，∴MF ⊥PA ，∴∠MFE 即为所求二面角M －PA －C 的平面角，ME ＝22，EF ＝32AE ＝32×34×22＝364，MF ＝ME 2＋EF 2＝624，∴cos ∠MFE ＝EF MF ＝39331，故二面角M －PA －C 的平面角的余弦值为39331.课时精练1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，P ∉l ，则下列命题中是真命题的为()A ．过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内C ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 且在平面α内垂直于l 的直线必垂直于平面β答案ACD 解析由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A 正确；过点P 垂直于直线l 的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B 不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C ，D 正确．2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，△PAB 与△PBC 是正三角形，平面PAB ⊥平面PBC ，AC ⊥BD ，则下列结论不一定成立的是()A ．BP ⊥ACB ．PD ⊥平面ABCDC ．AC ⊥PDD ．平面PBD ⊥平面ABCD 答案B 解析如图，取线段BP 的中点O ，连接OA ，OC ，易得BP ⊥OA ，BP ⊥OC ，又OA ∩OC ＝O ，所以BP ⊥平面OAC ，所以BP ⊥AC ，故选项A 正确；又AC ⊥BD ，BP ∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面PBD ，所以AC ⊥PD ，故选项C 正确；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD，故选项D正确．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC 的交线AB上．4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()答案BD解析对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.5．(多选)(2022·齐齐哈尔模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案ABD解析由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在A 中，若m ⊂β，α⊥β，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误；在B 中，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m ⊥β，m ∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D 错误．6．(多选)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则下列说法正确的是()A ．AB ＝2ADB ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30°C ．AC ＝CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°答案AD 解析如图，连接BD ，易知∠BDB 1是直线B 1D 与平面ABCD 所成的角，所以在Rt △BDB 1中，∠BDB 1＝30°，设BB 1＝1，则B 1D ＝2BB 1＝2，BD ＝B 1D 2－BB 21＝3.易知∠AB 1D 是直线B 1D 与平面AA 1B 1B 所成的角，所以在Rt △ADB 1中，∠AB 1D ＝30°.因为B 1D ＝2，所以AD ＝12B 1D ＝1，AB 1＝B 1D 2－AD 2＝3，所以在Rt △ABB 1中，AB ＝AB 21－BB 21＝2＝2AD ，所以A 项正确；易知∠BAB 1是直线AB 与平面AB 1C 1D 所成的角，因为在Rt △ABB 1中，sin ∠BAB 1＝BB 1AB 1＝33≠12，所以∠BAB 1≠30°，所以B 项错误；在Rt △CBB 1中，CB 1＝BC 2＋BB 21＝2，而AC ＝AB 2＋BC 2＝3，所以C 项错误；易知∠DB 1C 是直线B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角，因为在Rt △DB 1C 中，CB 1＝CD ＝2，所以∠DB 1C ＝45°，所以D 项正确．7.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足条件：①BM ⊥DM ，②DM ⊥PC ，③BM ⊥PC 中的________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．答案②(或③)解析连接AC (图略)∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .∵底面各边都相等，∴AC ⊥BD .∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .8．在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．答案②解析①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接CE ，如图所示．则AE ⊥BD ⊥⇒BD ⊥平面AEC ，则BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确；②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知，存在这样的直角三角形，使AB ⊥AC ，故假设成立，②正确；③假设AD ⊥BC ，∵CD ⊥BC ，AD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB <BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．9.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)证明如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB ＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.10．(2023·广州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若AC ＝BC ＝PA ，求二面角A －PB －C 的平面角的大小．(1)证明如图，作AD ⊥PC 交PC 于点D ，因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AD ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AD ⊥BC ，又因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又PA ，AD ⊂平面PAC ，PA ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .(2)解如图，作AD ⊥PC 交PC 于点D ，DE ⊥PB 交PB 于点E ，连接AE ，由(1)知AD ⊥平面PBC ，因为PB ⊂平面PBC ，则AD ⊥PB ，又AD ，DE ⊂平面ADE ，AD ∩DE ＝D ，所以PB ⊥平面ADE ，因为AE ⊂平面ADE ，所以PB ⊥AE ，则∠AED 即为二面角A －PB －C 的平面角．又DE ⊂平面PBC ，则AD ⊥DE ，不妨设AC ＝BC ＝PA ＝1，则PC ＝2，AD ＝1×12＝22，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ，所以AB ＝2，PA ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，则PA ⊥AB ，则PB ＝3，AE ＝1×23＝63，则sin ∠AED ＝AD AE ＝2263＝32，由图知二面角A －PB －C 的平面角为锐角，所以∠AED ＝π3，即二面角A －PB －C 的平面角的大小为π3.11.如图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形ABCD的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP ＝MC ，则点M 的轨迹为()答案A 解析如图，取AD 的中点E ，连接PE ，PC ，CE .因为△PAD 为正三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，从而平面PEC ⊥平面ABCD ，分别取PC ，AB 的中点F ，G ，连接DF ，DG ，FG ，由PD ＝DC 知DF ⊥PC ，易得DG ⊥EC ，则DG ⊥平面PEC ，又PC ⊂平面PEC ，所以DG ⊥PC ，又DF ∩DG ＝D ，所以PC ⊥平面DFG ，又点F 是PC 的中点，因此，线段DG 上的点满足MP ＝MC .12．(多选)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a ,2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是()A ．该多面体是四棱锥B ．平面BAD ⊥平面BCDC ．平面BAC ⊥平面ACDD ．该多面体外接球的表面积为54πa 2答案BC 解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故A 错误；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，∴AP ⊥平面BCD .又∵AP ⊂平面BAD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，故B 正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故C 正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故D 错误．13．(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则下列说法正确的是()A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是π4，π2D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63答案ABD 解析A 项，如图，连接B 1D 1，由正方体可得A 1C 1⊥B 1D 1，且BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则BB 1⊥A 1C 1，因为B 1D 1∩BB 1＝B 1，所以A 1C 1⊥平面BD 1B 1，又BD 1⊂平面BD 1B 1，所以A 1C 1⊥BD 1.同理，连接AD 1，易证得A 1D ⊥BD 1，因为A 1D ∩A 1C 1＝A 1，A 1D ，A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，所以BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；B 项，1111P A C D C A PD V V -=-三棱锥三棱锥，因为点P 在线段B 1C 上运动，所以1A DP S △＝12A 1D ·AB ，为定值，且C 1到平面A 1PD 的距离即为C 1到平面A 1B 1CD 的距离，也为定值，故三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；C 项，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，AP 与A 1D 所成角取得最小值，最小值为π3，故C 错误；D 项，因为直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以若直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值最大，则直线C 1P 与直线BD 1所成角的余弦值最大，即点P 运动到B 1C 中点处，直线C 1P 与直线BD 1所成角为∠C 1BD 1，设正方体棱长为1，在Rt △D 1C 1B 中，cos ∠C 1BD 1＝C 1B BD 1＝23＝63，故D 正确．14.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4，沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF ，则二面角A ′－FD －C 的平面角的余弦值为________．答案33解析如图，取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连接A ′G ，A ′H ，GH .由题意，知A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，平面A ′EF ∩平面BEF ＝EF ，A ′H ⊂平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF .又因为G ，H 分别是AF ，EF 的中点，所以GH ∥AB ，所以GH ⊥AF ，又A ′H ∩GH ＝H ，于是AF ⊥平面A ′GH ，所以AF⊥A′G.所以∠A′GH为二面角A′－FD－C的平面角．在Rt△A′GH中，A′H＝22，GH＝2，A′G＝23，所以cos∠A′GH＝GHA′G＝3 3，故二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为3 3 .15．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为() A．0B．1C．2D．3答案C解析设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝2a，A1B＝2a，A1C＝3a，当点P 为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P－ABC是鳖臑；当点P 为A 1C 的中点时，此时PA ＝PC ＝12A 1C ＝3a 2，又AC ＝2a ，由勾股定理可知，△PAC 不是直角三角形，则此时四面体P －ABC 不是鳖臑．16．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，BC ＝t ，若在线段AB 上存在点E ，使得EC 1⊥ED ，则实数t 的取值范围是________.答案(0,1]解析因为C 1C ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，可得C 1C ⊥ED ，由EC 1⊥ED ，EC 1∩C 1C ＝C 1，EC 1，C 1C ⊂平面ECC 1，可得ED ⊥平面ECC 1，所以ED ⊥EC ，在矩形ABCD 中，设AE ＝a ,0≤a ≤2，则BE ＝2－a ，由∠DEA ＋∠CEB ＝90°，可得tan ∠DEA ·tan ∠CEB ＝AD AE ·CB BE ＝t 2a (2－a )＝1，即t 2＝a (2－a )＝－(a －1)2＋1，当a ＝1时，t 2取得最大值1，即t 的最大值为1；当a ＝0或2时，t 2取得最小值0，但由于t ＞0，所以t 的取值范围是(0,1]．。
(全国通用)高考数学一轮复习 第7章 立体几何初步 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质教师用书 文
第五节直线、平面垂直的判定及其性质————————————————————————————————[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·某某高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图751，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7514[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图752，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图752(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .5分 (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.8分因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1] 如图753所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：PA ⊥CD .图753[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC，得∠ABC ＝30°.3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.12分面面垂直的判定与性质(2017·某某调研)如图754，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图754(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2] 如图755，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N 分别为AB，PA的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.图755[证明](1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.5分(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.10分因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12分平行与垂直的综合问题☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明(2016·某某高考)如图756，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图756[证明](1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2 平行垂直中探索开放问题(2017·某某调研)如图757(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F ⊥CD，如图757(2)所示．(1) (2)图757(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：31222259】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.2分由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用(2016·某某高考)如图758，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图758(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3] 如图759，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．图759(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.5分(2)证明：在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.7分又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.10分又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防X]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．课时分层训练(四十二)直线、平面垂直的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·某某六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥βC[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]2．(2017·某某河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或l⊂β，C不正确．对于D中，l与β的位置关系不确定．]3．如图7510，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )【导学号：31222260】图7510A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]5．如图7511，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )图7511A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]二、填空题6．如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【导学号：31222261】图7512DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如图7513，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．【导学号：31222262】图7513π3[取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中，AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE ＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9.(2015·高考)在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．图7514(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．[解] (1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .3分又因为VB ⊂/平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .5分 (2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .8分(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.9分 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为33.12分 10．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7515②)．①② 图7515(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分又因为F为BC的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，所以OF∥平面ACD.5分(2)存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD.9分又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·某某某某二模)如图7516，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )图7516A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A [由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直， 所以PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ，因为PO ∩PA ＝P ， 所以EF ⊥平面PAO ，所以EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ， 所以O 为△AEF 的垂心．]2．如图7517，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【导学号：31222263】图7517a 或2a [∵B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴CF ⊥B 1D .为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF (或CF ⊥B 1F )． 设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴x ＝a 或x ＝2a .]3．(2016·某某高考)如图7518，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图7518(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .2分 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)5分 (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .8分因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .12分。
高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版
又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD为 正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因 为 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD ， BF⊂ 平 面 ABCD ， 平 面 PAD∩平面ABCD＝AD，
个平面的两个平面可能平行，也可能相交．
1．(人教A版教材习题改编)已知直线a，b和平面α，且 a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )
A．b⊂α
C．b⊂α或b∥α 【解析】 α相交． 【答案】 C
B．b∥α
D．b与α相交
由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与
2．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面 角，则 AC 的长为( ) 2 3 A. 2a B. a C. a D．a 2 2
2．面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据， 其核心是其中一个面内的直线与交线垂直．在其中一个面内 作交线的垂线，这是常作的辅助线． 3．空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂
直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是
处理立体几何问题的重要思想．
如图7－5－6所示，平行 四边形ABCD中，∠DAB ＝60°，AB＝2，AD＝4， 将△CBD沿BD折起到△EBD 的位置，使平面EDB⊥平面ABD. (1)求证：AB⊥DE；
垂线 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的______，则这两 个平面垂直． 垂直于交线 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内__________ 的直线与另一个平面垂直．
4．直线和平面所成的角
平面上的射影 (1)平面的一条斜线和它在_____________所成的锐角叫 做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定 90°和0° 直线和平面所成的角分别为_________．
(新课标)高考数学大一轮复习第七章立体几何第5节直线、平面垂直的判定及其性质课件理
解析：因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC， 同理有 DE⊥AC，DE∩BE＝E，于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC⊂平 面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故只有③正确．
答案：③
第十九页，共49页。
(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.
第二十五页，共49页。
(2015·天 津 卷 ) 如 图 ， 已 知 AA1 ⊥ 平 面 ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2 5， AA1＝ 7，BB1＝2 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点．
(1)求证：EF∥平面 A1B1BA； (2)求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1.
答案：D
第十七页，共49页。
5．如图，在三棱锥 D－ABC 中， 若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的 中点，则下列命题中正确的有 ________(填序号)．
①平面 ABC⊥平面 ABD； ②平面 ABD⊥平面 BCD； ③平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE； ④平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE.
第二十一页，共49页。
【解】 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1 的中点，因此 DE∥AC. 又因为 DE⊄平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C.
第二十二页，共49页。
(2)因为棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥CC1. 又 因 为 AC⊥BC ， CC1 ⊂ 平 面 BCC1B1 ， BC ⊂ 平 面 BCC1B1， BC∩CC1＝C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1.
高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 文 新人教版
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5
【解析】 A 中，由 m⊥n，n∥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误；
B 中，由 m∥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α， 错误；
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(2)过 E 作 EG∥AB 交 PA 于点 G，连接 DG. ∵E 为 PB 的中点，∴G 为 PA 的中点． ∵AD＝PD，故△DPA 为等腰 三角形，∴DG⊥AP. ∵AB⊥平面 PAD，DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG.
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又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 綊12AB，DF 綊12AB，
C 中，由 m⊥β，n⊥β 可得 m∥n，又 n⊥α，所以 m⊥α， 正确；
D 中，由 m⊥n，n⊥β，β⊥α 可得 m∥α 或 m 与 α 相交或 m⊂α，错误．
【答案】 C
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6
3．(2014·四川高考)如图 7-5-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α，则 sin α 的取值范围是( )
∴GE 綊 DF.
∴四边形 DFEG 为平行四边形，故 DG∥EF. ∴EF⊥平面 PAB.
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1．线面垂直证明的核心 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直 则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合 理转化是证明线面垂直的基本思想．
高三数学一轮复习 第7章 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质课件 文 新人教版
13
教材梳理 基础自测
二、平面与平面垂直
[自测 5] 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b
在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A
1
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教材梳理 基础自测
三、线面角、二面角
高三总复习.数学（文）
第七章 立体几何 第5课时 直线、平面垂直的判定与性质
考
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
点
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
考点三 空间垂直关系的探索
规范答题•系列
应考迷津•展示
1
1
考纲·展示
1.以命题形式，判定“直线、平面垂直的判定和性质”运用是否正确． 2.以常见的几何体为背景，进行线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化与 应用． 3.借助于线面垂直求线面角． 4.借助于面面垂直研究二面角．
与此平面垂直
符号语言
a，b⊂α
a∩b＝O l⊥a l⊥b
⇒l⊥α
1
4
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
①垂直于同一个 平面的两条直线 平行 性质 ②如果两个平面 定理 同垂直于一条直 线，那么这两个 平面平行
1
a⊥α b⊥α
⇒a∥b
ll⊥⊥βα⇒α∥β
5
教材梳理 基础自测
一、直线与平面垂直
A．a⊥b，且 a 与 b 相交
B．a⊥b，且 a 与 b 不相交
C．a⊥b
D．a 与 b 不一定垂直
C
1
7
教材梳理 基础自测
高考一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质
第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。
【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质课时作业 理
课时作业(四十四) 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对答案：D解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β垂直于α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β垂直于α.故应选D.2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案：D解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故应选D.3．(2015·南平3月)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案：A解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB 上．故应选A.4．(2015·潍坊模拟)如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDE ⊥平面ABC答案：D解析：因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B ，C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不可能成立．故应选D.5．(2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6答案：B解析：如图，设P 0为底面ABC 的中心，连接PP 0，由题意知|PP 0|为直三棱柱的高，∠PAP 0为PA 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×(3)2×sin 60°＝334.∵三棱柱的体积V ＝94，∴334·|PP 0|＝94，∴|PP 0|＝ 3.又P 0为底面ABC 的中心，则|AP 0|等于正△ABC 高的23，又易知△ABC 的高为32，∴|AP 0|＝23×32＝1.在Rt △PAP 0中，tan ∠PAP 0＝|PP 0||AP 0|＝31＝3， ∴∠PAP 0＝π3，故应选B.6．(2015·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为()A.13 B ．12 C ．223D ．32答案：A解析：在菱形ABCD 中连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，在折起后的图中，由四边形ABCD 为菱形且边长为1，则DO ＝OB ＝32，由于DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，因此∠DOB 就是二面角B －AC －D 的平面角，由BD ＝1，得cos ∠DOB ＝OD 2＋OB 2－DB22OD ·OB＝34＋34－12×32×32＝13. 二、填空题7．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线； ③已知α，β互相垂直，m ，n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m ，n 在平面α内的射影互相垂直，则m ，n 互相垂直． 其中的假命题的序号是________． 答案：①③④解析：①显然错误，当平面α∥平面β，平面β内的所有直线都平行α，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图①所示，若α∩β＝l ，且n ∥l ，当m ⊥α时，m ⊥n ，但n ∥β，所以③错误；如图②，显然当m ′⊥n ′时，m 不垂直于n ，所以④错误．8. (2015·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DM⊥PC(答案不唯一)解析：由题意，易得BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.9．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：由题意，知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．10．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．答案：2 2解析：如图所示，在平面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E，连接BE，因为二面角B－AD－C为直二面角，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.又DE∩BD ＝D，因此AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角．在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝2 2.三、解答题11．(2015·青岛质检)如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.(1)证明：AF∥平面BDG；(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；(3)求三棱锥F－BMC的体积V.解：(1)证明：如图连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接OG.∵点G为FC的中点，OG为△AFC的中位线，∴OG∥AF.∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)证明：如图连接FM.∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.∵CM＝2，∴DM＝4.∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF＝4，∴四边形EFMD为平行四边形．∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF . ∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM . ∵CF ⊂平面BFC ，∴平面BGM ⊥平面BFC . (3)V F －BMC ＝V F －BMG ＋V C －BMG ＝13×S △BMG ×FC＝13×S △BMG ×2. ∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22， ∴S △BMG ＝12×22×1＝2，∴V F －BMC ＝23×S △BMC ＝223.12．(2015·汕头模拟)已知四棱锥P ABCD 的直观图和三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论； (3)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．解：(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE . 证明如下：连接AC ，因为ABCD 是正方形， 所以BD ⊥AC .因为PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PC . 又因为AC ∩PC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC .因为不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC . 所以不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .(3)在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接BF . 因为AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3，所以Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ， 所以BF ⊥AE .所以∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角． 在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63， 所以BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理，得cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12，所以∠DFB ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3.。
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课时作业(四十四) 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2015·南昌模拟)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，α⊥β”的平面α，β( )A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对答案：D解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b 确定的平面β垂直于α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β垂直于α.故应选D.2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案：D解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故应选D.3．(2015·南平3月)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案：A解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB 上．故应选A.4．(2015·潍坊模拟)如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDE ⊥平面ABC答案：D解析：因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B ，C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不可能成立．故应选D.5．(2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6答案：B解析：如图，设P 0为底面ABC 的中心，连接PP 0，由题意知|PP 0|为直三棱柱的高，∠PAP 0为PA 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×(3)2×sin 60°＝334.∵三棱柱的体积V ＝94，∴334·|PP 0|＝94，∴|PP 0|＝ 3.又P 0为底面ABC 的中心，则|AP 0|等于正△ABC 高的23，又易知△ABC 的高为32，∴|AP 0|＝23×32＝1.在Rt △PAP 0中，tan ∠PAP 0＝|PP 0||AP 0|＝31＝3， ∴∠PAP 0＝π3，故应选B.6．(2015·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为()A.13 B ．12 C ．223D ．32答案：A解析：在菱形ABCD 中连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，在折起后的图中，由四边形ABCD 为菱形且边长为1，则DO ＝OB ＝32，由于DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，因此∠DOB 就是二面角B －AC －D 的平面角，由BD ＝1，得cos ∠DOB ＝OD 2＋OB 2－DB22OD ·OB＝34＋34－12×32×32＝13. 二、填空题7．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线； ②若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线； ③已知α，β互相垂直，m ，n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④m ，n 在平面α内的射影互相垂直，则m ，n 互相垂直． 其中的假命题的序号是________． 答案：①③④解析：①显然错误，当平面α∥平面β，平面β内的所有直线都平行α，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图①所示，若α∩β＝l ，且n ∥l ，当m ⊥α时，m ⊥n ，但n ∥β，所以③错误；如图②，显然当m ′⊥n ′时，m 不垂直于n ，所以④错误．8. (2015·青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案：DM⊥PC(答案不唯一)解析：由题意，易得BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.9．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：由题意，知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．10．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．答案：2 2解析：如图所示，在平面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E，连接BE，因为二面角B－AD－C为直二面角，BD⊥AD，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.又DE∩BD ＝D，因此AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ABC，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成的角．在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝2 2.三、解答题11．(2015·青岛质检)如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.(1)证明：AF∥平面BDG；(2)证明：平面BGM⊥平面BFC；(3)求三棱锥F－BMC的体积V.解：(1)证明：如图连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接OG.∵点G为FC的中点，OG为△AFC的中位线，∴OG∥AF.∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.(2)证明：如图连接FM.∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.∵CM＝2，∴DM＝4.∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF＝4，∴四边形EFMD为平行四边形．∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF . ∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM . ∵CF ⊂平面BFC ，∴平面BGM ⊥平面BFC . (3)V F －BMC ＝V F －BMG ＋V C －BMG ＝13×S △BMG ×FC＝13×S △BMG ×2. ∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22， ∴S △BMG ＝12×22×1＝2，∴V F －BMC ＝23×S △BMC ＝223.12．(2015·汕头模拟)已知四棱锥P ABCD 的直观图和三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论； (3)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．解：(1)由三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×12×2＝23，即四棱锥P －ABCD 的体积为23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE . 证明如下：连接AC ，因为ABCD 是正方形， 所以BD ⊥AC .因为PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PC . 又因为AC ∩PC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC .因为不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC . 所以不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .(3)在平面DAE 内过点D 作DF ⊥AE 于F ，连接BF . 因为AD ＝AB ＝1，DE ＝BE ＝12＋12＝2，AE ＝AE ＝3，所以Rt △ADE ≌Rt △ABE ， 从而△ADF ≌△ABF ， 所以BF ⊥AE .所以∠DFB 为二面角D －AE －B 的平面角． 在Rt △ADE 中，DF ＝AD ·DE AE ＝1×23＝63， 所以BF ＝63. 又BD ＝2，在△DFB 中，由余弦定理，得cos ∠DFB ＝DF 2＋BF 2－BD 22DF ·BF ＝－12，所以∠DFB ＝2π3，即二面角D －AE －B 的大小为2π3.。